Matrizes e Determinantes_080313

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ÁLGEBRA LINEAR – MATRIZES E DETERMINANTES PROF. SIMONE 
 
 1 
 
MATRIZES 
 
Def. Uma matriz é uma tabela de elementos dispostos em m linhas e n colunas. 
 
 
 
 
 
 
 
A
11 12 1n
21 22 2n
m1 m2 mn
a a a
a a a
s
a a a
 
 
 Os elementos da matriz são chamados escalares e, a menos que se diga o contrário, tais escalares são 
números reais 
( )
. 
 
 O elemento de A na linha i e coluna j é denotado por aij. 
 
 Uma notação compacta para uma matriz pode ser A = [aij] ou A = [aij]mxn.. 
 
 O tamanho de uma matriz é descrito em termos do número de linhas e colunas que ela possui. Uma 
matriz é dita de tamanho m x n quando tem m linhas e n colunas. 
 Uma matriz 1 x n é chamada matriz linha (ou vetor linha) e é representada por 
 A 11 12 1na a a
 
 Uma matriz m x 1 é chamada matriz coluna (ou vetor coluna) e é representada por 
 
 
 
 
 
 
A
11
21
m1
a
a
a
 
 Se m = n dizemos que a matriz é quadrada e, neste caso, os elementos a11, a22, a33,... formam a diagonal 
principal da matriz. 
 
 
 
 
 
 
A
12 1n
21 2n
n1 n
11
nn2
22
a
a
a
a a
a a
a a
 
 
ÁLGEBRA LINEAR – MATRIZES E DETERMINANTES PROF. SIMONE 
 
 2 
O traço de uma matriz quadrada A é definido e denotado por 
( ) ...   A 11 22 nntr a a a
 
 
Exemplo. Uma matriz quadrada 3 x 3 
 
( ) ( )
 
  
 
  


   
A
A
4
7
1
5 3
5 2
4 7 1
3 2
tr 10
 
 
 Matriz nula ou matriz zero - Uma matriz zero apresenta todos os elementos nulos e é representada 
pelo símbolo 0. 
 Matriz diagonal - É toda matriz n x n tal que 
0ija se i j 
 
 
 
 
 
 
 
A
11
22
nn
0 0
0 0
0 a0
a
a
 
 
 Matriz identidade – É toda matriz n x n, denotada por In ,tal que 
1
0
ij
ij
a se i j
a se i j
 
 
 
Exemplos. 
 
  
 
I2
1
1
0
0
, 
 
 
 
  
I3
1
1
1
0 0
0 0
0 0
, 
 
 
 
 
 
 
I4
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 10 0
1
1
1
 
 Matriz triangular inferior – É toda matriz n x n tal que 
 
0ija se i j 
 
 
ÁLGEBRA LINEAR – MATRIZES E DETERMINANTES PROF. SIMONE 
 
 3 
Exemplo. 
 
 
 
 
 
 
A
11
21 22
31 32 33
41 42 43 44
0 0 0
0 0
0
a
a a
a a a
a a a a
 
 Matriz triangular superior - É toda matriz n x n tal que 
0ija se i j 
 
Exemplo. 
 
 
 
 
 
 
A
11 12 13 14
22 23 24
33 34
44
0
0 0
a a a a
a a a
a a
a0 0 0
 
 
OPERAÇÕES COM MATRIZES 
 
Igualdade de Matrizes 
 
Duas matrizes A e B são ditas iguais se tem o mesmo tamanho e seus elementos correspondentes são iguais, isto 
é 
para quaisquer e ij ija b i j
 
 
Adição de Matrizes 
 
Se A e B são matrizes de mesmo tamanho, então a adição (e subtração) destas matrizes é definida por 
11 12 1
21 22 2
1 2
11
11 12 1
21 22 2
1 2
11 12 1
21 2
12 1
21 22 22
1
2
( )
 
 
n
n
m m mn
n
n
m
n
m
n
m m
n
n
n
a a a
a a a
a
b b b
b b b
b b b
b b b
b b b
b
a a
a a a
a a a
a
  
