ALGA Lista IV

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Universidade Federal de Pelotas - UFPEL
ALGA - LISTA IV
1. Dados representantes dos vetores ~u e ~v conforme a figura, mostrar um representante do
vetor:
a) ~u−~v b) ~v−~u c) −~v− ~2u d) 2~u−3~v e) ~x tal que ~u+~v+~x = ~0.
2. Ache a soma dos vetores indicados nas figuras:
3. Dar as expressões das coordenadas do ponto médio do segmento de reta de extremida-
des A(x1, y1) e B(x2, y2).
4. Determinar a extremidade do segmento que representa o vetor ~v = (2,−5), sabendo
que sua origem é o ponto A(−1, 3).
5. Dados os vetores ~u = (3,−4) e ~v = (−9
4
, 3), verificar se existem números a e b tais que
~u = a~v e ~v = b~u. R.: a = −4
3
, b = −3
4
6. Dados os pontos A(−1, 3), B(2, 5) e C(3,−1), calcular ~OA− ~AB, ~OC − ~BC e 3 ~BA−
4 ~CB. R.: (−4, 1), (2, 5), (−5,−30)
7. Dados os pontos A(−1, 3), B(1, 0) e C(2,−1), determinar D tal que ~DC = ~BA. R.:
D(4,−4)
1
8. Determine o versor de ~u nos casos:
a) ~u = (3, 2, 4) c) ~u = (−5, 2)
b) ~u = (−1,−1, 1) d) ~u = (0, 0,−1)
9. Verifique se os vetores a seguir são LI ou LD:
a) ~u = (1, 3, 4), ~v = (3, 9, 12), ~w = (1, 5, 2)
b) ~u = (1, 3), ~v = (1
3
, 1)
c) ~u = (1, 1, 1), ~v = (0, 1,−1) e ~u = (2, 1,−1)
d) ~u = (1, 2,−2), ~u = (1
2
, 1, 1
2
) e ~w = (−1, 0, 1)
e) ~u = (1,−1, 2), ~v = (−3, 4, 1) e ~w = (1, 0, 9)
10. Sendo ~u = (1,−1, 3), ~v = (2, 3, 1) e ~w = (−1,−1, 4). Verifique se ~u e combinação linear
de ~v e ~w.
11. Sabendo que o ângulo entre os vetores ~u e ~v é de 60◦, determinar o ângulo formado
pelos vetores:
a) ~u e −~v b) −~u e ~v c) −~u e −~v d) 2~u e 3~v
R.: a) 120◦ b) 120◦ c) 60◦ d) 60◦
12. Determinar a extremidade do segmento que representa o vetor ~v = (2,−5), sabendo
que sua origem é o ponto A(−1, 3). R.: (1,−2).
13. Dados os vetores ~u = (3,−1) e ~v = (−1, 2), determinar o vetor ~w tal que:
a) 4(~u− ~v) + 1
3
~w = 2~u− ~w. R.: ~w = (−15
2
, 15
2
)
b) 3~w − (2~v − ~u) = 2(4~w − 3~u). R.: ~w = (23
5
,−11
5
)
14. Dados os vetores ~u = (2,−4), ~v = (−5, 1) e ~w = (−12, 6), determinar k1 e k2 tal que
~w = k1~u+ k2~v. R.: k1 = −1, k2 = 2.
15. Dados os pontos A(2,−3, 1) e B(4, 5,−2), determinar o ponto P tal que ~AP = ~PB.
R.: P (3, 1,−1
2
)
16. Dados os pontos A(−1, 2, 3) e B(4,−2, 0), determinar o ponto P tal que ~AP = 3 ~AB.
R.: P (14,−10,−6)
17. Determinar o vetor ~v sabendo que (3, 7, 1) + 2~v = (6, 10, 4)− ~v. R.: ~v = (1, 1, 1)
2
18. Encontrar os números a1 e a2 tais que ~w = a1 ~v1 + a2 ~v2, sendo ~v1 = (1,−2, 1), ~v2 =
(2, 0,−4) e ~w = (−4,−4, 14). R.: a1 = 2, a2 = −3
19. Determinar a e b de modo que os vetores ~u = (4, 1,−3) e ~v = (6, a, b) sejam paralelos.
R.: a = 3
2
, b = −9
2
20. Verificar se são colineares os pontos:
a) A = (−1,−5, 0), B(2, 1, 3) e C(−2,−7,−1). R.: sim
b) A(2, 1,−1), B(3,−1, 0) e C(1, 0, 4). R.: não
21. Calcular a e b de modo que sejam colineares os pontos A(3, 1,−2), B(1, 5, 1) e C(a, b, 7).
R.: a = −3, b = 13
22. Mostrar que os pontos A(4, 0, 1), B(5, 1, 3), C(3, 2, 5) e D(2, 1, 3) são vértices de um
paralelogramo.
23. Determinar o simétrico do ponto P (3, 1,−2) em relação ao ponto A(−1, 0,−3). R.:
(−5,−1,−4)
3