CalcII_mod05

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Cálculo II
INTEGRAL DEFINIDA
O CONCEITO DE ÁREA
O MÉTODO DA EXAUSTÃO 
NO CÁLCULO DAS ÁREAS
A DEFINIÇÃO DA 
INTEGRAL DEFINIDA
CALCULANDO UMA 
INTEGRAL DEFINIDA
APRESENTAÇÃO
Olá aluno(a), neste módulo você vai conhecer a Integral Definida, sua definição e suas propriedades.
Você vai conhecer também um importante teorema chamado de Teorema Fundamental 
do Cálculo, cuja aplicação tornou o processo de calcular a integral definida, uma tarefa 
mais simples.
Portanto, com a aplicação deste teorema, você vai facilmente calcular as integrais definidas.
É importante que você saiba que a integral definida é uma poderosa ferramenta de cálculo 
com uma variedade de aplicações tanto na Engenharia quanto nas Ciências de uma 
maneira geral.
Apenas para mencionar algumas aplicações, a integral definida nos permite calcular áreas, 
volumes, comprimentos de curvas, probabilidades, centroides de sólidos e seções planas 
e até mesmo forças que atuam nas comportas de uma represa.
Mas antes de conhecer tais aplicações é necessário que você compreenda bem o que é 
uma integral definida e também que saiba calculá-la.
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
Ao final deste módulo, você será capaz de:
• Analisar o conceito de área
• Conhecer e aplicar o método da exaustão no cálculo das áreas
• Compreender a definição da integral definida
• Calcular uma integral definida
FI
CH
A
 T
ÉC
N
IC
A FUMEC VIRTUAL - SETOR DE 
EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
Gestão Pedagógica
Coordenação
Gabrielle Nunes P. Araújo
Transposição Pedagógica
Flávia Juliana da Silva
Produção de 
Design Multimídia
Coordenação
Rodrigo Tito M. Valadares
Design Multimídia
Nathan Ackerman Chagas de Souza
Raphael Gonçalves Porto Nascimento
Infra-Estrututura e Suporte
Coordenação
Anderson Peixoto da Silva
AUTORIA DA DISCIPLINA 
Profa. Dayse Magda Fialho Sodré
Prof. Renaldo Sodré
BELO HORIZONTE - 2013
INTEGRAL DEFINIDA
Definição de Área como um limite
Na antiguidade, os matemáticos conheciam as fórmulas para as áreas de polígonos como 
quadrados, retângulos, triângulos e trapézios. 
Mas como eles calculavam a área de regiões de contornos curvilíneos, 
como por exemplo, o círculo?
É creditado ao matemático grego Arquimedes o procedimento para o cálculo dessas 
áreas, mais tarde denominado Método da Exaustão.
Este método consistia em dividir a região a ser calculada em polígonos regulares.
Obviamente a precisão do cálculo estava diretamente ligada ao maior número de divisões, 
daí a origem do nome Método da Exaustão.
Veja por exemplo, como era feito o cálculo da área de um círculo por este método.
Integral Definida 97
O círculo era dividido em um polígono regular de “n” lados, conforme figura 1.
FIGURA1 – Círculo com polígono circular inscrito
 Cálculo A – Diva Flemming
r r
In
hn
FIGURA 2 – Triângulo de altura hn e base In
Cálculo A – Diva Flemming
A área do polígono chamaremos de An, a área do triângulo chamaremos de AT e o períme-
tro do polígono de Pn.
Como sabemos que a área do triângulo é base vezes altura dividido por dois, observe na 
figura 2 que 
.
2
n n
T
l hA =
Então, a área do polígono (An) será igual ao somatório das áreas dos “n” triângulos, ou seja:
..
2
n n
n
l hA n= (1)
Como o perímetro do polígono (Pn) é igual à soma dos n lados iguais temos:
 . nn n
n
PP n l n
l
= ∴ =
 
Substituindo o valor de n em (1), podemos escrever:
. ..