  
    
  
  
  


   
   
   
   
   
   
A B A B +
21 2m m mm mn n
b ba a 
 
 
 
 
 
 
 
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 4 
Exemplo. 
Sejam 
,
     
            
A B C
4 0 5 1 1 1 2 3
 e 
1 3 2 3 5 7 0 1
 
 
a)      
           
A B
4 1 0 1 5 1 5 1 6
1 3 3 5 2 7 2 8 9
 
 
b) A + C não é definida 
 
Multiplicação de matriz por escalar 
 
Se  um escalar e A é definido por 
 
   
  


    
   
 
  
 

   
   
A
11 12 1n 11 12 1n
21 22 2n 21 22 2n
m1 m2 mn m1 m2 mn
a a a a a a
a a a a a a
a a a a a a
 
 
Exemplos. 
Sejam 
,
     
            
A B C
4 0 5 1 1 1 2 3
 e 
1 3 2 3 5 7 0 1
 
 
a) 
   
        
A
4 0 5 8 0 10
2 2 
1 3 2 2 6 4
 
 b)             
                              
A B
4 0 5 1 1 1 12 0 15 4 4 4 8 4 11
3 4 3 4
1 3 2 3 5 7 3 9 6 12 20 28 15 11 22
 
 
Multiplicação de matriz por matriz 
 
Se A é uma matriz m x r e B é uma matriz r x n então o a matriz produto C = AB é uma matriz m x n cujos 
elementos são calculados por 
 
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 5 
   ij i1 1j i2 2j ir rjc a b a b a b
 
 
     
     
       
     
     
     
C A B
1n 1n
2
12 12
21 22 2r 21 22 2n
mxr rxm
m1
11 11
21 22
r2m2 mr m1r1
11 12 1
m2 mnrn
r
n
b c
a a a c c c
a
b b c
b
b
a
b
b
c
b
ba c
a a
a c c
 
 
...
...
...
...
   
   
   
   
  
  
  
 
11 11 12 21 1r r1
11 12 12 22 1r r2
11 1n 12 2n 1r rn
21 21 11 22 21 2r r1
22 21 12 22 22 2r r2
2n 21 1n 22 2n 2r rn
m1 m1 11 m2 21 mr r1
m2 m1 12 m
1
11
12
n
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
c a b a b a b
c a b a b a b
c a b a b a b
c a b a b a b
c a b
c
c
a
c
...

   
2 22 mr r2
mn m1 1n m2 2n mr rn
b a b
c a b a b a b
 
 
Exemplo. 
 
a) Sejam 
   
       
A B
2 3 4 3 6
 e 
1 -5 1 2 3
, calcule AB 
 
b) Sejam 
 
  
 
  
A
1 5 2
1 0 1
3 2 4
 e 
 
  
 
  
B
6 1 3
1 1 2
4 1 3
, calcule AB e BA 
 
Propriedades da álgebra matricial 
 
Admitindo que as matrizes A,B e C são tais que as operações indicadas são definidas e sendo  e  escalares, 
valem as seguintes propriedades: 
 
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 6 
a) A+B =B+A propriedade comutativa da adição 
 
b) A+(B+C) =(A+B)+C propriedade associativa da adição 
 
c)A(BC) = (AB)C propriedade associativa da multiplicação 
 
d) (A+B)C=AC+BC propriedade distributiva à direita 
 
e) A(B+C) =AB+AC propriedade distributiva à esquerda 
 
f) ()A = (A) 
 
g) (AB) = (A)B = A(B) 
 
h) (+)A = A+A 
 
i) (A+B) = A+B 
 
Observações 
 
 Em geral, AB BA. 
 As leis de cancelamento não valem para a multiplicação de matrizes. Isto é, se AB = AC, então não é 
verdade, em geral, que B = C. 
 Se o produto AB for a matriz nula, não se pode concluir, em geral, que A = 0 ou B = 0. 
 
