13 Produtos notaveis e fatoracao

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Produtos Notáveis
Larissa Anne Batista
Unidade de Apoio ao Cálculo
Profa. Dra. Juliana Cespedes
1 Produtos Notáveis
Ao fazermos operações algébricas, notamos que alguns polinômios aparecem com muita frequência.
Conhecer esses polinômios e saber simplificá-los reduz o tempo de resolução de problemas, facilita os
cálculos e melhora o aprendizado. Esses polinômios são chamados de Produtos Notáveis.
Os produtos notáveis mais utilizados são:
i) O quadrado da soma de dois termos:
(a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2
Para encontrar essa solução, utilizamos as propriedades distributiva e comutativa da multiplicação:
(a+ b)2 = (a+b)·(a+b)
propriedade distributiva = a2 + ab+ ba+ b2 (1)
propriedade comutativa = a2 + ab+ ab+ b2
= a2 + 2ab+ b2
Podemos dizer: O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, mais
duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.
Exemplo 1
(x+ 3y)2 = x2 + 2x3y + (3y)2
= x2 + 6xy + 9y2
Exemplo 2
(a5 + 2bc)2 = (a5)2 + 2a52bc+ (2bc)2
= a10 + 4a5bc+ 4b2c2
ii) O quadrado da diferença de dois termos:
(a− b)2 = a2 − 2ab+ b2
O raciocínio para chegar ao resultado é similar ao caso anterior, agora só precisamos prestar atenção
no sinal.
(a− b)2 = (a− b)(a− b)
= a2 − ab− ba+ b2
= a2 − ab− ab+ b2 (2)
= a2 − 2ab+ b2
Podemos dizer: O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo,
menos duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.
1
Exemplo 3
(7x2 − 4)2 = (7x)2 − 2 ∗ 7x ∗ 4 + (4)2
= 49x2 + 56x+ 16
Exemplo 4
(x3 − xy)2 = (x3)2 − 2x3xy + (xy)2
= x6 − 2x4y + x2y2
iii) Diferença de quadrados:
(a+ b)(a− b) = a2 − b2
Seguindo a lógica anterior, temos:
(a+ b)(a− b) = a2 − ab+ ba− b2
= a2 − b2
(3)
Podemos dizer: O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro
termo, menos o quadrado do segundo termo.
Exemplo 5
(3a+ x)(3a− x) = (3a)2 − x2
= 9a2 − x2
Exemplo 6 (
b3 +
3c
5
)(
b3 − 3c
5
)
= (b3)2 −
(
3c
5
)2
= b6 − 9c
2
25
1.1 Exercícios
Utilizando produtos notáveis, calcule:
• (7x+ 1)2
•
(
2m+
3
4
)2
• (6a− b)2
•
(p
5
− 2h
)2
• (2x3 + 3y2)(2x3 − 3y2)
• (a4x2 − a2x4)(a4x2 + a2x4)
2
2 Fatoração de Polinômios
Todos os termos de um polinômio têm um fator comum, podemos colocá-lo em evidência. A forma
fatorada é o produto do fator comum pelo polinômio que se obtém dividindo-se cada termo do polinômio
dado pelo fator comum.
i) Diferença de quadrados
Em produtos notáveis aprendemos que (a+b)(a−b) = a2−b2. O que faremos agora é fatorar a2−b2.
O primeiro passo é encontrar as raízes dos termos e depois montar a soma e a diferença, vejamos:
Exemplo 7 Fatore o binômio 64x2 − 25y8.
Para encontrar as raízes, devemos calcular:
√
64x2 = 8x e
√
25y8 = 5y4. Agora basta montar a
soma e diferença:
64x2 − 25y8 = (8x+ 5y4)(8x− 5y4) (4)
Exemplo 8 Fatore o binômio 81− 0, 49k6.
Para encontrar as raízes, devemos calcular:
√
81 = 9 e
√
0, 49k6 = 0, 7k3. Agora basta montar a
soma e diferença:
81− 0, 49k6 = (9 + 0, 7k4)(9− 0, 7k4) (5)
ii) Trinômio Quadrado Perfeito
Um trinômio será quadrado perfeito quando possuir dois de seus três termos quadrados e o terceiro
sendo igual ao dobro do produto entre as raízes quadradas dos termos quadrados, ou seja, x2+2xy+y2
é um trinômio quadrado perfeito, pois possui dois termos quadrados x2 e y2 e o terceiro pode ser
escrito por: 2
√
x2
√
y2 = 2xy. O mesmo vale para x2 − 2xy + y2.
Logo, podemos escrever: x2 + 2xy + y2 = (x+ y)2 e x2 − 2xy + y2 = (x− y)2.
