AULA LIMITES - alunos

Prévia do material em texto

24/5/2011
1
Limite e Continuidade
Prof. Edmilson M Souza
24/5/2011
2
24/5/2011
3
f(x)=2x+1
Observando as tabelas, podemos
verificar que: “à medida que x vai
se aproximando de 1, os valores de
f(x) vão aproximando-se de 3”. A
noção de proximidade pode ficar
mais precisa utilizando valor
absoluto.
O número 3 é chamado limite de
f(x) quando x está próximo de 1.
Limites
Sabemos que f(x) não está definida para x=1. Suponhamos que, poralgum motivo, desejássemos saber o que acontece com a função nasproximidades de x=1.Vamos estudar o comportamento da função f(x), quando a variável x seaproxima cada vez mais do valor 1, neste caso, dizemos que “x tende a1”, denotado por x→1.Existem dois “caminhos” pelos quais x pode tender ao valor 1:- Por valores maiores que x: neste caso dizemos que “x tende a 1 peladireita”, e denotamos por: x→1+- Por valores menores que x: neste caso dizemos que “x tende a 1 pelaesquerda”, e denotamos por: x→1-
24/5/2011
4
1(x→1- )x→1+
f(x)x0,5 1,50,8 1,80,9 1,90,999
x → 1-
x → 1-
f(x)x1,5 2,51,3 2,31,01 2,011,001 2,001
x → 1+
x → 1+ f(x) → 2
1,999
f(x) → 2
1
2
(( )
(
Limite lateral à esquerda Limite lateral à direita
Quando o limite lateral à direita é igual ao limite lateral àesquerda, ou seja:
Dizemos que existe o limite para x tendendo a 1 e escrevemos:
O qual lemos: limite da f(x) para x tendendo a 1 é igual a 2.
24/5/2011
5
Definição de Limites
• Seja f(x) definida em um intervalo aberto 
em torno de a (um número real), exceto 
talvez em a. 
c a d
• Dizemos que f(x) tem limite L quando x
tende a a e escrevemos
OBS: Um intervalo aberto de raio 3 em torno de x0 = 5 estará 
dentro do intervalo aberto (2, 10).
Figures 1.13: Um
24/5/2011
6
se para todo  > 0, existe um número 
correspondente  > 0 , tal que 
|x-a|<   |f(x)-L|< ,
para todos os valores de x.
Lxf
ax


)(lim
Definição: Seja f(x) definida num intervalo I, contendo a, exceto, possivelmente, no próprio a. Dizemos que o limite de f(x) quando x aproxima-se de a é L e escrevemos se, para todo ε>0, existe um δ>0, tal que |f(x)-L|<ε sempre 0<|x-a|<δ.
24/5/2011
7
Definição de Limite
• Definição de Limite
y 
L + 
L 
L - 
0 a -  a a +  x
O limite de uma função y = ƒ(x), quando x tende a “a“, a  R , indicado por lim ƒ(x) é a constante 
real “L “, se para qualquer ,   R,   0, por menor que seja, existir ,   R, £ > 0, tal que:
I x – a I <   I ƒ(x) - L I < .
Reformulando a definição de 
limites, teremos:
Significa que, existe um 
tal que x está no intervalo aberto
então f(x) está no intervalo aberto
 
 lim ( )
x a
f x L


0  0 
a a x a   ( , ) e ,
L L  ( , ).
24/5/2011
8
Relação entre  e  na definição de limite.
No exemplo, f(x) = 5x-3, L = 2, x0=1. 
24/5/2011
9
Limite
2)35(lim
1


x
x
  235)( xLxf







5
1
15
55
x
x
x
No exemplo, f(x) = 5x-3, L = 2, 
x0=1. 
Exemplo: Usando a definição de limite, mostre que:
24/5/2011
10
Limites LateraisLimites Lateral à Direita: Seja f:A→B. O limite da função f(x)quando x tende ao valor “a” pela direita, ou seja, quando x tendeao valor “a” por valores maiores que “a”, é denotado por:
Limites Lateral à Esquerda: Seja f:A→B. O limite da função f(x)quando x tende ao valor “a” pela esquerda, ou seja, quando xtende ao valor “a” por valores menores que “a”, é denotado por:
TEOREMA:
O LIMITE EXISTE !!!
Limites Laterais
24/5/2011
11
Como fazer isso na prática?Como consigo andar pela direita ou pela esquerda?Regra prática para calcular limites lateraisLimite Lateral à Direita
)a+ha
f(a)=b ) 
x
f(x)
h→0
(a-h a
f(a)=b ) x
f(x)
h→0
Limite Lateral à Esquerda
24/5/2011
12
24/5/2011
13
Exemplo:
Para a função na figura, temos: 
e
x
xxf )(
1)(lim
0

