Problemas Resolvidos   Cálculo IV
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Problemas Resolvidos Cálculo IV


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Problemas Resolvidos
de
Integrais Mu´ltiplas
Uma apostila de aux´\u131lio a` compreensa\u2dco ao
Ca´lculo Diferencial Integral III
Prof. Dr. Beto Rober Saavedra
Universidade Federal do Vale de Sa\u2dco Francisco
Colegiado de Engenharia de Produc¸a\u2dco
http:www.univasf.edu.br/producao/
1
COLABORADORES:
Adalto Liberato de Moura Neto
Anderson Matias da Silva
Andre Soares de Siqueira
Barbara Oliveira Lima
Bruna Parente Granja
Carla Daniela Pereira da Silva
Catiane Queite Simas de Santana
Cyntia de castro Araujo Pereira
Daniel dos Santos Costa
Denisson Augusto Bastos Leal
Diego Galvao Campos Oliveira
Edmilson Jonatas Santos de Brito
Edmo Henrique Martins
Edson Silva Lopes
Eldon de Aquino Costa
Elton Barbosa Santos
Emanuela oliveira dos Santos Paiva
Erick galvao Santana
Eugenio dos Santos de Castro Campos
Francisco Caio Silva Ladislau
Francisco Elde Oliveira Junior
Geilson Ribeiro da Silva
Gilmara Pires Granja
Giovane Alves Bonfim Dias
Glaucia Suerdia Gomes do Nascimento
Gustavo Alves Raphael
Henrique Martins de Miranda
Ilenia Evangelista Rodrigues
Jackson Yanno Araujo de Carvalho
Jadson Patrick Santana de Moraes
Jamile Costa do Nascimento
Jose Antunes da Silva Neto
Jose Augusto Barreira Fonseca Filho
Juman Fernandes Santos Sousa
2
Leila Oliveira Santos
Lucas Matheus de Oliveira Barbosa
Luiz Henrique Coimbra Coelho Gonzaga
Marcelo Henryque Costa de Souza
Maria Augusta Ferreira da Costa Andrade
Matheus Moreira Santiago
Natasha Camilo Dias
Osvaldo Campelo de Mello Vasconcelos
Paula Lima Alves
Paulo Henrique Rocha Pereira
Paulo Vitor Torres barbosa
Pedro de Brito Cavalcanti Neto
Pedro Henrique Araujo Sobral
Raquel Rafael de Freitas Silva
Renan Franca da Silva
Ricardo Barbosa de Siqueira
Ricardo Euller Dantas e Silva
Roberta Daniela da Silva Santos
Simone do Nascimento Luz
Tayron Juliano Souza
Thiago Bruo Rodrigues de Rezende Oliveira
Ulderico Rios Oliveira
Vanderleia Dias da Silva
Victor Marcilio de Araujo Souza Peixoto
3
.
\u2032\u2032
A diferena entre sonho e realidade e´ a quantidade certa de tempo e trabalho.
\u2032\u2032
William Douglas
4
1. Determine o volume da regia\u2dco so´lida E limitada pela superf´\u131cie z =
sen(x2 + y2) e a regia\u2dco plana circular de centro (0, 0, 0) e raio
\u221a
2pi.
Soluc¸a\u2dco . Observar que parte da regia\u2dco E fica acima da regia\u2dco plana circular de
centro (0, 0, 0) e raio
\u221a
pi e a outra parte embaixo da regia\u2dco plana limitada pelas
circunfere\u2c6ncias conce\u2c6ntricas de centro (0, 0, 0) e raios
\u221a
pi e
\u221a
2pi respetivamente. Logo,
usando coordenadas polares, o volume da regia\u2dco E e´
V =
\u222b 2pi
0
\u222b \u221api
0
rsen(r2)drd\u3b8 \u2212
\u222b 2pi
0
\u222b \u221a2pi
\u221a
pi
rsen(r2)drd\u3b8
=
\u222b 2pi
0
\u22121
2
cos(r2)
\u221a
pi
0 d\u3b8 +
\u222b 2pi
0
1
2
cos(r2)
\u221a
2pi\u221a
pi
d\u3b8
= 2pi + 2pi = 4pi
5
2. Calcular
\u222b
R
\u222b
cos
(
y+x
y\u2212x
)
, onde R e´ a regia\u2dco trapezoidal com ve´rtices
(2, 0), (4, 0), (0, 4) e (0, 2).
