Notas de Aula de Cálculo I

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PROFª WALÉRIA AD. GONÇALEZ CECÍLIO 
 
 
PUCPR 
 
�� 
CÁLCULO I 
NOTAS DE AULA: 2ª AVALIAÇÃO PARCIAL 
Waléria A. G. Cecílio 
 
PROFª WALÉRIA AD. GONÇALEZ CECÍLIO 
 
1 DERIVADA 
 
 
DEFINIÇÃO DE DERIVADA E INTERPRETAÇÕES 
 
DEFINIÇÃO: A taxa média de variação de )(xfy = em relação a x no intervalo 
],[ 21 xx é definida por: 
 
.0,)()()()( 11
12
12
sec ≠∆∆
−∆+
=
−
−
=
∆
∆
= x
x
xfxxf
xx
xfxf
x
y
m
 
*Geometricamente, a taxa média de variação é o coeficiente angular de uma reta 
secante. 
A tangente a uma curva em P é a reta através de P cujo coeficiente angular é o limite 
dos coeficientes angulares das secantes quando PQ → de cada lado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
COEFICIENTE ANGULAR E RETA TANGENTE 
 
DEFINIÇÃO: O coeficiente angular da curva )(xfy = em um ponto ))(,( 00 xfxP é o 
número 
x
xfxxf
m
x ∆
−∆+
=
→∆
)()(lim 00
0
 ( desde que o limite exista!!!). 
 
A reta tangente ao gráfico de f em P é a reta que passa por P e tem esse coeficiente 
angular. 
 
DEFINIÇÃO: Derivada em um ponto 
 
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A expressão 
x
xfxxf
∆
−∆+ )()( 00
 é chamada de taxa média de variação de f em 0x 
com incremento x∆ . Se o quociente de diferença tem um limite L quando 0→∆x , esse 
limite é chamado de derivada em 0x e mede a taxa instantânea de variação de f no 
ponto x = 0x e é denotada por: 
x
xfxxf
xf
x ∆
−∆+
=
→∆
)()(lim)('
0
 
 
Observação: O domínio de 'f é o conjunto dos pontos no domínio de f para o qual o 
limite exista. 
 
Aplicando a Definição: Encontre a derivada de xy = para .0>x 
Solução: ( )
xxxxxxx
xxx
xxx
xxx
x
xxx
x
xfxxf
+∆+
=
+∆+∆
−∆+
=
+∆+
+∆+
∆
−∆+
=
∆
−∆+ 1
)()(
)(
.
)()(
 
xxxx
xfm
x
t 2
11lim)('
0
=
+∆+
==
→∆
 ⇒ 
x
xf
2
1)(' = 
 
Observação: A função y é definida em 0 mas 'y não. 
 
 
Notação: 
 
( ))(,,' xf
dx
d
e
dx
df
dx
dyy . 
O símbolo dx
dy
 foi introduzido por Leibniz e, no momento, não deve ser encarado por 
um quociente.
 
 
O valor da derivada de f em x = a será definido por ,)()(lim)('
0 x
afxaf
af
x ∆
−∆+
=
→∆
 e 
representado como axax dx
dy
ouafy
==
 )(','
. 
 
 
 
Exemplo: Use a definição para calcular a derivada de 2xy = no ponto 20 =x . 
 
Solução: 
x
x
xxx
x
xxxxx
x
xxx
xf
xxx
2
)2(lim2lim)(lim)('
0
222
0
22
0
=
∆
∆+∆
=
∆
−∆+∆+
=
∆
−∆+
=
→∆→∆→∆
 em 
 
4)2('2 == fx 
 
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TEOREMA: Toda função derivável num ponto ax = é contínua nesse ponto. 
 
REGRAS DE DERIVAÇÃO 
a. Se c é uma constante e ,)( cxf = então 0)(' =xf 
 
Prova: 
0)(0lim)()(lim
00
=∴=
∆
−
=
∆
−∆+
==
→∆→∆
c
dx
d
x
cc
x
xfxxf
dx
df
dx
dy
xx
 
 
b. Sejam f uma função, c uma constante e g a função definida por 
).()( xfcxg = Se )(' xf existe então, )()(' ' xfcxg = . 
 
