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Aula 5 – Hidrodinâmica Eng. Marcelo Botini Tavares 5.1 – MOVIMENTO DOS FLUIDOS PERFEITOS 5.2 – VAZÃO OU DESCARGA 5.3 – CLASSIFICAÇÃO DOS MOVIMENTOS 5.4 – REGIMES DE ESCOAMENTO 5.5 – LINHAS E TUBOS DE CORRENTE 5.6 – EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE 5.7 – TEOREMA DE BERNOULLI PARA LÍQUIDOS PERFEITOS 5.1 MOVIMENTO DOS FLUIDOS PERFEITOS A Hidrodinâmica tem por objetivo o estudo do movimento dos fluidos. Consideremos um fluido perfeito em movimento, referindo- se as diversas posições dos seus pontos a um sistema de eixos retangulares 0x, 0y, 0z. O movimento desse fluido ficará perfeitamente determinado se, em qualquer instante t, forem conhecidas a grandeza e a direção da velocidade v relativa a qualquer ponto. Ou então, o que vem a ser o mesmo, se forem conhecidas as componentes vx, vy, vz, dessa velocidade, segundo os três eixos considerados. Há de se considerar, também, os valores da pressão p e da massa específica ρ, que caracterizam as condições do fluido em cada ponto considerado. O problema relativo ao escoamento dos fluidos perfeitos comporta, portanto, cinco incógnitas, vx, vy, vz, p e ρ, que são funções de quatro variáveis independentes, x, y, z e t. A resolução do problema exige, pois, um sistema de cinco equações. As cinco equações necessárias compreendem: as três equações gerais do movimento, relativas a cada um dos três eixos; a equação da continuidade, que exprime a lei de conservação das massas; e uma equação complementar, que leva em conta a natureza do fluido. O método geral para a solução desse problema a ser utilizado, é o Método de Euler, que estuda, no decorrer do tempo e em determinado ponto, a variação das grandezas mencionadas. 5.2 VAZÃO OU DESCARGA Chama-se vazão ou descarga, numa determinada seção, o volume de líquido que atravessa essa seção na unidade de tempo. Na prática a vazão é expressa em m3/s ou em outras unidades múltiplas ou submúltiplas. Assim, para o cálculo de canalizações, é comum empregaram-se litros por segundo. 5.3 CLASSIFICAÇÃO DOS MOVIMENTOS O movimento pode ser classificado da seguinte maneira: Movimento permanente: é aquele em que as propriedades e características hidráulicas (força, velocidade, pressão) em cada ponto do espaço, não dependem do tempo. Com o movimento permanente, a vazão é constante em um ponto da corrente. Movimento permanente uniforme: as características hidráulicas não variam de seção para seção ao longo do canal. Q1 = Q2; A1 = A2; v1 = v2 Movimento permanente variado (acelerado): as características hidráulicas variam de seção para seção ao longo do canal. Q1 = Q2; A1 ≠ A2; v1 ≠ v2 Movimento não permanente: as características, além de mudarem de ponto para ponto, variam de instante em instante, isto é, são função do tempo. Q1 ≠ Q2; A1 ≠ A2; v1 ≠ v2 5.4 REGIMES DE ESCOAMENTO A observação dos líquidos em movimento leva-nos a distinguir dois tipos de escoamento: a) regime laminar (tranquilo ou lamelar); e b) regime turbulento (agitado ou hidráulico) Escoamento laminar: quando as partículas movem-se ao longo de trajetórias bem definidas, em lâminas ou camadas, as quais não se cruzam. Neste tipo de escoamento, é preponderante a ação da viscosidade do fluido no sentido de amortecer a tendência de surgimento de turbulência – fluidos muito viscosos. Escoamento turbulento: neste caso, as partículas do líquido movem-se em trajetórias irregulares, com movimento aleatório, produzindo uma transferência de quantidade de movimento entre regiões da massa líquida. 5.5 LINHAS E TUBOS DE CORRENTE Em um líquido em movimento, consideram-se linhas de corrente as linhas orientadas segundo a velocidade do líquido e que desfrutam da propriedade de não serem atravessadas por partículas do fluido. Em cada ponto de uma corrente passa, em cada instante t, uma partícula de fluido, animada de uma velocidade v. As linhas de correntes são, pois, as curvas que no mesmo instante t considerado, mantêm-se tangentes em todos os pontos à velocidade v. Admitindo-se que o campo de velocidade v seja contínuo, pode-se considerar um tubo de corrente como uma figura imaginária, limitada por linhas de corrente. 5.6 EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE A equação da continuidade relaciona a vazão em massa na entrada e na saída de um sistema e tratando-se de movimento permanente, a quantidade de líquido entrando na seção A1 é igual à que sai por A2. 𝑄𝑚1 = 𝑄𝑚2 ⟹ 𝜌1𝑉1𝐴1 = 𝜌2𝑉2𝐴2 Para o caso de fluido incompressível, a massa específica é a mesma tanto na entrada quanto na saída, portanto: 𝜌1 = 𝜌2 ⟹ 𝑉1𝐴1 = 𝑉2𝐴2 = 𝑄 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 Exercício 5.1 – Verificou-se que a velocidade econômica para uma extensa linha de recalque é 1,05 m/s. A vazão necessária a ser fornecida pela bomba é de 450 m³/hora. Determinar o diâmetro da linha. Exercício 5.2 – Um gás escoa em regime permanente no trecho de tubulação da figura. Na seção (1), tem-se A 1 = 20 cm², ρ1 = 4 kg/m³ e v1 = 30 m/s. Na seção (2), A2 = 10 cm² e ρ2 = 12 kg/m³. Qual a velocidade na seção (2)? Exercício 5.3 – Para a tubulação mostrada determine: a) a vazão e a velocidade no ponto (3) b) a velocidade no ponto (4) Dados: v1 = 1m/s, v2 = 2m/s, d1 = 0,2m, d2 = 0,1m, d3 = 0,25 m e d4 = 0,15m. Exercício 5.4 – Um tubo admite água (ρ = 1.000 kg/m³) num reservatório com uma vazão de 20 L/s. No mesmo reservatório é trazido óleo (ρ = 800 kg/m³) por outro tubo com uma vazão de 10 L/s. A mistura formada é descarregada por um tubo cuja seção tem uma área de 30 cm². Determinar a massa específica da mistura no tubo de descarga e sua velocidade. 