Soluc¸a\u2dco . Vamos fazer a mudanc¸a de varia´veis:
u = x + y v = x\u2212 y
Essas equac¸o\u2dces definem a transformac¸a\u2dco inversa T\u22121 do plano xy para o plano uv. E,
a transformac¸a\u2dco T, do plano uv para o plano xy, e´ dada pelas equac¸o\u2dces
x =
1
2
(u + v) y =
1
2
(u\u2212 v)
O jacobiano de T e´ \u2202(x,y)\u2202(u,v) =
\u22121
2 . A transformac¸a\u2dco T transforma uma regia\u2dco S no
plano uv na regia\u2dco R como mostra a figura abaixo:
Logo:
\u222b
R
cos
(
y + x
y \u2212 x
)
dA =
1
2
\u222b
S
\u222b
cos(
u
v
)dudv
=
1
2
\u222b 4
2
\u222b v
\u2212v
cos(
u
v
)dudv
=
1
2
\u222b 4
2
v2sen2(
u
v
)|v\u2212vdv
= 0
6
3. Determine o volume da regia\u2dco so´lida E limitada pela superf´\u131cie z =
(x2 + y2)sen(x2 + y2) e a regia\u2dco plana circular de centro (0, 0, 0) e raio
\u221a
2pi.
Soluc¸a\u2dco . Observar que parte da regia\u2dco E fica acima da regia\u2dco plana circular de
centro (0, 0, 0) e raio
\u221a
pi e a outra parte embaixo da regia\u2dco plana limitada pelas
circunfere\u2c6ncias conce\u2c6ntricas de centro (0, 0, 0) e raios
\u221a
pi e
\u221a
2pi respetivamente. Logo,
usando coordenadas polares, o volume da regia\u2dco E e´
V =
\u222b 2pi
0
\u222b \u221api
0
r3sen(r2)drd\u3b8 \u2212
\u222b 2pi
0
\u222b \u221a2pi
\u221a
pi
r3sen(r2)drd\u3b8
Agora, pela substituic¸a\u2dco u = r2 e 12du = dr e os respetivos limites de integrac¸a\u2dco r =
0 \u2192 u = 0, u = \u221api \u2192 u = pi e r = \u221a2pi \u2192 u = 2pi, obtermos:
V =
1
2
\u222b 2pi
0
\u222b pi
0
usen(u)drd\u3b8 \u2212 1
2
\u222b 2pi
0
\u222b 2pi
pi
usen(u)drd\u3b8
=
1
2
[
\u222b 2pi
0
\u2212ucos(u) + sen(u)pi0d\u3b8 \u2212
\u222b 2pi
0
\u2212ucos(u) + sen(u)2pipi d\u3b8]
= pi + 3pi = 4pi
7
4. Determine o volume da regia\u2dco so´lida limitada pelas esferas
(x\u2212 1)2 + (y \u2212 1)2 + (z \u2212 1)2 = 9 e (x\u2212 4)2 + (y \u2212 4)2 + (z \u2212 4)2 = 16.
Soluc¸a\u2dco A dista\u2c6ncia entre os centros das esferas dadas e´ 3
\u221a
3. Calcular o volume da
regia\u2dco so´lida dada e´ mesma coisa que calcular o volume da regia\u2dco so´lida limitada pelas
esferas
x2 + y2 + z2 = 9 e x2 + y2 + (z \u2212 3
\u221a
3)2 = 16.
Observar a figura seguinte:
Para encontrar o plano paralelo ao plano XY sobre o que descansa a intersec¸a\u2dco das
esferas, precisamos resolver a equac¸a\u2dco
16\u2212 z2 = 9\u2212 (z \u2212 3
\u221a
3)2
Isto e´, o plano procurado e´ z = 17
\u221a
3
9 . Logo, a regia\u2dco E fica acima da regia\u2dco plana
8
x2 + y2 \u2264 14327 . O volume de E e´
V =
\u222b 2pi
0
\u222b \u221a 143
27
0
r
\u221a
16\u2212 r2 \u2212 [3
\u221a
3r \u2212 r
\u221a
9\u2212 r2]drd\u3b8
=
=
\u222b 2pi
0
\u22121
3
(16\u2212 r2) 32 |
\u221a
143
27
0 \u2212
3
\u221a
3r2
2
|
\u221a
143
27
0 \u2212
1
3
(9\u2212 r2) 32 |
\u221a
143
27
0 d\u3b8 = 2, 524....
