Matemática I 2012 2 Seção (7)

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2012/2
Seção 7
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Matemática I
Prof. Gerson Lachtermacher, Ph.D.
2012/2
Seção 7
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Aplicação
Arranjo Simples
Permutações Simples
Fatorial
Combinação Simples
Permutações Simples com repetição
Permutações Circulares
Arranjos Completos
Combinação Completa
Conteúdo da Seção
2012/2
Seção 7
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Dados dois conjuntos A e B, chamamos de aplicação f de A em B toda correspondência em que a cada elemento se associa um único elemento .
Aplicação
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A aplicação f de A em B é o conjunto de pares ordenados em que o 1º elemento é a origem da flecha ( ) e o segundo elemento é o final da flecha ( ).
Aplicação
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Seção 7
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Uma aplicação f de A em B é dita injetora se, e somente se, cada elemento for imagem de um único elemento pertencente ao domínio de f .
Uma aplicação f de A em B é dita bijetora se, e somente se, a todo elemento pertencente ao domínio de f existir uma correspondência a um único elemento pertencente a imagem de f e vice-versa.
Tipos de Aplicação
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Seção 7
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Sejam os conjuntos 
Chama-se arranjo simples dos n elementos de B, tomados p a p, a imagem de qualquer aplicação injetora f de A em B .
O número de todos os arranjos simples de n elementos distintos tomados p a p é representado por An,p . 
Arranjo Simples
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Seção 7
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Sejam os conjuntos
Os arranjos simples de 3 elementos tomados 2 a 2 são: 
Arranjo Simples
a
b
c
c
b
c
a
b
a
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Seja n um número inteiro positivo. 
O fatorial de n representado por n! é dado por:
Por definição o fatorial de 0 (zero) é igual a 1.
Fatorial
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Utilize o conceito de fatorial para simplificar a seguinte expressão.
Fatorial - Exercício
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Fatorial - Exercício (Solução)
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O número de todos os arranjos simples de n elementos distintos tomados p a p é representado por . 
Arranjo Simples e Fatorial
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Quantos são os números compreendidos entre 1000 e 2000, formados por algarismos distintos, escolhidos no conjunto {1,3,5,7,9}?
Arranjos Simples - Exercícios
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Seção 7
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Solução
Os números são compostos de 4 algarismos começando pelo algarismo 1 e mais três algarismos escolhidos entre {3,5,7,9}.
Portanto, a solução é:
Arranjos Simples - Exercícios
1
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Seção 7
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Sejam os conjuntos 
Chama-se permutação simples dos n elementos de B, a imagem de qualquer aplicação bijetora f de A em B .
O número de todas as permutações simples dos n elementos distintos de B é representado por Pn .
Permutação Simples
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Sejam os conjuntos
As permutações simples dos 3 elementos de B são: 
Permutação Simples
a
b
c
c
b
c
a
b
a
b
c
a
c
a
b
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Seção 7
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Qual o número total de anagramas que podem ser formados a partir da palavra REPÚBLICA?
Qual o número total de anagramas que podem ser formados a partir da palavra REPÚBLICA que terminam com a letra A?
Qual o número total de anagramas que podem ser formados a partir da palavra REPÚBLICA que começam com a letra R e que terminam com a letra A?
Permutação Simples - Exercícios
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Seção 7
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1.	Qual o número total de anagramas que podem ser formados a partir da palavra REPÚBLICA?
Solução
O total de anagramas é igual ao número de permutações simples das letras distintas R,E,P,U,B,L,I,C,A
Permutação Simples - Exercícios
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Seção 7
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2.	Qual o número total de anagramas que podem ser formados a partir da palavra REPÚBLICA que terminam com a letra A?
Solução
O total de anagramas é igual ao número de permutações simples das letras distintas R,E,P,U,B,L,I,C
Permutação Simples - Exercícios
A
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Seção 7
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3.	Qual o número total de anagramas que podem ser formados a partir da palavra REPÚBLICA que começam com a letra R e que terminam com a letra A?
Solução
O total de anagramas é igual ao número de permutações simples das letras distintas E,P,U,B,L,I,C
Permutação Simples - Exercícios
A
R
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Seja o conjunto
Chama-se Combinação Simples dos n elementos de B, tomados p a p (com p ≤ n), todo subconjunto de B formado por p elementos distintos.
Combinação Simples
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Seção 7
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Quantos resultados distintos podemos obter pelo produto de três elementos do conjunto {2,3,5,7,9}?
Quantas comissões de 5 membros podem ser formadas em uma sala de 15 alunos?
Combinação Simples - Exercícios
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Seção 7
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1.	Quantos resultados distintos podemos obter pelo produto de três elementos do conjunto {2,3,5,7,9}?
