Revisão Av2 Matematica Discreta

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MATEMÁTICA DISCRETA – REVISÃO PARA AV2 
1 - Qual o número de possibilidades de se formar uma senha de cadeado com três números, sem repetição? 
R: 720 
 
2 - Com os algarismos 1,2,3 e 4 , sem repeti-los , podemos escrever " x " números pares de 4 algarismos . Determine 
o valor de x 
R: Como o número deverá ser par e não podemos repetir algarismos temos: algarismo das unidades -> 2 
possibilidades ( 2 ou 4); algarismo das dezenas --->3 possibilidades; algarismo das centenas --->2 possibilidades; 
algarismo das unidades de milhar----> 1 possibilidade; logo pelo princípio multiplicativo , temos: 3 x2x1x2 = 12 
números 
 
3 - Considere a função f(x)=x-3x+1. Pede-se determinar a função g(x)=fof(x)e os domínios das funções f e g. 
R: g(x) = fof(x) = f(f(x)) = f(x-3x+1) = x-3x+1-3x-3x+1+1 = (x-3)-3(x+1)(x-3)+(x+1) = -2x-62x-2 = -x+3x-1 
Domínio de f: x≠-1 
Dominio de g: x≠-1e x≠1 
 
4 - De quantas maneiras um comitê, constituído por três homens e duas mulheres, pode ser escolhido entre sete 
homens e cinco mulheres? 
R: 350 maneiras 
 
5 - Considere a função f(x)=1-x1+x. Pede-se determinar a função fof . 
R: fof(x) = f(f(x)) = f(1-x1+x) = (1-(1-x1+x)1+(1-x1+x)) = (1+x)-(1-x)(1+x)+(1-x)=2x2=x 
 
6 - Uma empresa tem 15 funcionários no departamento de desenvolvimento de software, sendo 9 analistas em JAVA 
e 6 em C++. Quantas comissões de especialistas, sendo dois em JAVA e dois em C++ podem ser formadas? 
R: 540 
 
7 - Um trem de passageiros é constituído de uma locomotiva e 6 vagões distintos, sendo um deles restaurante. 
Sabendo que a locomotiva deve ir à frente e que o vagão restaurante não pode ser colocado imediatamente após a 
locomotiva , o número de modos diferentes de montar a composição é: 
R: 600 
 
8 - Um torneio de natação com participação de cinco atletas do Fluminense, dois atletas do Vasco e um atleta do 
Flamengo foi realizado. Serão distribuídas medalhas de ouro, prata e bronze. Sabendo que o atleta do Flamengo não 
recebeu medalha, determine o número de resultados em que há mais atletas do Fluminense do que atletas do Vasco 
no pódio. 
R: O atleta do Flamengo não recebe medalha, portanto, teremos disponíveis cinco atletas do Fluminense e dois 
atletas do Vasco. 
Pensando nas colocações ouro - prata - bronze, temos as possibilidades: 
Flu - Flu - Vas = 5 * 4 * 2 = 40 
Flu - Vas - Flu = 5 * 2 * 4 = 40 
Vas - Flu - Flu = 2 * 5 * 4 = 40 
Flu - Flu - Flu = 5 * 4 * 3 = 60 
Somando as possibilidades temos: 180. 
 
9 - Uma operadora turistica encomendou uma pesquisa para identificar os destinos nacionais que as pessoas mais 
apreciam. Nas entrevistas da pesquisa, o entrevistado pode escolher entre 10 destinos. Determine o número de 
respostas diferentes que podem ser obtidas se o entrevistado puder escolher, em ordem de preferência, de um a 
quatro destinos, dentre os dez apresentados. 
R: Escolhendo 1 destino: A10,1=10!9!=10 
Escolhendo 2 destinos: A10,2=10!8!=10⋅9=90 
Escolhendo 3 destinos: A10,3=10!7!=10⋅9⋅8=720 
Escolhendo 4 destinos: A10,4=10!6!=10⋅9⋅8⋅7=5040 
Somando as escolhas, obtemos: 5860. 
 
10 - Usando-se as 26 letras do alfabeto (A,B,C,D,...,Z), quantos arranjos distintos com 3 letras podem ser montados? 
R: 15600 
 
11 - Uma escola tem 20 professores dos quais 10 ensinam Matemática, 9 ensinam Física, 7 ensinam Química e 4 
ensinam Matemática e Física. Nenhum deles ensina Matemática e Química. Quantos professores ensinam Química 
e Física e quantos ensinam somente Física? 
R: 2 e 5 
 
12 - Usando-se os algarismos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 quantos números com 4 algarismos podem ser montados? 
R: 9.000 
 
