ALGEBRA LINEAR EXERCICIOS
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ALGEBRA LINEAR EXERCICIOS


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Marília Brasil Xavier

REITORA

Prof. Rubens Vilhena Fonseca

COORDENADOR GERAL DOS CURSOS DE MATEMÁTICA

MATERIAL DIDÁTICO

EDITORAÇÃO ELETRONICA

Odivaldo Teixeira Lopes

 ARTE FINAL DA CAPA

Odivaldo Teixeira Lopes

REALIZAÇÃO

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)

F676a Fonseca, Rubens Vilhena

Álgebra linear / Rubens Vilhena Fonseca \u2013 Belém:
UEPA / Centro de Ciências Sociais e Educação, 2011.

148 p.; iI.
ISBN: 978-85-88375-58-1
1.Álgebra linear. I. Universidade Estadual do Pará.

II. Título.
 CDU: 512.64
CDD: 512.5

Índice para catálogo sistemático
1. Álgebra Linear: 512.64

Belém - Pará - Brasil
- 2011 -

SUMÁRIO

Capítulo 1 \u2014 ESPAÇOS VETORIAIS

 Espaço vetorial real 7
 Propriedades dos espaços vetoriais 11
 Subespaços vetoriais 11
 Combinação linear de vetores 16
 Subespaço vetorial gerado 19
 Espaços vetoriais finitamente gerados 22
 Dependência e independência linear 23
 Baseedimensão 28
 Componentes de um vetor 33
 Mudança de base 34
Capítulo 2 - ESPAÇOS VETORIAIS EUCLIDIANOS

 Produto interno em espaços vetoriais 40
 Espaço vetorial euclidiano 43
 Módulo de um vetor 43
 Ângulo de dois vetores 46
 Distância entre dois vetores 49
 Vetores ortogonais 49
 Conjunto ortogonal de vetores 50
 Base ortogonal 51

Capitulo 3 - TRANSFORMAÇÓES LINEARES

 Funções vetoriais 62
 Transformações lineares 63
 Núcleo de uma transformação linear 71
 Imagem de uma transformação linear 72
 Propriedades do núcleo e da imagem 74
 Matriz de uma transformação linear 77
 Operações com transformações lineares 82
 Transformações lineares planas 85

Capitulo 4 - OPERADORES LINEARES

 Operadores lineares 101
 Operadores inversiveis 101
 Matrizes semelhantes 104
 Operador ortogonal 107
 Operador simétrico 112

Capítulo 5 - VETORES PRÓPRIOS E VALORES PRÓPRIOS

 Vetor próprio e valor próprio de um operadot linear 114
 Determinação dos valores próprios e dos vetores próprios 117
 Propriedades dos valores próprios e dos vetores proprios 122
 Diagorialização de operadores 123
 Diagonalização de matrizes simétricas \u2014 Propriedades 128

Capítulo 6 - SIMPLIFICAÇÃO DA EQUAÇÃO GERAL DAS CÔNICAS

 Cônicas 132
 Simplificação da equação geral das cônicas 132
 Classificação das conicas 135

7

Capítulo 1

ESPAÇOS VETORIAIS

1.1 \u2013 ESPAÇO VETORIAL REAL

 Seja um conjunto V, não vazio, sobre o qual estão definidas as operações de adição

e multiplicação por escalar, isto é:

 , V, + V

 IR, V, V

 O conjunto V com estas duas operações é chamado espaço vetorial real se forem

verificados os seguintes axiomas:

A) Em relação à adição:

A1) ( + ) + = + ( + ), , , V

A2) + = + , , , V

A3) 0 V, V, + 0 =

A4) V, (- ) V, + (- ) = 0

M) Em relação à multiplicação por escalar:

M1) ( ) = ( )

M2) ( + ) = +

M3) ( + ) = +

M4) 1 =

 para , , IR

\u2022 Os elementos , , , ..., de um espaço vetorial V são denominados vetores.

\u2022 Se a definição de espaço vetorial considerasse como escalares o conjunto C dos
números complexos, V seria um espaço vetorial complexo. Entretanto, nesta

INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA LINEAR serão considerados somente espaços

vetoriais reais.

\u2022 Por ter sido dada a definição de forma genérica, para um espaço vetorial V
qualquer, ela serve para conjuntos diversos, tais como (o que si verá a seguir) o

IR
2
,

\u2022 o IR3, o conjunto das matrizes M(m n), etc. Assim, conforme seja o espaço
vetorial considerado, os vetores terão a natureza dos elementos desse espaço e

ESPAÇOS VETORIAIS \u2013 Capítulo 1

8

os conjuntos correspondentes terão a mesma \u2015estrutura\u2016 em relação às
operações de adição e multiplicação por escalar.