Matriz Transposta 
A transposta da matriz 
( ) Am n ija
 é a matriz definida e denotada por 
 
( )At jia
 
para todo i = 1,...,m e j = 1,...,n 
 
 
 
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 7 
Exemplo. 
a) 
 
      
    


A A
t e 
10
5
10 5 3
1
4
3
1 4 2
2
 
b)  
 
  
 
  
B B
t
1
2 e 1 2 3
3
 
c) 
    C Ct4 e 4
 
 
 
Propriedades da matriz transposta 
 
 
Se A e B são tais que as operações indicadas são definidas e sendo  um escalar real qualquer, então: 
 
a) (A
t
)
t
 = A 
 
b) (A+B)
t
 = A
t
 + B
t
 
 
c)) (A)t = At 
 
d) (AB)
t
 = B
t
A
t
 
 
Observações: 
 Se At = A então A é uma matriz simétrica; 
   
     
   
      
 
 
A A A
t
1 1
3 e 3 
5
7 7
7
1 1
1 1
2
2 2
57
2
 
 At = -A então A é uma matriz anti-simétrica; 
   
      
   
 

 





 
A A A
t
0 0
0 e 3 3 0 
0
9 9
9 3 3
4
9 0
4
4 4
 
 At A e A At resultam em matrizes simétricas 
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 8 
Seja 
 
  
 
A
1 3 4
 
0 1 2
 
 
         
     
t
AA
11
11
1 0
1 3 4 26
3 1 = 
0 1 2 5
4 2
 
   
         
       
t
A A
3
14
14
1 0 1
1 3 4
3 1 = 10
0 1 2
4 2 20
4
4
3
 
 
Matriz Inversa 
Se A é uma matriz n x n, uma inversa de A é uma matriz n x n, denotada por A
-1
, que satisfaz 
 
 -1 -1AA I A A I e 
 
onde I é a matriz identidade. 
Se A
-1
 existir então A é dita inversível. Senão, é dita não-inversível ou singular. 
 
Exemplos. 
 
a) 
 
  
 
B
2 5
1 3
é inversa de  
   
A
3 5
1 2
, pois 
 
     
            
BA I
2 5 3 5 1 0
1 3 1 2 0 1
 e      
            
AB I
3 5 2 5 1 0
1 2 1 3 0 1
 
 
Alguns resultados importantes sobre a matriz inversa 
 
Se A e B são tais que as operações indicadas são definidas e sendo  um escalar real qualquer, então: 
a) A
-1 
 é única 
b) (AB)
-1
 = B
-1
A
-1
 
c) Se A é inversível, então A
t
 é inversível. 
Potência de uma matriz 
Se A é uma matriz quadrada, definimos suas potências inteiras não-negativas por 
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 9 
 
... ,

 
A I
A AAA A
0
n
n fatores
 n 0
 
Se, além de quadrada, a matriz for inversível, então definimos as potências inteiras negativas por 
( ) ...      A A A A A An 1 n 1 1 1 1
n fatores
 
Valem as regras usuais de expoentes: 
 
a) A A Ar s r s b) 
( ) A Ar s rs
 
 
c) 
( )  A A1 1
 d) 
( ) A An 1 n
 
 
e) 
( )  

A A
1 11
 
 
Exemplos. 
Sejam 
 
  
 
A
2 5
1 3
 e 

 
   
A
1
3 5
1 2
 
 
a) 
       
        
       
A
3
2 5 2 5 2 5 43 120
1 3 1 3 1 3 24 67
 
 
b) 
( ) 
          
                   
A A
3 1 3
3 5 3 5 3 5 67 120
1 2 1 2 1 2 24 43
 
 
DETERMINANTE 
 
O determinante de uma matriz é uma função que associa a toda matriz quadrada um número real denotado por 
det(A). 
 