13 - Considere as funções g(x)=3x2+2 e a função f(x)=x. Determine as compostas fog e gof com seus respectivos 
domínios. Determine ainda fog(1) e gof(1). Pergunta-se: neste caso as funções fog=gof? 
R: gof(x)=g(f(x))=g(x)=3(x)2+2=3x+2 
Domínio da gof= R+ 
gof(1)=g(f(1))=g(1)=3(1)2+2=3+2=5 
fog(x)=f(g(x))=f(3x2+2)=3x2+2 
Domínio da fog = R 
fog(1)=f(g(1))=f(3⋅12+2)=3+2=5 
Assim, fog(1)≠gof(1) 
 
14 - Seja f : R em R uma função definida por f(x) = ax + b. Se o gráfico da função f passa pelos pontos A (2,3) e B (1, 
2), a função f-1 (inversar de f) é: 
R: f-1 {x} x -1 
 
15 - Sejam f e g funções de R em R, sendo R o conjunto dos números reais, dadas por f(x) = 2x - 3 e f(g(x)) = -4x + 1. 
Nestas condições, g(-1) é igual a: 
R:f(g(x)) = 2g(x) - 3 = -4x + 1 
 2g(x) = -4x + 1 + 3 
 2g(x) = -4x + 4 
 g(x) = - 4x + 4 = -2x + 2 
 2 
 g(-1) = -2.(-1) + 2 = 2 + 2 = 4 
 
16 - Sejam f(x)=x - 5 e g(x)=2x - 8, qual opção abaixo corresponde a função composta f(g(x)). 
R: 2x – 13 
 
17 - Sendo f e g duas funções tais que fog(x) = 2x + 1 e g(x) = 2 - x então f(x) é: 
R: 5 – 2x 
 
18 - Sendo f(x)=3x+5 e g(x)=4x-3, determine a função g(f(x)). 
R: 12x + 17 
19 - A função f de R em R é definida por f(x) = a x +b . Se f(2) = -5 e f(-3) = -10, então f(f(18)) é igual a 
R: 4 
20 – Em um campeonato de futebol com 20 times em que todos jogam com todos. Quantos jogos diferentes com 
dos times podemos formar a partir dos 20 times? 
R: C20,2 = 190 
 
21 - Quantos anagramas podem ser formados com a palavra ESTÁCIO, começando com vogal e terminando com 
consoante? 
R: 4 _ _ _ _ _ 3 ==> 4.3.5! = 4.3.5.4.3.2.1 = 1440 ANAGRAMAS 
 
22 - Uma lanchonete possui 10 frutas diferentes. Um “suco especial” leva 3 frutas diferentes. Quantos “sucos 
diferentes” a lanchonete pode fazer? 
10 é o numero de elementos = n 
3 é o numero de elementos necessários = p 
Não importa a ordem das frutas no suco. O resultado ( o suco) será o mesmo. 
R: C10,3 = 120 
 
23 - Numa classe de 30 alunos, 16 gostam de Matemática e 20, de Análise Textual. O número de alunos nesta classe 
que gostam de Análise Textual e de Matemática é: mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm 
R: no mínimo 6 
24 - Fazendo uso dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos número de 4 algarismos, sem os repetir, podemos formar? 
R: 360 
25 - Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma palavra, que podem ter ou não 
significado na linguagem comum. Quantos anagramas são possíveis de formar com a palavra TÉCNICO que começam 
e terminam por vogal?mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm 
R: 720 
26 - Uma prova consta de 15 questões das quais o aluno deve resolver 10. De quantas formas ele poderá escolher 
as 10 questões? mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm 
R: 3003 
27 - Suponha que quatro seleções cheguem às quartas de final da Copa do Mundo de 2014: Brasil, Alemanha, 
Espanha e França. De quantas maneiras distintas poderemos ter os três primeiros colocados? 
R: 24 
28 - Uma empresa de segurança possui um sistema de senhas iniciadas com duas vogais seguidas de três digitos. 
Qual a quantidade maxima de senhas que o sistema em questão pode produzir? mmmmmmmmmmmmmmmmm 
R: 10.000 
29 - Num concurso com doze participantes, se nenhum puder ganhar mais de um prêmio, de quantos modos se 
podem distribuir um primeiro e um segundo prêmios? mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm 
R: 132 modos 
30 - Se h e j são funções de R em R obedecendo a h(x) = 2x-1 e h(j(x)) = x²-1, então qual é o valor de j(x)?mmmmmmm 
R: x²/2 
31 - - Dadas as funções f(x) = 2x + 5 e g(x) = x - 2, determine a função composta f(g(x)): mmmmmmmmmmmmmmmm 
R: 2x + 1 
32 - Sejam f(x)=x + 10 e g(x)=2x + 1, qual opção abaixo corresponde a função composta f(g(x)). 
R: 2x + 11 
33 - Sendo f e g duas funções tais que: f(x) = ax + b e g(x) = cx + d. Podemos afirmar que a igualdade gof(x) = fog(x) 
ocorrerá se, e somente se: mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm 
R: b(1 - c) = d(1 - a) 
 