2 2
n n n n n
n
n
P l h P hA
l
= =
Observe que quanto maior for o número de lados do polígono, mais a sua área se aproxi-
ma da área do círculo, não é verdade?
Em linguagem matemática, estaremos fazendo n tender ao infinito, com isso, o perímetro 
Pn se aproxima do comprimento do círculo, ou seja, 2nP rπ= . A altura hn do triângulo 
se aproxima do comprimento do raio do círculo.
Assim, a área do círculo = 2
2 .lim
2nn
r rA rπ π
→∞
= =
Viu aluno(a), como era trabalhoso calcular a área de um círculo?
Integral Definida98
Utilizando o Método da Exaustão, vamos calcular agora a área da região R delimitada 
superiormente pelo gráfico da função f (x) contínua e não negativa, inferiormente pelo 
eixo x e lateralmente pelas retas verticais x = a e x = b, conforme a figura 3.
a b
y=f (x)
y
x
R
FIGURA 3 - Região R 
Para isso, dividiremos a região da figura 3 em um número finito de retângulos.
Para a construção dos retângulos, dividiremos o intervalo [a, b] em n subintervalos, 
escolhendo pontos tais que:
0 1 2 1i i na x x x x x x b−= < < <…< < <…< =
A largura do primeiro subintervalo [ 0, 1x x ] é indicada por ix∆ . A largura do segundo inter-
valo [ 1, 2x x ], por 2x∆ e a largura do i-ésimo subintervalo é 1 .i i ix x x −∆ = −
Esses subintervalos não terão necessariamente a mesma largura, mas se tiverem, a largura 
x∆ será igual a b a
n
− .
O próximo passo é escolher um ponto ix C= em cada subintervalo, construindo um 
retângulo vertical que tem a base no eixo x e toca a curva em ( )( ,i iC f C ).
Observe na figura 4 que podemos dividir a região R em n retângulos com área ( ). iCif x∆ .
y=f (x)y
x
1x∆ 2x∆ ix∆ nx∆
1x 2x2c1c0x i-1x ic ix n-1x nc nx b
1 1(c , (c ))f
i i(c , (c ))f
n n(c , (c ))f
2 2(c , (c ))f
FIGURA 4 - Região R dividida em retângulos
Integral Definida 99
Vamos agora somar as áreas dos n retângulos, assim:
( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2. . . .n i i n nS f c x f c x f c x f c x= ∆ + ∆ +…+ ∆ +…+ ∆
Frequentemente usamos a notação somatória (notação sigma) para escrever somas de 
muitos termos de maneira mais compacta.
Então a soma acima pode ser escrita assim:
( )
1
.
n
n i i
i
S f c x
=
= ∆∑
ATENÇÃO
Esta soma é chamada de soma de RIEMANN em homenagem ao 
matemático alemão Bernhard Riemann, que promoveu a precisão 
da teoria dos limites de aproximações finitas que é fundamental 
para a teoria da Integral Definida.
Observe caro(a) aluno(a), que quanto maior for o número de retângulos, mais a área Sn se 
aproxima da área da região R, que será denotada por A.
Matematicamente falando, devemos fazer o número n, que é o número de partições, 
tender ao infinito, consequentemente ix∆ tenderá a zero.
Assim: 
( )
max 0
1
lim
i
n
i ix
i
A f c x
∆ →
=
= ∆∑
Na fórmula acima, imax x∆ refere-se ao subintervalo de maior largura que é chamado de 
Norma da Partição. Se a norma da partição tende a zero, todos os outros subintervalos 
também tenderão, já que possuem menor largura.
Agora, já estamos aptos a definir formalmente a Integral Definida. 
Sem perda de tempo, vamos lá!
Integral Definida
Definição: Dizemos que uma função f é integrável em um intervalo fechado finito [a, b], 
se o limite ( )max 0
1
lim
i
n
i ix
i
f c x
∆ →
=
∆∑ existir e não depender da escolha das partições ou da 
escolha dos pontos xi nos subintervalos. 
