Extras_Resultante_Centripeta_ e_Circular_Prof_Dulceval

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FÍSICA	
  1-­‐	
  EXERCÍCIOS	
  BÁSICOS	
  PARA	
  O	
  CAPÍTULO	
  6	
   1	
  
	
  
Exercícios Resolvidos 
Força Resultante Centrípeta 
 
 
 Força Resultante Centrípeta 
 é a força resultante (ou parte da força resultante) dirigida para o centro da curvatura 
 
 
 = m · e = m · ω² R 
 
 MODELO 1: 
 A figura abaixo representa um ponto material percorrendo uma curva no plano 
horizontal. Dada a figura, determine o raio da curvatura. Sabendo-se que: g = 10 m/s², µ = 
0,5 e v = 20 m/s 
 = 
RESOLUÇÃO 
 1. Represente as forças peso, reação normal e de atrito sobre o ponto material; 
 
 2. Determine a força peso 
 = m · P = 20 N 
fat	
  
	
  
P	
  
	
  
n	
  
	
  
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  EXERCÍCIOS	
  BÁSICOS	
  PARA	
  O	
  CAPÍTULO	
  6	
   2	
  
	
  
 3. Determine a reação normal 
 n = P n = 20 N 
 4. Como a força de atrito está dirigida para o centro da curvatura, ela é a força 
centrípeta. 
 = 
 m ·a = µ · n => 
 
 2 · V2/R = 0,5 · 20 R 20 m 
 MODELO 2 
 A figura abaixo representa um ponto material em MCU sobre uma mesa horizontal 
sem atrito preso a um fio. Baseando-se na figura, e sabendo-se que g = 10 m/s², ω = 2 
rad/s, m = 2 kg e R = 50 cm. Determine a tração no fio 
 
RESOLUÇÃO 
 1. Represente as forças peso, reação normal e de tração 
 
 2. Como a tração do fio está dirigida para o centro da curvatura, ela é igual à força 
centrípeta. 
 = 
 m · ω² R = T 
 2 · 2² · 0,5 = T T = 4 N 
 
T	
  
	
  
P	
  
	
  
n	
  
	
  
ω 	
  
	
  
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  BÁSICOS	
  PARA	
  O	
  CAPÍTULO	
  6	
   3	
  
	
  
 MODELO 3 
 Um ponto material em MCU sobre a mesa horizontal sem atrito preso a uma mola, 
está representada na figura abaixo. Determine a constante elástica K, sabendo-se que m = 
2 kg, ω = 5 rad/s,  = 0,6 m (comprimento natural da mola) e R = 0,8 m (raio) 
 
 
RESOLUÇÃO 
 1. Represente as forças peso, reação normal e a força elástica; 
 
 
 2. Como a força elástica está direcionada para o centro da curvatura, ela é igual à força 
centrípeta. 
 = 
 m · ω² R = K · Δx Δx = R -  = 0,2 m 
 2 · 5² · 0,8 = K · 0,2 K = 200 N/m 
 
 MODELO 4 
 A figura representa um ponto material preso a um fio em MCU na plano vertical. 
Determine, através da figura, a tração no fio no ponto mais baixo da trajetória, sabendo-se 
que v = 5 m/s, g = 10 m/s², m = 2 kg e R = 1 m. 
	
  fel	
  
	
  
P	
  
	
  
n	
  
	
  
ω 	
  	
  
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  EXERCÍCIOS	
  BÁSICOS	
  PARA	
  O	
  CAPÍTULO	
  6	
   4	
  
	
  
 
RESOLUÇÃO 
 1. Represente as forças peso e de tração; 
 
 2. Determine a força peso; 
 = m · P = 20 N 
 3. Faça operação vetorial e determine e determine a resultante centrípeta. 
 FCP = T - P 
 
 
 
 
 T = 70 N 
 
MODELO 5 
 Dado um ponto material preso a um fio em MCU no plano vertical, determine a tração 
no fio no ponto mais alto da trajetória. Sabendo-se que v = 5 m/s, g = 10 m/s², m = 2 kg e 
R = 1 m. 
 m · 
 
= T - 20 
 2 · 
 
= T - 20 
 5² 
	
   1	
  
	
  
 V² 
	
   R	
  
	
  
