Tecnologia da Amostragem - Amostra Aleatória Simples AAS (Prof. Vermelho)

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Amostra aleatória simples sem reposição - AAS
• Método básico de muitos planos amostrais
• O algoritmo base é:
• Para uma AAS de tamanho n:
1. Selecione uma unidade da população com 
equiprobabilidade
2. Retire a unidade selecionada da população
3. Repita os passos 1 e 2 até ter selecionado n unidades
• Esse esquema garante que todas as amostras possíveis de 
tamanho n têm a mesma probabilidade de serem escolhidas
• Garante que todas as unidades têm a mesma probabilidade 
de seleção e de inclusão
AAS
• A probabilidade de seleção da unidade Ui em 
qualquer uma das n seleções é 1/N
– P(Ui ser selecionada na 1ª)=1/N
– P(Ui ser selecionada na 2ª)=(1-1/N)[1/(N-1)]=1/N
– P(Ui ser selecionada na 3ª)=(1-1/N) [1-1/(N-1)][1/(N-2)]=1/N
– .....
• A probabilidade de inclusão da unidade Ui na 
amostra, dessa forma, será igual a probabilidade 
dela ser selecionada em pelo menos uma das n 
seleções, ou seja:
π i=P(U i⊂s)=∑
i= 1
n 1
N
= n
N
AAS
• A probabilidade de inclusão das unidades Ui e Uj 
na amostra, será igual a probabilidade de Ui ser 
selecionada em pelo menos uma das n seleções, e 
Uj ser selecionada em uma das n-1 outras 
seleções, ou seja:
π ij=P(U i⊂s;U j⊂s )=∑
i=1
n 1
N ∑j≠i
n 1
N−1
= n
N
n−1
N−1
AAS
•Estimador do total populacional
•Vamos usar o estimador de Horvitz-Thompson
•Onde wi é o peso amostral dado pelo inverso da 
probabilidade de inclusão
•Variância do estimador do total
•Precisamos estimar a variância do estimador do total
•Para isso é necessário, também, um estimador para S2
V ( Y^ AAS )=N
2(1−f ) S
2
n
Y^ HT=Y^ AAS=∑
i= 1
n
wi y i=∑
i=1
n y i
π i
=N
n ∑i=1
n
y i =N y¯
AAS
• Um estimador não viciado de S2 é dado pela 
variância amostral:
• Um estimador não viciado para a variância do 
estimador do total será:
V^ ( Y^ AAS )=v (Y^ AAS )=N
2(1− f ) s
2
n
s2= 1
n−1∑i=1
n
( yi− y¯ )2=
1
n−1 [∑i=1n y i2−1n (∑i=1n y i)
2]
AAS
• Obs.: a letra f da fórmula é a fração amostral:
• O termo (1-f) é chamado de fator de correção para 
populações finitas
• Repare que se , o fator de correção para 
populações finitas será aproximadamente 1
f= nN
N→∞
AAS
• Estimador da média populacional
• Variância do estimador da média
• Estimador da variância do estimador da média
y¯ AAS= y¯=
Y^ AAS
N
=1
n∑i=1
n
y i
V ( y¯ )=(1− f ) S
2
n
v ( y¯ )=(1− f ) s
2
n
Exemplo - AAS
(Cochran) Foram coletadas assinaturas para um abaixo 
assinado em 676 folhas. Cada folha tinha espaço para 42 
assinaturas, mas em muitas das folhas foi coletado um 
número menor de assinaturas. Uma AAS de 50 folhas foi 
selecionada, e os resultados estão na tabela abaixo:
a. Estimar o total de assinaturas do abaixo assinado e a variância do 
estimador
b. Estimar o número médio de assinaturas por folha e a variância do 
estimador
Seleção de uma AAS
• Como selecionar uma AAS de um cadastro?
• Algoritmo natural é pouco eficiente do ponto de 
vista computacional
• Vamos dar 2 exemplos de algoritmos
• Algoritmo de Hàjek e Algoritmo de Fan, Muller e 
Rezucha
AAS - Hàjek
• Algoritmo de Hàjek
1. Selecionar um número aleatório da distribuição uniforme U(0;1), 
para cada unidade da população PN
2. Ordenar a população segundo os valores dos aleatórios gerados
3. Selecionar as n primeiras unidades da população nessa nova 
ordem
• Muito fácil de programar - EXCEL
• A PROC SURVEYSELECT, do SAS, usa esse método 
para populações pequenas
• Qualquer pacote já tem pelo menos uma rotina de 