Fórmula de Leibnitz 
O determinante é calculado pela soma (com sinal) de todos os produtos elementares de A. 
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 10 
det( )   A
11 12
2x2 11 22 12 21
21 22
a a
a a a a
a a
 
det( ) 
     
A
11 12 13
3x3 21 22 23
31 32 33
11 13 31 23 32 2122 33 12 23 31 13 21 32 1 22 1 3 12 3
a a a
a a a
a a a
a a a a a a a a a a a a a a a a a a
 
 
Uma regra prática para obter determinantes de matrizes 2 x 2 e 3 x 3 é a Regra de Sarrus, ilustrada a seguir. 
 
Fórmula de Laplace 
Também designada como expansão em co-fatores ao longo da i-ésima linha (ou da j-ésima coluna). 
det( )

A
n
ij ij
j 1
a C
 
onde 
( ) .

 
Aco fator ij de 
 menor
i j
ij ijC 1 M
determinante
 
 
Exemplo. 
A expansão de Laplace ao longo da linha i = 2, para a matriz 
 
 
 
  
A
5 3 2
1 0 2
2 1 3
. 
det( )

   A
3
2j 2 j 21 21 22 22 23 23
j 1
a C a C a C a C
 
 
( ) ( ) ( )  
 
         
 
2 1 2 2 2 3
21 22 23
3 2 5 2 5 3
C 1 7 C 1 11 C 1 1
1 3 2 3 2 1
 
 
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 11 
Então, 
det( ) ( ) ( ) ( )    A 1 7 0 11 2 1 5
 
Exercício. 
a) Calcule o determinante da matriz 
 
   
 
  
A
3 1 0
2 4 3
5 4 2
. 
b) Escreva uma expansão de Laplace para o cálculo do determinante da matriz 
  
 
 
 
 
   
B
1 1 1 2
3 2 3 1
3 1 2 2
2 3 1 1
. 
 
Propriedades dos Determinantes 
1) Casos em que o determinante é igual a zero: 
 Quando todos os elementos de uma linha (coluna) são nulos; 
 Quando duas linhas (colunas) paralelas são múltiplas; 
 Quando uma de suas linhas (colunas) é uma combinação linear de outras paralelas a ela. 
2) Transformações que alteram o determinante: 
 Trocar de posição duas linhas (colunas) paralelas  mudança de sinal 
 Multiplicar uma linha (coluna) por um escalar    det(A). 
3) Transformações que não alteram o determinante 
 Trocar ordenadamente as linhas pelas colunas; 
 Somar a uma linha (coluna) um múltiplo de outra linha (coluna). 
 
Outras propriedades: 
 
det( ) det( )  A An
 
 
det( ) det( )det( )AB A B
 
 
det( ) det( ) det( )  A B A B
 quase sempre 
 
det( )
det( )
 A
A
1 1
 
 
det( ) det( )A At
 
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 12 
 Se A é uma matriz triangular superior (ou inferior), 
det( )A
 é o produto dos elementos da diagonal 
principal. 
 
...
11 12 13 1n
22 23 2n
11 22 33 nn33 3n
nn
a a a a
0 a a a
a a a a0 0 a a
0 0 0 a
 
Exercícios 
1. Seja 
1 0 1
3 3 4
2 2 3
 
 
 
  
A
 
a) Verifique que 1
1 2 3
1 1 1
0 2 3

 
   
 
  
A
 
 
b) Use A
-1
 para resolver a equação AX = b, onde b = [ 1, 1, 1]
T
 
 
 
2. Um fabricante faz dois tipos de produtos, P e Q, em cada uma de suas fábricas, X e Y. Ao fazer esses 
produtos, são produzidos dióxido de enxofre (D) óxido nítrico (O) e partículas (P) de outros materiais poluentes. 
As quantidades de poluentes produzidos são dadas, em quilogramas, pela matriz 
 D O P
300 100 200 P
200 250 400 
produto
produto Q
 
  
 
A
 
Leis estaduais e federais exigem a remoção desses poluentes. O custo diário para remover cada quilograma de 
poluente é dado (em reais) pela matriz 
16 24
14 18
30 20
 X Y
D
O
P
 
 
 
  
B
 
Qual o significado dos elementos do produto matricial AB?