ALGEBRA LINEAR EXERCICIOS

E VALORES PRÓPRIOS – Capítulo 5 
 
 
 
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2) Calcular os valores próprios e os vetores próprios da transformação linear f representada pela 
matriz 
 A = 
Solução 
I) A equação característica de A é 
det (A - I) = (1) 
isto é, 
(7 - ) - (-2) + 0 = 0 
(7 - ) [(6 - ) (5 - ) – 4] + 2 [-2 (5 - ) + 0] + 0 = 0 
(7 - ) (6 - ) (5 - ) – 4 (7 - ) – 4 (5 - ) = 0 
(7 - ) (6 - ) (5 - ) – 28 + 4 - 20 + 4 = 0 
(7 - ) (6 - ) (5 - ) – 48 + 8 = 0 
(7 - ) (6 - ) (5 - ) – 8 (6 - ) = 0 
(6 - ) [(7 - ) (5 - ) – 8] = 0 
(6 - ) (35 – 7 - 5 + 2 – 8) = 0 
(6 - ) (
2
 - 12 + 27) = 0 
(6 - ) ( - 3) ( - 9) = 0 
 
 As raízes dessa equção são 1 = 3, 2 = 6 e 3 = 9 e, por conseguinte, são os valores próprios 
de f, ou da matriz A. 
 
 A equação (1) pode ser resolvida, de modo geral, pelo processo apresentado na solução do 
problema 2, item A. 19.1, Apêndice. 
 
 II) O sistema homogêneo de equações lineares que permite a determinação dos vetores 
próprios associados é (A - I) v = 0. Considerando 
 
 v = 
o sistema fica 
 
 (2) 
 i) Substituindo em (2) por 3, obtém-se o sistema 
VETORES PRÓPRIOS E VALORES PRÓPRIOS – Capítulo 5 
 
 
 
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isto é 
 
 
 Esse sistema admite uma infinidade de soluções próprias: y = z = 2x e, portanto, os 
vetores v1 = (x, 2x, 2x) = x (1, 2, 2), x 0, são os vetores próprios associados ao valor próprio 
1 = 3. 
 ii) Substituindo em (2) por 6, obtém-se o sistema 
 
 isto é 
 
 
 Esse sistema admite uma infinidade de soluções próprias: y = -x e z = x. Portanto, os 
vetores v3 = ou v3 = x (2, -2, 1), x 0, são os vetores próprios 
associados ao valor próprio 3 = 9. 
 
3) Determinar os valores próprios e os vetores próprios da matriz 
 A = 
Solução 
I) A equação característica de A é 
det (A - I) = 
Isto é, 
 (-16 - ) (8 – ) + 160 = 0 
 –128 + 16 – 8 + 2 + 160 = 0 
 
2
 + 8 + 32 = 0, 
 
Equação do 2º grau cujas raízes são = -4 4 i, isto é, 1 = 4 + 4i e 2 = 4 – 4 i, e, por 
conseguinte, a matriz A não possui valores próprios nem vetores próprios. 
 
VETORES PRÓPRIOS E VALORES PRÓPRIOS – Capítulo 5 
 
 
 
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 Se na definição de valor próprio de um operador linear f se admitisse qualquer, 
real ou complexo, se poderia dizer que a matriz A possui valores próprios 
complexos e, em conseqüência, vetores próprios de componentes complexas. 
Neste texto se consideram, apenas, valores próprios reais. 
 
 
 
5.3 – PROPRIEDADES DOS VALORES PRÓPRIOS E DOS 
VETORES PRÓPRIOS 
 
 
I) Se é um valor próprio de um operador linear f : V V, o conjunto S de todos os 
vetores v V, inclusive o vetor v = 0, tais que f (v) = v, é um subespaço vetorial de V (S = 
{v / f (v) = v}). De fato, se v1 e v2 S : 
 
f (v1 + v2) = f (v1) + f (v2) = v1 + v2 = (v1 + v2), 
 
e, portanto, (v1 + v2) S . 
 
 Analogamente, verifica-se que v S para todo IR. 
 
 O subespaço S é denominado subespaço associado ao valor próprio . 
 
 No problema 1, por exemplo, viu-se que ao valor próprio = 6 correspondem os 
vetores próprios do tipo v = x (5,2). Assim o subespaço associado a = 6 é. 
 
 S6 = {x (5, 2) / x IR} = [(5, 2)] 
que representa uma reta que passa pela origem do sistema x Ou (Fig. 5.3). 
 