 x
xxf
x
1)1(limlim)(lim
000



  xxx x
xxf
24/5/2011
14
EXEMPLOS
EXEMPLOS
[1] Continuação
24/5/2011
15
EXEMPLOS
EXEMPLOS
[2] Continuação
24/5/2011
16
EXEMPLOS
[2] Continuação
EXEMPLOS
24/5/2011
17
EXEMPLOS
24/5/2011
18
EXEMPLOS
EXEMPLOS
24/5/2011
19
Exemplo – Limites da Função no Gráfico da Figura 
Em x = 0: 1)(lim 0  xfx
)(lim
0
xfx  e )(lim 0 xfx não existem. A função não é 
definida à esquerda de x = 0.
Em x = 1: 0)(lim
1
 xfx ainda que f(1) = 1, 
,1)(lim
1
 xfx
)(lim 1 xfx não existe. Os limites à direita e à esquerda não são
iguais.
Em x = 2:
1)(lim 2  xfx
1)(lim 2  xfx
1)(lim 2  xfx ainda que f(2) = 2
24/5/2011
20
Propriedades dos Limites
• Se L, M, a, c são números reais e n inteiro
eLxf
ax


)(lim ,)(lim Mxg
ax


Propriedade dos limites
 Propriedades
 P1) O limite da função identidade f(x) = x, quando x tende a 
“a”, é igual a “a”.
 Exemplo:
ax
ax


lim
3lim
3


x
x
24/5/2011
21
Propriedade dos limites
 P2) O limite de uma função constante f(x) = K, quando x tende 
a “a”, é igual a própria constante:
 Exemplo:
KK
ax


lim
44lim
2

x
Propriedade dos limites
 P3) O limite da soma é igual a soma dos limites (caso esses 
limites existam):
 Exemplo:
  )(lim)(lim)()(lim xgxfxgxf
axaxax 

1552.325limlim3lim
5lim3limlim)53(lim
2
22
2
2
22
2
2
2
2




xxx
xxxx
xx
xxxx
24/5/2011
22
Propriedade dos limites
 P4) O limite da diferença é igual a diferença dos limites (caso 
esses limites existam):
Exemplo:
622.2limlim2
lim2lim)2(lim
2
2
2
2
2
2
2
2
2




xx
xxxx
xx
xxx
  )(lim)(lim)()(lim xgxfxgxf
axaxax 

Propriedade dos limites
 P5) O limite do produto é igual ao produto dos limites (caso 
esses limites existam):
 Exemplo:
  )(lim).(lim)()(lim xgxfxgxf
axaxax 

93.3lim.lim.lim)(lim
333
2
3


xxxxx
xxxx
24/5/2011
23
Propriedade dos limites
 P6) O limite do quociente é igual ao quociente dos limites (caso 
esses limites existam):
 Exemplo:
)(lim
)(lim
)(
)(lim
xg
xf
xg
xf
ax
ax
ax









10
1
727
53
)7(lim
)5(lim
7
5lim 3
3
3
33















 x
x
x
x
x
x
x
Propriedade dos limites
 P7) O limite da potência de uma função (f(x))n, onde n é um 
número inteiro positivo, é igual a potência do limite da função 
(caso exista):
 Exemplo:
n
ax
n
ax
xfxf ))(lim())((lim


813))2(lim()2(lim 443
1
43
1


xxxx
xx
24/5/2011
24
Propriedade dos limites
 P8) O limite da raiz de uma função , é a raiz do limite da 
função, se o limite existe e é maior ou igual a zero:
 Exemplo:
n
ax
n
ax
xfxf )(lim)(lim


n xf )(
51)2(4)2()14(lim14lim 44
2
4
2


xxxx
xx
Regra do logaritmo:
Regra do seno (o mesmo vale para o cosseno)
Regra da exponencial: 
0)(limlog
))(lim(log))((loglim