Solução
A ordem dos fatores de um produto não altera o seu resultado. Logo, a solução é dada por:
Combinação Simples - Exercícios
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Seção 7
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2.	Quantas comissões de 5 membros podem ser formadas em uma sala de 15 alunos?
Solução
A ordem de escolha dos membros de uma comissão não altera o grupo formado. Logo, a solução é dada por:
Combinação Simples - Exercícios
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Seção 7
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Quantas “palavras” distintas, com ou sem significado, podem ser escritas com todas as letras da palavra ARARA?
Repare que a letra A tem três repetições e a letra R tem duas repetições.
Permutações Simples com Elementos Repetidos 
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Seção 7
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Sejam n o número de elementos dos quais:
n1 são iguais a a1 
n2 são iguais a a2 
n3 são iguais a a3 
	:		:
nr são iguais a ar
O número total de permutações simples com elementos repetidos distintas entre si:
 
Permutações Simples com Elementos Repetidos 
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Seção 7
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Quantos são os anagramas da palavra ARRASADO?
De uma urna com 3 bolas brancas e 4 bolas pretas, de quantas maneiras pode ser feita uma extração das 9 bolas, uma por vez?
Permutações Simples com 
Elementos Repetidos - Exercícios
2012/2
Seção 7
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1.	Quantos são os anagramas da palavra ARRASADO?
Solução
Permutações Simples com 
Elementos Repetidos - Exercícios
2012/2
Seção 7
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2.	De uma urna com 3 bolas brancas e 4 bolas pretas, de quantas maneiras pode ser feita uma extração das 9 bolas, uma por vez?
Permutações Simples com 
Elementos Repetidos - Exercícios
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Seção 7
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De quantas maneiras podemos dispor 4 pessoas em torno de uma mesa?
Permutação Circular
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Seção 7
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O número de maneiras que podemos dispor n pessoas ou objetos em torno de círculo é dado por:
Permutação Circular
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Seção 7
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Sejam os conjuntos 
Chama-se arranjo completo dos n elementos de B, tomados p a p, a imagem de qualquer aplicação f de A em B .
O número de todos os arranjos completos de n elementos de B tomados p a p é representado por...
Note que 
Arranjos Completos
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Sejam os conjuntos
Os arranjos simples de 3 elementos tomados 2 a 2 são: 
Arranjo Completos
a
b
c
c
b
c
a
b
a
a
b
c
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Seção 7
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Quantas “palavras” de 5 letras podemos formar com as 10 primeiras letras do alfabeto?
Quantos números naturais de 4 algarismos apresentam algarismos repetidos?
Arranjos Completos - Exercícios
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Seção 7
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1)	Quantas “palavras” de 5 letras podemos formar com as 10 primeiras letras do alfabeto?
Solução
“Palavras” com letras repetidas ou não.
A ordem das letras diferencia a “palavra”.
Arranjos Completos - Exercícios
2012/2
Seção 7
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2)	Quantos números naturais de 4 algarismos apresentam algarismos repetidos?
Solução
Os números naturais de 4 algarismos são arranjos completos dos dez dígitos, tomados 4 a 4, não tendo zero no algarismo mais significativo:
Os números naturais de 4 algarismos sem repetição são arranjos
simples dos dez dígitos, tomados 4 a 4, não tendo zero no algarismo mais significativo:
Os números naturais de 4 algarismos com algarismos repetidos é dado por: 
Arranjos Completos - Exercícios
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Seção 7
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Seja o conjunto
Chama-se Combinação Completa dos n elementos de B, tomados p a p , todo conjunto formado por p elementos de B, repetidos ou não.
Combinações Completas
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Seção 7
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Dado o conjunto F={ a,b,c,d }, as combinações completas que podemos formar com os elementos de F tomados 2 a 2 são: 
Combinações Completas - Exemplo
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Seção 7
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Determine o número soluções da equação.
Combinações Completas - Exemplos
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Seção 7
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De quantos modos podemos colocar 50 alunos em 3 salas de aula?
De quantos modos podemos dividir 40 moedas de um real entre 4 alunos?
Combinações Completas - Exercícios
2012/2
Seção 7
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1)	De quantos modos podemos colocar 50 alunos em 3 salas de aula?
Solução
O que desejamos é saber quantos alunos colocaremos em cada uma das salas ( ).
Sendo 
Combinações Completas - Exercícios
2012/2
Seção 7
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2)	De quantos modos podemos dividir 20 moedas de um real entre 4 alunos?
Solução
O que desejamos é saber quantas moedas daremos a cada aluno ( ).
Sendo 
Combinações Completas - Exercícios
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CD-ROM do Livro-texto 1 – Matemática I
Capítulo 11 – Combinatória
Exercícios
Exercício Conceitual
Exercícios
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