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Física e Matemática 2 Claudio M. Maekawa ii Contents Introduction vii 1 Revisão do ensino médio 1 1.1 Potências com expoente inteiro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Função exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 O Logarítmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.1 Logaritmo do produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.2 Logaritmo da fração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.3 Logarítmo da potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.4 Sistemas de Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2 A derivada da função exponencial 11 2.1 Aplicação na Física: Movimento em um Fluído . . . . . . . . . . 12 2.1.1 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Radiatividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 Derivada: interpretação geométrica 21 3.1 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2 A diferencial dy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4 Integração 29 4.1 Integrais de algumas funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.1.1 Potências de x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.1.2 Funções trigonométricas elementares . . . . . . . . . . . . 31 4.2 Função exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4.3 Perguntas matemáticas no Ensino Médio e Elementar . . . . . . 33 4.4 Riqueza de informações, Interpretação matemática. . . . . . . . . 35 5 Integrais de nidas e cálculo de áreas 39 5.1 Cálculo da área sob o grá co de f (x). . . . . . . . . . . . . . . . 40 5.2 Integração: Soma in nita de áreas elementares . . . . . . . . . . 42 5.3 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 5.4 Aplicação na Física . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 5.4.1 Caso do MRU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 iii iv CONTENTS 5.4.2 Caso MRUV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 5.4.3 Caso Movimento de um barco . . . . . . . . . . . . . . . . 54 A The First Appendix 57 Afterword 59 Preface v vi PREFACE Introduction vii viii INTRODUCTION Chapter 1 Revisão do ensino médio 1.1 Potências com expoente inteiro Seja a um número real (a 2 R) e n um número inteiro (n 2 Z) O número a elevado à n é descrito por an = nz }| { a� a� a� :::� a i.e, a é multiplicado por ele mesmo n vezes. a1 = a; a2 = a� a; a3 = z }| { a� a� a : (1.1) O número a é chamado de base e n de expoente. Caso n = 0 a0 = 1: (1.2) Caso n < 0 a�n = 1 an : (1.3) Exemplos: a�1 = 1 a ; a�2 = 1 a2 Temos que 1 a�1 = 1 1 a = a 1 = a assim �a b ��1 = a�1 b�1 = 1 a b�1 = 1 a 1 b�1 = 1 a 1 1 b = 1 a b 1 = b a 1 2 CHAPTER 1. REVISÃO DO ENSINO MÉDIO exemplo � 1 2 ��2 = 1�2 2�2 = 22 12 = 4 1.1.1 Propriedades Propriedade 1) am � an = am+n (1.4) Demonstração am � an = mz }| { a� a� a� :::� a � nz }| { a� a� a� :::� a = m+nz }| { a� a� a� :::� a � a� a� :::� a = am+n; c:q:d: Exemplo: a2 � a3 = 2z }| { a� a � 3z }| { a� a� a = a� a 2 �a� a� a = a5 = a2+3 Propriedade 2) am an = am�n (1.5) Demonstração am an = am 1 an = am � a�n da propriedade 1 am � a�n = am+(�n) = am�n então am an = am�n; c:q:d: (1.6) Exemplo a2 a3 = a2 � 1 a3 = a2 � a�3 = a�1 ou a2 a3 = a� a a� a� a = 1 a = a�1 Propriedade 3) (a� b)n = an � bn (1.7) 1.1. POTÊNCIAS COM EXPOENTE INTEIRO 3 demonstração (a� b)n = nz }| { (a� b)� (a� b)� :::� (a� b) = nz }| { a� b� a� b� :::� a� b temos: n multiplicações de a : nz }| { a� a� :::� a e n multiplicações de b : nz }| { b� b� :::� b (a� b)n = nz }| { a� a� :::� a� nz }| { b� b� :::� b (1.8) = an � bn Assim (a� b)n = an � bn; c:q:d: Exemplo 32 � 52 = =9z }| { 3� 3 � =25z }| { 5� 5 = 