5.7 TEOREMA DE BERNOULLI PARA LÍQUIDOS PERFEITOS O teorema de Bernoulli decorre da aplicação da equação de Euler aos fluidos sujeitos à ação da gravidade em movimento permanente. Teorema de Bernoulli: para o movimento de líquidos perfeitos em regime permanente, a carga total H, que representa a energia mecânica por unidade de peso do líquido, é constante ao longo de cada trajetória. A figura a seguir mostra parte de um tubo de corrente, no qual escoa um líquido de peso específico γ. Nas duas seções indicadas, de áreas A1 e A2, atuam as pressões p1 e p2, sendo as velocidades, respectivamente, v1 e v2. Ao longo de qualquer linha de corrente é constante a soma das alturas cinética (v2 /2g), piezométrica (p/ γ) e geométrica (Z). 𝑣1 2 2𝑔 + 𝑝1 𝛾 + 𝑍1 = 𝑣2 2 2𝑔 + 𝑝2 𝛾 + 𝑍2 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 O teorema de Bernoulli não é senão o princípio da conservação da energia. Cada um dos termos da equação representa uma forma de energia. v2 /2g = energia cinética p/ γ = energia de pressão ou piezométrica Z = energia de posição ou potencial. É importante notar que cada um desses termos pode ser expresso em metros, constituindo o que se denomina carga. A experiência não confirma rigorosamente o teorema de Bernoulli, isto porque os fluidos reais, ou naturais, se afastam do modelo perfeito. A viscosidade e o atrito externos são os principais responsáveis pela diferença; em consequência das forças de atrito, o escoamento somente ocorre com uma perda de energia: a perda de carga. Por isso se introduz na equação de Bernoulli um termo corretivo h (perda de carga). 𝑣1 2 2𝑔 + 𝑝1 𝛾 + 𝑍1 = 𝑣2 2 2𝑔 + 𝑝2 𝛾 + 𝑍2 + ℎ Conhecendo-se a trajetória de um filete de líquido, identificada pelas cotas geométricas em relação a um plano horizontal de referência, pode-se representar os valores de p/ γ, obtendo-se o lugar geométrico dospontos cujas cotas são dadas por p/ γ + z e designado como linha piezométrica. Se acima da linha piezométrica acrescentarem-se os valores da carga cinética v2/2g, obtém-se a linha de cargas totais ou linha de energia, que designa a energia mecânica total por unidade de peso de líquido, na forma H = p/ γ + z + v2/2g. Observações sobre os conceitos básicos: a) como, em geral, a escala de pressões adotada na prática é a escala em relação à pressão atmosférica, a linha piezométrica pode coincidir com a trajetória (escoamento livre); b) todas as parcelas da equação de Bernoulli devem ser representadas geometricamente como perpendiculares ao plano horizontal de referência, independente da curvatura da trajetória; c) a linha de carga total, desce sempre no sentido do escoamento, a menos que haja introdução de energia externa, pela instalação de uma bomba; d) quando se utiliza o conceito de perda de carga entre dois pontos da trajetória, trata-se de perda de energia total, ou seja, H = p/ γ + z + v2/2g, e não de perda de carga piezométrica. O enunciado geral do teorema de Bernoulli fica sendo, portanto: “Para um escoamento contínuo e permanente, a carga total de energia, em qualquer ponto de uma linha de corrente é igual à carga total em qualquer ponto a jusante da mesma linha de corrente, mais a perda de carga entre os dois pontos”. Exercício 5.5 – A água escoa pelo tubo indicado na figura, cuja seção varia do ponto 1 para o ponto 2, de 100 cm² para 50 cm². Em 1, a pressão é de 0,5 kgf/cm² e a elevação 100, ao passo que, no ponto 2, a pressão é de 3,38 kgf/cm² na elevação 70. Calcular a vazão em litros por segundo. Utilizar γ da água = 1000 kgf/m3. Exercício 5.6 – De uma pequena barragem, parte uma canalização de 250 mm de diâmetro, com poucos metros de extensão, havendo depois uma redução para 125 mm. Do tubo de 125 mm, a água passa para a atmosfera sob a forma de jato. A vazão foi medida, encontrando-se 105 l/s. Calcular a pressão na seção inicial da tubulação de 250 mm e a altura H na barragem. Exercício 5.7 – Uma tubulação vertical de 150 mm de diâmetro apresenta, em um pequeno trecho, uma seção contraída de 75 mm, onde a pressão é de 1 atm. A três metros acima desse ponto, a pressão eleva-se para 14,7 mca. Calcular as velocidades em 1 e 2 e a vazão. Exercício 5.8 – Em um canal de concreto, a profundidade é de 1,20 m e as águas escoam com uma velocidade média de 2,40 m/s, até um certo ponto, onde, devido a uma queda, a velocidade se eleva a 12 m/s, reduzindo-se a profundidade a 0,60 m. Desprezando as possíveis perdas por atrito, determinar a diferença de nível (y) entre as duas partes do canal.
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