\u2022 Embora sejam dados exemplos de vários espaços vetoriais, serão examinados,
de preferência, aqueles cujas aplicações se referem à Geometria Analítica.

 Exemplos
1) O conjunto V = IR

2
 ={(x, y) / x, y IR} é um espaço vetoríal com as

operações de adição e multiplicação por um número real assim

definidas:

(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2)

 (x, y) = ( x, y)

Essas operações são denominadas operações usuais.

Para verificar os oito axiomas de espaço vetorial, sejam = (x1,

y1), v = (x2, y2) e = (x3, y3).

 A1) ( + ) + = ((x1, y1) + (x2, y2)) + (x3, y3)

 = ((x1 + x2, y1+y2)) + (x3,y3)

 = ((x1 + x2) + x3, (y1 + y2) + y3)

 = (x1 + (x2 + x3), y1 + (y2 + y3))

 = (x1, y1) + (x2 + x3, y2 + y3)

 = (x1, y1) + ((x2, y2) + (x3, y3))

 = +( + )

 A2) + = (x1, y1) + (x2, y2)

 = (x1 + x2, y1+y2)

 = (x2 + x1, y2 + y1)

 = (x2, y2) + (x1, y1)

 = +

 A3) 0 = (0, 0) IR
2
, IR

2
, + 0 = (x1, y1) + (0, 0)

 = (x1 + 0, y1 + 0)

 = (x1, y1)

 =

ESPAÇOS VETORIAIS \u2013 Capítulo 1

9

 A4) = (x1, y1) IR
2
, (- ) = (-x1, -y1) IR

2
,

 + (- ) = (x1, y1) + (-x1, -y1)

 = (x1 \u2013 x2, y1 \u2013 y1)

 = (0, 0) = 0

 M1) ( ) = ( ) (x1, y1)

 = (( ) x1, ( ) y1)

 = ( ( x1), ( y1))

 = ( x1, y1)

 = ( (x1, y1))

 = ( )

 M2) ( + ) = ( + ) (x1, y1)

 = (( ) x1, ( + ) y1)

 = ( x1 + x1, y1 + y1)

 = ( x1, y1) + ( x1, y1)

 = (x1, y1) + (x1, y1)

 = +

 M3) ( + ) = ((x1, y1) + (x2, y2)

 = (x1 + x2, y1 + y2)

 = ( (x1 + x2, (y1 + y2))

 = ( x1 + x2, y1 + y2)

 = ( x1, y1) + ( x2, y2)

 = (x1, y1) + (x2, y2)

 = +

 M4) 1 = 1 (x1, y1)

 = (1x1, 1y1)

 = (x1, y1)

 =

2) Assim como um par ordenado (x1, x2) de números reais representa

um ponto ou um vetor no IR
2
, e uma terna ordenada (x1, x2, x3) de

números reais representa um ponto ou um vetor no IR
3
, como se sabe

da Geometria Analítica, pode-se dizer, estendendo a idéia, embora

ESPAÇOS VETORIAIS \u2013 Capítulo 1

10

sem representação geométrica, que uma quádrupla ordenada de

números reais (x1, x2, x3, x4) é um ponto ou um vetor do IR
4

e que

uma n-upla ordenada de números reais (x1, x2, x3, ..., xn) é um ponto

ou um vetor do IR
n
. Analogamente, os conjuntos IR

3
, IR

4
, ...,

 IR

n

são também espaços vetoriais com as operações usuais de adição e

multiplicação por escalar. A verificação dos oito axiomas para esses

conjuntos é análoga à do IR
2
.

3) O conjunto IR, em relação às operações usuais de adição e de

multiplicação por escalar é um espaço vetorial. De fato, sabe-se que a

adição de números reais satisfaz os axiomas A1, A2, A3 e A4 e que, na

multiplicação, se verificam os axiomas M1, M2, M3 e M4.

4) O conjunto das matrizes M(m, n) com as operações de adição e

multiplicação por escalar, definidas nos itens A.8 e A.9 do

APÊNDICE, é um espaço vetorial. Em particular, o conjunto das

matrizes quadradas Mn é um espaço vetorial em relação às mesmas

operações.

5) O conjunto IR
2
 = {(a, b) / a, b IR} não é um espaço vetorial em

relação às operações assim definidas:

(a, b) + (c, d) = (a + c, h + d)

k (a, b) = (ka, b), k IR

Como a adição aqui definida é a usual,