225: (1.9) ou também 32 � 52 = (3� 5)2 = 152 = 15� 15 = 225: (1.10) Propriedade 4 �a b �n = an bn : (1.11) Demonstração �a b �n = nz }| { a b � a b � :::� a b = nz }| { a� a� :::� a b� b� :::� b| {z } n = an bn ; c:q:d: Exemplo: � 3 2 �3 = 3 2 � 3 2 � 3 2 = 3� 3� 3 2� 2� 2 = 27 8 = 3:375 4 CHAPTER 1. REVISÃO DO ENSINO MÉDIO outro jeito � 3 2 �3 = (1:5) 3 = 1:5� 1:5� 1:5 = 3:375 Propriedade 5 (am) n = am�n: (1.12) Demonstração: (am) n = bn chamamos b = am. bn = nz }| { b� b� :::� b e aqui temos n multiplicações de b. Mas b = am = mz }| { a� a� :::� a substituindo bn = nz }| { mz }| { a� a� :::� a � mz }| { a� a� :::� a � :::� mz }| { a� a� :::� a temos aqui n multiplicações de mz }| { a� a� :::� a assim (am) n = bn = am�n: Exemplo � 22 �3 = � 22 �� �22�� �22� = (2� 2)� (2� 2)� (2� 2) = 26 = 22�3 = 64 outro jeito � 22 �3 = (4) 3 = 4� 4� 4 = 64 Potências de números negativos Exemplos: Base negativa: a < 0. (�1)2 = (�1) (�1) = 1 (�1)3 = 1z }| { (�1) (�1) (�1) = �1 1.2. FUNÇÃO EXPONENCIAL 5 outros casos: (�2)2 = (�2)� (�2) = 4; (�2)3 = 4z }| { (�2) (�2) (�2) = �8 Conclusões Potências pares de números negativos resultam em números positivos Potências ímpares de número positivos resultam em números negativos Outro jeito de ver: (�2)3 = (�2) (�2) (�2) = (�) 2 (�) 2 (�) 2 = +z }| { (�) (�) (�)� 2� 2� 2 = (+) (�)� 23 = �8 1.2 Função exponencial Função exponencial de base a: f (x) = ax onde a 2 R e a variável x também é real. Exemplo: a = 2 f (x) = 2x: (1.13) Grá co 6 CHAPTER 1. REVISÃO DO ENSINO MÉDIO 32.521.510.50-0.5-1-1.5-2-2.5-3 8 7.5 7 6.5 6 5.5 5 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 x y x y Caso f (x) = 2�x: (1.14) Grá co 2�x 2.521.510.50-0.5-1-1.5-2-2.5 5.5 5 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 x y x y 1.2. FUNÇÃO EXPONENCIAL 7 propriedades axay = ax+y a�x = 1 ax ; 1 a�x = ax; axbx = (ab) x ax ay = ax�y ax bx = �a b �x (ax) y = axy Uma função exponencial usada na física é quando a base é o número nepe- riano ou de Euler e = 2:718 3. f (x) = ex Grá co 21.510.50-0.5-1-1.5-2 7 6.5 6 5.5 5 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 x y x y f (x) = e�x Grá co e�x 8 CHAPTER 1. REVISÃO DO ENSINO MÉDIO 21.510.50-0.5-1-1.5-2 7 6.5 6 5.5 5 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 x y x y 1.3 O Logarítmo loga b = x aqui a é a base e b é o logaritmando. O Logarítmo x é o expoente de a, tal que: ax = b: (1.15) Propriedade 1 loga 1 = 0; loga a = 1 loga a m = m loga b = loga c) b = c Exemplo log2 4 = 2 pois 22 = 4 Exercício: Encontre o valor de x da seguinte equação: x = log2 p 8: 1.3. O LOGARÍTMO 9 1.3.1 Logaritmo do produto loga (bc) = loga b+ loga c Exemplo: log2 8� 16 = log2 23 � 24 = log2 23+4 = 3 + 4 Por outro lado, temos que: log2 8 = 3; log2 16 = 4 então log2 8� 16 = 3 + 4 = log2 8 + log2 16: (1.16) 1.3.2 Logaritmo da fração loga � b c � = loga b� loga c Exemplo: log2 4 32 = log2 22 25 = log2 2 2�5 = 2� 5; Por outro lado, temos que: log2 4 = 2; log2 32 = 5 então: log2 4 32 = 2� 5 = log2 4� log2 32 1.3.3 Logarítmo da potência loga b m = m loga b exemplo log 23 = log (2� 2� 2) = log 2 + log 2 + log 2 = 3 log 2observe que a potência 3 "caiu". O mesmo ocorre com potências negativas: log 2�3 = �3 log 2 10 CHAPTER 1. REVISÃO DO ENSINO MÉDIO 1.3.4 Sistemas de Logaritmos Sistema de Logaritmos decimais. Aqui se escolhe a base 10 log10 b = x: (1.17) ou seja, x é o expoente de 10 que resulta em b: 10x = b (1.18) Sistema de Logaritmos Neperianos. A base nesse caso é o número e: loge b = x ele também é denotado por ln b = x e signi ca que ex = b: (1.19) Chapter 2 A derivada da função exponencial Aqui a regra de derivação para a função exponencial na base e é: d dx