34 - Sejam f dada por f(x) = 2x - 1 e g dada por g(x) = x + 1. Então f(g(2)) é igual a: mmmmmmmmmmmmmmmmmmm 
R: 5 
35 - - Considere o mapa das regiões do Brasil. Deseja-se colorir cada região deste mapa,tendo disponíveis cinco 
cores diferentes, de modo que somente as regiões Nordeste e Sul tenham a mesma cor. As regiões com fronteira 
comum devem ter cores distintas. De quantos modos diferentes esse mapa pode ser colorido desta forma? 
R: Considere as cinco cores: C1, C2, C3, C4, C5. mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm 
Nordeste e Sul têm a mesma cor: Temos 5 Opções: C1 C1, C2C2, C3C3, C4C4, C5C5. 
Pensando no restante das regiões agora: Norte: 4 opções ( diferente da usada no Nordeste-Sul) 
Centro-Oeste: 3 Opções ( diferente da usada no Nordeste-Sul e diferente da usada no Norte.) 
Sudeste: 3 Opções ( diferente da usada no Nordeste-Sul e diferente da usada no Centro Oeste) 
Teremos então: 5⋅4⋅3⋅3=180 
36 - Considere as funções f(x) = 3x + a e g(x) = 2x - 5. Indique a opção correta para a de modo que f(g(x)) = g(f(x)). 
R: Temos que: f(g(x)) = 3(2x - 5) + a = 6x - 15 + a & g(f(x)) = 2(3x + a) - 5 = 6x + 2a – 5 mmmmmmmmmm 
Portanto, 
6x - 15 + a = 6x + 2a – 5 mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm 
a - 15 = 2a – 5 mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm 
a = - 10 
37 - Considerando f(x) = 3x +1 e f(g(x)) = 6x - 2, determine g(x): mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm 
R: Uma vez que f(x) = 3x + 1, então: f(g(x))= 3g(x) + 1 mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm 
Mas f(g(x)) = 6x - 2. Então: 6x - 2 = 3g(x) + 1 mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm 
6x - 3 = 3g(x) mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm 
g(x) = 2x -1 
38 - Sejam f(x)=x + 10 e g(x)=2x + 1, qual opção abaixo corresponde a função composta f(g(x)). 
R: 2x + 11 
39 - Se uma função f tiver uma inversa, então os gráficos de y = f(x) e y =f-1(x) são reflexos um do outro em relação 
a reta y = x; isto é, cada um é a imagem especular do outro com relação àquela reta. Dada a função f(x)=2x-13 
determine a função inversa. mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm 
R: f-1(x)=3x+12 
40 - Em uma turma de 40 alunos, 10 foram reprovados em matemática, 8 em português e 3 foram reprovados em 
matemática e português. Quantos foram reprovados só em matemática. mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm 
R: 7 
41 - Uma senhora esqueceu a sua senha bancária. O que ela lembra ao certo é que essa senha é formada por quatro 
algarismos distintos, e que o primeiro algarismo é o 5. A senhora se recorda ainda que o algarismo 6 aparece em 
alguma outra posição. Quantas tentativas devem ser permitidas para que esta senhora possa ter a certeza de realizar 
o saque? mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm 
R: A senha é constituída de 4 algarismos distintos. Começa com 5: 5 ___ ___ ___ 
O algarismo 6 aparece em alguma posição. Pensemos se o algarismo 6 estiver na segunda posição: 5 6 ___ ___ 
Como já utilizamos dois algarismos, precisamos calcular o arranjo de 8 algarismos, dois a dois. A8,2 = 8!6! = 56 
Como esse raciocínio pode ser feito nas 3 posições que o algarismo 6 pode estar, ficamos com 56⋅3=168´ 
 
