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12/3/2012 1 CÁLCULO I INTRODUÇÃO À DERIVAÇÃO Prof. Edmilson Monteiro de Souza O coeficiente angular de uma curva y = f(x) no ponto onde x = x0. Derivadas h xfhxf h )()(lim 00 0 Chamamos esse limite, quando ele existe, de derivada de f em x0. Definição de Derivada – Função Derivada A derivada de uma função f(x) em relação à variável x é a função f ’ cujo valor em x é: h xfhxfxf h )()(lim)´( 0 desde que o limite exista. 12/3/2012 2 • y’ : y linha • : derivada de y em relação a x • : derivada de f em relação a x • : operação de derivada realizada em f(x) Modos de representar as derivadas de uma função y = f(x). dx dy dx df )(xf dx d Operação dx d )(xfy dx dfy ´ Operação para obter uma derivada em relação a x 12/3/2012 3 Como ler os símbolos de derivadas: ´y ´´y 2 2 dx yd ´´´y )(ny n n dx yd “y linha” “y duas linhas” “d dois y d x dois” “y três linhas” “n” ou “a derivada enésima de y” “d n y d x n” Regras de derivação 12/3/2012 4 Regra 1 – Derivada de uma Função Constante Se f tem o valor constante f(x) = c, então .0)( c dx d dx df Exemplo – Usando a Regra 1 Se f tem o valor constante f(x) = 8, então .0)8( dx d dx df De maneira similar, 0 2 dx d e .03 dx d Regra 2 – Regra de Derivação para Potências Inteiras Positivas, Inteiras Negativas e Racional. Se n for um positivo ou negativo inteiro ou racional, então 1 nn nxx dx d Regra 3 – Regra da Multiplicação por Constante Se u é uma função derivável de x e c é uma constante, então dx duccu dx d )( 12/3/2012 5 Exemplo 4 – Usando a Regra 3 (a) xxxdx d 62.3)3( 2 (b) Um caso especial útil: a derivada da oposta de uma função derivável é a oposta da derivada da função. A Regra 3 com c = - 1 fornece dx duu dx du dx du dx d )(.1).1()( Regra 4 – Regra da Derivada da Soma Se u e v são funções deriváveis de x, então a soma das duas u + v é derivável em qualquer ponto onde ambas são deriváveis. Nesses pontos, .)( dx dv dx duvu dx d Exemplo 5 – Derivada de uma Soma 124 )12()( 12 3 4 4 x x dx dx dx d dx dy xxy 12/3/2012 6 Regra 5: Regra do Produto Se u e v são deriváveis em x, então o produto u.v também é e dx udv dx vdu dx vud Usando a Regra do Produto e encontre a derivada de )1(1 2 x x x y Aplicando a Regra do Produto e : x u 1 x xv 12 333 2 2 2 2 211112 )1)(1()12(1)1(1 xxx xx x x x xx x xdx d 12/3/2012 7 Regra 6 - Regra da Derivada do Quociente Se u e v são deriváveis em v(x) 0, então o quociente u/v é derivável em x e 2v dx vdu dx udv v u dx d Exemplo: Usando a Regra do quociente encontre a derivada de 1 1 2 2 t ty Aplicando a Regra 6 com e :12 tu 12 tv 2222 33 22 22 )1( 4 )1( 2222 )1( 2).1(2).1( t t t tttt t tttt dt dy 12/3/2012 8 A derivada da função seno é a função cosseno xx dx d cos)(sen Exemplo 1 – Derivadas Envolvendo Seno (a) xxy sen2 )(sen2 x dx dx dx dy xx cos2 (b) x xy sen 2 1sen)(sen x xx dx dx dx dy 2 sencos x xxx A derivada da função cosseno é a oposta da função seno xx dx d sen)(cos Exemplo 2 – Revendo as Regras da Derivada (a) xxy cossen )(sencos)(cossen x dx dxx dx dx dx dy )(coscos)sen(sen xxxx xx 22 sencos (b) x xy sen1 cos 2)sen1( )sen1(cos)(cos)sen1( x x dx dxx dx dx dx dy 2)sen1( )cos0(cos)sen)(sen1( x xxxx 2)sen1( sen1 x x xsen1 1 12/3/2012 9 Derivadas de Outras Funções Trigonométricas Básicas xxtg dx d 2sec) ( xtgxx dx d sec)(sec xx dx d 2cosec) cotg( xxx dx d cotg cosec) cosec( Exemplo 5 – Derivadas da Função Tangente Encontre d(tg x)/d x Solução x x dx dxx dx dx x x dx dxtg dx d 2cos )(cossen)(sencos cos sen) ( x xxxx 2cos )sen(sencoscos x xx 2 22 cos sencos x x 2 2 seccos 1 12/3/2012 10 Regra da Cadeia REGRA DA CADEIA:se g(x) for derivável em x e a função f for derivável em g(x), então a função composta f o g será derivável em x, e )´()).