xfseL
xfxf
axc
axccax
Lxfxf
axax
sen))(limsen()(senlim 

Lxfxf
ax
ccc ax  

)(lim)(lim
24/5/2011
25
Limites de Funções Polinomiais
Teorema 2 – Os Limites de Funções Polinomiais podem ser 
obtidos por Substituição:
Se
0
1
1 ...)( axaxaxPn
n
n
n 


então
....)()(lim 0
1
1 acacacPxPcx
n
n
n
n 


Exemplo – Limite de Uma Função Polinomial
322246496
224164)32(3
2)2()2()2(4)2(3
243
245
245
2
lim





xxxx
x
24/5/2011
26
Limites de Funções Racionais
Teorema 3 – Os Limites de Funções Racionais podem ser 
obtidos por Substituição, caso o limite do denominador 
não seja zero:
Se e são polinômios e , 
então
)(xP )(xQ 0)( cQ
)(
)(
)(
)(lim
cQ
cP
xQ
xP
cx


Exemplo – Limite de Uma Função Racional
0
6
0
5)1(
3)1(4)1(
5
34
2
23
2
23
1
lim 




 x
xx
x
24/5/2011
27
Exemplo 3 – Cancelando um Fator Comum
xx
xx
x 


2
2
1
2lim
Solução: Não podemos substituir x = 1 porque isso resulta em um 
denominador zero. Testamos o numerador para ver se este também
é zero em x = 1. Também é, portanto apresenta o fator (x – 1) em 
comum com o denominador. Cancelar o (x – 1) resulta em uma fração
mais simples, com os mesmos valores da original para x 1:
3
1
212
)1(
)2)(1(2
2
2










x
x
xx
xx
xx
xx
Se x 1
Exemplos 4:
 Eliminando algebricamente o fator nulo no denominador:
• Criando e cancelando um fator comum:
   
.
22
1
202
1
22
1lim22lim
22
lim
22
22lim22lim
22
2222lim22lim
00
000
00























hh
h
hh
h
hh
h
h
h
h
h
h
h
h
h
hh
hhh
hh
24/5/2011
28
24/5/2011
29
Limites envolvendo infinito
Limite de f(x) quando x tende a “mais infinito”
Considere, por exemplo, a função 
Perceba que, quando x tende a +, isto é, quando x cresce 
indefinidamente, os valores a função f(x) tendem a se aproximar 
cada vez mais de 0.
x
xf 1)( 
01lim 
 xx
24/5/2011
30
Limites Envolvendo o Infinito
Definições Limites com x
1. Dizemos que f(x) possui o limite L quando x tende ao infinito e
escrevemos: Lxf
x


)(lim
2. Dizemos que f(x) possui o limite L com x tendendo a menos 
infinito e escrevemos:
se, à medida que x se distancia da origem no sentido positivo, f(x)
fica cada vez mais próximo de L.
Lxf
x


)(lim
se, à medida que x se distancia da origem no sentido negativo, f(x)
fica cada vez mais próximo de L.
24/5/2011
31
Exemplo 1 – Limites de 1/x e k quando x
Demonstre que
(a)
(b)
011 limlim 
 xx xx
kkk
xx


limlim
Solução: 
(a) Podemos observar que y = 1/x se aproxima cada vez mais de zero à 
medida que o valor de x se afasta da origem, tanto para o lado positivo
quanto para o negativo.
(b) Não importa quanto o valor de x se afaste da origem, a função 
Constante y = k sempre tem exatamente o valor k.
Exemplo:
24/5/2011
32
Teorema 4 – Regras para Limites quando x
Se L, M e k são números reais e 
Lxf
x


)(lim ,)(lim Mxg
x


e então
1. Regra da Soma: MLxgxf
x


))()((lim
2. Regra da Subtração:
MLxgxf
x


))()((lim
3. Regra do Produto:
MLxgxf
x


))()((lim
4. Regra da Multiplicação por Constante:
Lkxfk
x


))((lim
5. Regra do Quociente:
0,
)(
)(lim 

M
M
L
xg
xf
x
6. Regra da Potenciação:
Se r e s são inteiros, , então0s
srsr
x
Lxf 

))((lim
Desde que 
srL seja um número real.
24/5/2011
33
Exemplo 2 – Usando o Teorema 4
xx xxx
1515 limlimlim






