ALGEBRA LINEAR EXERCICIOS
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ALGEBRA LINEAR EXERCICIOS


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Marília Brasil Xavier 
REITORA 
 
 
 
 
Prof. Rubens Vilhena Fonseca 
COORDENADOR GERAL DOS CURSOS DE MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATERIAL DIDÁTICO 
 
 
EDITORAÇÃO ELETRONICA 
Odivaldo Teixeira Lopes 
 
 ARTE FINAL DA CAPA 
Odivaldo Teixeira Lopes 
 
 
 
REALIZAÇÃO 
 
 
 
 
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) 
 
F676a Fonseca, Rubens Vilhena 
Álgebra linear / Rubens Vilhena Fonseca \u2013 Belém: 
UEPA / Centro de Ciências Sociais e Educação, 2011. 
148 p.; iI. 
 
ISBN: 978-85-88375-58-1 
 
1.Álgebra linear. I. Universidade Estadual do Pará. 
II. Título. 
 CDU: 512.64 
CDD: 512.5 
Índice para catálogo sistemático 
1. Álgebra Linear: 512.64 
 
 
 
 
 
 
Belém - Pará - Brasil 
- 2011 - 
 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
 
 
 
Capítulo 1 \u2014 ESPAÇOS VETORIAIS 
 
 
 Espaço vetorial real 7 
 Propriedades dos espaços vetoriais 11 
 Subespaços vetoriais 11 
 Combinação linear de vetores 16 
 Subespaço vetorial gerado 19 
 Espaços vetoriais finitamente gerados 22 
 Dependência e independência linear 23 
 Baseedimensão 28 
 Componentes de um vetor 33 
 Mudança de base 34 
 
 
Capítulo 2 - ESPAÇOS VETORIAIS EUCLIDIANOS 
 
 
 Produto interno em espaços vetoriais 40 
 Espaço vetorial euclidiano 43 
 Módulo de um vetor 43 
 Ângulo de dois vetores 46 
 Distância entre dois vetores 49 
 Vetores ortogonais 49 
 Conjunto ortogonal de vetores 50 
 Base ortogonal 51 
 
 
Capitulo 3 - TRANSFORMAÇÓES LINEARES 
 
 
 Funções vetoriais 62 
 Transformações lineares 63 
 Núcleo de uma transformação linear 71 
 Imagem de uma transformação linear 72 
 Propriedades do núcleo e da imagem 74 
 Matriz de uma transformação linear 77 
 Operações com transformações lineares 82 
 Transformações lineares planas 85 
 
 
 
 
 
Capitulo 4 - OPERADORES LINEARES 
 
 
 Operadores lineares 101 
 Operadores inversiveis 101 
 Matrizes semelhantes 104 
 Operador ortogonal 107 
 Operador simétrico 112 
 
 
Capítulo 5 - VETORES PRÓPRIOS E VALORES PRÓPRIOS 
 
 
 Vetor próprio e valor próprio de um operadot linear 114 
 Determinação dos valores próprios e dos vetores próprios 117 
 Propriedades dos valores próprios e dos vetores proprios 122 
 Diagorialização de operadores 123 
 Diagonalização de matrizes simétricas \u2014 Propriedades 128 
 
 
Capítulo 6 - SIMPLIFICAÇÃO DA EQUAÇÃO GERAL DAS CÔNICAS 
 
 
 Cônicas 132 
 Simplificação da equação geral das cônicas 132 
 Classificação das conicas 135 
 
 
 
 
 
7 
Capítulo 1 
 
 
ESPAÇOS VETORIAIS 
 
 
 
1.1 \u2013 ESPAÇO VETORIAL REAL 
 
 
 Seja um conjunto V, não vazio, sobre o qual estão definidas as operações de adição 
e multiplicação por escalar, isto é: 
 
 , V, + V 
 
 IR, V, V 
 
 O conjunto V com estas duas operações é chamado espaço vetorial real se forem 
verificados os seguintes axiomas: 
 
A) Em relação à adição: 
A1) ( + ) + = + ( + ), , , V 
A2) + = + , , , V 
A3) 0 V, V, + 0 = 
A4) V, (- ) V, + (- ) = 0 
 
M) Em relação à multiplicação por escalar: 
M1) ( ) = ( ) 
M2) ( + ) = + 
M3) ( + ) = + 
M4) 1 = 
 para , , IR 
 
\u2022 Os elementos , , , ..., de um espaço vetorial V são denominados vetores. 
 
\u2022 Se a definição de espaço vetorial considerasse como escalares o conjunto C dos 
números complexos, V seria um espaço vetorial complexo. Entretanto, nesta 
INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA LINEAR serão considerados somente espaços 
vetoriais reais. 
 
\u2022 Por ter sido dada a definição de forma genérica, para um espaço vetorial V 
qualquer, ela serve para conjuntos diversos, tais como (o que si verá a seguir) o 
IR
2
,
\u2022 o IR3, o conjunto das matrizes M(m n), etc. Assim, conforme seja o espaço 
vetorial considerado, os vetores terão a natureza dos elementos desse espaço e 
ESPAÇOS VETORIAIS \u2013 Capítulo 1 
 
 
 
8 
os conjuntos correspondentes terão a mesma \u2015estrutura\u2016 em relação às 
operações de adição e multiplicação por escalar. 
 