(´())`(( xgxgfxgf dx du du dy dx dy Exemplos: a) Seja a função 12 xy 2 1 )(12 uuyxu 12/3/2012 11 12 1)1( 2 1)( 2 1 2 2 2 1 2 1 x xu du dy 1 )2( 12 1 22 x xx xdx dy x dx du 2 b) Seja a função geral do tipo nxfy )( nuyexfu )( )´(1 xf dx dunu du dy n )´(1 xfnu dx du du dy dx dy n 12/3/2012 12 •Funções Trigonométricas •Exponenciais •Logarítmicas REGRA DA CADEIA - Funções Trigonométricas uxf sen)( dx duuud dx xdf cos)(sen)( uxf cos)( dx duuud dx xdf sen)(cos)( 12/3/2012 13 dx duutgu dx d 2sec)( tguxf )( u uxf cos sen)( Regra do quociente Exemplo: seja a função )310sen( xy Vamos introduzir a variável intermediária 10310 dx duxu )310cos(cossen xu du dyuy )310cos(10 x dx du du dy dx dy 12/3/2012 14 Exemplo: seja a função 1sen 2 xy uyxu sen12 1coscos 2 x du dyu du dy dx du du dy dx dy Regra da cadeia dx xd dx duu du dy 2 1 2 )1(cos dx zd dx duxz )(1 2 1 2 1 2 22 1 2 1 x xxz dx dz dz du dx du 1 1cos 2 2 x xx dx du du dy dx dy 12/3/2012 15 Função Logarítmica : se u é uma função diferenciável de x e u(x) 0, então dx du u u dx d 1][ln Exemplo: seja a função )12ln( 3 xxy 12 23 3 2 xx x dx dy uyxxu ln123 23 12 11 2 3 x dx du xxudu dy 12/3/2012 16 Função Exponencial : se u é uma função diferenciável de x, então dx duee dx d uu ][ Exemplo: seja a função 21xey 3 21 2 xdx duu x 2 1 3 2][ xe xdx duee dx d dx dy uu Derivada no ponto: seja a posição de um móvel dada pela função 235,03)( tttx com x dado em metros. Calcule a velocidade do móvel no instante t = 10,0s. dt dxtv )( )0,10(65,065,0)0,10( 0,10 0,10 t t t dt dxv mtv 5,60)( 12/3/2012 17 Determinação da reta tangente 12/3/2012 18 Derivadas de Ordens Superiores Derivadas de Ordem Superior: se a função f for derivável, então f´ é chamada de derivada primeira de f. Se a derivada f´ existir, ela será chamada de derivada segunda de f e poderá ser denotada por f´´. A derivada enésima da função f (n=inteiro positivo e maior do que 1), é a derivada primeira da derivada (n-1)ésima de f. Notação de Leibniz dx df 2 2 dx fd derivada primeira derivada segunda 3 3 dx fd derivada terceira n n dx fd derivada enésima 12/3/2012 19 Exemplo: no MRUV a posição da partícula é dada por 2 2 1 00)( attvxtx em que x0 (posição inicial),v0 (velocidade inicial) e a (aceleração) são constantes. atv dt dxtv o )( a dt xd dt dvta 2 2 )( OBS: Derivável em um Intervalo; Derivadas Laterais Uma função y = f(x) será derivável em um intervalo aberto (finito ou infinito) se tiver uma derivada em cada ponto do intervalo. Será derivável em um intervalo fechado [a, b] se for derivável no interior (a, b) e se os limites h afhaf h )()(lim 0 h bfhbf h )()(lim 0 Derivada à direita em a Derivada à esquerda em b existirem nas extremidades. 12/3/2012 20 Figura 2.7: Derivadas em extremidades são limites laterais. + - + - Derivada à esquerda de b Derivada à direita de a Derivadas à direita e à esquerda podem ser definidas em qualquer ponto do domínio de uma função. A relação usual entre limites laterais e bilaterais vale para essas derivadas. Uma função terá uma derivada em um ponto se e somente se tiver derivadas à direita e à esquerda nesse ponto e se essas derivadas laterais forem iguais. Exemplo 8 – y = | x | Não é Derivável na Origem Mostre que a função y = | x | é derivável em e , mas não tem derivada em x = 0. )0,( ),0( Solução À direita da origem, .1).1()(|)(| x dx dx dx dx dx d À esquerda .1).1()(|)(| x dx dx dx dx dx d 12/3/2012 21 É possível que não haja derivada na origem porque lá as derivadas Laterais são diferentes: Derivada de | x | à direita em zero: .11limlim ||lim|0||0|lim 00 00 hh hh h h h h h h Derivada de | x | à esquerda em zero: .11limlim ||lim|0||0|lim 00 00 hh hh h h h h h h Teorema 1 – Diferenciabilidade (Derivabilidade) Implica Continuidade Se f tem uma derivada em x = c, então f é contínua em x = c. Teorema 2 – Propriedade do Valor Intermediário para Derivadas Se a e b são dois pontos quaisquer de um intervalo em que f é derivável, então f ´ assume qualquer valor entre f ´ (a) e f ´(b). 