Nesse caso, denotamos o limite pelo símbolo:
( ) ( )
max 0
1
lim
i
b n
i ix
ia
f x dx f c x
∆ →
=
= ∆∑∫
Integral Definida100
que é denominado integral definida de f, de a até b. Os números a e b são denominados 
limite de integração inferior e limite de integração superior, respectivamente, e f (x) é 
denominado integrando.
Observe caro(a) aluno(a), que para facilitar o entendimento da definição da Integral 
Definida, consideramos f uma função positiva em [a, b].
Portanto, neste caso, o resultado da integral ( )
b
a
f x dx∫ corresponde à área da região R.
Será que o valor de uma Integral Definida corresponderá sempre ao 
valor da área de uma região?
Nem sempre! Veja o gráfico da figura 5:
y
xa
b
ic
i i(c , (c ))f
i i(c , (c ))f
ix∆
ic
ix∆
FIGURA 5 - Região positiva e negativa
Se a função assumir valores positivos e negativos no intervalo [a, b], então o limite:
( )
max0
1
lim
i
n
i ix
i
f c x
∆ →
=
∆∑
não mais representa a área entre a curva y = f (x) e o eixo x, no intervalo [a, b].
O limite representa agora, uma diferença de áreas, a área acima do eixo x (área azul) 
menos a área abaixo do eixo x (área vermelha1).
Como já vimos, a área da região acima do eixo x terá um resultado positivo.
A área da região abaixo do eixo x terá um resultado negativo, pois a altura do retângulo 
( )if c é uma ordenada negativa.
Assim, 
( ) ( ) 1 2max 0
1
lim
i
b n
i ix
ia
f x dx f c x A A
∆ →
=
= ∆ = −∑∫
1 área escura
Integral Definida 101
Veja a figura 6:
y
xa
b
A1
-
+
A2
FIGURA 6 - Área líquida com sinal
A área líquida com sinal pode assumir valores positivos se a região azul for maior que a 
região vermelha (área escura), ou valores negativos, caso contrário. 
E poderá ainda ser igual à zero, se as duas regiões forem iguais.
ATENÇÃO
Portanto aluno(a), quando a função f for somente positiva é que podemos dizer que a integral 
( )
b
a
f x dx∫f (x) dx corresponde à área da região. Caso contrário, o resultado será uma área líquida com sinal.
Chegou a hora de calcular a Integral Definida!
Calcular uma integral definida usando a definição, ou seja, o limite das somas de Riemann 
é um processo trabalhoso e muitas vezes impossível.
Por isso, vamos substituir esta operação por um método de cálculo mais simples.
Então, será necessário formalizar algumas propriedades e teoremas relativos à Integral Definida.
Propriedades da Integral Definida
Quando f e g são funções integráveis no intervalo [a, b], a integral definida satisfaz às 
seguintes propriedades do quadro abaixo:
1 - Ordem de integração : ( ) ( )
a b
b a
f x dx f x dx= −∫ ∫
2 - Intervalo de largura zero: ( ) 0
a
a
f x dx =∫
3 - Multiplicação por constante: ( ) ( )
b b
a a
Kf x dx K f x dx=∫ ∫
4 - Soma e diferença: ( ) ( )( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx± = ±∫ ∫ ∫
5 - Aditividade: ( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx= +∫ ∫ ∫
Integral Definida102
TOME NOTA
As demonstrações destas propriedades, você poderá consultar nos livros indicados na bibliografia.
Veja os desenhos a seguir, que ilustram as propriedades 2 e 5.
a
y=f (x)y
x
FIGURA 7 - Propriedade 2 - Intervalo de largura zero
( ) 0
a
a
f x dx =∫
a bc
y=f (x)
y
x
FIGURA 8 - Propriedade 5 - Aditividade
( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx= +∫ ∫ ∫
Conhecidas as propriedades da Integral Definida, vamos agora à 
demonstração do teorema mais importante do cálculo integral, 
chamado Teorema Fundamental do Cálculo, apresentado a seguir.