 
505 
(a) Regra da Soma
Limites Conhecidos
xxx xx
1133 limlim 2 



xx xxx
113 limlimlim

 
0003 
(b) Regra do Produto
Limites Conhecidos
Cálculo de Limites de Funções Racionais
Proposição:
24/5/2011
34
Cálculo de Limites de Funções Racionais
Proposição:
Cálculo de Limites de Funções Racionais
Proposição:
24/5/2011
35
Exemplos
Exemplos
24/5/2011
36
Exemplos
Exemplo 5 – Numerador e Denominador de Mesmo Grau
)/2(3
)/3()/8(5
23
385
2
2
2
2
limlim x
xx
x
xx
xx 





3
5
03
005




Divida o numerador e o denominador por x2.
24/5/2011
37
Exemplo 6 – Grau do Numerador Maior que o Grau do Denominador
)/4(7
)/3(2
47
32 limlim
2
x
xx
x
x
xx 






Divida o numerador e o denominador por x.
O numerador agora tende a ao passo que o denominador tende a
7, então a razão .


Limites envolvendo infinito
Limite de f(x) quando x tende a “mais infinito”
Considere, por exemplo, a função 
Perceba que, quando x tende a +, isto é, quando x cresce 
indefinidamente, os valores a função f(x) tendem a se aproximar 
cada vez mais de 0.
x
xf 1)( 
01lim 
 xx
24/5/2011
38
Limites envolvendo infinito
Exemplo:
Calcule o limite, se existir, de:
Não basta apenas substituir “x” por “”, pois ao fazer isto, teria 
uma indeterminação do tipo 
14
13lim


 x
x
x


Limites envolvendo infinito
Exemplo:
Portanto o método aqui consiste em dividir o numerador e o denominador por x:
Para calcular o limite de f(x) quando x tende a menos infinito, o raciocínio é 
análogo.
4
3
04
03
1lim4lim
1lim3lim
14lim
13lim
14
13
lim
14
13lim 





























x
x
x
x
x
x
x
x
xx
xx
x
x
xx
24/5/2011
39
Limites envolvendo infinito
Expressões indeterminadas 
Considere o seguinte limite:
Se fôssemos resolver de acordo com as ferramentas já 
conhecidas chegaríamos ao seguinte resultado:
3
27lim
3
3 

 x
x
x
0
0
33
273
3
27lim
33
3






 x
x
x
Limites envolvendo infinito
Expressões indeterminadas
Mas vejamos o gráfico desta função:
x f(x)
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
24,39
25,24
26,11
27
27,91
28,84
29,79
L
24/5/2011
40
Limites envolvendo infinito
Apesar da função não estar definida no ponto x=3, quando nos 
aproximamos de x=3, f(x) se aproxima de 27. Portanto:
Mas como se resolve a equação algébrica de modo a chegar a 
este valor?
27
3
27lim
3
3



 x
x
x
Limites Infinitos
24/5/2011
41
Limites Infinitos
Limites Infinitos
Exemplo
24/5/2011
42
Símbolos de Indeterminação
Símbolos de Indeterminação
Exemplo:
24/5/2011
43
Produtos notáveis
Com os PRODUTOS NOTÁVEIS!!!
Neste exemplo, 
Logo, podemos reescrever a função do seguinte modo:
Basta então calcular:
)93)(3(27 23  xxxx
93
)3(
)93)(3()( 2
2



 xx
x
xxxxf
2793lim 2
3


xx
x
Produtos notáveis - Revisão
Diferença de quadrados
Exemplos:
)).((22 bababa 
2222 ..)).(( bababbaababa 
)4).(4(16  xxx
)3).(3(9 ayayay 
)94).(32).(32()94).(94(8116  xxxxxx
24/5/2011
44
Produtos notáveis
Trinômio quadrado perfeito
Exemplos:
222 2)( bababa 
2)2(22244  aaaaa
23232336 )34(33).4(2)4(92416  yyyyy
222 2)( bababa 
22222 2)).(()( bababbaababababa 
22222 2)).(()( bababbaababababa 
Não confundir o quadrado da diferença (a-b)2, com a diferença de quadrados a2-b2.
Produtos notáveis
Soma e Diferença de Cubos
Exemplos:
)).(( 2233babababa 
)42).(2()22.).(2(8 2223  xxxxxxx
)252016).(54(5)4(12564 2333  aaaaa
)).(( 2233 babababa 
24/5/2011
45
Produtos notáveis
Cubo perfeito
Exemplos:
32233 33)( babbaaba 
3322323 )2(22.32.38126  xxxxxxx
3322332 )3(.3.3.3.3392727 aaaaaaa 
32233 33)( babbaaba 
Não confundir o cubo da soma (a+b)3, com a soma e cubos a3+b3;
Nem o cubo da diferença (a-b)3, com a diferença de cubos a3-b3.
Limites Fundamentais
Daremos a seguir três proposições que caracterizam os chamados
limites fundamentais. Estaremos tratando de casos particulares de 
indeterminações do tipo 1,0/0 e .0
Proposição 1:
1senlim
0

 x
x
x
Proposição 2:
e
x
x
x





 

