Matematica do Ensino Basico Capitulo 09 Funcao Modular

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IFRN Campus Natal Central Professor Leonardo 1 
 
 
Nome: ______________________________ Nº ____ 
Curso: Licenciatura em Matemática 
 
Disciplina: Matemática do Ensino Básico I 
 
1°Período Prof. Leonardo Data:__ /__ /2015 
 
 
Capítulo 9: Função Modular 
 
9.1 - Módulo 
O módulo, ou valor absoluto, de um número real x representado por é definido da seguinte maneira: 
 
O módulo de um número maior ou igual a zero é ele mesmo. 
 
 O módulo de um número menor que zero é o seu oposto. 
 
 Pela definição, podemos concluir que o módulo de um número real sempre é positivo ou nulo. 
 
Pensando geometricamente, o módulo de um número real x é igual à distância do ponto que representa, na reta real, 
o número x ao ponto 0 de origem. 
Exemplo 1 
 
, pois é a distância do ponto que representa -5 à 
origem 0. 
, pois é a distância do ponto que representa 5 à 
origem 0. 
 
9.2 - Equações modulares 
Temos uma equação modular quando a incógnita se apresenta em módulo. 
Observe a seguinte equação modular: 
 
As soluções dessa equação são x = 10 ou x = -10, pois: 
 
Generalizando: 
 
Vejamos alguns exemplos de equações modulares: 
 
 
 
 
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Exemplo 1 
Resolver em a equação modular : 
Resolução 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2 
Resolver em a equação modular : 
Resolução 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 3 
Resolver em a equação modular : 
Resolução 
Como o módulo de um número real será sempre positivo ou nulo: 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 4 
Resolver em a equação modular : 
Resolução 
Vamos fazer , pois assim teremos uma equação do 2º grau: 
 
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Como : 
 
 
 
 
 
 
8.3 - Inequações modulares 
Uma inequação é modular quando a incógnita se apresenta em módulo. 
Vamos inicialmente olhar para a reta real e observar quando a distância à origem é menor que 4 e quando a distância 
à origem é maior que 4: 
 
 
Desse modo observarmos que: 
 
 
 
 
 
De maneira geral, sendo a > 0, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Utilizamos essas propriedades na resolução de equações modulares. 
 
Exemplo 1 
Resolva em a inequação : 
Resolução 
Pelas propriedades vistas anteriormente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo 2 
Resolva em a inequação : 
Resolução 
Pelas propriedades vistas anteriormente: 
 
Escrevendo na forma de um sistema de inequações: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fazendo a intersecção das duas soluções: 
 
 
 
 
8.4 - Função modular 
Chamamos de função modular a função definida por: 
 
Note que a função modular é uma função definida por duas sentenças. 
Pela definição de módulo, percebemos que a imagem da função modular é o conjunto dos números reais não-
negativos. Geometricamente, isso significa que os pontos do gráfico de no plano cartesiano estão na origem 
0 ou acima do eixo x. 
O gráfico de pode ser construído de duas maneiras: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1ª maneira: A partir das sentenças que definem f(x). 
 
 
 
 
 
 
Unindo os gráficos das duas sentenças num único plano cartesiano, obtemos o gráfico de : 
 
 
2ª maneira: Com base no gráfico de . 
1°)Construimos o gráfico de , destacando os pontos 
em que a imagem é negativa. 
2°)Marcamos os pontos em que y é negativo 
simetricamente em relação ao eixo x. Assim obtemos o 
gráfico de . 
 
 
 
Vejamos como construir os gráficos de outras funções que possuem módulos na sua lei de formação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo 1 
Construir o gráfico de : 
Resolução 
1ª maneira: (Através de sentenças) 
Pela definição de módulo: 
 
: 
x y = x - 2 
2 0 
3 1 
4 2 
5 3 
6 4 
 
 
 
 
x y = -(x - 2) 
-2 4 
-1 3 
0 2 
1 1 
 
 
Unindo os gráficos das duas sentenças num único plano cartesiano, obtemos o gráfico de : 
 
 
2º maneira: (Com base no gráfico de ) 
1°)Construimos o gráfico de , destacando os 
pontos em que a imagem é negativa. 
2°)Marcamos os pontos em que y é negativo 
simetricamente em relação ao eixo x. Assim obtemos o 
gráfico de . 
 
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Exemplo 2 
Construir o gráfico da função : 
Resolução 
Vamos construir o gráfico de e depois marcar os pontos em que y é negativo simetricamente em 
relação ao eixo x. 
Zeros: 
Coordenadas do vértice: 
 
 
 
 
V = (2, -1) 
Intersecção com o eixo y: 
(0, c) = (0, 3) 
Assim o gráfico de é: 
 
Marcando os pontos em que y é negativo simetricamente em relação ao eixo x, obtemos o gráfico de 
. 
 
 
 
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Exercícios de Fixação 
1. (G1 - cftmg 2015) O domínio da função real 
f(x) 1 | x | 
 é o intervalo 
a) 
{x | x 1  
 ou 
x 1}
 
b) 
{x | x 1  
 ou 
x 1}
 
c) 
{x | 1 x 1}   
 
d) 
{x | 1 x 1}   
 
 
2. (Upe 2015) No sistema cartesiano representado a seguir, têm-se os gráficos das funções reais 
f
 e 
g.
 