Exemplo 9 Se possível, fatore o polinômio 4m2 − 12mn2 + 9n4.
Dois termos quadrados:
√
4m2 = 2m e
√
9n4 = 3n2.
Terceiro termo: 2
√
4m2
√
9n4 = 12mn2
Portanto é um trinômio quadrado perfeito e
4m2 − 12mn2 + 9n4 = (2m+ 3n2)2 (6)
Exemplo 10 Se possível, fatore o polinômio 36− 132p6n + 121p12n.
Dois termos quadrados:
√
36 = 6 e
√
121p12n = 11p6n.
Terceiro termo: 2
√
36
√
121p12n = 132p6n
Portanto é um trinômio quadrado perfeito e
36− 132p6n + 121p12n = (6− 11p6n)2 (7)
iii) Trinômio de Steven
Dos produtos notáveis, aplicando distribuição, temos que
(a+ b)(a+ c) = a2 + (b+ c)a+ bc,
que podemos escrever como a2 + Sa+ P , onde S = b+ c é a soma dos termos não comuns e P = bc
o seu produto.
O objetivo é fatorar uma expressão qualquer da forma x2 + Sx + P para a forma (x + r1)(x + r2).
Para tanto, é necessário extrair a raiz quadrada do termo quadrado e descobrir os dois números cuja
soma é S e o produto é P . Em outras palavras, dados S e P , resolver o sistema não-linear{
r1 + r2 = S
r1r2 = P,
(8)
de modo a se obter (x+ r1)(x+ r2) = x2 + Sx+ P .
3
Exemplo 11 Fatore o trinômio k2 + 8k + 15.
Extraindo a raiz quadrada do termo quadrado k2, teremos k, perceba que 8 multiplica k. Vamos
descobrir agora dois números que somados sejam iguais a 8 e multiplicados sejam iguais a 15. Esses
números são 3 e 5, já que 3 + 5 = 8 e 3× 5 = 15. Logo,
k2 + 8k + 15 = (k + 3)(k + 5).
Nem sempre é fácil resolver a Equação 8 adivinhando sua solução. Neste caso, é preferível usar
a Fórmula de Bháskara (que, embora a chamamos assim, não foi criada por Bháskara). Dada a
expressão algébrica
x2 + Sx+ P,
encontramos as raízes da equação
x2 + Sx+ P = 0
para obtermos sua forma em produto (x − r1)(x − r2) = 0, onde r1 e r2 são suas raízes. Aplicando
a fórmula de Bháskara, chegamos que
x2 + Sx+ P =
(
x− S +
√
S2 − 4P
2
)(
x− S −
√
S2 − 4P
2
)
. (9)
Note que se uma das raízes quadradas da Equação 9 não existir em R, então é impossível fatorar o
trinômio.
Observação: O Trinômio Quadrado Perfeito é um caso particular do Trinômio de Steven quando
os termos do produtos são iguais, isto é, quando o discriminante (radicando na Fórmula de Bháskara)
é nulo.
iv) Agrupamento
Quando um expressão algébrica possui uma soma tal que dois ou mais termos possuem, em comum,
um ou mais termos fazendo parte de um produto, podemos agrupar os termos em comum. Este
processo é contrário à distribuição do produto na soma.
Exemplo 12 Fatore o polinômio ac+ ad+ bc+ bd.
Não podemos por todos os termos em evidência e não há preferência em qual termos escolher para o
agrupamento. Escolhendo a e b para agrupar, temos
a(c+ d) + b(c+ d)
e, agrupando o termo (c+ d),
(a+ b)(c+ d).
Se começássemos agrupando primeiro outros termos, chegaríamos no mesmo resultado.
Exemplo 13 Fatore 3a2x− 2b2 + 2a2 − 3b2x. Segue que
3a2x− 2b2 + 2a2 − 3b2x = 3a2x− 3b2x+ 2a2 − 2b2
agrupando 3x e 2 = 3x(a2 − b2) + 2(a2 − b2)
agrupando a2 − b2 = (3x+ 2)(a2 − b2)
pela diferença de dois quadrados = (3x+ 2)(a+ b)(a− b).
2.1 Exercícios
Estude os polinômios abaixo e os fatore se possível.
• 17am+1b2n+3 − 51am+2b2n−1 − 34amb2n+1
• m−2 − 2(mp)−1 + p−2
• (2x− y)2 − 9z2
• a2b2 + 29abc+ 100c2
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3 Referências
http://www.infoescola.com/matematica/produtos-notaveis/
http://www.cesumar.br/lyceump/aonline/ nivelamento/ material/apostila_ nivelamento _ cal.pdf
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