Integral Definida 103
Teorema Fundamental do Cálculo
Você observará que a demonstração deste teorema vai relacionar a integração e a diferenciação.
Sendo assim, podemos calcular integrais definidas mais facilmente por meio de uma 
primitiva da função integrando em substituição ao limite das somas de Riemann.
Demonstração do teorema Fundamental do Cálculo
Seja y = f (x), uma função não negativa e continua no intervalo [ ,a b ].
A região delimitada pelo gráfico da curva f (x), o eixo x, no intervalo de [ ,a x ], será uma 
função de x, que denotaremos por A(x) conforme a figura 9
a bx
y=f (x)
y
x
A( )x
FIGURA 9 - A(x) = Área de a a x
Vamos dar a x um acréscimo x∆ .
Consequentemente a área será aumentada de A∆ .
a bx x+∆x
∆x
y=f (x)
y
x
A∆A( )x
FIGURA 10 - ∆A = Acréscimo da área
Integral Definida104
Construiremos agora dois retângulos MNRP e MNQS
a
M N
P R
S Q
bx x+∆x
f(x+∆x)
f(x)
∆x
y=f (x)
y
x
A∆A( )x
FIGURA 11 - Área dos retângulos
Pela figura 11, podemos escrever a seguinte desigualdade:
Área do retângulo MNRP A≤∆ ≤ Área do retângulo MNQS ou
( ) ( ). . f x x A f x x x∆ ≤ ∆ ≤ + ∆ ∆ dividindo por x∆ , 
( ) ( )Af x f x x
x
∆
≤ ≤ + ∆
∆
Façamos x∆ tender a zero, ou seja, vamos calcular o limite 0x∆ → de cada termo:
( ) ( )
0 0 0
lim lim lim
x x x
Af x f x x
x∆ → ∆ → ∆ →
∆
≤ ≤ + ∆
∆
Ao calcular este limite, você pode perceber que ( )f x permanece fixo e que ( )f x x+ ∆ 
tenderá ao mesmo valor de ( )f x , portanto será este o resultado:
 
( ) ( )
0
lim
x
Af x f x
x∆ →
∆
≤ ≤
∆
Aplicando o teorema da compressão do limite que diz que se duas funções tendem ao 
mesmo limite em um ponto, qualquer outra função que possa estar entre as duas anterio-
res terá o mesmo limite no ponto, conforme abaixo: 
Integral Definida 105
IMPORTANTE
Teorema da Compressão
Se ( ) ( ) ( )g x f x h x≤ ≤ quando x está próximo de a (exceto possivelmente em a) e 
( ) ( ) ( )lim lim lim
x a x a x a
g x f x h x
→ → →
≤ ≤ , 
se ( ) ( )
 
 lim lim 
x ax a
se g x h x L
→→
= =
então, ( )lim
x a
L f x L
→
≤ ≤ , 
assim ( )lim 
x a
f x L
→
=
a
f(x)
g(x)
h(x)
L
y
x
Assim,
( )
0
lim
x
A f x
x∆ →
∆
=
∆
Você conhece do cálculo diferencial que a definição da derivada de uma função é o limite
( ) ( ) ( )
0 0
lim lim '
x x
A x x A xA A x
x x∆ → ∆ →
+ ∆ −∆
= =
∆ ∆
, ou seja,
este é o limite que define a derivada da função área, denotada por A(x).
Assim, ( ) ( )A x f x′ = .
Veja aluno(a) que interessante, ficou demonstrado que a derivada da 
função área (A'(x)) é definida pela mesma equação da curva f (x), que 
delimita superiormente a região.
No módulo em que tratamos da Integral Indefinida, foi mostrado que conhecida a derivada, 
podemos por integração determinar a equação da função, também chamada de primitiva.
