ALGEBRA LINEAR EXERCICIOS
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ALGEBRA LINEAR EXERCICIOS


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,tais que 
' ' ' ,au bv cw a u b v c w com
 
' ', ' , ' .a a b c c
 
 
1.18.Sejam E uma espaço vetorial e 
,u v E
. O segmento de reta de 
extremidades 
,u v
é, por definição , o 
conjunto 
 
, {(1 ) ;0 1}.u v t u tv t
 
Um conjunto 
X E
chama-se 
convexo quando 
, , .u v X u v X
 
(Ou seja: o segmento de reta que liga 
dois pontos quaisquer de X está 
contido em X .) prove : 
(a) A interseção 
1 .... mX X
 de 
conjuntos convexos 
1,..., mX X E
 
É um conjunto convexo. 
(b) Dados 
, ,a b c \uf0a1
 o conjunto X= 
2{( , ) ; }x y ax by c\uf0a1
é 
convexo em 2\uf0a1 . 
(c) O conjunto Y 
3{( , , ) ; , }x y z a x b c y d\uf0a1
é convexo em 3\uf0a1 . 
(d) Seja X E convexo . Se r,s,t são 
números reais 0 tais que r+s+t 
= 1 
então u,v,w X ru+sv+...+
k kt v
,onde 
1 1,..., 0 ... 1k kt t são et t
chama se uma combinação 
convexa dos vetores 
1,..., kv v X
ainda pertence a X. 
 
1.19. Prove que disco
2 2 2{( , ) ; 1}D x y x y\uf0a1
é um 
conjunto convexo. 
 
1.20. um subconjunto C do espaço vetorial 
E chama-se um cone quando, para 
todo 
0,v Cetodot tem setv C
. 
Prove 
(a) O conjunto dos vetores 
nv \uf0a1
que tem exatamente k 
coordenadas positivas 
(0 )k n
é um cone. 
(b) O o conjunto das funções 
: nf X \uf0a1
 que assumem 
valores negativos em todos os 
pontos de um subconjunto 
fixado 
Y X
e um cone em 
F(X; 
\uf0a1
). 
(c) Um cone 
C E
e um conjunto 
convexo se, e somente se, 
, ,u v C u v C
. 
(d) A interseção e a reunião de uma 
família qualquer de cones são 
ainda cones. 
 
1.21. Dado um subconjunto X no espaço 
vetorial E,seja C(X) o conjunto das 
combinações convexas 
1 1 1... ( 0, 1)k kt v t v t ti
dos 
elementos de X. Prove que C(X) é 
um conjunto convexo, que 
( )X C X
e que se 
'C
é qualquer 
subconjunto convexo de E contendo 
X então 
' ( )C C X
. (Por esse 
motivo, diz se que C(X) é o menor 
subconjunto convexo de E que 
contem X. C(X) chama se a 
envoltório convexa do conjunto X.) 
Exercício \u2013 ÁLGEBRA LINEAR 
 
 
 
153 
 
 
Seção 2 Subespaços 
 
Subespaço e subespaço gerado 
Definição 4. Um subespaço vetorial F de um espaço vetorial E é um 
subconjunto não-vazio de E que também é um espaço vetorial. 
 
Comentário 5. seja F E não-vazio. Então F e um subespaço de E 
se, e somente se F for fechado com a relação da adição de vetores e 
multiplicação por escalares. Em outras palavras, mostrar que um 
subconjunto 
 
F é subespaço de E é equivalente a mostrar que 
0
,
,
F
v w F v w F
v F v F
\uf072
 
 
Exemplo 6. Os únicos subespaços de 2\uf0a1 são {0}, retas passando 
pela origem e o 2\uf0a1 todos. Os únicos subespaços de 3\uf0a1 são{0}, 
retas passando pela origem, planos passando pela origem e o 3\uf0a1
todo. 
 
Exemplo 7. O primeiro quadrante em 2\uf0a1 não e um subespaço pois 
não é fechado em relação com a adição. 
 
Definição 8. dado X E, o conjunto S(X) das combinações lineares 
dos vetores de X, isto é, 
1
( ) I ,{ }n
i
S X civi ci vi X\uf0a1
 
é um sub espaço de E, denominado o subespaço gerado por X. 
 
Soma: 
 
Definição 9. dados X,Y E, definimos a soma de X e Y por 
{ , }X Y v w I v X w Y
 
 
Propriedade 10. Se 1F e 2F são sub espaço de E, então 
S( 1F 2F ) = 1F + 2F 
Definição 11. Dizemos que a soma de dois subespaço vetoriais 1F e 
2F
 e direta quando 1F 2F = {0}.Neste caso, escrevemos 
1 2F F
 ao invés de 1F + 2F . 
 
 
Exercício \u2013 ÁLGEBRA LINEAR 
 
 
154 
Variedade Afim 
 
Definição 12. Dizemos que V E é uma variedade afim quando a 
Reta unindo quaisquer dois pontos de V está em V , isto é 
, y V ; t 
\uf0a1 (1 )t t y V
 
 
Propriedade 13. Todos variedade afim V E não-vazia é um sub- 
Espaço F transladado, isto é 
0 0{ }V v F v v v F
 
onde 
0v
é um vetor fixo qualquer de V . 
 
