Lista - Calculo I P2 (Adilson Novazzi)

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Lista auxiliar para P2 - Prof. Adilson Novazzi - Prof. Dr. Simone Batista.
1. Obter f ′(x) usando a definic¸a˜o.
Obs: Temos que fazer usando o limite (pela definic¸a˜o!)
(a) f(x) =
x− 1
x+ 1
, x 6= −1 R: f ′(x) = 2
(x+ 1)2
(b) f(x) =
√
x2 + 1 R: f ′(x) =
x√
x2 + 1
(c) f(x) = senx R: f ′(x) = cosx (d) f(x) = lnx, x > 0 R: f ′(x) =
1
x
2. Derivar e simplificar.
(a) y =
2x+ 1
4
√
x2 + x+ 1 +
3
8
ln
(
2x+ 1 + 2
√
x2 + x+ 1
)
R: y′ =
√
x2 + x+ 1
(b) f(x) =
1
2
secxtg x+
1
2
ln (secx+ tg x)− ln 7 R: f ′(x) = sec3 x Obs: ln 7 e´ um nu´mero.
(c) y =
√
6
12
ln
( √
3x−√2√
3x+
√
2
)
−
√
6
6
arctg
(
x
√
6
2
)
R: y′ =
4
9x4 − 4
(d) f(x) =
1
3
ln(x+ 1)− 1
6
ln
(
x2 − x+ 1)+ 1√
3
arctg
2x− 1√
3
R: f ′(x) =
1
x3 + 1
(e) f(t) =
3
8
(t− sen t cos t)− 1
4
cos t sen 3t+ ln 2 R: f ′(t) = sen 4t
(f) f(x) =
x
2
√
4− x2 + 2arcsen x
2
R: f ′(x) =
√
4− x2
(g) f(x) =
(
x+
1
2
)
ln (x2 + x+ 1 )− 2x+
√
3 arctg
2x+ 1√
3
R: f ′(x) = ln (x2 + x+ 1)
3. Exerc´ıcios envolvendo reta tangente e reta normal.
(a) Determinar a equac¸a˜o da reta tangente e da reta normal ao gra´fico de f(x) = xex no ponto de abcissa x0 = −1
R: Equac¸a˜o da Reta Tangente: y = −1
e
e Equac¸a˜o da Reta Normal: x = −1
Obs: Neste exerc´ıcio a reta tangente e´ horizontal e a reta normal e´ vertical.
(b) Determinar a equac¸a˜o da reta tangente e da reta normal ao gra´fico de f(x) = x2ex no ponto de abcissa x0 = 1
R: Equac¸a˜o da Reta Tangente: y = 3e x− 2e e Equac¸a˜o da Reta Normal: y = − 1
3e
x+
1 + 3e2
3e
(c) Determinar a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f(x) =
√
5− x que passa por A = (9, 0)
R: Equac¸a˜o da Reta Tangente: 4y + x− 9 = 0
Obs: A mesma resposta poderia ser apresentada por: y = − 1
4
x+
9
4
.
(d) Determinar as retas tangentes ao gra´fico de f(x) =
x
x2 + 1
que sa˜o paralelas a reta y = − 1
8
x+
3
8
1
R: Duas retas satisfazem as condic¸o˜es:
Equac¸a˜o de uma das retas: x+ 8y − 3√3 = 0. Equac¸a˜o da outra reta: x+ 8y + 3√3 = 0.
(e) Determinar a reta tangente ao gra´fico de f(x) = (x− 3)√x que e´ perpendicular a reta 9y + 4x− 117 = 0
R: Equac¸a˜o da reta: y =
9x
4
− 7.
4. Exerc´ıcios envolvendo reta tangente e reta normal.
Sendo f(x) = x2 + x+ 1 x ∈ IR, pede-se:
(a) A reta tangente e a reta normal ao gra´fico de f em x0 = 4. R: t : y = 9x− 15 n : y = 193−x9 .
(b) A reta tangente e a reta normal ao gra´fico de f em x0 = − 12 . R: t : y = 34 n : x = − 12 .
(c) A reta tangente ao gra´fico de f que passa por A = (0,−3). R: t1 : y = 5x− 3 t2 : y = −3x− 3 .
(d) A reta tangente ao gra´fico de f que e´ paralela a` reta y = 7− x. R: t : y = −x.
(e) A reta tangente ao gra´fico de f que e´ perperdicular a` reta x+ 7y − 2 = 0. R: t : y = 7x− 8.