Então, para se chegar a função ( )A x , vamos integrar a sua derivada. Assim,
( ) ( ) ( )A x A x dx f x dx′= =∫ ∫
Considerando a equação F (x) + C como a primitiva de ( )f x , temos:
( ) ( ) ( )A x f x dx F x C= = +∫
Integral Definida106
Desta maneira, encontraremos uma solução geral para o problema, isto é, uma família 
de curvas:
( ) ( )A x F x C= + solução geral
Para determinar a solução particular, ou seja, a equação específica para a área definida a 
partir da ordenada fixa ( )f a , temos que considerar ( ) 0A a = .
Você pode perceber que ( ) 0A a = na figura 12 ou mesmo considerar a propriedade 2 
da integral definida (página 120) 
( ) ( ) 0
a
a
A a f x dx= =∫
.
Substituindo x a= na solução geral, vamos calcular o valor da constante de integração:
( ) ( ) ( ) ( )A a F a C C A a F a= + ∴ = −
Como ( ) ( )0, A a C F a= = −
Substituindo o valor de C na solução geral, determinaremos a solução particular, isto é, a 
equação da função área da região:
( ) ( ) ( )A x F x F a= − solução particular
a bx
y=f (x)
y
x
A( ) F( ) F( )x x a= −
( )f a
FIGURA 12 - Função área
Substituindo o valor de x = b na equação, calcularemos a área da região sob o gráfico 
de f no intervalo [a, b],
( ) ( ) ( )A b F b F a= − o que implica:
( ) ( ) ( ) ( )
b
a
A b f x dx F b F a= = −∫
Esta equação revela que, se pudermos achar uma primitiva ou antiderivada de f (x), pode-
mos utilizá-la para calcular a integral definida ( )
b
a
f x dx∫ .
Integral Definida 107
Este resultado constitui o Teorema Fundamental do Cálculo.
Teorema: Se f (x) for contínua em [a, b], então ( ) ( ) ( )
b
a
f x dx F b F a= −∫
Onde F (x) é qualquer antiderivada de f (x), isto é, uma função tal que
( ) ( )F x f x′ =
Para facilitar a aplicação deste teorema vamos utilizar a seguinte notação:
( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a = = − ∫
Desta maneira, para calcular a integral definida de f (x) em um intervalo [a, b], precisamos 
fazer apenas duas coisas:
1- Determinar uma primitiva F (x) de f (x), ou seja, calcular a integral indefinida 
( ) ( )f x dx F x=∫ ,podendo omitir a constante de integração C.
2- Calcular o número ( ) ( )F b F a− , ou seja, substituir em F (x) os valores do limite 
superior b e do limite inferior a.
Antes da aplicação do teorema na solução das integrais definidas cabem os seguintes 
comentários:
- Este processo é mais eficiente e mais fácil do que usar o cálculo do limite da soma 
de Riemann.
- Para estabelecer o Teorema Fundamental do Cálculo, consideramos f (x) uma função 
positiva no intervalo [a, b]. Desta forma, o resultado encontrado foi definido como uma área.
- Com o Teorema Fundamental do Cálculo, a definição pode ser estendida a funções 
negativas em todo intervalo [a, b] ou parte dele. Nestes casos, o resultado da integral 
definida corresponderá à área líquida com sinal, assunto já mencionado anteriormente.
- Tenha em mente que as integrais definidas não representam necessariamente áreas, 
podendo ser negativas, zero ou positivas.
- É importante distinguir uma integral indefinida de uma integral definida. O resultado 
obtido na integração indefinida ( )f x dx∫ é uma família de curvas enquanto que 
na integral definida ( )
b
a
f x dx∫ , o resultado é um número.
Cálculo da Integral Definida
Chegou a hora caro(a) aluno(a), de calcularmos uma integral definida.
Iniciaremos o processo calculando a integral indefinida, cujo resultado é uma primitiva.
Na sequência, vamos substituir os limites de integração conforme recomendado pelo 
Teorema Fundamental do Cálculo.
Integral Definida108
Vamos aos exemplos?
