Geometria Analítica - Cônicas - Lista de Exercícios

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Geometria Anal´ıtica – 2016-1 – 5512-1225 – 2a lista
1. Determine o foco das para´bolas y2 = 8x e y2 = 12x e esboce elas num gra´fico.
2. Determine a excentricidade da elipse 4x2 + 25y2 = 100.
3. Escreva a equac¸a˜o da para´bola cuja diretriz seja a reta x = 1 e tenha foco (3, 0).
4. Identifique cada uma das qua´dricas
a. x2 + 6xy − y2 = 0 b. x2 − 4xy + 4y2 = 0
c. 2x2 + 4xy − y2 = 0 d. 4x2 + 3xy − 4y2 = 0
5. Identifique as qua´dricas, indicando o foco e a diretriz
a. 2x2 − 12xy − 3y2 = 42 b. 8x2 − 12xy + 17y2 = 20
6. Identifique e esboce cada uma das superf´ıcies:
a. x2 − 3y2 + z2 = 1 b. x2 − 3y2 + z2 = 0
c. x2 − 3y2 + z2 = −1 d. x2 − 9y2 = 0
e. x2 − 9y2 = 9 f. 4x = y2 + z2
g. 4y = x2 h. 4z = y2 + x2
i. x2 + 4y2 + 4z2 = 16
j. x2 + 4y2 + 2z2 − 2x+ 32y + 8z = 27
k. x2 + y2 − 3x+ 4y − 8z + 5 = 0
l. 4x2 + y2 − z2 + 12x− 2y + 4z = 12
Resumo sobre rotac¸o˜es
matriz de rotac¸a˜o por um aˆngulo θ no sentido hora´rio:
R =
[
cos θ sen θ
− sen θ cos θ
]
sua inversa a´ matriz de rotac¸a˜o no sentido anti-hora´rio, que tambem e´ sua tranposta
R−1 = Rt =
[
cos θ − sen θ
sen θ cos θ
]
observe as fo´rmulas:
X =
[
x
y
]
U =
[
u
v
]
U = RX U t = XtRt
ax2 + 2bxy + cz2 = XtMX M =
[
a b
b c
]
XtMX = XtRtRMRtRX = U tDU
onde D = RMRt
observe que o determinante de D e´ igual ao determinante de M que e´
∆ = b2 − ac
pode-se afirmar o seguinte sobre a qua´drica:
i se ∆ < 0 e´ uma elipse (ou c´ırculo ou vazio)
ii se ∆ = 0 e´ uma para´bola
iii se ∆ > 0 e´ uma hipe´rbole
isso se pode ver facilmente se usarmos para θ o valor tal que
tan(2θ) =
2b
a− c
pois neste caso a matriz D sera´ diagonal e teremos{
x = u cos θ − v sen θ
y = u sen θ + v cos θ