5. Exerc´ıcios envolvendo derivadas de ordem 2.
(a) Sendo y = ex (5 cos 3x− 7sen 3x), calcule E = y′′ − 2y′ + 10y. R: E = 0.
(b) Sendo y =
x√
x2 + 1
, calcule E =
y′′
y′
. R: E =
−3x
x2 + 1
.
(c) Sendo y = 5e−x + 7e3x − x+ 2, calcule E = y′′ − 2y′ − 3y. R: E = 3x− 4.
6. O gra´fico abaixo representa uma func¸a˜o f deriva´vel ate´ pelo menos ordem 3 em IR
1 3
−3 −2
4
3
−5
x
y
2
−1
−3
−2
−4
−1
3/2
2
Determinar:
(a) Intervalos onde f e´ crescente e onde e´ decrescente e pontos de ma´ximo e de mı´nimo de f (pares ordenados).
(b) Intervalos onde f e´ coˆncava para cima e onde e´ coˆncava para baixo e pontos de inflexa˜o f (pares ordenados).
(c) lim
x→+∞ f(x) e limx→−∞ f(x)
(d) Sinais e zeros de f ′. Ou seja, intervalos onde f ′ e´ positiva e onde e´ negativa e pontos x0 onde f ′(x0) = 0.
(e) Sinais e zeros de f ′′. Ou seja, intervalos onde f ′′ e´ positiva e onde e´ negativa e pontos x0 onde f ′′(x0) = 0.
2
(f) Intervalos de crescimento e de decrescimento de f ′ e pontos de ma´ximo e de mı´nimo de f ′.
(g) Equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f nos pontos x1 = −3 e x2 = 1.
Respostas:
(a) f e´ crescente em ]−∞,−3[ ∪ ]1,+∞[ , f e´ decrescente em ]− 3, 1[ , P1 = (−3, 4) e´ ponto de ma´ximo (local e global) e
P2 = (1,−5) e´ ponto de mı´nimo (local).
(b) f e´ coˆncava para cima em ] − 2, 3[ e f e´ coˆncava para baixo em ] −∞,−2[ ∪ ]3,+∞[ , P3 = (−2, 32 ) e P4 = ((3,−2)
sa˜o pontos de inflexa˜o.
(c) lim
x→+∞ f(x) = 0 e limx→−∞ f(x) = −∞.
(d) f ′ e´ positiva em ]−∞,−3[ ∪ ]1,+∞[ , f ′ e´ negativa em ]− 3, 1[ ; P1 = (−3, 4) e´ tal que f ′(−3) = 0 e P2 = (1,−5) e´
tal que f ′(1) = 0.
(e) f ′′ e´ positiva em ]− 2, 3[ e f ′′ e´ negativa em ]−∞,−2[ ∪ ]3,+∞[ ; P3 = (−2, 32 ) e´ tal que f ′′(−2) = 0 e P4 = ((3,−2)
e´ tal que f ′′(3) = 0.
(f) f ′ e´ crescente ]−2, 3[ e f e´ decrescente em ]−∞,−2[ ∪ ]3,+∞[ ; P3 = (−2, 32 ) e´ ponto de mı´nimo de f ′ e P4 = ((3,−2)
e´ ponto de ma´ximo de f ′.
(g) Equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f em x1 = −3 e´ y = 4 e equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico da f em x2 = 1 e´
y = −5.
7. Para cada item abaixo, pede-se (quando for o caso):
• Domı´nio de f e intersecc¸o˜es do gra´fico de f com os eixos coordenados.
• Intervalos de crescimento de f e de decrescimento de f e pontos de ma´ximo e de mı´nimo de f .
• Concavidade (Intervalos onde a func¸a˜o e´ coˆncava para cima e onde e´ coˆncava para baixo) e pontos de inflexa˜o de f .
• lim
x→+∞ f(x) e limx→−∞ f(x) • Limites laterais nos pontos de descontinuidade de f . • Gra´fico de f e Imagem de f .
(a) f(x) = x4 − 8x2. (b) f(x) = (x− 3)√x. (c) f(x) = e−x2 .
(d) f(x) = ln(1 + x2). (e) f(x) =
2x
x2 + 1
. (f) f(x) = e
1
x .
8. Calcular os limites:
(a) lim
x→0
esen x − x− 1
x2
R: 12 . (b) limx→+∞
3x− sen 2x
5x+ sen 7x
R: 35 .