Prova: 
)()()((lim
)()(lim)()(lim)()(lim
0
000
u
dx
d
ccu
dx
d
dx
df
c
x
xfxxf
c
x
xfxxf
c
x
xfcxxfc
x
xgxxg
dx
dg
x
xxx
=∴=





∆
−∆+
=



∆
−∆+
=
∆
−∆+
=
∆
−∆+
=
→∆
→∆→∆→∆
 
Assim como foram demonstradas as fórmulas de derivação acima, pode ser mostrado 
que as fórmulas dispostas abaixo são verdadeiras. 
 
FÓRMULAS DE DERIVAÇÃO 
Sejam )(xuu = e )(xvv = funções deriváveis em x e α uma constante qualquer, então: 
1. 0)( =c
dx
d
 
 
2. 1)( =x
dx
d
 
 
3. 
dx
du
ccu
dx
d
=)( 
 
4. 1−= αα α xx
dx
d
 
5. 
dx
dv
dx
du
vu
dx
d
+=+ )( 
 
 
6. 
dx
dv
uv
dx
du
vu
dx
d
+=).( 
 
7. 2v
dx
dv
u
dx
du
v
v
u
dx
d −
=





 
 
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 DERIVADAS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
8. xyxyouxx
dx
d
cossencos)(sen ' === 
9. xyxyouxx
dx
d
sencossen)(cos ' −==−= 
 
Derivada da Tangente: 
x
xx
xsenx
x
senxsenxxx
x
senx
dx
d
tgx
dx
d 2
22
22
2 seccos
1
cos
cos
cos
).(cos.cos
cos
)( ==+=−−=





=
 
10. xtgx
dx
d 2sec= 
Reciprocamente pode-se mostrar que as fórmulas abaixo são verdadeiras: 
11. xecgx
dx
d 2coscot −= 
12. tgxxx
dx
d
.secsec = 
13. gxecxecx
dx
d
cot.coscos −= 
 
EXERCÍCIOS: 
1. Encontre as derivadas das funções: 
a) 5xy = � 45' xy = 
b) 423 ++= xxy � 23' 2 += xy 
c) xxxy −+−= 510 � 1510' 49 −+−= xxy 
d) xxy 52 5 += � 510' 4 += xy 
e) ))(12( 243 xxxy +−= � xxxxy 241014' 346 −−+= 
f) )4)(12(2 2 ++= tty � 23212' 2 ++= tty 
g) 
35
32
2
4
+−
−
=
xx
xy � ( )22
345
35
15624304
'
+−
−++−
=
xx
xxxxy
 
h) 
x
y 1= � 2
1
'
x
y −= 
i) 2)( rrf pi= � rrf pi2)(' = 
j) bawwf += 2)( � awwf 2)(' = 
 
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k) 3
2
114)( −−= xxf � 42
3)('
x
xf = 
l) 
1
1)(
+
−
=
x
x
xf � ( )21
2)('
+
=
x
xf 
m) )2)(17()( +−= xxxf � 1314)(' += xxf 
n) ( )
3
12)(
22
+
++
=
x
xx
xf
 � 
( )( )
( )2
22
3
1211143)('
+
++++
=
x
xxxx
xf 
 
2. Seja vuy .= o produto das funções u e v. Determine )2('y se 3)2( =u , 
4)2(' −=u , 1)2( =v e 2)2(' =v . � Resp: 2)2(' =y . 
 
 
3. Calcular o valor da derivada usando a definição: 
x
y 1= em 3=x ; 
Resp: f’(3)=-1/9 
 
4. Sabendo que 2)( xxxf += , calcule a derivada de g(x) = 2 f(x). 
Resp: x
x
xg 41)(' +=
 
 
5. Encontre a derivada da função: 
a) xxy sen2 −= 
b) 
x
xy sen= 
c) xxy cos.sen= 
d) 
x
xy
sen1
cos
−
= 
e) 
x
xy
cos1
cos
+
= 
f) 
x
xy
cos1
sen
+
= 
g) tgxxy .sec= 
h) θθ gy cot.sec= 
i) xxy cos310 +−= 
j) 74cos +−= xecxy 
k) 
tgxx
y 1
cos
4
+= 
 
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l) xxxxxy sen2cos2sen2 −+= 
m) 
x
xy
cos1
cos
+
= 
 
 
Respostas: 
a) xxy cos2' −= 
b) 2
cos.
'
x
senxxxy −= 
c) )2cos(' xy = 
d) 
senx
y
−
=
1
1
' 
e) ( )2cos1' x
senxy
+
−
= 
f) 
x
y
cos1
1
'
+
= 
g) xxtgxy 32 sec.sec' += 
h) θθ 2cot.sec' gy −= 
i) senxy 310' −−= 
j) xgxecxy /2cot.cos' −−=
 
k) xecxtgxy 2cossec.4' −= 
l) xxy cos' 2= 
m) ( )2
'
cos1 x
senxy
+
−
= 
 
 
RETA NORMAL E RETA TANGENTE 
 
1. Se f é diferenciável, então a reta normal em um ponto ))(,( afaP do gráfico de 
f é a reta que passa por P perpendicular a tangente. 
 
