AULA 22_INTERVALO DE CONFIANÇA (PARTE 02)

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AULA 22 
 
Intervalo de Confiança 
 (PARTE 02) 
INTERVALO DE CONFIANÇA PARA 
MÉDIA DA POPULAÇÃO μ 
(σ Desconhecido) 
Se o desvio-padrão populacional σ for 
desconhecido, nós podemos substituí-lo pelo 
desvio-padrão amostral, S; 
Isto introduz uma incerteza extra, uma vez que S 
varia de amostra para amostra; 
Por isso, usamos a distribuição t no lugar da 
distribuição normal. 
Onde: t é o valor crítico de uma distribuição t com n-1 graus de liberdade 
e uma área de α/2 em cada cauda. 
n
S
tX 1-n ; /2
Hipóteses 
O desvio-padrão 
populacional é 
desconhecido 
A população é 
normalmente 
distribuída 
Se a população 
não for normal, 
use uma amostra 
grande (TLC) 
Use a 
Distribuição t de 
Student 
Estimativa Invervalo de Confiança: 
DISTRIBUIÇÃO t DE STUDENT 
•O valor t depende 
de um parâmetro 
chamado graus de 
liberdade (𝝂) 
•Número de 
observações que 
variam livremente 
quando a média 
amostral é calculada: 
• 𝝂 = n - 1 
GRAUS DE LIBERDADE 
g.l = 𝝂 = n-1 
Ideia: Número de observações que são livres 
quando a média amostral é calculada. 
Suponha que a média 
de 3 números é 8,0 
 
• Seja X1 = 7 
• Seja X2 = 8 
• X3? 
Se a média destes 3 valores é 8.0, então X3 tem 
que ser 9 (i.e., X3 não é livre para variar); 
 
Aqui, n = 3, então graus de liberdade: 
= n – 1 = 3 – 1 = 2 
Dois valores podem ser qualquer número, mas 
o terceiro não é livre para variar para uma 
dada média. 
DISTRIBUIÇÃO t DE STUDENT 
t 0 
t (gl = 5) 
 t (gl = 13) 
A distribuição t tem 
formato de sino e é 
simétrica. 
Possui maior área nas 
caudas do que a da 
normal, porque o 𝝈 é 
desconhecido e assim 
estimando pelo S. 
Normal 
Padrão 
(t com gl = ∞) 
Nota: t Z quando n aumenta. 
TABELA DE t DE STUDENT 
Área da Cauda 
Superior 
gl 
 
0,25 0,10 0,05 
1 1,000 3,078 6,314 
2 0,817 1,886 2,920 
3 0,765 1,638 2,353 
t 0 2,920 
As células da tabela contêm os 
valores t e não probabilidades!! 
/2 = 0,05 
Seja: n = 3 
𝜈 = 𝑔. 𝑙= n - 1 = 2 
  = 0,10 
 /2 =0,05 
2,920 
n - 1 
α/2 
 INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A 
MÉDIA POPULACIONAL μ 
(σ Desconhecido) 
Uma amostra aleatória com n = 25 tem 
𝑿 = 50 e S = 8. Construa o intervalo 
de confiança de 95% para μ. 
g.l =𝝂 = n – 1 = 24, 
Então, o intervalo de confiança é: 
)302,53698,46(
25
8
(2,0639)50
n
S
1-n ; /2




tX
RESOLUÇÃO 
INTERVALO DE CONFIANÇA PARA 
PROPORÇÃO POPULACIONAL π 
Uma estimativa de intervalo para a proporção 
populacional ( π ) 
Pode ser calculada ao adicionamos uma quantidade 
de incerteza à proporção amostral (𝒑 ) 
n
X
pˆ
n
)pˆ(1pˆ 

n
)(1
σp
 

n
)pˆ(1pˆ
Zpˆp /2

 
Os limites superior e inferior de confiança para a proporção 
populacional podem ser calculados por: 
pˆ
Uma amostra aleatória de 100 
pessoas observou-se que 25 se 
declararam canhotos. Construa um 
intervalo de confiança de 95% para 
a real proporção de pessoas que são 
canhotas na população. 
3349,01651,0
0433,096,125,0
 0,75/1000,2596,125/100
)/npˆ(1pˆpˆp 0250,0




p
p
p
Z
Temos 95% de certeza de que 
o verdadeiro percentual de 
canhotos na população está 
entre 16,51% e 33,49%. 
95% dos intervalos 
formados com amostra de 
tamanho 100 conterão a 
verdadeira proporção. 
25,0
100
25
pˆ 
n
X
ESCOLHENDO O TAMANHO DA 
AMOSTRA 
O tamanho da amostra é requerido para 
que tenhamos uma margem de erro (e) 
com um nível de confiança (1 - ) 
A margem de erro também é 
chamada de erro amostral 
•A quantidade de imprecisão na 
estimativa do parâmetro 
populacional; 
•A quantidade adicionada e 
subtraída da estimativa pontual para 
formar o intervalo de confiança. 
n
σ
Ze  2
22
e
σZ
n 
Isolar n para obter 
Se  = 45, que tamanho de 
amostra é necessário para 
estimar a média de ± 5 de 
erro amostral com 90% 
confiança? 
221220,52
5
(45)(1,65)σ
2
22
2
22

e
Z
n
Então, o tamanho de amostra necessário é de n ~ 221 
NÃO ESQUECER DE FAZER O 
ARREDONDAMENTO! 
65,1~05,0
2
1,0
90,01
90,0)1(



Tabela


Se desconhecido, o σ pode ser estimado quando 
usamos a fórmula que determina o tamanho 
necessário da amostra. 
Use um valor para σ que 
você espera ser ao menos 
tão grande quanto o 
verdadeiro valor de σ; 
Escolha uma amostra 
piloto e estime σ com o 
desvio-padrão amostral, S 
2
2
2/ )1(
e
Z
n
 
n
Ze
)1(
2/




Isolar n para obter 
O quão grande deve ser a 
amostra para estimarmos a 
verdadeira proporção de itens 
defeituosos em uma população 
grande com ± 3% de erro 
amostral e 95% de confiança? 
(Assuma que uma amostra 
piloto indica 𝒑 =0,12). 
451n
Logo,
450,74
(0,03)
0,12)(0,12)(1(1,96))ˆ1(ˆ
2
2
2
2






e
ppZ
n
^ ^
 
Para 95% de confiança: use Z = 1,96 e = 0,03 
𝒑 = 0,12, então use este p para estimar π 
Conceito e estimativa para intervalos de 
confiança; 
Estimativa para o intevalo de confiança da 
média (com σ conhecido); 
Estimativa para o intervalo de confiança 
para a média (com σ desconhecido); 
Criamos intervalos de confiança para a 
proporção; 
Determinamos o tamanho da amostra 
necessário para a média e a proporção; 
EM DUAS AULAS, VIMOS: 
Obrigada pela atenção 
Exercícios – Aula 22 
01 - Considere uma amostra de nove elementos 
de uma população: 
10 4 8 11 14 12 9 13 9 
Determine o intervalo de 95% de confiança para a 
média populacional. 
 Resposta = 𝟕, 𝟕𝟗𝟒 ≤ 𝝁 ≤12,206 
 02 - Examinadas 500 peças de uma produção, 
encontrou-se 260 defeituosas. Construir um 
intervalo de confiança de 90% para a verdadeira 
proporção de peças defeituosas. 
Resposta = 0,4837 ≤ 𝒑 ≤ 0,5568 
OBS: Coloque o cálculo realizado para obter o valor crítico, bem como a 
conclusão do problema.