12/3/2012 22 Regra de L’Hopital Regra de L’Hopital 12/3/2012 23 Regra de L’Hopital Regra de L’Hopital 12/3/2012 24 Regra de L’Hopital Regra de L’Hopital 12/3/2012 25 Regra de L’Hopital Regra de L’Hopital • Regra de L’Hopital – Indeterminação da forma – Sejam f e g funções diferenciáveis num intervalo aberto I em torno de um ponto a, exceto possivelmente no ponto a. Suponha que g(x) 0 para x a I, x a: – Se e então: ,0)(lim xf ax 0)(lim xg ax , )(' )('lim L xg xf ax , )( )(lim L xg xf ax 0 0 12/3/2012 26 Regra de L’Hopital • Regra de L’Hopital – Utilizaremos a regra de L’Hopital quando tivermos uma função da forma e ela apresentar indeterminação. • Exemplo – Calcule – Temos uma indeterminação da forma: . – Aplicando a regra de L’Hopital, temos: )( )( xg xf 1 1lim 8 9 1 x x x 0 0 8 9 8 9lim 8 9lim 1 1lim 17 8 18 9 1 x x x x x xxx Regra de L’Hopital • Regra de L’Hopital – Indeterminação da forma – A regra de L’ Hopital também vale para este caso. • Exemplo – Calcule – A indeterminação é da forma , aplicando a regra de L’Hopital para este caso, temos: x x x lnlim 01lim 1 1 limlnlim x x x x xxx 12/3/2012 27 Regra de L’Hopital • Regra de L’Hospital – Indeterminação da forma – Quando temos que calcular um limite da forma f(x)g(x) quando x tende a “a”, ou a +, ou a - , e ocorre uma indeterminação da forma , isto é, lim f(x) = 1 e lim g(x) = , devemos primeiro calcular o logaritmo natural de ambos os membros da igualdade y= f(x)g(x). – Assim: 1 1 )( 1 )(ln)(ln).(ln)(lnln )( xg xfxfxgyxfy xg Regra de L’Hopital – Temos então que: – E: e, portanto, ocorre agora uma indeterminação da forma . – Aplica-se então a regra de L’Hopital, obtendo lim lny=L. – Como ln (lim y) = lim (ln y) = L, temos que lim y = eL. 01ln)](ln[lim)(lnlim xfxf 0 )( 1lim xg 0 0 12/3/2012 28 Regra de L’Hopital • Exemplo – Calcule – Temos que: • e – Temos que: x x x 3 4 11lim ) 4 11()( x xf )3()( xxg 1 4 11lim)(lim x xf xx e xxg xx 3lim)(lim =1∞ Regra de L’Hopital – Logo, a indeterminação é da forma: . – Se calcularmos o logaritmo natural da função teremos: – Cujo limite resulta na indeterminação da forma . Aplicando a regra de L’Hopital, temos: 1 )( 1 )(ln)(ln).(ln xg xfxfxgy 0 0 4 3 3 1 4 1 . 4 11 1lim 3 1 4 11 lnlimlnlim 2 2 x x xx xy xxx 4 3lnlim y x 12/3/2012 29 4 3limlnlnlim yy xx 4 3 lim ey x ye y )ln(Lembrando que: Teremos, aplicando a exponencial nos dois lados: Mas queremos: ?lim y x Como ln é uma função contínua: 4 3limln ee y x e Regra de L’Hopital • Regra de L’Hopital – Indeterminação da forma – Transformamos esta indeterminação em uma do tipo ou : • Exemplo – Calcule – Aplicando reiteradamente a regra de L’Hopital, temos: 0. 0 0 )1.(lim 23 x x ex xx x x x x x x e x x e x eex 2 2 2 2 3 2 23 lim 3 2 3 2lim1 )1(lim)1.(lim 0 2 1lim 2 2limlim 222 2 xxxxxx ee x e x , portanto, 0)1.(lim 23 x x ex 12/3/2012 30 Regra de L’Hopital • Regra de L’Hospital – Indeterminação da forma – A idéia é transformar a indeterminação na forma ou . • Exemplo – Calcule – Por L’Hopital, 0 0 )(lim 2 xxx x 0 0 1 111 lim111lim)(lim 2 x x x xxxx xxx 2 1 1 111 2 1 lim 2 2 2 1 x xx x Regra de L’Hopital 12/3/2012 31 CÁLCULO II Exercícios 12/3/2012 32 12/3/2012 33 12/3/2012 34 12/3/2012 35 Guillaume de L’HospitalGuillaume de L’Hospital Cálculo I
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