Discursiva calculo III EDO

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Universidade de Cuiabá
Curso: Engenharia Elétrica 
Diversos problemas encontrados nos campos das ciências e da engenharia originam em suas formulações, equações diferenciais ordinárias cujas soluções dependem dessas equações. Essas EDO’S nos permitem ver distintas aplicações através de modelos matemáticos, onde podemos lidar com diversas situações muito próximas das vivenciadas no cotidiano, onde ao trata-las, estamos procurando encontrar soluções efetivas ou próximas para uma problematização, através de modelos matemáticos.
A respeito da resolução de situações problemas, que envolvam equações diferenciais ordinárias, sintetize a sua aprendizagem, em relação à definição, ordem e recursos utilizados para solucioná-las. Escrevendo ainda, o que é uma solução da EDO.
EQUAÇÕES DIFERENCIAS ORDINÁRIAS
 As equações diferencias são o coração da análise e do cálculo, podemos dizer que que esse assunto começa e termina com Leonhard Euler, claro que não deixando os que vieram antes dele e os que vieram depois. Na metade do século XIX Jacobi desenvolveu a teoria dos determinantes e transformações, tornando-se uma ferramenta excepcional para avaliar integrais múltiplas. Em 1876, Lipschitz, desenvolveo teorema de existência para soluções de equações diferencias de primeira ordem. Kovalevsky, apesar das dificuldades por discriminação de seu gênero, ela completou três artigos sobre equações diferencias parciais, sendo ela a maior matemática antes do século XX. Poincaré (1854-1912) o maior matemático de sua geração, iniciou a teoria de equações diferencias não lineares.
 Em uma equação diferencial ordinária (EDO) estão envolvidas a função e suas derivadas, sendo que a incógnita a ser obtida é a própria função. São dois os tipos de classificações, Ordem e Grau. A maior derivada será a ordem da EDO, e o grau dessa derivada será o grau da EDO.
Ordem: é a ordem da derivada mais alta.
Grau: é o grau da derivada mais alta, ou seja, o maior dos expoentes a que está elevada a derivada de mais alta ordem.
 Quando se resolve uma EDO o objetivo é obter uma função sendo que, a primeira derivada mais a própria função será igual a zero.
 Para se encontrar a solução exata de uma equação diferencial faz-se necessário reconhecer a que tipo, ou seja, classe a equação diferencial se enquadra e o método específico para o cálculo, pois nem sempre um método que se aplica na resolução um tipo de ED servirá para outro.
1. Equações Diferenciais Ordinárias de 1ª Ordem e 1º Grau
Classificação
1º Tipo: Equações diferencias de Variáveis Separáveis: 
a) Equações Diferenciais de Variáveis Separadas;
b) Equações Diferenciais Redutíveis às Variáveis Separadas;
 2º Tipo: Equações Diferencias Homogêneas:
a) Função homogênea;
b) Equação Diferencial Homogênea^1;
3º Tipo: Equações Diferencias Redutíveis às Homogêneas ou às de Variáveis Separáveis.
4º Tipo: Equações Diferencias Exatas.
5º Tipo: Equações Diferencias Lineares.
2. Equações Diferenciais Ordinárias de Ordem Superior à Primeira
Tipos Especiais de Equações Diferencias de 2ª Ordem
a) Equação Diferencial do Tipo d^2y/dx^2 = f(x)
b) Equação Diferencial do Tipo d^2y/dx^2= 
c) Equação Diferencial do Tipo = f(y)
d) Equação Diferencial do Tipo d^2y/dx^2 
3. Equações Diferenciais Lineares de Ordem N
 Uma ED linear de ordem N é da forma:
fn(x)y(n) + fn-1(x) y(n-1) +...+ f2(x) y'' + f1(x)y' + f0(x)y = k(x)
onde k(x) e os coeficientes fi (x) são funções de x.
3.1. Equações Diferenciais Lineares de Ordem N, Homogêneas de Coeficientes Constantes
1º caso: A Equação Característica Admite Raízes Reais e Distintas
2º caso: A Equação Característica Admite Raízes Complexas Distintas
2º caso: A Equação Característica Admite Raízes Múltiplas
3.2 Equações Diferenciais Lineares de Ordem N, Não-Homogêneas de Coeficientes Constantes
 Solução de uma EDO é qualquer função f definida em algum intervalo I que quando substituída na ED, reduz a equação a uma identidade.