2. Se 0)(' ≠af , então o coeficiente angular da reta normal é .)('
1
af− 
3. Se ,0)(' =af então a tangente é horizontal e, nesse caso, a normal é vertical e 
tem equação .ax = 
 
 
Exercício: 
1) Encontre a reta tangente à curva xy = para .4=x
 Resp: 14
1
+= xy
 
2) Encontre a equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico de 2xy = no ponto 
(2,4). Esboce as retas. 
3) A curva 22 24 +−= xxy tem alguma tangente horizontal? Se tiver onde está? “Se 
houver tangentes horizontais, elas estarão onde o coeficiente angular 
dx
dy
 é zero.” 
Resp.: A curva tem tangente horizontal em 0=x ,1 e -1, os pontos 
correspondentes na curva são (0,2), (1,1) e (-1,1) 
4) Encontrea equação para a tangente à curva 
x
xy 2+= no ponto )3,1( . 
Resp: 4+−= xy
 
5) Determine a equação da normal do gráfico de 2xy = no ponto )4,2(P . 
Resp: 
2
9
4
1
+−= xy
 
6) Encontre a equação da reta tangente à curva xy = , que seja paralela à reta 
.0148 =+− yx � Resp:
8
12 += xy 
7) Encontrar a inclinação da reta tangente a curva: 
a) 12
2 +−= xxy no ponto ),( 11 yx � Resp: 22 1 −= xm 
b) 32 2 += xy no ponto cuja abscissa é 2. � Resp: 8=m 
 
8) Encontre a equação da normal a curva do gráfico de xy = no ponto )2,4( . 
Resp: 184 +−= xy
 
 
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DERIVADA DE FUNÇÃO COMPOSTA 
 
REGRA DA CADEIA 
Proposição: Se )(),( xfuugy == e as derivadas 
dx
du
e
du
dy
 existem, então a função 
composta )(ugy = tem derivadas que é dada por 
dx
du
du
dy
dx
dy
.= 
Exercício: 
Derive as funções definidas abaixo: 
1. 22 )13( += xy � xxy 1236 3' += 
2. 72 )25( ++= xxy � )52()25(7 62' +++= xxxy 
3. 
5
12
23






+
+
=
x
xy � 
4
2
'
12
23
)12(
5






+
+
+
−
=
x
x
x
y
 
4. 2232 ).()13( xxxy −+= �
 
 
5. )sen( 2 xxy += � ( ) )cos(12 2' xxxy ++= 
6. )2sen5( ttgy −= � ( ) )25(sec2cos2 2' tsenty −−= 
7. xxxy +++= 38 )42( � ( )
x
xxy
2
14268 27' +++= 
8. 35 2 += xy � 
3
5
2
'
+
=
x
xy
 
9. ( )54 22 −= xseny � ( )1088 2' −= xxseny 
10. ( )( )14ln2 −= xseny � ( )( )
14
14ln4 2
'
−
−
=
x
xseny 
 
DERIVADAS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
8) y = sen u → y’ = '.cos uu
 
9) y = cos u → y’ = - sen u u’ 
10) y = tg u → y’ = sec2 u u’ 
11) y = cotg u → y’ = - cosec2 u u’ 
12) y = sec u → y’ = sec u tg u u’ 
13) y = cosec u → y’ = - cosec u cotg u u’ 
 
DERIVADA DE FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARITMAS 
14. '.´ ueyey uu =→= 
 
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15. ' . ln´)1,0( uaayaaay uu =→≠>= 
16. y = logau → e
u
uy alog
'
'= 
17. 
u
uyuy
,
´ln =→= 
 
DERIVADA DE FUNÇÕES DO TIPO: y= vu 
Sejam u e v funções de x, então: 
18. 
,,1
.ln.. vuuuuvuy vvv +→= −
 