42 - Em uma cidade, os números de telefone têm 7 digitos. Quantos números de telefones podem ser formados, 
considerando os digitos de 0 a 9? mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm 
R: 107 
43 - Um bit é definido como um dos algarismos: ' 0 ' ou ' 1 '. É correto afirmar que o total de sequências com nove ' 
bits ' é um número: mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm 
R: entre 500 e 600 
44 - Quantos são os anagramas da palavra ALGÉBRICO que começam por vogal? mmmmmmmmmmmmmmmmm 
R: 161280 
45 - Com 6 rapazes e 6 moças, quantas comissões de 5 pessoas podemos formar, tendo em cada uma dela 2 rapazes 
e 3 moças? mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm 
R: 300 
46 - Considere as seguintes funções: f(x) = 5x -4 e g(x) = 2x + 1. Então o cálculo de g(f(0)) é igual a: 
R: -7 
47 - Dona Maria tem três filhos: Pedro, João e Lúcio. Os três são casados e têm respectivamente um, três e dois 
filhos. Se dona Maria quiser tirar uma foto com toda a família, lado a lado, de modo três e dois filhos. Se dona Maria 
quiser tirar uma foto com toda a família, lado a lado, de modo que cada filho apareça com sua respectiva familia, ou 
seja, Pedro junto com sua esposa e filho, João junto com sua esposa e três filhos, Lúcio com sua esposa e dois filhos. 
De quantos modos essa foto pode ser feita? mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm 
R: Podemos pensar cada família como blocos: mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm 
Famila do Pedro ( 3 pessoas) - Família do João ( 5 pessoas) – Família do Lúcio ( 4 pessoas) 
Em cada familia, ou seja em cada bloco podemos permutar as pessoas. A seguir devemos permutar os blocos. 
Dentro dos blocos : mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm 
P3⋅P5⋅P4=(3!)⋅(5!)(4!)=(3⋅2⋅1)⋅(5⋅4⋅3⋅2⋅1)⋅(4⋅3⋅2⋅1) 
Permutando os blocos: P3=(3!)=3⋅2⋅1 mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm 
Multiplicando temos: (P3⋅P5⋅P4)⋅(P3)=103.680 
48 - Quantos números pares de 4 algarismos, sem os repetir, podemos formar com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6? 
R: 420 
 
49 - Sendo f e g duas funções tais que: f(x) = ax + b e g(x) = cx + d. Podemos afirmar que a igualdade gof(x) = fog(x) 
ocorrerá se, e somente se: 
R: b(1 c) = d(1 a) 
 
50 - Com os algarismos 0,1,2,3,4,e 5, quantos dezenas podemos formar? 
R: 30 
 
51 - A determinação do tipo sangüíneo de uma pessoa deve-se à presença (ou não) dos antígenos A e B no sangue. 
Se uma pessoa possuir somente o antígeno A, ela é do tipo A; se tiver somente o antígeno B, é do tipo B; se tiver 
ambos, é do tipo AB, e se não tiver nenhum é do tipo O. Num grupo de 70 pessoas verificou-se que 35 apresentam 
o antígeno A, 30 apresentam o antígeno B e 20 apresentam os dois antígenos. Podemos afirmar sobre o tipo 
sanguíneo deste grupo de pessoas: 
R: Há 25 pessoas com sangue O 
 
52 - Otávio, João, Mário, Luís, Pedro, Roberto e Fábio estão apostando corrida. Quantos são os agrupamentos 
possíveis para os três primeiros colocados? 
R: 210 
 
53 - De quantas maneiras cinco pessoas podem ser dispostas em fila indiana (um atrás do outro)? 
R: 120 
 
54 - Martha e Luiz ganharam de presente uma geladeira para ser retirada na loja. Foram colocados às suas escolhas 
quatro marcas em três tamanhos e cinco cores diferentes. De quantos modos foi possível escolher o presente? 
R: 60 
 
55 - Seja f : R em R uma função definida por f(x) = ax + b. Se o gráfico da função f passa pelos pontos A (2,3) e B (1, 
2), a função f-1 (inversa de f) é: 
R: f -1 (x) = x – 1 
 
56 - Se uma função f tiver uma inversa, então os gráficos de y = f(x) e y =f-1 (x) são reflexos um do outro em relação 
a reta y = x; isto é, cada um é a imagem especular do outro com relação àquela reta. Dada a função `f(x)=(2x-1)/3` 
determine a função inversa. 
 
 R: f-1(x)= (3x+1)/2 
 
57 - Denomina-se arranjo dos n elementos de um conjunto qualquer, tomados k a k, a qualquer sequência ordenada 
de k elementos distintos escolhidos entre os n elementos. Sendo assim, calcule o valor de A4,2 + A7,3 
R: 222 
 
58 - Dadas as funções f(x)=-17 e g(x)=|x|, determine as compostas fog e gof e seus respectivos domínios. 
R: (fog)(x)=f(g(x))=f(|x|)= − 17 Domínio: R (o conjunto dos reais). (gof)(x)=g(f(x))= g(-17)=17 Domínio: R (o conjunto 
dos reais). 
 
59 - Uma prova possui 10 questões, das quais o aluno deve resolver 7. De quantas formas ele poderá escolher as 7 
questões?Fórmulas: 
Arranjo: An,p = n! ∕ (n – p)! 
Combinação: Cn,k = n! ∕ k!(n – k)! 
R: 120 
60 - Um curso de extensão pode ser realizado escolhendo três disciplinas distintas, dentre as sete distintas 
disponíveis. Quantos cursos diferentes podem ser oferecidos? 
R: 35 
 
61 - Sabe-se que o gráfico de uma função afim f(x)=ax+b é uma reta que corta os eixos coordenados 
nos pontos (2,0) e (0,-3). Determine o valor de f -1(0). 
R: -3