ex = ex: (2.1) Outro caso frequente de derivação envolvendo a função exponencial é: d dx eax O cálculo dessa derivada se faz com a aplicação da derivada de funções compostas. Aqui temos f (g (x)) f (g (x)) = eax onde g = ax e f (g) = eg: (2.2) A regra da cadeia é: d dx f (g (x)) = d dg f (g) d dx g (x) Aplicando essa regra para este caso, temos: d dx g (x) = d dx ax = a: (2.3) e d dg f (g) = d dg eg = eg = eax: (2.4) assim d dx eax = eaxa = aeax: (2.5) 11 12 CHAPTER 2. A DERIVADA DA FUNÇÃO EXPONENCIAL 2.1 Aplicação na Física: Movimento em umFluído Aqui veremos com detalhes como a força é a causa de um movimento, no sentido em que basta se conhecer a força com detalhes para se determinar com precisão o movimento gerado pela força. Um uído, como a água, impõe uma força sobre os corpos que estão em movimento dentro do uído. Essa força é a força de arrasto ~D. Essa força é diretamente proporcional ao módulo da velocidade do corpo j~vj, tem a mesma direção mas sentido oposto: ~D = �b~v: (2.6) a constante b depende de características do corpo e do uído. Em Física I veremos a expressão de b. Quando um barco com velocidade constante ~v0 se aproxima do porto, ele desliga os motores e o barco desliza em direção ao porto. Pode-se notar que a velocidade do barco diminui rápidamente nos primeiros instantes. A força que está atuando é a força de arrasto da água sobre o barco. Vamos considerar que o instante inicial t = 0 seja quando o barco desligou os motores. Esse é um movimento em 1 � D. Escolhendo a trajetória do barco até o porto como sendo o eixo x^, com o eixo apontado em direção ao porto, podemos escrever que a força é dada por: ~D = �bvx^: (2.7) Nesse caso ~D é a única força que atua no barco, então escrevemos que ~F = ~D: (2.8) Lembrando da segunda Lei ~F = d~p dt então ~D é a causa do movimento do barco que vai parando até chegar ao porto. A quantidade de movimento do barco é ~p = m~v. Como nesse caso a massa m do barco é constante, podemos escrever: d~p dt = d dt m~v = m d dt ~v e a segunda Lei se transforma em: ~F = m d dt ~v Como ~F = ~D, reescrevemos: �bvx^ = m d dt vx^: (2.9) Podemos agora ignorar o eixo x^: �bv = m d dt v: (2.10) 2.1. APLICAÇÃO NA FÍSICA: MOVIMENTO EM UM FLUÍDO 13 Para facilitar o entendimento, vamos reescrever essa equação na seguinte forma � b m v (t) = d dt v (t) : (2.11) Observe que temos a velocidade v nos dois lados da equação. Essa velocidade ainda não está determinada, o que se pode dizer é que ela é uma função do tempo, por causa da derivada no tempo. Essa é uma equação diferencial cuja incógnita é uma função v (t), isto é: ela é uma pergunta pergunta matemática. Nesse caso o que ela está perguntando: Qual é a forma da função v (t) que ao ser derivada resulta na constante � bm vezes ela mesma? Da matemática, vimos que a função que sofre derivação e resulta nela mesma é eax, ou seja: d dx eax = aeax: (2.12) Vamos usar isso no nosso problema. Com base no conhecimento de eax, escolhemos: v (t) = eat (2.13) e vamos considerar que a é uma constante que ainda não conhecemos. Calculamos a derivada: d dt v (t) = d dt eat = aeat: (2.14) Substituímos esse resultado no lado direito da equação (2.11): � b m v (t) = aeat: (2.15) substituimos v (t) = eat no lado esquerdo da equação: � b m eat = aeat: (2.16) e comparando os dois lados vemos que a constante a deve ser: a = � b m Assim, substituinto esse resultado na equação (2.13), temos que: v (t) = e� b m t: (2.17) 14 CHAPTER 2. A DERIVADA DA FUNÇÃO EXPONENCIAL Obs: Embora ainda não estudamos a Teoria de Equações Diferenciais, veja que podemos resolver alguns casos simples de equações diferenciais por meio da compreensão de que ela é uma pergunta matemática. Será que essa expressão está correta? Ela tem o conteúdo físico correto? Análise física da expressão: v (t) = e� b m t: (2.18) Essa expressão nos informa que a medida que t aumenta v (t) diminui. Sabe- mos disso por causa do grá co da função exponencial e � b m t . A diminuição é rápida nos primeiros instantes, (diminuição exponencial), mas demora para se anular ( e � b m t ! 