T	
  
	
  
fel	
  
	
  
p	
  
	
  
v	
  
	
  
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  EXERCÍCIOS	
  BÁSICOS	
  PARA	
  O	
  CAPÍTULO	
  6	
   5	
  
	
  
 
 RESOLUÇÃO 
 1. Represente as forças peso e tração; 
 
 2. Determine a força peso; 
 = m · P = 20 N 
 3. Faça operação vetorial e determine e determine a resultante centrípeta. 
 FCP = T + P 
 
 
 
 
 T = 30 N 
 
MODELO 6 
 A figura abaixo mostra um ponto material em MU no alto da lombada. Baseando-se 
na figura determine a reação normal no ponto mais alto, sabendo-se que g = 10 m/s², m = 
2 kg, R = 50 m e v = 10 m/s. 
 m · 
 
= T + 20 
 2 · 
 
= T + 20 
 5² 
	
   1	
  
	
  
 V² 
	
   R	
  
	
  
V	
  
	
  
T	
  
	
  
P	
  
	
  
V	
  
	
  
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  EXERCÍCIOS	
  BÁSICOS	
  PARA	
  O	
  CAPÍTULO	
  6	
   6	
  
	
  
 
RESOLUÇÃO 
 1. Represente as forças peso e a reação normal; 
 
 2. Determine a força peso; 
 = m · P = 20 N 
 3. Faça operação vetorial e determine e determine a resultante centrípeta. 
 FCP = P - n 
 
 
 
 
 n = 16 N 
 
MODELO 7 
 Dada a figura abaixo determine a reação normal no ponto mais baixo, sabendo-se 
que g = 10 m/s², m = 2 kg, R = 50 m e v = 10 m/s. 
 m · 
 
= 20 - n 
 2 · 
 
= 20 - n 
 10² 
	
  	
  
	
  
50	
  
	
  
 V² 
	
   R	
  
	
  
	
  	
  FCP	
  
	
  
n	
  
	
  
P	
  
	
  
V	
  
	
  
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  BÁSICOS	
  PARA	
  O	
  CAPÍTULO	
  6	
   7	
  
	
  
 
RESOLUÇÃO 
 1. Represente as forças peso e a reação normal; 
 
 2. Determine a força peso; 
 = m · P = 20 N 
 3. Faça operação vetorial e determine e determine a resultante centrípeta. 
 FCP = n - P 
 
 
 
 
 
 n = 24 N 
 
MODELO 8 
 A figura abaixo representa um ponto material na parte superior do "globo da morte". 
A partir desta figura determine a mínima velocidade que o ponto material deve ter para não 
perder contanto com a superfície esférica. Dados: g = 10 m/s² e R = 3,6 m. 
 m · 
 
= n - 20 
 2 · 
 
= n - 20 
 10² 
	
  	
  
	
  
50	
  
	
  
 V² 
	
   R	
  
	
  
	
  	
  FCP	
  
	
  
n	
  
	
  
P	
  
	
  
V	
  
	
  
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  PARA	
  O	
  CAPÍTULO	
  6	
   8	
  
	
  
 
RESOLUÇÃO 
 1. Represente as forças peso e a reação normal, que agem sobre o ponto material. 
 
 2. Determine a força peso 
 = m · P = m · 10 
 3. Faça a operação vetorial e determine a resultante centrípeta. 
 FCP = P +n 
 
 
 
 
 
 V = 6 m/s 
 
 
MODELO 9 
 A figura abaixo representa um ponto Material em MU em uma pista sobrelevada. 
Determine o ângulo θ. Sabendo-se que g = 10 m/s², v = 20 m/s e R = 100 m. 
 m · 
 
= m · 10 
+ 0 
 
 
= 10 
 V² 
	
  	
  
	
  
3,6	
  
	
  
 V² 
	
   R	
  
	
  
n	
  
	
  
P	
  
	
  
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  PARA	
  O	
  CAPÍTULO	
  6	
   9	
  
	
  
 
RESOLUÇÃO 
 1. Represente as forças peso e a reação normal. 
' 
 2. Determine a resultante centrípeta utilizando a regra do paralelogramo. 
 
