ALGEBRA LINEAR EXERCICIOS
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A x y z x\uf0a1 \uf0a1

Exercício \u2013 ÁLGEBRA LINEAR

170

(b)

3 3: , ( , , )

(3 , ,5 ),

\uf0a1 \uf0a1

\uf0a1

A A x y z

x a z onde a

(c)

4 3: , ( , , , )

( , , )

\uf0a1 \uf0a1A A x y z w

x w y w x z

(d)

11 22

: ( ) , ([ ])

( , ,..., )

\uf0a1n ij

nm

A M n n A a

a a a

(e)

: ( ) ( ),

3 2 ' 1

\uf0a1 \uf0a1
n

A C C Af

f f

(f)

: (2 2) ,\uf0a1A M

a b
A ad bc

c d

4.17. Sejam
:A E F

uma transformação

linear e
' , 'E E F F

subespaços

vetoriais. Prove que

( ') { ; '}A E Av v E

é um subespaço

de
1( ') { ; '}F e A F v E Av F

e

um subespaço de E..Se V E e W

F são variedades afins, prove que os

conjuntos
( )A V F

e
1( )A W E

,

definido analogamente, são também

variedades afins.

4.18. No exercício anterior, prove que se

'E
tem dimensão finita então

dim ( ') dim 'A E E

.Dê um exemplo

de um operador não identicamente

nulo
2 2:A \uf0a1 \uf0a1

e um subespaço

2'E \uf0a1
tal que

dim ( ') dim 'A E E

.Prove que se E e
'F

tem dimensão

finita e A e sobrejetiva então

1dim ( ') dim 'A F F
. De também

um exemplo (com
dim E

), onde

dim 'F
e finita mas

1dim ( ')A F

.

4.19. Dados os espaços vetoriais E,F prove

que ...

4.20. Seja
1{ ,... }nV v v

uma base do

espaço vetorial E. para cada

1,2,...i n

, seja
:if E \uf0a1

 o

funcional linear determinado

(conforme o teorema 4.1) pelas

condições
( ) 0i if v se j i

.Prove

que
1{ ,..., }nf f

e uma base de E*=

( ; )L E \uf0a1

(chamada de base dual da

base
V

). Mostre que se tem

( )i if v x

, para todo

1 1 ... n nx v x v E

.

4.21. Seja
2:f \uf0a1 \uf0a1

um funcional

linear. Sabemos que

(1,1) 3 (2,3) 1f e f

,calcule

(1,0) (0,1)f e f

.

4.22. Seja
2 2:A \uf0a1 \uf0a1

o operador linear

dado por

2 2: ( , ) ( , )A A x y ax by cx dy\uf0a1 \uf0a1

, com
0ad bc

.Prove:

(1) Para todo
0v

em
2\uf0a1

, tem se

. 0Av
.

(2) Toda reta 2R \uf0a1 (variedade

afim de dimensão 1) é

transformada por A numa reta.

(3) A transforma retas paralelas em

retas paralelas.

4.23. Determine de modo que as retas

perpendiculares em 2\uf0a1 , de equações

/y x e y x

sejam transfor-

madas em retas perpendiculares pelo

operador linear
2 2:A \uf0a1 \uf0a1

, dado

por
( , ) (2 3 , 2 )A x y x y x y

.

Exercício \u2013 ÁLGEBRA LINEAR

171

4.24. Sejam E,F espaços vetoriais de

dimensão finita. Dados os vetores

1 1,..., ,...,m mv v E e w w F

,afim de

que exista uma transformação linear

:A E F
 com

1 1,..., m mAv w Av w

,

e necessário e sufuciente que, para

toda combinação linear nula

1 1 ... 0m mv v

, se tenha

também
1 1 ... 0m mw w

.

4.25. Seja
v

 um vetor não \u2013 nulo de um
espaço vetorial E, de dimensão

finita. Dado qualquer espaço vetorial

F {0}, mostre que existe uma

trasformação linear
:A E F

tal

que
0Av

.

4.26. Seja E um espaço vetorial de

dimensão finita. Dada uma base F=

1{ ,..., }nf f

E*, mostre que existe

uma base
1{ ,..., }nv v E

da qual F é

dual.

4.27. Seja Y um conjunto de geradores do

espaço vetorial E. Se as

transformações lineares A,B:

E F
são tais que

Aw Bw
para

todo
w Y

,prove que
Av Bv

para

todo
v E

.

4.28. Seja
1{ ,... }mX v v

um conjunto L.I

no espaço vetorial E, de dimensão

finita. Dados arbitrariamente os

vetores
1,..., mw w

no espaço vetorial

F, prove que existe uma

transformação linear
:A E F

tal

que
1 1,..., m mAv w Av w

. A e a

única se, e somente se, X é uma base

de E.

4.29. Uma transformação
:T E F

,

entre espaços vetoriais , chama se

afim quando se tem

((1 ) ) (1 )T t u tv t Tu tTv

, para

quais quer
,u v E e \uf0a1

. Dada a

transformação afim
:T E F

,

Prove:

(a) Toda a variedade afim
V E

e

transformada por T numa

variedade afim
'V F

.

(b) Se T.0 = 0 , então escrevendo

(1 )0v v

, resulta

que T
( )v

=
.Tv

para quais

quer
,v E\uf0a1

.

(c) Supondo ainda T.0 = 0, a

relação
1 1
2 2

( ( )) ( )T u v Tu Tv

,implica que
( )T u v

=
Tu Tv

para quais quer
,u v E

.

Exercício \u2013 ÁLGEBRA LINEAR

172

Seção 5 produto de transformação lineares
Definição 43. dadas duas transformações lineares

:B E F
e

:A E G
, definimos o produto AB como

:AB E G

( )( ) ( )AB v A Bv G

isto é, o produto AB e simplesmente a composta de A com B. Note

que AB e uma transformação linear .

Note que se
:C H E

e outra terceira transformação linear,

claramente tem se

( ) ( ) :AB C A BC H G

De fato, a transformação linear ABC é simplesmente a transformação

que toma um vetor em H e \u2015passa-o\u2016 por C,B e A, respectivamente,
chegando em fim a um vetor em G. A associatividade da composição

não altera este processo.

Note também que:

 Se
:C E F

e
:AB E G

 então (A+B) C = AB+AC por

definição de A+B.

, :B C E F

 e
:A F G

então A(B+C) = AB+ AC por que A e

linear.

 Se
:B E F

e
:A F G

 então A
( ) ( )B AB

por que A é

linear.

Proposição 44. Sejam
: :m n n pB e A\uf0a1 \uf0a1 \uf0a1 \uf0a1

 correspondentes

as matrizes
p nA

 e
n mB

.Seja C = AB:
m p\uf0a1 \uf0a1

.então a matriz
p mC

é dada por

1

n

ij ik kj

k

C A B

onde i = 1,2,...p e j = 1,...,m.

Demonstração: Seja

Exercício \u2013 ÁLGEBRA LINEAR

173