\u2022 Embora sejam dados exemplos de vários espaços vetoriais, serão examinados, 
de preferência, aqueles cujas aplicações se referem à Geometria Analítica. 
 
 
 
 Exemplos 
1) O conjunto V = IR
2
 ={(x, y) / x, y IR} é um espaço vetoríal com as 
operações de adição e multiplicação por um número real assim 
definidas: 
 
(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) 
 
 (x, y) = ( x, y) 
 
Essas operações são denominadas operações usuais. 
 
Para verificar os oito axiomas de espaço vetorial, sejam = (x1, 
y1), v = (x2, y2) e = (x3, y3). 
 
 A1) ( + ) + = ((x1, y1) + (x2, y2)) + (x3, y3) 
 = ((x1 + x2, y1+y2)) + (x3,y3) 
 = ((x1 + x2) + x3, (y1 + y2) + y3) 
 = (x1 + (x2 + x3), y1 + (y2 + y3)) 
 = (x1, y1) + (x2 + x3, y2 + y3) 
 = (x1, y1) + ((x2, y2) + (x3, y3)) 
 = +( + ) 
 
 A2) + = (x1, y1) + (x2, y2) 
 = (x1 + x2, y1+y2) 
 = (x2 + x1, y2 + y1) 
 = (x2, y2) + (x1, y1) 
 = + 
 A3) 0 = (0, 0) IR
2
, IR
2
, + 0 = (x1, y1) + (0, 0) 
 = (x1 + 0, y1 + 0) 
 = (x1, y1) 
 = 
ESPAÇOS VETORIAIS \u2013 Capítulo 1 
 
 
 
9 
 A4) = (x1, y1) IR
2
, (- ) = (-x1, -y1) IR
2
, 
 + (- ) = (x1, y1) + (-x1, -y1) 
 = (x1 \u2013 x2, y1 \u2013 y1) 
 = (0, 0) = 0 
 M1) ( ) = ( ) (x1, y1) 
 = (( ) x1, ( ) y1) 
 = ( ( x1), ( y1)) 
 = ( x1, y1) 
 = ( (x1, y1)) 
 = ( ) 
 
 M2) ( + ) = ( + ) (x1, y1) 
 = (( ) x1, ( + ) y1) 
 = ( x1 + x1, y1 + y1) 
 = ( x1, y1) + ( x1, y1) 
 = (x1, y1) + (x1, y1) 
 = + 
 
 M3) ( + ) = ((x1, y1) + (x2, y2) 
 = (x1 + x2, y1 + y2) 
 = ( (x1 + x2, (y1 + y2)) 
 = ( x1 + x2, y1 + y2) 
 = ( x1, y1) + ( x2, y2) 
 = (x1, y1) + (x2, y2) 
 = + 
 M4) 1 = 1 (x1, y1) 
 = (1x1, 1y1) 
 = (x1, y1) 
 = 
 
2) Assim como um par ordenado (x1, x2) de números reais representa 
um ponto ou um vetor no IR
2
, e uma terna ordenada (x1, x2, x3) de 
números reais representa um ponto ou um vetor no IR
3
, como se sabe 
da Geometria Analítica, pode-se dizer, estendendo a idéia, embora 
ESPAÇOS VETORIAIS \u2013 Capítulo 1 
 
 
 
10 
sem representação geométrica, que uma quádrupla ordenada de 
números reais (x1, x2, x3, x4) é um ponto ou um vetor do IR
4 
e que 
uma n-upla ordenada de números reais (x1, x2, x3, ..., xn) é um ponto 
ou um vetor do IR
n
. Analogamente, os conjuntos IR
3
, IR
4
, ...,
 
 IR
n 
são também espaços vetoriais com as operações usuais de adição e 
multiplicação por escalar. A verificação dos oito axiomas para esses 
conjuntos é análoga à do IR
2
. 
 
3) O conjunto IR, em relação às operações usuais de adição e de 
multiplicação por escalar é um espaço vetorial. De fato, sabe-se que a 
adição de números reais satisfaz os axiomas A1, A2, A3 e A4 e que, na 
multiplicação, se verificam os axiomas M1, M2, M3 e M4. 
 
4) O conjunto das matrizes M(m, n) com as operações de adição e 
multiplicação por escalar, definidas nos itens A.8 e A.9 do 
APÊNDICE, é um espaço vetorial. Em particular, o conjunto das 
matrizes quadradas Mn é um espaço vetorial em relação às mesmas 
operações. 
 
5) O conjunto IR
2
 = {(a, b) / a, b IR} não é um espaço vetorial em 
relação às operações assim definidas: 
 
(a, b) + (c, d) = (a + c, h + d) 
 
k (a, b) = (ka, b), k IR 
 
Como a adição aqui definida é a usual,