lista.EspaçosVetoriais

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARA´
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
CENTRO DE CIEˆNCIAS
4.a Lista de Exerc´ıcios de A´lgebra Linear
(Espac¸os Vetoriais)
Aluno(a):
Prof.: Marcelo Melo
1. Seja V um espac¸o vetorial sobre R. Mostre que:
a) 0 · v = 0 para todo v ∈ V ;
b) se α · v = 0, com α ∈ R e v ∈ V , enta˜o ou α = 0 ou v = 0.
2. Considere o conjunto V = {(a, b) ∈ R2; a, b > 0}. Verifique se V e´ um espac¸o
vetorial com as operac¸o˜es:
• (a, b)⊕ (c, d) = (ac, bd), ∀ (a, b), (c, d) ∈ V
• α · (a, b) = (aα, bα), ∀ α ∈ R, ∀ (a, b) ∈ V .
3. Verifique se W e´ um subespac¸o de V nos seguintes casos:
a) V = R3 e W = {(x, y, z) ∈ V ; x+ y + z = 0};
b) V = Rn e W = {(x1, x2, . . . , xn); x1 · x2 = 0};
c) V = M4(R) e W = {A ∈ V ; A e´ diagonal};
d) V = Mn(R) e W = {A ∈ V ; trac¸o(A) = 0};
e) V = P6(R) e W = {p ∈ V ; p(0) = 1};
f) V = Pn(R) e W = {p ∈ V ; p′′(0) = 0};
g) V = F(R;R) e W = {f ∈ V ; f(0) = f(1)};
h) V = F([0,∞);R) e W = {f ∈ V ; f ′′ + 2f ′ + f = 0}.
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4.a Lista de Exerc´ıcios de A´lgebra Linear Prof. Marcelo Melo
4. Considere o sistema linear
(§)

2x + 4y − 6z = a
x − y + 4z = b
6y − 14z = c
Seja W = {(x, y, z) ∈ R3; (x, y, z) e´ soluc¸a˜o de (§)}, isto e´, W e´ o conjunto
soluc¸a˜o do sistema.
a) Que condic¸o˜es devemos impor a a, b e c para que W seja subespac¸o vetorial
de R3?
b) Nas condic¸o˜es determinadas em a) encontre uma base para W .
5. Seja V = P3(R).
a) Mostre que β = {1, 2 + x, 3x− x2, x− x3} e´ base de V ;
b) Escreva as coordenadas de p(x) = 1 + x+ x2 + x3 com relac¸a˜o a` base β.
6. Sejam V = Mn(R), W1 = {A ∈ V ; A e´ sime´trica} eW2 = {A ∈ V ; A e´ antissime´trica}.
a) Mostre que W1 e W2 sa˜o subespac¸os de V ;
b) Mostre que V = W1
⊕
W2;
c) Determine dimW1 e dimW2.
7. Sejam V = F(R;R), W1 = {f ∈ V ; f e´ par} e W2 = {f ∈ V ; f e´ ı´mpar}.
Mostre que:
a) W1 e W2 sa˜o subespac¸os de V ;
b) V = W1
⊕
W2;
c) V , W1 e W2 teˆm dimensa˜o infinita.
8. Mostre que:
a) os vetores (1, 1, 2), (1, 2, 1) e (2, 1, 2) formam uma base de R3;
b) o conjunto {senx, cosx} e´ L.I. em F(R;R).
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9. Encontre uma base de R4 que contenha os vetores (1, 0,−2, 3) e (1, 1, 1, 1).
10. Sejam α = {(1, 0), (0, 1)} e β = {(−1, 1), (1, 1)} bases ordenadas de R2.
a) Ache as matrizes de mudanc¸a de base [I]βα e [I]
α
β ;
b) Quais sa˜o as coordenadas do vetor v = (3,−2) em relac¸a˜o a`s bases α e β?
c) Se as coordenadas de um vetor w em relac¸a˜o a` base β sa˜o dadas por
[w]β =
(
4
0
)
, determine [w]α.
11. Se α e β sa˜o bases de um espac¸o vetorial, prove que:
a) [I]αα e´ a matriz identidade;
b) ([I]βα)
−1 = [I]αβ .
12. Demonstre que se v1, v2 e v3 formam uma base de um espac¸o vetorial V , enta˜o
v1, v1 + v2 e v1 + v2 + v3 tambe´m constituem uma base de V .
13. Se os vetores v1, v2, . . . , vm sa˜o L.I., prove que o mesmo se da´ com os vetores
v1, v2 − v1, . . . , vm − v1.
14. Mostre que, se V = W1
⊕
W2 e α = {v1, . . . , vk} e´ base deW1, β = {w1, . . . , wr}
e´ base de W2, enta˜o γ = {v1, . . . , vk, w1, . . . , wr} e´ base de V .
15. Sejam U,W subespac¸os de um espac¸o vetorial V finitamente gerado. Enta˜o
a) U ⊂ W =⇒ dimU ≤ dimW ;
b) dimU ≤ dimW =⇒ U ⊂ W?
16. Mostre que o conjunto dos nu´meros complexos C = {a+bi; a, b ∈ R e i2 = −1}
e´ um espac¸o vetorial real de dimensa˜o 2 e que {0}, as retas complexas passando
pela origem e C sa˜o seus u´nicos subespac¸os.
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17. Em geral, prove que Cn = {(z1, z2, . . . , zn); zj ∈ C, 1 ≤ j ≤ n} e´ um espac¸o
vetorial real de dimensa˜o 2n.
18. Seja β = {(i, 1− i, 2), (2, 1,−i), (5− 2i, 4,−1− i)} um subconjunto de C3.
a) β e´ um conjunto L.I.?
b) Decida se (3 + i, 4, 2) pertence ao subespac¸o gerado por β.
19. Seja V =
{(
a11 a12
a21 a22
)
∈M2(C); a11 + a12 = 0
}
.
a) Mostre que V e´ um espac¸o vetorial sobre R;
b) Determine uma base para V ;
c) Mostre que W =
{(
a11 a12
a21 a22
)
∈ V ; a21 = ¯−a12
}
e´ um subespac¸o de V
sobre R e ache uma base de W .
20. Sejam v1, . . . , vn vetores em Rn. Prove que v1, . . . , vn sa˜o L.I. se, e somente se,
det(v1, · · · , vn) 6= 0.
21. Ache uma sequeˆncia infinita W1,W2, . . . ,Wn, . . . de subespac¸os de P (R) tais
que:
(a) dimWn =∞;
(b) Wm ∩Wn = {0} se m 6= n.
22. Exiba uma base de Mn(R) formada apenas por matrizes invert´ıveis.
23. Sejam W1 e W2 subespac¸os de um espac¸o vetorial V . Mostre que W1 ∪W2 e´
subespac¸o de V se, e somente se, W1 ⊂ W2 ou W2 ⊂ W1.
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