9
5. Determine a a´rea da parte do cone z2 = 4(x2 + y2) entre os planos z =
1 e z = 2.
Soluc¸a\u2dco . Observar que a parte do cone entre os planos z = 1 e z = 2. fica acima da
regia\u2dco R no plano XY limitada pelas circunfere\u2c6ncias x2 + y2 = 14 e x
2 + y2 = 1.
Logo, a a`rea procurada e´
A =
\u222b
R
\u222b \u221a
1 + (
\u2202z
\u2202x
)2 + (
\u2202z
\u2202y
)2dxdy
=
\u222b
R
\u222b \u221a
1 +
x2
4(x2 + y2)
+
y2
4(x2 + y2)
dxdy
=
\u222b
R
\u222b \u221a
5
4
dxdy
=
\u221a
5
4
\u222b 2pi
0
\u222b 1
1
2
rdrd\u3b8 =
3
4
pi
\u221a
5
4
.
10
6. Seja B a bola fechada x2 + y2 + z2 \u2264 4.
(a) Provar por meio de Mudanc¸a de Varia´veis que\u222b \u222b
B
\u222b
e3x
2+xdV =
\u222b \u222b
B
\u222b
e3z
2+zdV
(b) Calcular \u222b \u222b
B
\u222b
ex
2
+ ex
2+3z3dV\u222b \u222b
B
\u222b
ey2 + ez2+3y3dV
Soluc¸a\u2dco . As coordenadas no espac¸o R3 podem ser dadas pelas varia´veis (x, y, z) ou
pelas varia´veis (u, v, w).
(a) Consideramos a mudanc¸a de varia´veis dada por
u = z v = y w = x
Observamos que a mudanc¸a de varia´veis dada transforma a a bola fechada x2 +
y2 + z2 \u2264 4 na bola fechada u2 + v2 + w2 \u2264 4. Ale´m disso, | \u2202(x,y,z)\u2202(u,v,w) | = 1.
Logo,\u222b \u222b
B
\u222b
e3x
2+xdV =
\u222b \u222b
B
\u222b
e3w
2+wdudvdw =
\u222b \u222b
B
\u222b
e3w
2+wdV =
\u222b \u222b
B
\u222b
e3z
2+zdV
(b) Sejam as transformac¸o\u2dces inversas T\u221211 dada por
u = y v = x w = z
e T\u221212 dada por
u = y v = z w = x
Observamos que as duas transformac¸o\u2dces T1 e T2 levam a bola fechada B na bola
fechada B. Ale´m disso, ambos os mo´dulos dos Jacobianos de T1 e T2 sa\u2dco igual a
1. Logo, como acima, temos\u222b \u222b
B
\u222b
ex
2
dV =
\u222b \u222b
B
\u222b
ey
2
dV e
\u222b \u222b
B
\u222b
ex
2+3z3dV =
\u222b \u222b
B
\u222b
ez
2+3y3dV
Logo, \u222b \u222b
B
\u222b
ex
2
+ ex
2+3z3dV\u222b \u222b
B
\u222b
ey2 + ez2+3y3dV
= 1
11
7. (a) Encontrar todos os pontos (x, y) do plano tais que |x|+ |y| = 1.
(b) Calcular a integral dupla
\u222b
B
\u222b
ex+ydA, onde B = {(x, y) \u2208 R2 : |x| + |y| \u2264
3}.
Soluc¸a\u2dco .
(a) Denotamos o conjunto E = {(x, y) \u2208 R2 : |x| + |y| = 1}. Podemos escrever esse
conjunto como segue
E = E1
\u22c3
E2
\u22c3
E3
\u22c3
E4
onde
E1 = {(x, y) \u2208 R2 : x+y = 1, x \u2265 0, y \u2265 0}, E2 = {(x, y) \u2208 R2 : x+y = 1, x \u2265 0,