 
 
 II) Matrizes semelhantes têm o mesmo polinômio característico e, por isso, os 
mesmos valores próprios. De fato, sejam f : V V um operador linear e A e B bases de V. 
Tendo em vista que a relação entre matrizes semelhantes é 
 
 TB = Q
-1
TA Q, 
 
 
VETORES PRÓPRIOS E VALORES PRÓPRIOS – Capítulo 5 
 
 
 
123 
Conforme foi visto em 4.3, vem: 
 
 det (TB – I) = det (Q
-1
 TA Q – I) 
 = det (Q
-1
 TA Q - Q
-1
 I Q) 
 = det (Q
-1
 (TA - I) Q) 
 = det Q
-1
 x det (TA - I) x det Q 
 = det Q
-1
 x det Q x det (TA - I) 
 = det (Q
-1
 Q) x det (TA - I) 
 = det I x det (TA - I) 
 = det (TA - I) 
 
 
 
5.4 – DIAGONALIZAÇÃO DE OPERADORES 
 
 
 Sabe-se que, dado um operador linear f : V V, a cada base B de V corresponde 
uma matriz TB que representa f na base B. Prestende-se obter uma base do espaço vetorial V 
de modo que a matriz de f, nessa base, seja a mais simples possível. A seguir se verá que essa 
matriz é uma matriz diagonal. 
5.4.1 – Propriedades 
 
 
 I) Vetores próprios associados a valores próprios distintos de um operador linear f : V 
 V são linearmente independentes. 
 
 A demonstração será feita para o caso de f : IR
2
 IR
2
 em que 1 e 2 são distintos. 
 Sejam f (v1) = 1 v1 e f (v2) = 2 v2, com 1 2 e considere-se a igualdade 
 
a1 v1 + a2 v2 = 0 (1) 
Pela linearidade de f, tem-se: 
a1f (v1) + a2 f (v2) = 0 
ou 
 a1 1 v1 + a2 2 v2 = 0 (2) 
 
 Multiplicando ambos os membros da igualdade (1) por 1, vem 
 a1 1v1 + a2 1v2 = 0 (3) 
 Subtraindo (3) de (2), tem-se 
VETORES PRÓPRIOS E VALORES PRÓPRIOS – Capítulo 5 
 
 
 
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 a2 ( 2 - 1) v2 = 0, 
mas, 
 2 - 1 0 e v2 0, 
logo, a2 = 0. 
 Substituindo a2 por seu valor em (1) e tendo em vista que v1 0, tem-se 
 a1 = 0 
Portanto, o conjunto {v1, v2} é LI, pois (1) só admite a solução trivial a1 = a2 = 0 
 II) Se f : V V é um operador linear, dim V = n e f possui n valores próprios 
distintos, o conjunto {v1, v2 ..., vn}, formado pelos correspondentes vetores próprios, é uma 
base de V. 
 
 Esta propriedade é conseqüência imediata da propriedade anterior. 
 
 
 
 Exemplo 
Dado o operador linear f : IR
2
 IR
2
, f (x, y) = (-3x – 5y, 2y), os valores 
próprios de f são 1 = 2 e 2 = -3 (a cargo do leitor). Calculando os vetores 
próprios, obtém-se: 
 
a) Para 1 = 2, os vetores v1 = (1, -1), x 0; 
b) Para 2 = -3, os vetores v2 = x (1, 0), x 0. 
 
Tendo em vista que 1 2, o conjunto {(1, -1), (1, 0)} é uma base IR
2
. 
 
III) Se um operador linear f : IR
3
 IR
3 
admite valores próprios 1, 2 e 3 distintos, 
associados av1, v2 e v3, respectivamente, a propriedade II) assegura que o conjunto P = {v1, v2, 
v3} é uma base do IR
3
. 
 
Tendo em vista que 
 
 f (v1) + 1 v1 + 0 v2 + 0 v3 
 f (v2) = 0 v1 + 2v2 + 0 v3 3 
 f (v3) = 0 v1 + 0v2 + 3v3, 
 
o operador f é representado na base P dos vetores próprios pela matriz diagonal 
 
 
 
VETORES PRÓPRIOS E VALORES PRÓPRIOS – Capítulo 5 
 
 
 
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cujos elementos da diagonal principal são os valores próprios de f. A matriz diagonal D é a 
mais simples representante do operador linear f. 
 
 
5.4.2 – Matriz Diagonalizável 
 
 
Sendo A a matriz canônica do operador f, as matrizes A e D são semelhantes por 
representarem o mesmo operador em bases diferentes. Logo, a relação entre matrizes 
semelhantes (ver item 4.3) permite escrever 
 
D Q
-1 
A Q (1) 
 
sendo Q a matriz de mudança de base de P para a matriz canônica 
 
C = { e1 = (1,0,0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0,1) }. 
 
Tendo em vista que 
 
Q = C
-1
 P = I
-1
 P = P, 
 
a igualdade (1) escreve-se: 
 
D = P
-1 
A P, (2) 
 
sendo P a matriz cujas colunas são os vetores próprios do operador f (P está designando tanto 
a base dos vetores próprios de f quanto a matriz ora descrita; no contexto, identifica-se 
quando se trata de uma ou de outra). 
 
A igualdade (2) dá motivo à definição a seguir: 
A matriz quadrada A é diagonizável se existe uma matriz inversível P tal que P
-1
 A P 
seja matriz diagonal. 
 
Diz-se, nesse caso, que a matriz P diagonaliza A ou que P é a matriz diagonalizadora. 
 
A definição