(c) lim
x→0
3x− sen 2x
5x+ sen 7x
R: 112 . (d) lim
x→0+
x lnx R: 0.
(e) lim
x→1
3
√
x2 + x+ 6 − x2 − 1√
x3 + 3 − 2 R: −
7
3 . (f) limx→2
(x2 − 4) sen x
x+ 2
R: 0.
9. Sendo y = f(x), obter y′ nos casos abaixo:
(a) ln
√
x2 + y2 + arctg
x+ y
x− y = 3 R: y
′ =
y − x
y + x
. (b) e
x
y − y = 0 R: y′ = y
x+ y
.
(c) arctg
x
y
+
1
2
ln
(
x2 + y2
)
= 0 R: y′ =
x+ y
x− y . (d) 1 + xy + ln
(
e−xy + exy
)
= 0 R: y′ =
−y
x
.
3
10. Problemas de Otimizac¸a˜o:
(a) Na confecc¸a˜o de uma caixa reta, de base quadrada, sem tampa e de espessura desprez´ıvel, o custo do material usado na
base e´ de 3 centavos por cm2 e o custo do material usado nas laterais e´ de 2 centavos por cm2. Se a caixa deve conter 384 cm3,
determinar as dimenso˜es da caixa de modo que o custo seja mı´nimo. R: 8 cm X 8 cm X 6 cm.
(b) Determinar o per´ımetro ma´ximo poss´ıvel de um triaˆngulo retaˆngulo de hipotenusa 5cm. R: 5(
√
2 + 1)cm.
(c) Determinar a a´rea ma´xima poss´ıvel de um triaˆngulo retaˆngulo de hipotenusa 6cm. R: 9m2.
(d) Determinar a equac¸a˜o da reta que passa por M = (2, 3) e que forma com os eixos coordenados no primeiro quadrante,
um triaˆngulo de a´rea mı´nima. R: y = − 32 x+ 6.
(e) O eixo x intercepta a para´bola y = 12 − 3x2 nos pontos A e B, e a reta y = k, (0 < k < 12) intercepta a para´bola nos
pontos C e D. Determinar k de modo que o trape´zio ABCD tenha a´rea ma´xima. R: k = 323 e a´rea ma´xima =
256
9 .
(f) A reta y = k, (0 < k < 24) intercepta a para´bola y = 24− 2x2 nos pontos A e B. Determinar a a´rea ma´xima poss´ıvel
de triaˆngulo OAB, onde O e´ a origem. R: 32u.a.
(g) Um retaˆngulo de lados paralelos aos eixos coordenados esta´ inscrito na elipse
x2
2
+
y2
18
= 1 . Determinar a a´rea ma´xima
poss´ıvel de um retaˆngulo nestas condic¸o˜es. R: 12u.a.
(h) De uma folha quadrada de cartolina de lado 60cm retira-se pequenos quadrados iguais de cada um dos quatro cantos
e, pelo processo de dobradura, monta-se uma caixa sem tampa. Determinar qual a medida do lado dos pequenos quadrados
retirados de ccanto para que o volumeda caixa (sem tampa) seja ma´ximo. R: 10 cm.
(i) Determinar a a´rea ma´xima de um triaˆngulo inscrito na regia˜o limitada pelas curvas y =
√
x e y = x , de modo que
dois dos ve´rtices deste triaˆngulo correspondam aos pontos de intersecc¸a˜o entre estas curvas e o terceiro ve´rtice esteja sobre a
para´bola (y =
√
x ). R: 18 .
Sugesta˜o: a a´rea de um triaˆngulo de ve´rtices (a, b), (r, s) e (m,n) e´ dada por A = 12
∣∣∣∣∣∣ det
 a b 1r s 1
m n 1
 ∣∣∣∣∣∣
(j) Determinar a a´rea mı´nima de um triaˆngulo que tem um dos ve´rtices sobre a para´bola y = x2 e os outros dois correspondentes
aos pontos (2, 0) e (3, 2). R: 32 .
(k) Determinar o volume ma´ximo de uma piraˆmide regular reta de base quadrada que pode ser obtida (atrave´s de recorte e
dobradura) a partir de uma folha quadrada de cartolina de 50 cm de lado, conforme a figura. R: 2000
√
5
3 .