0 quando t ! 1). Isso está qualitativamente de acordo com o que se espera. Mas há um porém. No instante t = 0 sabemos que a velocidade do barco é v0. Se zermos t = 0 na expressão que encontramos, temos: v (t) = e� b m 0 = e�0 = 1: (2.19) e não obtemos v0 ! Será que se pode corrigir? Como a solução v (t) foi escolhida, podemos refazer a nossa escolha e escrever v (t) = v0e � bm t: (2.20) Agora vemos que: t = 0 ! v (0) = v0: (2.21) e temos agora uma resposta consistente com o que se espera do comportamento físico da velocidade. Observe que o método que usamos aqui para encontrar a resposta à per- gunta matemática (equação diferencial) não é muito rigorosa uma vez que o método não nos forneceu uma resposta completamente consistente com a Física (physis=natureza) do problema. Mas a análise física permitiu que corrigisse- mos a escolha inicial. Na teoria de equações diferenciais voces irão aprender um método mais preciso que esse(método de integração), mas veja que a análise física não é apenas para veri car se o cálculo forneceu uma resposta correta para a física, a análise física permite que se faça correções ao resultado matemático. É muito comum na Física esse procedimento de corrigir as soluções obtidas matemáticamente. E a aplicação do logarítmo? Podemos ter a situação no qual se conhece v (t) e v0 e queremos saber quanto tempo demora para se atingir a velocidade v (t). Por exemplo, podemos querer 2.1. APLICAÇÃO NA FÍSICA: MOVIMENTO EM UM FLUÍDO 15 saber quanto tempo demora para que a velocidade caia pela metade da veloci- dade inicial, ou seja, v (t) = v0=2. Para obter a resposta, substituímos v (t) = v0=2 : v0 2 = v0e � bm t; (2.22) podemos simpli car: 1 2 = e� b m t: (2.23) A variável t está no expoente, podemos "baixá-lo" com ajuda do logaritmo na base e : ln 1 2 = ln e� b m t: (2.24) Mas: ln e� b m t = � b m t e temos: ln 1 2 = � b m t e isolamos t : t = �m b ln 1 2 : (2.25) Parece que temos um tempo negativo, mas lembrando que: 1 2 = 2�1 e reescreve: t = �m b ln 2�1; (2.26) que das propriedades do logaritmo, podemos reescrever: t = � (�1) m b ln 2; (2.27) e nalmente: t = m b ln 2; (2.28) Assim temos o tempo que demora para que v (t) = v0=2. 2.1.1 Resumo Vemos aqui que, o porque do barco, depois de desligar os motores, desliza sobre a água e tem a sua velocidade reduzida muito rápidamente nos primeiros instantes e depois se aproxima muito lentamente, quase parando, do porto. A causa é devido à natureza (Física) da força de arrasto da água sobre o barco que 16 CHAPTER 2. A DERIVADA DA FUNÇÃO EXPONENCIAL é diretamente dependente da velocidade do próprio barco e atua em direção oposta ao movimento do barco: ~D = �b~v: (2.29) O que faz a ligação entre a causa (força de arrasto) e o efeito (equação da velocidade) é a 2a¯ Lei de Newton na sua formamais geral: ~F = d~p dt : (2.30) Assim estamos vendo na prática o princípio de causa e efeito que está nessa Lei: A força é a causa da alteração dos movimentos dos corpos. Do exemplo do barco, vemos mais que isso, vemos que: A força não só é a causa da alteração dos movimentos dos corpos, mas determina como os corpos se movem. ou seja: A força é a causa dos movimentos dos corpos. Vemos aqui que o trabalho de Newton possibilita a busca pela causa de todas os