 
Exercícios da seção 2 
 
 
2.1. Seja 
(00)\uf0a1
 o subconjunto de 
(00)\uf0a1
 
formado pelas seqüências 
1 2( , ,... ,...)nv x x x
 que têm apenas 
um número finito de termos 
nx
 
diferentes de zero. Mostre que (00)\uf0a1 
é um subespaço vetorial de (00)\uf0a1 e 
que as seqüências que têm um único 
termo não-nulo constituem um 
conjunto de geradores para (00)\uf0a1 . 
 
2.2. Use o índice deste livro para 
localizar a definição de matriz trian- 
gular. Mostre que o conjunto 
1F
 das 
matrizes triangulares inferiores e o 
conjunto 
2F
 das matrizes 
triangulares superiores são 
subespaço vetoriais de 
( )M n n
,que 
1 2( )M n n F F
 e que não se 
tem 
1 2( )M n n F F
. 
 
2.3. Seja 
( ; ).\uf0a1 \uf0a1E F
Para 
X \uf0a1
 
qualquer, ponhamos 
( ) { ; ( ) 0N X E x
 para todo 
}x X
. Prove: 
(a) para todo X
\uf0a1
,N(X) é um 
subespaço vetorial de E 
(b) X Y N(Y) N(X) 
(c) N(X Y) = (N(X) N (Y) 
(d) N(X) = {0} X = 
\uf0a1
 
(e) N(X Y) = N(X)+N(Y) 
(f) N(X) N(Y) = E Y=
\uf0a1
-X. 
 
2.4. No espaço vetorial E = 
\uf06d
(
\uf0a1
;
\uf0a1
) 
sejam: 
1F
 = conjunto das funções f : 
\uf0a1
\uf0a1
 que se anulam em todos os 
pontos do intervalo [0,1] 
2F
= conjunto das funções g: 
\uf0a1
\uf0a1
que se anulam em todos os 
pontos do intervalo [2,3] 
Mostre que 
1F
e 
2F
são subespaços 
vetoriais de E, que E = 
1F
+ 
2F
 e que 
não tem E = 
1F
 
2F
. 
 
2.5 Considere os subespaços 
1F
, 
2F
3\uf0a1
assim definidos: 
1F
 é o conjunto 
de todos os vetores v = (x,x,x)que 
tem as três coordenadas iguais e 
2F
 
é o conjunto de todos os vetores w = 
Exercício \u2013 ÁLGEBRA LINEAR 
 
 
 
155 
(x,y,0)que tem a ultima coordenada 
igual a zero. Mostre que 3\uf0a1 = 
1F
 
2F
. 
 
2.6 Dados u = (1,2) e v = (-1,2) sejam 
1F
e 
2F
 respectivamente as retas que 
passam pela origem em 2\uf0a1 e contem 
u e v. Mostre que 2\uf0a1 =
1F
 
2F
. 
 
2.7. Sejam 
1F
 = S
1 1 2 2 2( , ) ( , )u v eF S u v
os subespaços de 3\uf0a1 gerados pelos 
vetores 
1 1 2
2
(0,1, 2), (1,1,1),
( 1,0,3) (2, 1,0)
u v u
ev
.Ache números 
1 1 1 2 2 2, , , ,a b c ea b c
tais 
que se tenha: 
3
1 1 1 1{( , , ) ; 0}F x y z a x b y c z\uf0a1
3
2 2 2 2{( , , ) ; 0}F x y z a x b y c z\uf0a1
 
2.8. No exercício anterior, mostre que 
2u
1F
e que 
1F
+ 
2F
 = 3\uf0a1 . Exiba um 
vetor não nulo w 
1 2F F
 e conclua 
que não se tem 
3
1 2 .F F\uf0a1
 
 
2.9. Prove que 
( )S X
 é a interseção de 
todos os subespaços vetoriais que 
contém o conjunto 
X E
. 
 
2.10. Exiba três vetores 
3, ,u v w \uf0a1
 com 
as seguintes propriedades: nenhum 
deles é múltiplo do outro, nenhuma 
das coordenadas é igual a zero e 3\uf0a1 
não é gerado por eles . 
 
2.11. Seja F o subespaço de 3\uf0a1 gerado 
pelos vetores 
(1,1,1)u
 e 
(1, 1, 1)v
 . Ache números a,b,c 
com a seguinte propriedade: um 
vetor 
( , , )w x y z
 pertence a F se , e 
somente se, 
0.ax by cz
 
 
2.12. Exprime o vetor (1,-3,10) como 
combinação linear dos vetores 
(1,0,0), (1,1,0) (2 3,5).u v e w
 
 
2.13. Mostre que a matriz d = 
4 4
6 16
 
pode ser escrita como com- binação 
linear das matrizes 
 
a = 
1 2
3 4
 , 
b = 
1 2
3 4
 e 
c = 
1 2
3 4
. 
 
2.14. Assinale V(erdadeiro) ou F (also) : 
 
( ) O vetor 
(1, 1,2)w
 pertence 
ao subespaço gerado por u = 
(1,2,3) e 
(3, 2,1).v
 
( ) Qualquer vetor em 3\uf0a1 pode 
ser expresso como combinação 
linear dos vetores 
( 5,3,2) (3, 1,3).u ev
 
( ) Se 
X Y
 então 
( ) ( )S X S Y
 
( ) Se 
( )