11lim
Onde e é o número irracional neperiano cujo valor aproximado 
é 2,718281828459... .
24/5/2011
46
Proposição 1: Usando 1
senlim
0

 


Mostre que 
5
2
5
2senlim
0

 x
x
x
x
x
x
x
xx 5)5/2(
2sen)5/2(
5
2sen limlim
00 



x
x
x 2
2sen
5
2 lim
0

5
2)1(
5
2

Agora a equação (1) se aplica a θ = 2x
Proposição 2:
Provar que ex x
x


1
0
)1(lim
Em primeiro lugar provaremos que ex
x
x


1
0
)1(lim
De fato, fazendo x = 1/t temos quando . Logo,t  0x
e
t
x
t
t
x
x







 
11)1( limlim /1
0
Da mesma forma, prova-se que ex x
x


1
0
)1(lim
Portanto, ex x
x


1
0
)1(lim
24/5/2011
47
24/5/2011
48
Proposição 3:
a
x
a x
x
ln1lim
0



).1,0(  aa
(Prova no livro – Flemming e Gonçalves , Cálculo A, pág 125.)
Exemplo 1: 
x
ba xx
x


lim
0
Temos,
x
b
ab
x
ba x
x
x
x
xx
x










1
limlim
00
24/5/2011
49
x
b
a
b
x
x
x
x
1
limlim
00








b
aln1
b
aln
Exemplo 2
12
11
1
lim 
 
 x
ae xx
x
Neste exemplo, utilizamos artifícios de cálculo para aplicarmos a 
Proposição 3.
)1)(1(
)1()1(
1
11
1
2
11
1
limlim 



 


 xx
ae
x
ae xx
x
xx
x

















 1
1
1
1
1
1 1
1
1
11
limlimlim x
a
x
e
x
x
x
x
xx
.
1
1
1
1
2
1 1
1
1
1
limlim 














 x
a
x
e x
x
x
x
24/5/2011
50
Fazemos t = x – 1 e consideramos que, quando , , temos1x 1x
0t 0t, .
Portanto,





 







 t
a
t
e
x
ae t
t
t
t
xx
x
11
2
1
1 limlimlim 002
11
1
)ln(ln
2
1 ae 
).ln1(
2
1 a
Continuidade de Funções
24/5/2011
51
Continuidade de Funções
Continuidade de Funções
24/5/2011
52
Continuidade
Definição – Continuidade em um Ponto
Ponto interior: Uma função y = f(x) é contínua em um ponto
interior c de seu domínio quando:
).()(lim cfxf
cx


Extremidades: Uma função y = f(x) é contínua na extremidade
esquerda a ou é contínua na extremidade direita b de seu 
domínio quando:
)()(lim afxf
ax


ou )()(lim bfxf
bx


respectivamente
Teste de Continuidade
Uma função f(x) será contínua em x = c se e somente se ela obedecer
às três condições seguintes:
1. f(c) existe (c está no domínio de f)
2. existe (f tem um limite quando ))(lim xfcx cx 
3. (o limite é igual ao valor da função))()(lim cfxfcx 
24/5/2011
53
Exemplo
Exemplo
24/5/2011
54
24/5/2011
55
Propriedades de Funções Contínuas
Se as funções f e g são contínuas em x = c, então as seguintes
combinações são contínuas em x = c.
1. Somas: f + g
2. Diferenças: f - g
3. Produtos: f . g
4. Constantes Múltiplas: k . f, para qualquer número k
5. Quocientes: f / g, uma vez que g(c) 0
24/5/2011
56
Propriedades de Funções Contínuas
Composta de Funções Contínuas
Se f é contínua em c e g é contínua em f(c), então a composta
fg  é contínua em c.
24/5/2011
57
Propriedades de Funções Contínuas
Propriedades de Funções Contínuas
24/5/2011
58
Exemplo
Exemplo
24/5/2011
59