 
Exemplos: 
a) xxy =
 
xxxx
dx
dy xx ln1 += − 
xxx
dx
dy xx ln+= 
)1(ln += xx
dx
dy x
 
 
b) )12(2 )1( ++= xxy 
)2)(1ln()1()2()1)(12( 2222222 +++++= −− xxxxx
dx
dy xx
 
)1ln()1(2)1)(24( 2)12(2)22(22 ++++−= −− xxxxx
dx
dy xx
 
 
DERIVADA DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS 
19. 1,
1
1)(arcsen
2
<
−
= u
dx
du
u
u
dx
d
 
20. 
dx
du
u
uarc
dx
d
21
1)cos(
−
−=
 
21. 
dx
du
u
tguarc
dx
d
21
1)(
+
= 
22. 
dx
du
u
guarc
dx
d
21
1)cot(
+
−= 
 
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23. 1
1
1)sec(
2
>
−
= u
dx
du
uu
uarc
dx
d
 
24. 1,
1
1)cos(
2
>
−
−
= u
dx
du
uu
ecuarc
dx
d
 
 
EXERCÍCIOS: 
1. Calcule: 
a) xx ee
dx
d 55 5)( = 
b) kxkx kee
dx
d
=)( 
c) xx ee
dx
d
−−
−=)( 
d) 22 2)( xx xee
dx
d
= 
e) senxsenx exe
dx
d
.cos)( = 
f) ( ) 5ln.5.852 4242 22 −− −=− xx x
dx
d
 
g) [ ] x
dx
d senxsenx cos.2ln22 = 
h) [ ]132 23 −+ xx
dx
d
 = ( )343ln3 132 2 +−+ xxx 
i) [ ]xxe
dx
d ln
 = ( )xe xx ln1ln + 
j) [ ]
1
2)1ln( 22 +=+ x
x
x
dx
d
 
k) [ ])173(log 22 −+ xxdx
d
 = e
xx
x
22 log173
76
−+
+
 
l) )1(2
1cos2
1
ln
2
xsenx
x
xx
senxx
dx
d
+
−+=











+
 
m) 





+
−
−
+
+
−
=





+
−
242
32
42
32
1
8
63
12
.)1(
147
)1(
147
x
x
xxx
xx
x
xx
dx
d
 
 
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n) [ ]
2)1(1
1)1(
+−
=+
x
xarcsen
dx
d
 
o) 
4
2
1
2)(
x
x
arcsenx
dx
d
−
= 
p) ( )
tt
tarctg
dt
d
2
1
.)1(
1
+
= 
q) 
125
4)5sec(
8
4
−
=
xx
xarc
dx
d
 
2. Em qual ponto do gráfico da função 32 −= ty a reta tangente tem coeficiente 
angular 21? Resp.: (4.921, 27.297) 
3. Calcular a derivada das seguintes funções: 
a) 
nm
x
ba
xy
+
−
+
=
34 2
 � Resp: 
nm
x
ba
xy
+
−
+
=
23 64
' 
b) 
5 3
4
3
2 432
x
x
x
x
x
xy +−= � Resp: 5 223
5
6841' xxx
x
y +−= 
c) )()( 42 ttttf mm += −− � Resp: 272 ).1().62()(' −− −+−= mm tmtmtf 
d) 4log2 += xy
pi
 � Resp: 3
2
'
x
y pi−= 
e) 3 2 52 xxy −= � Resp: 
2
3 2 )52(.3
54
'
xx
xy
−
−
= 
f) )54(sen)( 22 −= xxf � )108(sen8)(' 2 −= xxxf 
g) 
x
x
xg
sen1
sen1)(
+
−
= � Resp: 
x
xg
sen1
1)('
+
−= 
h) 
xx
xxy
++
−+
=
1
1ln
2
2
� Resp: 
1
2
'
2 +
−=
x
y 
i) xey 2sen= � Resp: xyy 2cos.2'= 
j) xxy 328 −= � Resp: 8ln)32(' −= xyy 
k) ( )2arccos xy = � Resp: 
21
cos2
'
x
xarcy
−
−
= 
l) )]14([lnsen2 −= xy � Resp: 
14
])14(ln[sen4 2
−
−
x
x
 
m) xmexy sen= � Resp: 




 +
=
x
xxmyy cos' 
 
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DERIVADAS SUCESSIVAS 
 
Definição: Seja f uma função derivável. Se f’ também for derivável, então sua 
derivada é chamada de derivada segunda de f e é representada por )('' xf ou 2
2
dx
fd
 e 
lê-se f duas linhas de x ou derivada segunda de f em relação a x. 
 
A definição é análoga para derivadas de maior ordem de derivação. 
 