Exemplos: Calcule as integrais definidas:
a) 
1
3
0
(2 2 3)x x dx− +∫
Calculando a integral indefinida:
3 3(2 2 3) 2 2 3x x dx x dx xdx dx− + = − +∫ ∫ ∫ ∫
4 2
3 2 2(2 2 3) 3
4 2
x xx x dx x C− + = − + +∫
4
3 2(2 2 3) 3
2
xx x dx x x C− + = − + +∫
Então, ( )
4
2 3 
2
xF x x x= − + é uma primitiva de ( ) 3 2 2 3f x x x= − + .
Antes de prosseguir, vamos lembrar da expressão que vai nos auxiliar no cálculo da 
integral definida:
( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a = = − ∫
E agora, aplicando os limites de integração, temos:
1 4
3 2 1
0
0
(2 2 3) [ 3 ]
2
xx x dx x x− + = − +∫
Substituindo x = 1 e x = 0 no resultado da integral:
( ) ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ( )
4 41
2 23
0
1 0
(2 2 3) 1 3. 1 0 3 0
2 2
x x dx
 
− + = − + − − + = 
  
∫ [ ]
1 51 3 0
2 2
 − + − =  
b) 
2
2
1
2
1
xdx
x +∫
Calculando a integral indefinida, fazemos a substituição:
2 1 2f x df xdx= + → =
Assim: 22
2 1
1
xdx df lnf C ln x C
x f
= = + = + +
+∫ ∫
Calculando a integral definida:
( ) ( )
2 2 2 22
2 1
1
2 51 2 1 1 1 5 2
1 2
xdx ln x ln ln ln ln ln
x
 = + = + − + = − = +∫
RECAPITULANDO
Você se lembra de uma das propriedades do logaritmo que garante:
 alna lnb ln
b
− =
Integral Definida 109
c) 
3
0
1x dx+∫
Resolvendo a integral indefinida, podemos reescrevê-la assim:
( )1/21x dx+∫
1f x df dx= + → =
Substituindo:
( ) ( )
3 31 2 2 11
31 3
2
n
n xxff df C
n
+ ++
= = = +
+∫
Agora, basta substituir os limites de integração:
( ) ( )
3
33 3 3 3 3
0
0
2 2 2 2 21 [ ( 1) ] [ 3 1] 0 1 4 1
3 3 3 3 3
x dx x  + = + = + − + = − ∫
2 2.8
3 3
= −
14
3
=
d) 
2
0
cosxdx
π
∫
Utilizando a tabela de integrais:
cosxdx senx C= +∫
Substituindo os limites de integração:
2
2
0
0
[ ]cosxdx senx
π
π
=∫
0
2
sen senπ= −
1 0= −
1=
e) 
0
xsenxdx
π
∫
Resolvendo a integral indefinida usando o método da integração por partes, temos:
u x du dx= → =
dv senxdx v senxdx cosx C= → = = − +∫
Integral Definida110
Assim, substituindo na fórmula: udv uv vdu= −∫ ∫ , temos:
( )xsenxdx x cosx cosxdx= − − −∫ ∫
xcosx cosxdx= − + ∫
xcosx senx C= − + +
Substituindo os limites de integração:
0
0
[ ]senxdx xcosx senx
π
π= − +∫
[ ] [ ]0. 0 0cos sen cos senπ π π= − + − +
( ) [ ]1 0 0π = − − + − 
π=
Como você viu, caro(a) aluno(a), o cálculo de uma integral definida não é uma tarefa difícil. 
Os exemplos a seguir foram propostos para que você compreenda melhor o significado do 
resultado de uma integral definida.