movimentos das coisas. E pode-se notar que a linguagem matemática torna possível conhecer essa causa com precisão e determinar os seus efeitos com precisão. Observe também que, com auxílio da linguagem matemática, utilizamos a linguagem das palavras com mais precisão, uma vez que os signi cados das palavras como velocidade, força e tempo estão perfeitamente de nidas pelas expressões matemáticas. Só assim foi possível usar a análise física para realizar correções. Os próprios signi cados das palavras causa e efeito estão delineadas de forma precisa na 2a¯ Lei de Newton. Causa ! força, Efeito ! Movimento Será que podemos buscar outras causas? Há alguma outra causa mais fun- damental que a força? A busca por essas outras causas mais fundamentais é o moto do desenvolvi- mento da Física. Esse desenvolvimento alterou a busca das causas primeiras para a busca pelo princípio de todas as coisas. Essa modi cação, embora pareça pequeno, ela é muito grande e foi gerada pela mecânica quântica. A Mecânica Quântica nos mostra que a hipótese de que a Natureza tem exatidão absoluta não está correta. A Mecânica Quântica nos mostra que a Na- tureza possui uma incerteza mínima natural. Devido à essa incerteza mínima as causas não podem ser determinadas com precisão absoluta. 2.2. RADIATIVIDADE 17 Outro fato a ser observado, veja que é necessário ter um bom conhecimento da matemática para que se possa entender essa busca pelo princípio de todas as coisas. E quanto mais aprofundarmos o nosso conhecimento matemático mais nos aprofundamos no conhecimento da Natureza ao ponto que hoje já podemos vislumbrar como o nosso universo e outros podem ser criados. A Matemática que permite entender essa criação é chamada de Formas Diferenciáveis. Ela é bem abstrata, mas apesar do grau de abstração necessário é ela que permite a compreensão da criação de universos. 2.2 Radiatividade O método aplicado aqui para estudar o problema do movimento em um uído pode também ser aplicado em uma área mais avançada: na Física Nuclear. Na Física Nuclear temos o estudo da radiatividade de materiais que são instáveis. Esses materiais possuem mais energia do que podem comportar e precisam eliminar essa energia para fora. O meio de se eliminar essa energia é emitindo a energia na forma de raios, daí o nome, radiatividade é a atividade dos materiais instáveis de emitir raios para se tornar mais estáveis. Os raios emitidos mais simples, são classi cados de acordo com o tipo de carga elétrica que eles carregam: 1) Raios � (alfa): São raios com carga elétrica positiva. 2) Raios � (beta): são raios com carga elétrica negativa. 18 CHAPTER 2. A DERIVADA DA FUNÇÃO EXPONENCIAL 3) Raios (gama): são raios com carga elétrica neutra. Em geral, a medida que um núcleo instável/radiativo emite radiação ele se torna estável. Dizemos que o núcleo decaiu. Assim o número inicial N0 de núcleos instáveis diminuem (decaem) com o tempo e podemos dizer que N (t) é o número de núcleos radiativos que restam no instante t. Temos que N (t) < N0 No intervalo de tempo �t = tf � t0 a variação no número de núcleos é: �N = N (t)�N0; (2.31) Podemos agora calcular a taxa de variação temporal, ela é: �N �t Vimos que na Física trabalhamos com o limite �t ! 