Exemplos: 
a) 246 2 −+= xyy � 122
2
=
dx
fd
 
b) tgxy = � xtgx
dx
fd 2
2
2
sec2= 
c) xey 3
1
= � 
x
e
dx
fd 31
3
3
27
1
=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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DERIVADA DE FUNÇÕES DADAS IMPLÍCITAMENTE 
 
Imagine se soubéssemos que a equação xy =2 define y como uma ou mais funções 
deriváveis de x para 0>x , sem saber exatamente quais são essas funções. É possível 
ainda determinar ?
dx
dy
 
Para isso, simplesmente derivamos os dois lados da equação xy =2 em relação a x, 
considerando )(xfy = como uma função derivável de x. 
xy =2 
cadeiadaregra
dx
dyy →= 12 
ydx
dy
2
1
= 
Observação: Esta fórmula de derivada fornece a solução para ambas as soluções 
explícitas .21 xyexy −== 
 
PASSOS PARA A DERIVAÇÃO IMPLÍCITA 
Passo 1: Derive os dois lados da equação em relação a x , considerando y como uma 
função derivável de x. 
Passo 2: Reúna os termos que contêm 
dx
dy
 em um lado da equação. 
Passo 3: Isole 
dx
dy
 
Exemplo: 
Determine 
dx
dy
 para: 
a) .22 xysenxy += 
Solução: 
xysenxy += 22 






++=
dx
dy
xyxyx
dx
dyy .1cos22 → 
dx
dy
xyxxyyx
dx
dyy coscos22 ++= 
 
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( ) xyyxxyxy
dx
dy
cos2cos2 +=− → 
xyxy
xyyx
dx
dy
cos2
cos2
−
+
=
 
 
EXERCÍCIO: 
Achar a derivada 
dx
dy
 das funções implícitas: 
a) 22 2 yxyx −+ =0 � Resp: 





−
+
−=
yx
yx
dx
dy
 
b) 
yx
yxy
+
−
=
24
 � Resp: 
xyxy
y
dx
dy
3)(4
3
23 ++
= 
c) 
 
1)(sen =+ xy
y
x
 � Resp: ]1)(cos[
]1)(cos[
2
2
−
+
−=
xyyx
xyyy
dx
dy
 
d) 
543224 =−+ xyxyxm � Resp: 33
2244
42
32
xyyx
xyxmy
dx
dy
−
−−
= 
e) 2sensen
22
−=+ yxxy � Resp: 
yxxy
yxxy
dx
dy
cossen2
sen2cos
2
2
+
+
−= 
 
DERIVADAS DE FUNÇÕES NA FORMA PARAMÉTRICA 
 
Uma curva parametrizada ))(),(( tytx será derivável em yexsetforem deriváveis 
em t . Em um ponto da curva parametrizada, suponha que x = x(t) admite uma função 
inversa t = t (x). Neste caso, podemos escrever y = y (t(x)), então temos que as 
derivadas estão relacionadas por: 
Cadeiadagra
dt
dx
dt
dy
dx
dt
dt
dy
dx
dy Re. →==
 
Se as curvas parametrizadas definem y como função de x derivável duas vezes 
 
 
( )
dt
dx
dt
dy
y
dx
d
dx
dy
dx
d
dx
yd
'
'
2
2
==





= 
 
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EXERCÍCIOS: 
 
1) Encontre a reta tangente ao ramo direito da hipérbole definida parametricamente 
como: 
 
tx sec= 
tgty =
 , 
22
pipi
<<− t , no ponto 
4
),1,2( pi=tonde 
Resp.: 
2) Determine 2
2
dx
yd
 em função de t, se 32 ttyettx −=+−= . 
Resp.: 
 
3) Encontre 
dx
dy
, onde as funções seguintes são dadas sob a forma paramétrica : 
 
a. tayetbx 44 sencos == � Resp: ttg
b
a
dx
dy 2
−= 
b. 124 24 +−== ttyetx � Resp: 34
28
t
t
dx
dy −
= 
c. 



+=
+=
34
12
ty
tx
 � 2=
dx
dy
 
d. 



+=
−=
34
13
ty
tx
� 
3
4
=
dx
dy
 
e. 



=
=
2ty
tx
� x
dx
dy 2= 
f. 




