2 – Equações Diferenciais de 1ª Ordem (parte 1)

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2 – Equações Diferenciais 
de Primeira Ordem
Parte 1
Nota
Apresentaremos, a partir de agora, todo o
conteúdo relativo às equações diferenciais
ordinárias (EDO) .
Sendo assim, de agora em diante, as palavras
“equação” e “equação diferencial” significarão
EDO.
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Veremos, a seguir, os principais tipos de
equações diferenciais de 1ª ordem e os métodos
(ou técnicas) mais apropriados para resolvê-las,
ou seja, para determinar as soluções das equações.
Equação de Variáveis Separáveis
Uma equação diferencial da forma
é chamada equação de variáveis separáveis.
)(
)(
yh
xg
dx
dy
=
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Método de Resolução
Para resolvermos tal tipo de equação diferencial,
como o próprio nome já diz, deveremos separar a variáveis,
isto é, deveremos deixar o coeficiente do diferencial dx
como sendo uma função exclusiva da variável x e o
coeficiente do diferencial dy como sendo uma função
exclusiva da variável y, e então integrarmos cada
diferencial.
Equação de Variáveis Separáveis
Exemplo 1
Resolva as seguintes equações diferenciais
xe
dx
dy
a 21) +=
0)1)( =−+ ydxdyxb
0) =−− ydysenxdxxec y
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Equação de Variáveis Separáveis
Exemplo 2
Resolva os seguintes problemas de valor inicial (PVI)
3)4(,) =−= y
y
x
dx
dy
a
2)0(,4) 2 −=−= yy
dx
dyb
Equações Homogêneas
Função Homogênea
Se uma função f satisfaz a seguinte igualdade
para algum número real n, então dizemos que f é uma
função homogênea de grau n.
),(),( yxfttytxf n=
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Equações Homogêneas
Função Homogênea
Exemplo 3
A função é homogênea de grau 2.
),(
)53(
53
)(5))((3)(),(
53),(
2
222
22222
22
22
yxft
yxyxt
ytxytxt
tytytxtxtytxf
yxyxyxf
=
+−=
+−=
+−=
+−=
Equação Homogênea
Uma equação diferencial da forma
é chamada equação homogênea se ambos os
coeficientes M e N são funções homogêneas do
mesmo grau.
0),(),( =+ dyyxNdxyxM
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Equação Homogênea
Em outras palavras, a equação diferencial
é homogênea se0),(),( =+ dyyxNdxyxM
.),(),(),(),( yxNttytxNeyxMttytxM nn ==
Método de Resolução
Para resolver tal tipo de equação diferencial, faça
as substituições y = ux e dy = udx + xdu, em que u é a
nova variável independente que transformará a equação
original em uma equação diferencial de variáveis
separáveis.
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Equação Homogênea
Exemplo 4
Resolva as equações diferenciais a seguir
0)())( 222 =−++ dyxyxdxyxa
0)(2) 443 =++ dyyxydxxb
Equação Homogênea
Exemplo 5
Resolva o seguinte problema de valor inicial (PVI)
1)1(
/
=
+=
y
xey
dx
dy
x xy
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Equações Redutíveis a Equações de Variáveis
Separáveis
Existem equações diferenciais que mediante
determinada troca de variáveis se transformam em
equações de variáveis separáveis.
Exemplo 6
0)162()33( =+−−−− dyyxdxyx
Equações Redutíveis a Equações Homogêneas
Existem equações diferenciais que mediante
determinada troca de variáveis se transformam em
equações homogêneas.
Exemplo 7
0)243()13( =−+−−− dyyxdxyx