50 cm
50 cm
(l) Num trecho de rio de margens retas e paralelas de largura 20m, um atleta parte de um ponto A em uma das margens em
direc¸a˜o a um ponto B na outra margem distando 20
√
26 de A. Ao atleta e´ permitido nadar (o que ele faz a uma velocidade
me´dia ma´xima de 30m/min e/ou andar (o que ele faz a a uma velocidade me´dia ma´xima de 50m/min). Determinar o tempo
mı´nimo necessa´rio para o atleta atingir B. R: 2 minutos e 32 segundos.
4
(m) No instante t = 0 e numa estrada reta, uma viatura policial a uma velocidade de 72km/h, localiza um carro suspeito
parado a 60m a` frente. Neste mesmo instante, o motorista do carro suspeito percebe a viatura policial vindo em sua direc¸a˜o e
parte com uma acelerac¸a˜o constante de 4m/s2.
(a) Mostre que, nas condic¸o˜es citadas, nunca alcanc¸ara´ o carro suspeito.
(b) Determine a distaˆncia mı´nima entre a viatura policial e o carro suspeito e quando esta distaˆncia mı´nima ocorrera´. R:
Distaˆncia mı´nima D(5) = 100m que ocorrera´ em 5s.
(c) Determine a distaˆncia ma´xima entre os carros (no instante t = 0) de modo que a viatura policial possa alcanc¸ar o carro
suspeito. R: Dmax = 50m.
11. Problemas de taxa de variac¸a˜o.
(a) O diaˆmetro de uma mancha de o´leo circular plana aumenta uniformemente a` raza˜o de 1cm/h. Determinar a variac¸a˜o da
(a´rea da) mancha quando o raio medir 2cm. R: dAdt = 2pi cm
2/h.
(b) Os lados de um triaˆngulo equila´tero se expandem uniformemente a` raza˜o de 1 mm/min. Determinar a raza˜o segundo a qual
a a´rea do triaˆngulo varia quando o lado medir 1, 2m. R: 600
√
3mm2/min.
(c) Uma barra de 5m de comprimento tem suas extremidades deslizando sobre os suportes de um aˆngulo reto de origem O.
Uma das extremidades se afasta da origem a` raza˜o de 6 cm/h. Determinar como varia a outra extremidade quando a que esta´
se afastando se encontra a 4m da origem. R: −8 cm/h.
(d) Um avia˜o a 360km/h voando em linha reta a um aˆngulo de 300 em relac¸a˜o ao solo, passa, no instante t = 0, sobre uma
estac¸a˜o de rastreamento no solo a uma altura de 1 km. Determinar a raza˜o segundo a qual o avia˜o esta´ se afastando da estac¸a˜o
apo´s, exatamente, 40 s. R: 540
√
21
7 km/h.
(e) Duas estradas se cruzam perpendicularmente em O. No instante t = 0, o carro A se encontra numa das estradas dirigindo-se
para o entroncamento a 80 km/h e esta´ a 248 km do mesmo (entroncamento) e o carro B, na outra estrada, se encontra a 10 km
do mesmo (entroncamento), afastando-se a 50 km/h. Apo´s exatamente 96 minutos, determinar a raza˜o segundo a qual um carro
se aproxima ou se afasta do outro. R: −34 km/h.
(f) Um reservato´rio tem a forma de um cone reto invertido com raio da base 4m e altura 12m. Injeta-se a´gua no tamque a
raza˜o de 0, 2m3/min. Determinar a raza˜o segundo a qual o n´ıvel da a´gua esta´ se elevando quando a altura da a´gua e´ de 8m.
R: 9/320pi m/min.
(g) Uma bola de neve esfe´rica de raio (R > 0) esta´ derretendo uniformemente de modo que sua superf´ıcie (S = 4piR2) diminui
a uma taxa de 10 cm2/min. determinar a variac¸a˜o do raio e do volume quando o raio medir 16 cm.
R: − 564pi cm/min e −80 cm3/min.
12. Interpretac¸a˜o de gra´fico da derivada.
O gra´fico abaixo representa a derivada dee ordem 1 (f ′) de uma func¸a˜o f deriva´vel em IR ate´ (pelo menos) ordem 3.
−3 0−1 1 42
−1
4
2
,
f
y
x
Determinar:
(a) Intervalos de crescimento e de decrescimento de f , pontos de ma´ximo local e mı´nimo local de f .
(b) Intervalos onde f e´ coˆncava para cima e onde f e´ coˆncava para baixo e pontos de inflexa˜o de f .
5