0 e nesse caso temos que lim �t!0 �N �t = dN dt Essa taxa de variação depende diretamente da quantidade N de núcleos radiativos, pois quanto maior N mais núcleos irão decair e maior será essa taxa de variação. Isso quer dizer que: dN dt / N: (2.32) Em geral, não podemos determinar qual núcleo radiativo especí co que vai decair, se é o núcleo 1, ou 2, ou 3, pois não há como rotular os núcleos e eles são todos iguais. Por exemplo: os núcleos de Urânio radiativo. Mas existe a probabilidade de um núcleo decair. Denota-se por ! a probabilidade de um núcleo decair. Temos que quanto maior for essa probabilidade maior é a taxa de variação dNdt , ou seja, essa taxa é diretamente proporcional à essa probabilidade: dN dt / !: (2.33) Podemos reunir essas duas análises e reescrever dN dt = !N: (2.34) Mas N (t) < N0, então dN dt < 0: (2.35) e corrigimos multiplicando um sinal negativo à direita da equação (2.34) dN (t) dt = �!N (t) : (2.36) 2.2. RADIATIVIDADE 19 Essa é a equação que determina como será N (t). Ela recebe o nome de Lei de decaimento, Temos agora uma equação diferencial (pergunta matemática) para o número de núcleos instáveis, N (t). E aqui N (t) é a incógnita do problema. Ela é muito parecida com a equação (2.11) do caso do movimento em um uído. O caso anterior começamos a resolver entendendo qual é pergunta matemática que essa equação faz. Aqui ela é: Qual é a função N (t) que derivada resulta nela mesma, N (t), vezes uma constante �!. De forma análoga ao da seção anterior, se encontra a resposta: N (t) = N0e �!t: (2.37) Essa é a expressão que descreve o comportamento de núcleos radiativos. Observe que a construção da lei de decaimento radiativo (2.36) não resultou da aplicação de nenhuma lei anterior, como aconteceu no caso do movimento de uídos que se baseou na 2a¯ Lei de Newton. Aqui fomos direto na construção da lei de decaimento, ou seja, baseamos apenas nas características físicas do comportamento do decaimento radiativo. Para saber se está correta a expressão de N (t), derive essa expressão e substitua o resultado na equação (2.36), veremos que a igualdade em (2.36) é respeitada. Exercício: Substitua N (t) = N0e�!t em (2.36) e encontre que a igualdade é respeitada. Exercício: Reproduza a construção da lei de decaimento (2.36). Compare com a construção da equação (2.11) e complete a parte da construção da equação que está faltando. 20 CHAPTER 2. A DERIVADA DA FUNÇÃO EXPONENCIAL Chapter 3 Derivada: interpretação geométrica A geometria pode ser estudada por meio de equações, esse estudo é chamado de Geometria Analítica. Para podermos analiticizar a geometria é utilizado o sistema de eixos cartesianos. Por exemplo: A geometria plana utiliza os eixos cartesianos no plano. 52.50-2.5-5 5 2.5 0 -2.5 -5 x y x y e temos nesse grá co o desenho de uma reta inclinada que passa pela origem do sistema de eixos. A expressão analítica dessa reta é simplesmente: y (x) = x 21 22 CHAPTER 3. DERIVADA: INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA a função x. Outras retas podem ser obtidas acrescentando uma constante: y (x) = x+ b 543210-1-2-3-4-5 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 x y x y Figura da equação da reta y (x) = x+ 2. E também multiplicando uma constante à variável x: 543210-1-2-3-4-5 10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 x y x y gura da reta y (x) = 2x+ 1 23 Assim todas as possíveis retas no plano estão representadas analíticamente pela equação: y (x) = ax+ b; a; b 2 R: (3.1) e ela recebe o nome de equação da reta. No estudo de retas, outro elemento geométrico que é importante é a incli- nação da reta. Nas guras que vimos essa inclinação é dada pelo ângulo � que a reta forma com o eixo x^. Pelo triângulo formado, podemos ver que se pode obter a tangente do ângulo �: tan � = �y �x Podemos diminuir o triângulo: E continuar reduzindo o tamanho do triângulo in nitamente... Observe que não importa quão pequeno é o triângulo que o valor datangente permanece o mesmo. O que se deve notar é que o ponto onde o triângulo permanece em contacto com a reta é mantido xo.