 
 
 
Qual das igualdades representa uma relação entre as duas funções? 
a) 
g(x) f(x 3) 
 
b) 
g(x 3) f(x) 
 
c) 
g(x) f( x 3)  
 
d) 
g( x) f( x 3)   
 
e) 
g(3 x) f(x)  
 
 
3. (Pucrj 2014) Considere a função real 
f(x) | x 1|.  
 O gráfico que representa a função é: 
a) b) c) 
d) e) 
 
 
 
 
 
 
 
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4. (Pucrj 2014) Considere a função real 
f(x) x 1 x 1.   
 O gráfico que representa a função é: 
a) b) c) 
d) e) 
 
5. (Ufrgs 2013) Se 
 
 
 
é o gráfico da função 
f
 definida por 
 y f x ,
 então, das alternativas abaixo, a que pode representar o gráfico da função 
z,
 
definida por 
 z f x ,
 é 
a) b) c) d) e) 
 
6. (Ufrgs 2013) A interseção dos gráficos das funções 
f
 e 
g,
 definidas por 
 f x x
 e 
 g x 1 x , 
 os quais são desenhados 
no mesmo sistema de coordenadas cartesianas, determina um polígono. 
 
A área desse polígono é 
a) 
0,125.
 
b) 
0,25.
 
c) 
0,5.
 
d) 
1.
 
e) 
2.
 
 
 
 
 
 
 
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7. (Fgv 2012) No plano cartesiano, os pontos (x, y) que satisfazem a equação 
 x y 2
 determinam um polígono cujo 
perímetro é: 
a) 
2 2
 
b) 
4 2 2
 
c) 
4 2
 
d) 
8 4 2
 
e) 
8 2
 
 
8. (Insper 2012) A figura a seguir mostra o gráfico da função f(x). 
 
 
 
O número de elementos do conjunto solução da equação 
f(x) 1
, resolvida em é igual a 
a) 6. 
b) 5. 
c) 4. 
d) 3. 
e) 2. 
 
9. (Upe 2011) Dos gráficos abaixo, o que mais se assemelha ao gráfico da função 
f(x) || x 2 | 2 |  
no intervalo -5 > x > 5 é 
a) b) c) d) e) 
 
10. (Udesc 2009) A alternativa que representa o gráfico da função f(x) =| x 1|
+ 2 é: 
a) b) c) 
d) e) 
 
 
 
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11. (Uft 2008) Sejam f e g funções reais de uma variável real definidas por: 
 
 f(x) = │ x - 1 │ e g(x) = 5 
 
A área da região limitada pelos gráficos dessas funções é: 
a) 10 unidades de área. 
b) 30 unidades de área. 
c) 50 unidades de área. 
d) 25 unidades de área. 
 
12. (Ufc 2008) Dadas as funções f : IR 

 IR e g : IR 

 IR definidas por f (x) = │1 - x2│ e g (x) = │ x │, o número de pontos na 
interseção do gráfico de f com o gráfico de g é igual a: 
a) 5 
b) 4 
c) 3 
d) 2 
e) 1 
 
13. (Fgv 2005) A soma dos valores inteiros de x que satisfazem simultaneamente as desigualdades: │ x - 5 │ < 3 e │ x - 4 │ ≥ 1 é: 
a) 25 
b) 13 
c) 16 
d) 18 
e) 21 
 
14. (Pucrs 2003) Considerando a função f definida por f ( x ) = x2 - 1, a representação gráfica da função g dada por 
g ( x ) = 
 | f x |
- 2 é 
 
 
 
15. (Ita 2002) Os valores de 
x ,
 para os quais a função real dada por 
f(x) 5 2x 1 6   
 está definida, formam o 
conjunto 
a) [0, 1]. 
b) [-5, 6]. 
c) 
[ 5,0] [1, ).  
 
d) 
( ,0] [1,6]. 
 
e) 
[ 5,0] [1,6]. 
 
 
 
 
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16. (Unifesp 2002) Considere a função 
 
1, se 0 x 2,
f(x)
2, se 2 x 0
 
 
   
 
 
A função 
g(x) | f(x) | 1 
 terá o seguinte gráfico: 
a) b) c) d) e) 
 
17. (Ufrn 2001) Considere a região S dos pontos (x, y) do plano cartesiano tais que 
 
│x│ ≤ 1/2 e │y│ ≤ 1/2. 
 
A área de S é igual a: (u.a = unidade de área) 
a) 1 u.a. 
b) 2 u.a. 
c) 3 u.a. 
d) 4 u.a. 
 
18. (Fei 1999) O conjunto imagem da função f:IR

IR, definida por f(x)=1-│x-2│ é: 
a) { y ∈ IR │ y ≤ 1 } 
b) { y ∈ IR │ y ≥ 1 } 
c) { y ∈ IR │ y > 0 } 
d) { y ∈ IR │ y ≤ 2 } 
e) { y ∈ IR │ y ≥ 2 } 
 
19. (Uff 1999) Considere o sistema 
y x
y 2
 


 
 
A região do plano que melhor representa a solução do sistema é: 
 
 
20. (Cesgranrio 1999) O conjunto Imagem da função f(x) = │x2 - 4x + 8│ + 1 é o intervalo: 
a) [ 5, + ∞ [ 
b) [ 4, + ∞ [ 
c) [ 3, + ∞ [ 
d) [ 1, + ∞ [ 
e) [ 0, + ∞ [ 
 
 
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GABARITO 
1 D 11 D 
2 E 12 B 
3 A 13 E 
4 A 14 A 
5 D 15 E 
6 C 16 D 
7 E 17 A 
8 B 18 A 
9 C 19 B 
10 A 20 A