 3. Determine a tangente do ângulo θ. 
 
Tg θ = 
 Tg θ = 0,4 θ 76º 
 
MODELO 11 
 Determine a velocidade angular do ponto material da figura abaixo, sabendo 
que tg θ = 3/4, m = 2 kg, g = 10 m/s² e R = 1 m. 
θ 	
  
	
  
 P 
	
  
 n 
	
  
Fcp 
	
  
	
  θ 	
  
	
  
 P 
	
  
 n 
	
  
θ 	
  
	
  
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  EXERCÍCIOS	
  BÁSICOSPARA	
  O	
  CAPÍTULO	
  6	
   10	
  
	
  
 
RESOLUÇÃO 
 1. Represente as forças peso e a tração no fio; 
 
 2. Determine a resultante centrípeta, utilizando a regra do paralelogramo. 
 
 3. Determine a tangente do ângulo θ 
 
 
 4. Desenvolva as fórmulas da força peso e centrípeta. 
T	
  
	
  
P	
  
	
  
FCP	
  
	
  
θ 	
  
	
  
θ 	
  
	
  
θ 	
  
	
   T	
  
	
  
P	
  
	
  
θ 	
  
	
  
FÍSICA	
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  EXERCÍCIOS	
  BÁSICOS	
  PARA	
  O	
  CAPÍTULO	
  6	
   11	
  
	
  
 
 Extras: 
1)	
  Um	
  ponto	
  material	
  em	
  MCU	
  sobre	
  a	
  mesa	
  horizontal	
  sem	
  atrito	
  preso	
  a	
  uma	
  mola,	
  está	
  representada	
  na	
  
figura	
  abaixo.	
  Determine	
  a	
  constante	
  elástica	
  K,	
  sabendo-­‐se	
  que	
  m	
  =	
  2	
  kg,	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  ω	
  =	
  5	
  rad/s,	
  L	
  =	
  0,6	
  m	
  
(comprimento	
  natural	
  da	
  mola)	
  e	
  R	
  =	
  0,8	
  m	
  (raio)	
  
	
  
	
  
2)Um	
  pequeno	
  objeto	
  de	
  massa	
  m1	
  se	
  move	
  em	
  trajetória	
  circular	
  de	
  raio	
  r	
  sobre	
  uma	
  mesa	
  horizontal	
  e	
  sem	
  
atrito.	
  Ele	
  está	
  preso	
  a	
  cordão	
  que	
  passa	
  por	
  um	
  pequeno	
  furo	
  sem	
  atrito	
  no	
  centro	
  da	
  mesa.	
  Um	
  segundo	
  
objeto,	
  de	
  massa	
  m2,	
  está	
  preso	
  a	
  outra	
  extremidade	
  do	
  cordão.	
  Deduza	
  uma	
  expressão	
  para	
  r	
  em	
  termos	
  de	
  
m1	
  e	
  m2	
  e	
  o	
  tempo	
  T	
  de	
  revolução.	
  
	
  
3)Um	
  bloco	
  de	
  massa	
  m1	
  está	
  amarrado	
  a	
  um	
  cordão	
  de	
  comprimento	
  L1	
  fixo	
  por	
  uma	
  extremidade.	
  O	
  bloco	
  
se	
  move	
  em	
  um	
  circulo	
  horizontal	
  sobre	
  uma	
  mesa	
  sem	
  atrito.	
  Um	
  segundo	
  bloco	
  de	
  massa	
  m2	
  é	
  preso	
  ao	
  
primeiro	
  por	
  um	
  cordão	
  de	
  comprimento	
  L2	
  e	
  também	
  se	
  move	
  em	
  circulo	
  sobre	
  a	
  mesa	
  horizontal	
  sem	
  atrito.	
  
Se	
  o	
  período	
  de	
  movimento	
  é	
  T,	
  encontre	
  a	
  tração	
  na	
  corda	
  em	
  termos	
  dos	
  dados	
  informados.	
  
