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GST1073 – Fundamentos de Matemática
Aula 11: Função Exponencial.
Fundamentos de Matemática
AULA 11: Função Exponencial.
Função Exponencial
 As funções exponenciais são de grande importância e utilidade para diversas áreas das engenharias e ciências de modo geral.
São inúmeras as aplicações que envolvem crescimento e decrescimento exponencial. 
f(x) = 3x
y = (0,4)x
f(x) = (5)x
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Por que a base a tem que ser maior que zero e diferente de 1?
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Por que a base a tem que ser maior que zero e diferente de 1?
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Função Exponencial
Vamos conhecer a Função Exponencial?
Se a > 1, a função é crescente e se 0 < a < 1, a função será decrescente.
Os gráficos não interceptam o eixo X, pois as funções não se anulam, seja qual for o valor de x.
Os valores da função exponencial são todos positivos, qualquer que seja x. 
Para entendemos melhor, vemos seu gráfico.
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Gráfico de uma função exponencial
Inicialmente, vamos construir uma tabela com os valores da função para alguns valores de x, e em seguida marcar seus pontos no plano cartesiano
e a função é crescente em todo seu domínio.
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e a função é decrescente em todo seu domínio.
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Vamos a aplicação da Função Exponencial
Digamos que nosso estudo, seja a uma Função Exponencial, relacionada as Bactérias. 
Observe que atribuímos Valores para t e elevamos os valores, resultando no Valor de Y no Plano Cartesiano.
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Vamos estudar mais aplicações da Função Exponencial
Atribuiremos valores para uma dada função. Observe a resolução.
Função Exponencial
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O gráfico da Função Exponencial será?
Veja logo abaixo, como seria o gráfico da Função Exponencial, quando este seria?
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Caso a > 1, mantenha o sinal original.
Caso 0 < a < 1, inverta o sinal.
Essas regras serão mais bem visualizadas nas resoluções que se seguem. Vamos resolver os exemplos das inequações anteriores.
2x ≥ 128
Por fatoração, 128 = 27. Portanto: 
2x ≥ 27  → como as bases são iguais e a > 1, basta formar uma inequação com os expoentes.
x ≥ 7 S = {x ∈ R | x ≥ 7}
Descomplicando a Inequação Exponencial
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ESBOÇOS GRÁFICOS DE FUNÇÃO EXPONENCIAL
O gráfico da função f (x) = ax não toca o eixo-x (eixo das abscissas) a função exponencial sempre toca o eixo-y (eixo das ordenadas) no ponto em que y = 1. Isso ocorre porque a0 = 1, para todo a > 0, a ≠ 0.
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Uma função real f é crescente num intervalo contido no domínio da função se, e somente se, para quaisquer números x1 e x2 do intervalo, acontece x1 < x2 em f(x1) < f(x2). Ou seja, quando o valor de x aumenta, f (x) também aumenta.
Uma função real f é decrescente num intervalo contido no domínio da função se, e somente se, para quaisquer números x1 e x2 do intervalo, acontece x1 < x2 em f(x1) > f(x2). Ou seja, quando o valor de x aumenta, f (x) diminui.
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P2) A função exponencial é crescente em todo seu domínio quando a > 1. 
P3) A função exponencial é decrescente em todo seu domínio quando 0 < 1 . 
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EXERCÍCIOS: 
a) Faça um esboço gráfico das funções abaixo:
1º) Como a base está entre 0 e 1 , a função é decrescente.
2º) Quando x = 0 , y = –3 . Logo, o gráfico corta o eixo y no ponto (0, –3).
3º) Quando y = 0, temos que
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A equação usa a propriedade P1.
Logo, o gráfico corta o eixo x no ponto (–2, 0).
Esboço gráfico:
Eixo y no ponto (0, –3).
Eixo x no ponto (–2, 0).
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Resolução
1º) Como a base é maior que 1, a função é crescente.
2º) Quando x = 0 tem f(0) = 3. O gráfico corta o eixo y no ponto (0, 3).
3º) A imagem de f(x) é positiva
 em todo o domínio.
Esboço gráfico:
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Equação exponencial
Equação que apresenta incógnita no expoente de uma ou mais potências de bases positivas e diferentes de 1 é denominada equação exponencial. 
Exemplos:
a) Resolva as equações exponenciais 
2x+1 = 16
Colocar primeiramente as potências com a mesma base
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4x+2 = 32
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A figura mostra um esboço do gráfico da função f(k) = ax + b 
 com 
O gráfico passa pelo ponto (0,2). 
 f (0) = 2. 
Substituindo o valor de b em f(x): 
f(x)= ax + 1
O gráfico da função passa pelo ponto (2, 5). Temos: f (2) = 
Sabemos que a > 0 logo a = 2.
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A automedicação é considerada um risco, pois, a utilização desnecessária ou equivocada de um medicamento pode comprometer a saúde do usuário: substâncias ingeridas difundem-se pelos líquidos e tecidos do corpo, exercendo efeito benéfico ou maléfico.
Depois de se administrar determinado medicamento a um grupo de indivíduos, verificou-se que a concentração (y) de certa substância em seus organismos alterava-se em função do tempo decorrido (t), de acordo com a expressão: y = y0 . 2 – 0,5 . t , em que y0 é a concentração inicial e t é o tempo em horas.
Nessas circunstâncias, pode-se afirmar que a concentração da substância tornou-se a quarta parte da concentração inicial após:
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A expressão da concentração é dada por: 
Queremos saber quando essa concentração chega ao valor : 
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Inequação exponencial
Inequação que apresenta incógnita no expoente de uma ou mais potências de bases positivas e diferentes de 1 é denominada inequação exponencial.
Resolva as inequações 
São reduzíveis a potências de base igual a dois :
Exemplo:
A base é maior que 1, as funções exponenciais são crescentes :
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Nesta inequação, notamos que a base comum das potencias será a = 5 
Como a base é maior que 1, as funções exponenciais são crescentes. Então, pela propriedade P2 
Resolvendo a equação do 2º grau 
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A inflação anual de um país decresceu no período de sete anos. Esse fenômeno pode ser representado por uma função exponencial do tipo conforme o gráfico abaixo.
Determine a taxa de inflação desse país no quarto ano de declínio.
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Antes de determinar f(4), temos que determinar 
os valores de a e b da expressão: 
Do gráfico de f(x) sabemos que f(0) = 960 
Substituindo o valor de a na expressão 
Para calcular b fazemos :
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Substituindo então o valor de b na expressão da função:
Resposta: 60%
60%
4º ano de declíneo
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A quantidade de massa do chumbo 210 diminui em função 
do tempo devido à desintegração radioativa. Essa variação pode ser descrita pela função exponencial dada por 
Nessa sentença, m é a massa (em gramas) no tempo t, (em anos), m0 é a massa inicial
e k é uma constante de desintegração.
Sabendo-se que, após 66 anos, tem-se apenas 1/8 da massa inicial, o valor k é:
a) – 3 b) 1/3	 c) – 22 d) 1/22 e) 1/8
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O conjunto solução da inequação é:
Como a base está entre 0 e 1, a função exponencial é decrescente: 
Resolvendo a inequação do 2º grau :
Resposta: A
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Inequação exponencial
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Finalizamos nossa Aula 011.
Em nosso material institucional, há mais exercícios e definições.
Não deixe de estudar o nosso Material Institucional. 
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