É importante lembrar que uma integral definida pode ser representada geometricamente 
por uma região delimitada pelo gráfico de ( )f x , o eixo x, no intervalo [a, b], como o 
exemplo da figura 13.
a
b
f (x)
y
x
FIGURA 13 - Representação geométrica da integral definida
Vamos aos exemplos:
Esboce a região cuja área está representada pela integral definida. Calcule a integral e 
confira o resultado usando fórmulas da geometria, quando possível.
a) 
4
1
5dx∫
Esboço da região:
Observe os dados: ( ) 5f x = (função constante)
1 a = e 4b =
Portanto, devemos construir o gráfico da função ( ) 5f x = e em seguida demarcar os 
limites de integração 1 a = e 4b = , como se segue:
Integral Definida 111
1 4
5
f (x)=5
y
x
Cálculo da integral definida:
4
1
5dx∫
Calculando a integral indefinida:
5 5 5dx dx x C= = +∫ ∫
Substituindo os limites de integração:
[ ] ( ) ( ) [ ] [ ]
4
4
1
1
5 5 5. 4 5. 1 20 5 15dx x    = = − = − =   ∫
Como você pode perceber, o resultado da integral definida neste caso, corresponde ao 
valor da área da região do retângulo.
Conferindo o resultado:
Podemos conferir o resultado com o uso da fórmula da área do retângulo .A b h= 
(base x altura)
3.5 15A = =
b) ( )
3
1
2x dx
−
+∫
Esboço da região
( ) 2f x x= + (função linear)
1 a = − e 3b =
-1 3
f (x)=x+2
y
x
Cálculo da integral definida:
( )
3
1
2x dx
−
+∫
Integral Definida112
Calculando a integral indefinida:
( )
2
2 2 2
2
xx dx xdx dx x C+ = + = + +∫ ∫ ∫
Substituindo os limites de integração:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 23 2
3
1
1
3 1
2 [ 2 ] 2 3 2 1
2 2 2
xx dx x −
−
   −
+ = + = + − + −   
      
∫
 
9 16 2
2 2
   = + − −      
21 3
2 2
   = − −      
21 3
2 2
= +
12=
O resultado desta integral definida também corresponde ao valor de uma área, neste caso, 
a área de um trapézio.
Conferindo o resultado:
A fórmula da área do trapézio é 
( )
2
B b h
A
+
=
B= base maior, é o valor de y para x = 3:
( )3 5f =
b= base menor, é o valor de y para x = –1:
( )1 1f − =
h= altura do trapézio que em valor absoluto é igual a 4
então, 
( )5 1 .4 12
2
A
+
= =
c) 
3
0
2xdx−∫
Esboço da região:
( ) 2f x x= −
0 a = e 3b =
0
3
f (x)=-2x
y
x
Integral Definida 113
Cálculo da integral definida:
3
0
2xdx−∫
. 
Calculando a integral indefinida:
2
222
2
xxdx C x C−− = + = − +∫
Substituindo os limites de integração:
( ) ] [ ( )
3
2 22 3
0
0
2 [ ] [ 3 0 ] 9 0xdx x− = − = − − − = − +∫
9= −
Observe, aluno(a), que o resultado da integral definida corresponde ao valor negativo da área.
Conferindo o resultado:
Neste caso, temos um triângulo cuja área é: 
.
2
b hA =
b= base que é igual a 3
h= altura que é o valor de y em valor absoluto para x = 3
( )3 6f = − , então, 6h =
Assim, o valor da área na região proposta é:
3.6 9
2
A = =
d) ( )
3
2
1x dx
−
−∫
Esboço da região:
( ) 1f x x= −
2 a = − e 3b =
31
-2
f (x)=x-1
y
x
Integral Definida114
Cálculo da integral definida:
( )
3
2
1x dx
−
−∫
Calculando a integral indefinida:
( )
2
1
2
xx dx xdx dx x C− = − = − +∫ ∫ ∫
Substituindo os limites de integração:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 23 2
3
2
2
3 2
1 [ ] 3 2
2 2 2
xx dx x −
−
   −
− = − = − − − −   
      
∫
9 43 2
2 2
   = − − +      
3 42
= −
5
2
−
=
IMPORTANTE
Neste caso, o resultado da integral corresponde ao valor da área líquida com sinal.
O fato de o resultado ser negativo, quer dizer que a região que está abaixo do eixo das abscis-
sas, é maior que a região que está acima do eixo das abscissas.