	
  
ω 	
  	
  
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  BÁSICOS	
  PARA	
  O	
  CAPÍTULO	
  6	
   12	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
4)Um	
  avião	
  está	
  voando	
  em	
  círculo	
  horizontal	
  com	
  velocidade	
  de	
  480	
  km/h.	
  O	
  avião	
  está	
  inclinado	
  para	
  o	
  
lado,	
  suas	
  asas	
  formando	
  um	
  ângulo	
  de	
  40°	
  com	
  a	
  horizontal.	
  Considere	
  uma	
  força	
  de	
  sustentação	
  
perpendicular	
  às	
  asas	
  atuando	
  sobre	
  a	
  aeronave	
  em	
  seu	
  movimento.	
  Qual	
  é	
  o	
  raio	
  do	
  circulo	
  que	
  o	
  avião	
  está	
  
descrevendo?	
  
R	
  = 	
  
	
  
5	
  )	
  	
  Um	
  circuito	
  de	
  Fórmula	
  Mundial	
  circular,	
  com	
  320	
  m	
  de	
  raio,	
  tem	
  como	
  velocidade	
  de	
  segurança	
  40	
  m/s.	
  
Calcule	
  a	
  tangente	
  do	
  ângulo	
  de	
  inclinação	
  da	
  pista.	
  	
  
Observação:	
  velocidade	
  de	
  segurança	
  é	
  a	
  velocidade	
  com	
  a	
  qual	
  o	
  carro	
  pode	
  trafegar	
  sem	
  que	
  nenhuma	
  
força	
  de	
  atrito	
  lateral	
  seja	
  exercida	
  em	
  suas	
  rodas.	
  
	
  	
  	
  
6)	
  A	
  técnica	
  de	
  centrifugação	
  é	
  usada	
  para	
  separar	
  os	
  componentes	
  de	
  algumas	
  misturas.	
  Pode	
  ser	
  utilizada,	
  por	
  
exemplo,	
  na	
  preparação	
  de	
  frações	
  celulares,	
  após	
  o	
  adequado	
  rompimento	
  das	
  membranas	
  das	
  células	
  a	
  serem	
  
centrifugadas.	
  
Em	
  um	
  tubo	
  apropriado,	
  uma	
  camada	
  de	
  homogeneizado	
  de	
  células	
  eucariotas	
  rompidas	
  foi	
  cuidadosamente	
  
depositada	
  sobre	
  uma	
  solução	
  isotônica	
  de	
  NaCℓ.	
  Esse	
  tubo	
  foi	
  colocado	
  em	
  um	
  rotor	
  de	
  centrífuga,	
  equilibrado	
  por	
  
um	
  outro	
  tubo.	
  
O	
  esquema	
  a	
  seguir	
  mostra	
  o	
  rotor	
  em	
  repouso	
  e	
  em	
  rotação.	
  
FÍSICA	
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  EXERCÍCIOS	
  BÁSICOS	
  PARA	
  O	
  CAPÍTULO	
  6	
   13	
  
	
  
	
  
Considere	
  as	
  seguintes	
  massas	
  médias	
  para	
  algumas	
  organelas	
  de	
  uma	
  célula	
  eucariota:	
  
-­‐	
  mitocôndria:	
  2	
  ×10-­‐8	
  g;	
  	
  -­‐	
  lisossoma:	
  4	
  ×	
  10-­‐10	
  g;	
  	
  -­‐	
  núcleo:	
  4	
  ×	
  10-­‐6	
  g.	
  
Durante	
  a	
  centrifugação	
  do	
  homogeneizado,	
  em	
  um	
  determinado	
  instante,	
  uma	
  força	
  centrípeta	
  de	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  5	
  ×	
  10-­‐4	
  N	
  
atua	
  sobre	
  um	
  dos	
  núcleos,	
  que	
  se	
  desloca	
  com	
  velocidade	
  de	
  módulo	
  constante	
  de	
  150	
  m/s.	
  Nesse	
  instante,	
  
determine	
  a	
  distância	
  desse	
  núcleo	
  ao	
  centro	
  do	
  rotor	
  da	
  centrífuga	
  	
  em	
  metros.	
  