=
=
tseny
tx
3
3
4
cos4
� 







−=
4
arccos3
x
tg
dx
dy
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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DIFERENCIABILIDADE E CONTINUIDADE 
Vimos que a derivada de uma função f é definida em um ponto se o limite que 
define a derivada existe nesse ponto. Os pontos onde a derivada de f existem são 
chamados de pontos de diferenciabilidade para f. Se x0 é um ponto de diferenciabilidade 
de f, dizemos que f é diferenciável em x0, isto é, a derivada no ponto x0 existe. Se f é 
derivável em todo intervalo aberto (a,b) então f é diferenciável em (a,b). 
Geometricamente, dizemos que os pontos de diferenciabilidade de f são aqueles 
onde a curva tem reta tangente e os pontos de não-diferenciabilidade são em geral 
classificados como: ponto de descontinuidades, pontos de tangencia vertical e picos. 
TEOREMA: Se f é diferenciável no ponto x0, então f é contínua em x0. 
“Observe que o teorema mostra que a diferenciabilidade em um ponto implica em 
continuidades nesse ponto. Mas, o contrário é falso, isto é, uma função pode ser 
contínua em um ponto, sem ser diferenciável nesse ponto.” 
DIFERENCIAIS 
Os símbolos dy e dx, usados na notação de Leibniz, para derivadas, são chamados de 
diferenciais. Observe: 
Neste momento, queremos definir como uma razão. 
DEFINIÇÃO: Diferenciais 
Seja y = f(x) uma função derivável. A diferencial dx é uma variável independente, 
enquanto que a diferencial dy é sempre dependente e é definida por ( )dxxfdy 0'=
 
(lê-se diferencial de f). 
 
ANÁLISE DE ERRO REAL: y∆ ESTIMATIVA: dyy ≈∆ 
VARIAÇÃO ABSOLUTA ( ) ( )00 xfxxfy −∆+=∆ dxxfdy )( 0'= 
VARIAÇÃO RELATIVA 
)( 0xf
y∆
 )( 0xf
dy
 
VARIAÇÃO PERCENTUAL 
)( 0xf
y∆
x 100 )( 0xf
dy
x 100 
 
 
 
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Exemplo: Seja , encontre dy e em x=4 com =0,5. Faça um esboço 
do gráfico da função evidenciando dy e . 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS: 
1) Determine a diferencial dy para: 
a) xxy 375 += 
b) )3( xseny = 
c) )2( xtgy = 
d) 
1+
=
x
xy 
2) Dado 134 2 +−= xxy encontre y∆ e dy 
a) qualquer x e x∆ 
b) x = 2 e 1,0=∆x 
c) x = 2 e 01,0=∆x 
Qual o erro cometido? 
3) Encontre um valor aproximado para 3 28 usando diferencial. 
4) O raio de uma circunferência aumenta de x = 10m para 10,1m. Utilize dA para 
estimar o aumento na área A da circunferência. Compare essa estimativa com a variação 
A∆ . 
5) Obtenha um valor aproximado para o volume de uma fina coroa cilíndrica de altura 
12m, raio interior 7m e espessura 0,05m. Qual o erro cometido quando usamos 
diferencial? 
 
 
 
 
 
 
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REGRAS DE L’ HOSPITAL 
 
Sejam f e g funções deriváveis num intervalo aberto I , exceto possivelmente, em um 
ponto a I∈ . Suponhamos que .0)(' Iemaxxg ≠∀≠ 
 
i. 
L
xg
xf
xg
xf
então
L
xg
xf
exgxfSe
axax
axaxax
==
===
→→
→→→
)('
)('lim)(
)(lim
,)('
)('lim0)(lim)(lim
 
 
ii. 
L
xg
xf
xg
xf
então
L
xg
xf
exgxfSe
axax
axaxax
==
=∞==
→→
→→→
)('
)('lim)(
)(lim
,)('
)('lim)(lim)(lim
 
 
TABELA DE INDETERMINAÇÕES 
Tipo Metodologia 
0
0
 
L’ Hospital 
∞
∞
 
L’ Hospital várias vezes 
0
∞ Transforme em 
∞
∞
 usando logaritmo 
0.∞ Se 






→
)(
1
)()().(
xg
xf
xfxg 
∞−∞ Reescreve o limite 
00 Transforme em 
∞
∞
 usando logaritmo 
 
Exercícios: 
 
 
1) 
1
2lim 0
−
→ xx e
x
 
 
2) 
23
6lim 2
2
2
+−
−+
→
xx
xx
x 
 
3) 
xx
e
x
x 4
1lim 3 +
−
+∞→ 
4) xx x
1
)93(lim ++∞→ 
 
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5) 
x
xx
1
sen.lim +∞→ 
 
6) 





