Tecnologia da Amostragem - Amostragem de Bernoulli (Prof. Vermelho)

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Amostragem de Bernoulli
Método de seleção com probabilidades iguais
Amostragem sem reposição
Seja uma população PN, da qual se deseja selecionar uma amostra com tamanho esperado n, e seja: 
Selecione números aleatórios ai, i=1, 2,..,N, correspondentes à cada unidade Ui de PN, e inclua na amostra todas as unidades para as quais ai<p.
Amostragem de Bernoulli
Seja Ii a variável indicadora da presença de Ui na amostra:
Portanto I1, I2, …, IN, são variáveis aleatórias iid, com distribuição de Bernoulli, tal que:
Segue que as probabilidades de inclusão são dadas por: 
Amostragem de Bernoulli
O tamanho real da amostra, ns, é uma variável aleatória com distribuição Binomial de parâmetros N e p.
Portanto o valor esperado e a variância para o tamanho da amostra são dados por:
Como as probabilidades de inclusão são perfeitmente conhecidas podemos utilizar o estimador de Horvitz-Thompson
Amostragem de Bernoulli
Estimador não viciado para o total populacional:
A variância do estimador HT para o total se reduz a:
Um estimador não viciado para a variância do estimador do total é dado por:
Amostragem de Bernoulli
Um estimador mais eficiente para o total amostral pode ser dado por:
A variância desse estimador é pode ser aproximada por:
E estimada por:
Amostragem de Bernoulli
Esse estimador tem variância menor que o estimador de Horvitz-Thompson, apesar de não ser não viciado
Com amostras “grandes” o vício tende a zero
O estimador alternativo é uma espécie de correção do estimador de Horvitz-Thompson
A correção é menor quanto mais próximo ns for de seu valor esperado, n.
Amostragem de Bernoulli
Exemplo: um professor tinha 600 provas para corrigir e decidiu fazer uma sondagem preliminar sobre o número de aprovados através de uma amostra. Para cada uma das provas ele lançou um dado e colocou na amostra a prova quando deu o número 6. Assim ele selecionou 90 provas, corrigiu, e, destas, 60 foram aprovadas. Construa um IC95% para o total de estudantes aprovados.
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