	
  
MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME 
Exercícios Resolvidos 
MCU 
 
Frequência (f): é o número de voltas na unidade de tempo. 
Unidades de f 
• rpm. (Rotações por Minuto) 
• rps (Rotações por Segundo) 
• rps = = = s -1 = Hz (hertz) 
 No SI: Hz 
 
MODELO 1 
 Transforme : 120 rpm em Hz 
RESOLUÇÃO 
 
FÍSICA	
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  EXERCÍCIOS	
  BÁSICOS	
  PARA	
  O	
  CAPÍTULO	
  6	
   14	
  
	
  
 
MODELO 2 
 Um disco efetua 30 voltas em um minuto. Determine a frequência em Hz e rpm. 
RESOLUÇÃO 
 
 
Período (T): É o tempo gasto para completar um ciclo (volta) 
Unidades de T 
• h (horas) 
• min (minutos) 
• s (segundo) 
 No SI: s 
MODELO 3 
 Um satélite artifícial demora 2 horas para completar de volta em torno da Terra. Qual é, em 
horas, o período do movimento do satélite suposto periódico? 
RESOLUÇÃO 
tempo AB = 2 horas T = 2 h · 4 = 8 horas 
 
MODELO 4 
FÍSICA	
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  EXERCÍCIOS	
  BÁSICOS	
  PARA	
  O	
  CAPÍTULO	
  6	
   15	
  
	
  
 Um pêndulo desloca-se de uma posição A a uma posição B, pontos extremos de uma oscilação, 
em 2 s. Qual é o periodo? Despreze a resistência do ar. 
RESOLUÇÃO 
tAB = 2 s T = 4 s 
 
RELAÇÃO ENTRE O PERÍODO E A FREQUÊNCIA 
1 volta T 
n (nº de voltas) 1 s (unidade de tempo) 
 
n · T = 1 s 
· T = 1 como = f 
f · T = 1 
 
MODELO 5 
 Um motor executa 600 rpm. Determine a frequência e o período no SI. 
RESOLUÇÃO 
 
 como T = 0,15 
No movimento Circular Uniforme (MCU) 
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  PARA	
  O	
  CAPÍTULO	
  6	
   16	
  
	
  
 
• v = velocidade escalar 
• ω = velocidade angular 
• acp = aceleração centrípeta 
Velocidade Angular (ω) 
 Δϕ = Espaço Angular Δt = Intervalo de Tempo 
obs.: espaço angular exemplo: Δϕ = 30º ou Δϕ = 
 Δϕ = 60º ou Δϕ = 
PARA MCU 
1 volta na circunferência : Δϕ = 2 π radintervalo de tempo de 1 volta: Δt = T 
 
ou ω = 2 πf (Lembre -se: ) 
 UNIDADES DE ω 
• rad/s (radiano por segundo) 
• rad/min (radiano por minutos) 
• rad/h (radiano por hora) 
• º/s (grau por segundo) 
• º/min (grau por minuto) 
 
 
 
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  CAPÍTULO	
  6	
   17	
  
	
  
VELOCIDADE ESCALAR (V) 
 V = ω R 
 UNIDADE DE V 
• m/s (metros por segundos) 
• cm/s (centímetros por segundos) 
• km/h (quilômetros por hora) 
• etc. 
Aceleração Centrípeta 
| | = = ω²R 
 UNIDADES DA ACELERAÇÃO CENTRÍPETA 
• m/s² (metros por segundo ao quadrado) 
• cm/s² (centímetros por segundo ao quadrado) 
• km/h² (quilômetros por hora ao quadrado) 
• etc. 
 
MODELO 6 
 Um ponto material em MCU, numa circunferência horizontal, completa uma volta a cada 10 s. 
Sabendo-se que o raio da circunferência é 5 cm. 
 Calcule: 
 a) o período e a frequência; 
 b) a velocidade angular; 
 c) a velocidade escalar; 
 d) o módulo da aceleração centrípeta. 
RESOLUÇÃO 
a) do enunciado o período é: T = 10 s 
 a frequência = 0,1 Hz 
 
b) a velocidade angular ω 
 ω = 2 πf = 2·π·0,1 = 0,2 π rad/s 
 ω = 0,2·3 = 0,6 rad/s 
FÍSICA	
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  EXERCÍCIOS	
  BÁSICOS	
  PARA	
  O	
  CAPÍTULO	
  6	
   18	
  
	
  
c) a velocidade escalar 
 v = ω R v = 0,6· 5 = 3,0 cm/s 
d) o módulo da aceleração centrípeta 
= ω²R 
= (0,6)² · 5 = 1,8 cm/s². 
 