−
−
+
→ 1cos
11lim 20
xxx
x 
 
7) x
x
xx )2(lim 20 ++→ 
 
8) ∞+∞→ =





+ 1
2
11lim
x
x
x
 
 
 
VALORES MÁXIMOS E MÍNIMOS – FORMA DE UM GRÁFICO 
 
TEOREMA DO VALOR EXTREMO 
Se f for contínua em um intervalo fechado [a,b], então f assume um valor máximo 
absoluto f(c) e um valor mínimo absoluto f(d) em algum número c e d em [a,b]. 
DEFINIÇÃO: PONTO CRÍTICO 
Um número crítico de f é um número ‘c’ no domínio de f, onde f’(c) = 0 ou f´(c) não 
existe. 
 
 
 
 
 
Definição: Função Crescente e Decrescente 
 
TEOREMA DE FERMAT 
Se f tiver um máximo ou mínimo local em ‘c’, e f’(c) existir, então f’(c) = 0. 
Desta forma, podemos reescrever o Teorema de Fermat: Se f tiver um máximo ou um 
mínimo em ‘c’, então ‘c’ é um número crítico de f. 
 
 
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VALORES MÁXIMOS E MÍNIMOS EM INTERVALOS FECHADOS 
1. Encontre os valores de f nos números críticos de f em (a,b); 
2. Encontre os valores de f nos extremos do intervalo; 
3. O maior valor encontrado nas etapas 1. e 2. é o máximo absoluto de f e, o menor 
valor é o mínimo absoluto de f. 
Exemplo: Encontre o máximo e o mínimo de f(x)=x3-3x2+1, . 
 
 
 
 
 
FUNÇÃO CRESCENTE E DECRESCENTE 
Seja f uma função definida em um intervalo I. Então, 
1. f é crescente em I se, para todos os pontos 21 xex em I 
)()( 2121 xfxfxx <⇒< 
2. f é decrescente em I se, para todos os pontos 21 xex em I 
)()( 2121 xfxfxx >⇒< 
 
TESTE DA DERIVADA 1ª PARA CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO. 
Suponha que f seja contínua em [a,b] e derivável em (a,b) 
• Se 'f > 0 em todos os pontos de (a,b), então f é crescente em [a,b]. 
• Se 'f < 0 em todos os pontos de (a,b), então f é decrescente em [a,b]. 
Note que onde a derivada é positiva a função f é crescente e onde a derivada é 
negativa a função é decrescente. 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
 
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• 
• 
• 
• 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
1) Determine os pontos críticos de 512)( 3 −−= xxxf e identifique os intervalos 
onde f é crescente e decrescente. 
Solução: 
24
123
0123)(
2
2
2'
±=∴=
=
=−=
xx
x
xxf
 
As raízes de 'f são 22 −== xex , elas dividem o eixo x em intervalos conforme o 
esquema. 
 Intervalos 
 2−<<∞− x 22 <<− x ∞<< x2 
 Sinal de 'f + - + 
 Comportamento Crescente Decrescente Crescente21)2( =f e 11)2( =−f
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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TESTE DA DERIVADA 1ª PARA EXTREMOS LOCAIS 
Em um ponto crítico cx = , 
1. Se 'f é negativa à esquerda de c e positiva à direita de c, então f possui um 
mínimo local em c 
2. Se 'f é positiva é à esquerda de c e negativa à direita de c, então f possui um 
máximo local em c . 
3. Se 'f possui o mesmo sinal em ambos os lados de c , então c não é um extremo 
local. 
 
 
Exemplo: 
1. Determine os pontos críticos de xexxf )3()( 2 −= . Identifique os intervalos 
onde f é crescente e decrescente. Determine os extremos locais e absolutos da 
função. 
Solução: 
A função é contínua e derivável para qualquer número real, então os pontos críticos 
ocorrem nas raízes de 'f . 
130320)32()3(2)( 222' =−==−+→=−+=−+= xexxxexxexexxf xxx
 
Intervalos 3−<<∞− x 13 <<− x ∞<< x1 
sinal 'f + - + 
Comportamento Crescente Decrescente Crescente 
299,06)39()3( 33 ==−=− − eef 
437,52)31()1( −=−=−= eef 
3−=x é máximo local 
1=x é mínimo local 
O valor mínimo local também é mínimo absoluto, pois 303 22 >→>− xx 
.33,30)( −<>>> xexxparaxf 
( ) 03)( 2 =−= xexxf
� fderaízessãoxx
x
33
03
2
2
±=∴=
=−
 
 
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Não há máximo absoluto pois a função é crescente em ),1()3,( ∞−−∞ e e decrescente em 
)1,3(− . 
 