ordenação e geração de pseudo aleatórios
AAS
• Algoritmo de Fan, Muller e Rezuch
• Seja uma população com N unidades
1. i  0
2. i  i+1
3. Para a unidade Ui gere um número aleatório Ai ~ U(0;1)
4. Se Ai < n/N Se Ai >= n/N
1. Se n = 0 ou N = 0 pare
2. Retorne ao passo 2
• Processamento sequencial
• Pode não precisar percorrer todo o cadastro
4.1 Inclua Ui na amostra
4.2 Faça n  n-1
4.3 Faça N  N-1
4.1 Faça N  N-1
AAS – usando Excel 
• Usando o Excel
– Pode-se gerar U(0;1) com a função ALEATÓRIO()
– Caixa de diálogo AMOSTRAGEM
• AASc ou Sistemática (veremos mais tarde)
– Fácil implementação do método de Hàjek
– Fan, Muller e Rezuch também pode ser implementado
• Usando o SAS
– Fácil implementação do método de Hàjek
– Pode-se implementar o método de Fan, Muller e Rezuch
– Usar a PROC SURVEYSELECT
Seleção de uma AAS
• Exemplo usando o Excel para Hàjek
– Na célula correspondente a U1 do universo gerar um 
aleatório usando ALEATÓRIO()
– Arrastar até o final da população
– Copiar a coluna de aleatórios o COLAR ESPECIAL 
VALORES para fixar os números aleatórios
– Usando DADOSCLASSIFICAR, ordenar o arquivo 
segundo a coluna dos aleatórios (pode ser crescente ou 
decrescente)
– Pegar as n primeiras linhas como amostra
• Pode-se demonstrar (não vamos fazer isso!) que 
todas as unidades têm a mesma chance de seleção
• Exemplo usando o Excel para Hàjek
AAS- usando o SAS para Hàjek
Data UNIVERSO;
Set UNIVERSO;
ALEAT=RANUNI(semente); /* gerando números aleatórios */
Run;
Proc sort data=UNIVERSO;
by ALEAT; /* ordenando arquivo segundo números aleatórios */
Run;
Data AMOSTRA;
Set UNIVERSO;
output AMOSTRA;
If _n_=namost then stop; /* selecionando a amostra */
Run;
Data AMOSTRA;
Set UNIVERSO(obs=NAMOST); /* selecionando a amostra */
Run;
Seleção de uma AAS
• Exemplo usando o SAS para Fan, Muller e Rezuch
Data AMOSTRA;
Retain NA namost NU;
Set UNIVERSO NOBS=NU;
if ranuni(SEMENTE)<NA/NU then do;
output AMOSTRA;
NA=NA-1;
NU=NU-1;
if NA=0 OR NU=0 then stop;
end;
else do;
NU=NU-1;
if NU=0 then stop;
end;
Run;
Seleção de uma AAS
• Exemplo usando o a PROC SURVEYSELECT
Proc surveyselect data=UNIVERSO out=AMOSTRA n=20 m=SRS
 seed=SEMENTE;
Run;
• O SAS também tem procedimentos para estimação 
de parâmetros e respectivas precisões
• Outros pacotes, como o SPSS, STATA, também 
estão desenvolvendo ferramentas para trabalhar com 
amostragem
Amostra aleatória simples com reposição-AASc
• Algoritmo natural da AASc:
1. Selecione uma unidade da população com 
equiprobabilidade;
2. Reponha a unidade selecionada na população;
3. Repita os passos 1 e 2 até ter feito n seleções.
• Para uma variável de interesse y, temos que os 
valores amostrais y1, y2, ... , yn serão:
– Independentes;
– Identicamente distribuídos;
– P(yi=Yj)=1/N, i=1, 2, 3, ... , n , j=1, 2, 3, ... , N;
AASc
• Distribuição amostral de yi:
• Temos:
• Conclusão: yi é estimador não viciado para a média 
da população, mas a variância é “grande”!
y i Y 1 Y 2 Y 3 ... Y j ... Y N
P(y i=Y j) 1/N 1/N 1/N ... 1/N ... 1/N
2( ) e ( )AASc i AASc iE y Y V y  
AASc
• Vamos analisar a média amostral:
• Então a média amostral também é estimador não 
viciado para a média da população
• Vantagem: a variância é menor!
• Comparação com a AAS:
2 21( ) e ( )AASc AASc
N SE y Y V y
n N n
 
  
( ) ( )AAS AAScV y V y
AASc
• Estimador da variância da média amostral
• Ou seja, na AASc temos que:
• Para o total populacional:
2
( )AASc
sv y
n

2 2 21( )AASc
NE s S
N
  
2 2
2 2ˆ ˆ ˆ, ( ) , ( )AASc AASc AASc
sY Ny V Y N v Y N
n n

  
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