PROBLEMAS BÁSICOS	
  	
  LISTA	
  DE	
  EXERCÍCIOS	
  –	
  MCU.	
  
1.Um	
   ponto	
   percorre	
   uma	
   circunferência	
   e	
  
descreve	
   um	
   ângulo	
   central	
   de	
   2	
   rad	
   em	
   5	
   s.	
  
Determine	
   a	
   velocidade	
   angular	
   nesse	
   intervalo	
  
de	
  tempo.	
  
2.Uma	
   partícula	
   percorre	
   uma	
   circunferência,	
  
descrevendo	
  um	
  ângulo	
   central	
  de	
  3	
   rad	
  em	
  2	
   s.	
  
Determine	
   a	
   velocidade	
   angular	
   neste	
   intervalo	
  
de	
  tempo.	
  
3.Qual	
   o	
   período	
   do	
   ponteiro	
   das	
   horas	
   de	
   um	
  
relógio?	
  
4.Qual	
  o	
  período	
  de	
  rotação	
  da	
  Terra?	
  
5.Qual	
  o	
  período	
  de	
  translação	
  da	
  Terra	
  ao	
  redor	
  
do	
  Sol?	
  
6.Um	
   garoto	
   num	
   gira-­‐gira	
   descreve	
   um	
  
movimento	
  circular	
  uniforme	
  executando	
  5	
  voltas	
  
em	
  20	
   s.	
  Determine	
  o	
  período	
  e	
   a	
   frequência	
  do	
  
movimento.	
  
7.Um	
   carrinho	
   de	
   um	
   autorama	
   realiza	
   um	
  
movimento	
   circular	
   uniforme	
   completando	
   10	
  
voltas	
   em	
   5	
   s.	
   Determine	
   seu	
   período	
   e	
   sua	
  
frequência.	
  
8.Um	
   corpo	
   em	
   movimento	
   circular	
   uniforme	
  
completa	
  20	
  voltas	
  em	
  10	
  segundos.	
  Determine	
  o	
  
período	
  e	
  a	
  frequência	
  do	
  corpo.	
  
9.Um	
   carrossel	
   gira	
   uniformemente,	
   efetuando	
  
uma	
   rotação	
   completa	
   a	
   cada	
   4	
   s.	
   Determine	
   a	
  
frequência	
   com	
   que	
   cada	
   cavalo	
   executa	
   o	
  
movimento	
  circular	
  uniforme.	
  
10.Um	
   ponto	
   percorre	
   uma	
   circunferência	
   com	
  
velocidade	
  angular	
  ω 	
  =	
  10	
  rad/s.	
  Sendo	
  R	
  =	
  2	
  m	
  o	
  
raio	
   da	
   circunferência,	
   determine	
   a	
   velocidade	
  
escalar	
  v.	
  
11.Uma	
   partícula	
   descreve	
   um	
   movimento	
  
circular	
   uniforme	
   com	
   velocidade	
   escalar	
   v	
   =	
   5	
  
m/s.	
   Sendo	
   R	
   =	
   2	
   m	
   o	
   raio	
   da	
   circunferência,	
  
determine	
  a	
  velocidade	
  angular.	
  
	
  
12.Uma	
  partícula	
  descreve	
  uma	
  trajetória	
  circular	
  
de	
  raio	
  5	
  m.	
  Ao	
  percorrer	
  o	
  arco	
  de	
  circunferência	
  
ϕΔ ,	
  ela	
  desenvolve	
  uma	
  velocidade	
  escalar	
  de	
  10	
  
m/s,	
   gastando	
   0,5	
   segundo	
   nesse	
   percurso.	
  
Determine	
  o	
  ângulo	
  descrito	
   ϕΔ .	
  
13.Uma	
  partícula	
  percorre	
  uma	
  circunferência	
  de	
  
raio	
   10	
   m,	
   com	
   velocidade	
   escalar	
   de	
   20	
   m/s.	
  
Quanto	
  tempo	
  a	
  partícula	
  demora	
  para	
  percorrer	
  
um	
  arco	
  de	
  circunferência	
  de	
  1	
  rad?	
  
	
  
FÍSICA	
  1-­‐	
  EXERCÍCIOS	
  BÁSICOS	
  PARA	
  O	
  CAPÍTULO	
  6	
   19