 
 
 
 
 
CONCAVIDADE 
O TESTE DA DERIVADA PRIMEIRA PARA CONCAVIDADE: 
O gráfico de uma função derivável )(xfy = é : 
1. Côncavo para cima em um intervalo aberto em I, se 'y é crescente em I. 
2. Côncavo para baixo em um intervalo aberto em I, se 'y é decrescente em I. 
 
 
O TESTE DA DERIVADA SEGUNDA PARA CONCAVIDADE: 
O gráfico de uma função duplamente derivável )(xfy = é: 
1. Côncavo para cima em qualquer intervalo onde "y >0. 
2. Côncavo para baixo em qualquer intervalo onde "y <0. 
 
 
 
 
 
 
PONTO DE INFLEXÃO 
Um ponto onde o gráfico de uma função possui uma reta tangente e onde há mudança 
de concavidade é um ponto de inflexão. 
Exemplos: 
1) Para a função ,196)( 23 ++−= xxxxf encontre os pontos de inflexão do gráfico da 
função e determine onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo. 
 
Exemplo: f(x)=x2+2 , f ‘(x)=2x e f’’(x)=2 
 
 
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Solução: 
126)(
9123)(
''
2'
−=
+−=
xxf
xxxf
 
''f existe para todos os valores de x então o único ponto de inflexão possível é aquele 
em que 0)('' =xf � 
2
0126
=
=−
x
x
 
 
Intervalos 2<<∞− x 2=x +∞<< x2 
)('' xf - 0 + 
Gráfico de f 
 
inflexão 
 
2) Se ,)21()( 3xxf −= encontre o ponto de inflexão do gráfico de f e determine onde 
o gráfico é côncavo para cima e para baixo. 
Solução: 
2
112
0)21(24
)21(24)(
)21(6)2()21(3)(
''
22'
=∴−=−
=−
−=
−−=−−=
xx
x
xxf
xxxf
 
Intervalos 2/1<<∞− x 2/1=x +∞<< x2/1 
Sinal de ''f + 0 - 
Gráfico de f 
 
inflexão 
 
EXERCÍCIOS: 
1) Determine os extremos de 512)( 3 −−= xxxf . 
Solução: 
24
6)(0123)(
2
''2'
±=→=
==−=
xx
xxfexxf
 
 
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2012)2(
2012)2(
''
''
=⇒>=
−=⇒<−=−
xemmínimopossuif
xemmáximopossuif
 
 
2) Esboce o gráfico da função 104)( 34 +−= xxxf seguindo os passos: 
a) Identifique onde os extremos de f ocorrem. 
b) Determine os intervalos onde f é crescente e os intervalos onde f é 
decrescente. 
c) Determine onde o gráfico de f é côncavo para cima e onde é côncavo para 
baixo. 
d) Esboce um possível gráfico de f . 
Solução: 
a) 
300)3(4
124)(
2
23'
===−
−=
xexxx
xxxf
 
b) 
Intervalos 0<<∞− x 30 << x +∞<< x3 
Sinal de 'f - - + 
Comportamento de f Decrescente Decrescente Crescente 
c) 
200)2(1202412)( 2'' ==→=−→=−= xexxxxxxf 
Intervalos 0<<∞− x 20 << x +∞<< x2 
Sinal de ''f + - + 
Comportamento de f 
 
 
 
 
d) Resumo 
0<<∞− x 20 << x 32 << x +∞<< x3 
Decrescente Decrescente Decrescente Crescente 
 
 
 
 
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VALORES MÁXIMOS E MÍNIMOS – PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 
 
1. Identificar a quantidade a ser maximizada ou minimizada; 
2. Identificar todas as outras quantidades envolvidas; 
3. Considerar a quantidade a ser otimizada como uma função das outras variáveis 
(função objetivo); 
4. Usar os teoremas e definições de ponto de máximo e ponto de mínimo para localizar o 
ponto ótimo do problema. 
 
Exemplo: Um chalé tem a forma de um triângulo isósceles de 12m de altura e 9m de base. A 
iluminação na parede dos fundos é feita através de uma única janela retangular que vai até o 
chão, conforme figura. Achar as dimensões para que a área dessa janela seja a maior possível.