Caso aconteça o contrário, o valor da área liquida com sinal será positivo.
Cálculo da área:
Como você pode perceber no gráfico, a área total será a soma da área dos dois triângulos. 
Como a altura do triângulo vermelho (área escura) é igual a 3 e a base é igual a 3, a área é:
3.3 9
2 2
A = =
A altura do triângulo amarelo (área clara) é 2 e a base é 2, assim:
2.2 4 2
2 2
A = = =
E a área total:
9 132
2 2T
A = + =
e) 
2
0
senxdx
π
∫
Integral Definida 115
Esboço da região:
( )f x senx=
0 a = e 2b π=
0
f (x)=senx
y
x
2π
Cálculo da integral definida:
2
0
senxdx
π
∫
Calculando a integral indefinida:
senxdx cosx C= − +∫
Substituindo os limites de integração:
[ ] [ ]
2
2
0
0
[ ] 2 0senxdx cosx cos cos
π
π π= − = − − −∫
[ ] [ ]1 1= − − −
1 1= − +
0=
Naturalmente você entendeu por que este resultado foi igual a zero, não é?
Observe que as áreas se equivalem, ou seja, a região abaixo do eixo x é igual à região 
acima do eixo x.
Não vamos conseguir neste caso, o cálculo da área por geometria, porque as regiões não 
constituem figuras geométricas de fórmulas conhecidas.
Então caro(a) aluno(a), espero que tenha compreendido e assimilado 
os conceitos apresentados neste módulo.
Os exemplos dados foram básicos, mas suficientes para que 
você tenha condições de desenvolver habilidades para resolver as 
atividades de fixação, as atividades avaliativas e outros exercícios que 
eventualmente você buscará nos livros de Cálculo. 
Boa sorte!
Integral Definida116
117
Síntese
Querido(a) aluno(a), neste módulo foi apresentado a você a forma como os antigos mate-
máticos calculavam áreas de regiões delimitadas por fronteiras curvilíneas. O processo era 
denominado Método da Exaustão.
Foi mostrado também o conceito da soma de Riemann que foi um matemático alemão que 
promoveu a precisão da teoria dos limites de aproximações finitas.
A partir da soma de Riemann você pôde compreender o conceito da integral definida.
Conhecemos também o Teorema Fundamental do Cálculo, que estabelece uma forte 
conexão entre as integrais definidas e as antiderivadas.
E vimos que com a aplicação deste teorema, uma integral definida pode ser calculada de 
maneira rápida e simples.
Para o cálculo das integrais definidas propostas neste módulo, você pôde perceber que 
necessitamos calcular as antiderivadas, ou seja, as integrais indefinidas.
Para estes cálculos, utilizamos as técnicas de integração aprendidas até aqui. Novas técni-
cas serão apresentadas a você em módulos posteriores.
Bons estudos e até lá!
Referências Básicas
FLEMMING, D. M. e GONÇALVES, M. B. – Cálculo A. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006.
THOMAS, G. B. – Cálculo - Volume 1. São Paulo: Addison Wesley, 2002.
ANTON, H., BIVENS, I. e DAVIS, S. – Cálculo – Volume 1. Porto Alegre: Bookman, 2007.
Referências Complementares
BOULOS, Paulo – Introdução ao Cálculo – Volume 1, Cálculo Diferencial. São Paulo: Blücher, 1988.
LEITHOLD, L. – O Cálculo com Geometria Analítica – Volume 1. São Paulo: Harbra Ltda, 1994.
LARSON, R. E., HOSTETLER, R. P. e EDWARDS, B. H. – Cálculo e Geometria Analítica – Volume 1. USA: LTC, 2006.
SIMMONS G. F. – Cálculo com Geometria Analítica – Volume 1. São Paulo: Makron Books, 1987.
SWOKOWISKI, Earl William – Cálculo com Geometria Analítica – Volume 1 - 2. São Paulo: Makron Books, 1995.