( xp, yp) 24 CHAPTER 3. DERIVADA: INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA Esse processo todo é descrito usando-se o conceito de limites: tan � = lim �x!0 �y �x (3.2) Mas vimos da de nição de derivadas que: lim �x!0 �y �x = dy dx (3.3) Assim, temos que a derivação da equação da reta: y = ax+ b Nos fornece a tangente de �: tan � = dy dx = a (3.4) Obs: observe que a função y (x) não depende de � e de nenhuma função trigonométrica, ela é a equação de uma reta. E agora podemos interpretar a derivada como sendo o coe ciente angular que está relacionada com a inclinação da reta tangente ao grá co da função no ponto (xp; yp). Para indicar que a derivada é calculada nesse ponto se escreve: dy dx jx=xp = tan �: ou simplesmente dy dx jxp = tan �: (3.5) O caso das curvas. Nesse caso temos: 3.1. EXEMPLO 25 No ponto P de coordenadas (xp; yp) temos uma reta que tangencia a curva nesse ponto. E podemos agora desenhar um triângulo retângulo com lados �x e �y. O passo seguinte é diminuir o triângulo in nitamente e obter o limite, ou seja: lim �x!0 �y �x = dy dx (3.6) e calcular a derivada no ponto com coordenada x = xp, ou seja: dy dx jxp = tan �: Agora o ângulo � é o ângulo que a reta tangente ao ponto P forma com a reta horizontal que é paralela ao eixo x^. 3.1 Exemplo Vamos ver o caso y (x) = 2x Vemos no grá co a reta inclinada: Observe os triangulos retângulos com lado no eixo x^ e a hipotenusa sendo a reta inclinada. Temos o ângulo � que a reta inclinada forma com o eixo x^. No ponto x = 1 Da gura temos que: Cateto adjacente: �x = 1 e Cateto oposto: �y = 2. Então a tangente é: tan � = �y �x = 2 1 = 2: (3.7) 26 CHAPTER 3. DERIVADA: INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA No ponto x = 2. Temos: Cateto adjacente: �x = 2 e Cateto oposto: �y = 4. Então a tangente é: tan � = �y �x = 4 2 = 2: (3.8) como é de se esperar a razão �y=�x permanece a mesma. Por outro lado, vamos calcular a derivada de y (x) = 2x, temos que: dy dx = d dx 2x = 2 (3.9) e comparando com os dois resultados anteriores, vemos que: dy dx = tan � = 2: (3.10) 3.2 A diferencial dy Vimos que a derivada dydx no ponto x = xp da função y (x) fornece o coe ciente angular da reta tangente à curva de y (x) no ponto x = xp, i.e.: dy dx = tan � No caso de y (x) ser a equação da reta, a reta que tangencia o grá co de y (x) é a própria reta: 3.2. A DIFERENCIAL DY 27 Se conhecermos �x e tan � podemos recuperar �y da seguinte forma: Da expressão: �y �x = tan � (3.11) podemos reescrever: �y = tan ��x (3.12) Vimos que tan � = dy dx (3.13) e substituímos esse resultado na eq. (3.12): �y = dy dx �x (3.14) Podemos agora reduzir o tamanho de �x até ele car pequeno mas não nulo: �x! dx dy = dy dx dx (3.15) e vemos que �y também ca pequeno: �y ! dy. Nessa expressão tanto dy com dx são chamados de diferenciais. 28 CHAPTER 3. DERIVADA: INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA Chapter 4 Integração Uma forma de se começar a entender a integração é por meio de uma suas propriedades: A integração é a operação inversa da derivação Vimos que a operação de derivação ddxF (x) resulta numa outra função f (x), i.e: d dx F (x) = f (x) ; (4.1) e as funções são agora classi cadas de: � F (x)! Primitiva ( de onde veio a derivada f (x) ) f (x)! Derivada ( resultado da derivação da primitiva) Em termos mais gerais se escreve que a operação O^ [ ] relaciona F (x) com f (x) O^ [F (x) ]! f (x) Será que existe uma operação inversa O^�1 [ ] que agindo sobre a derivada f (x) resulta na primitiva? O^�1 [f (x) ]! F (x) : (4.2) A resposta a essa questão é a operação de integração: O^�1 [ ] = Z [ ] dx Assim O^�1 [f (x)] = Z [ f (x) ] dx e o resultado é Z derivadaz }| { [f (x)] dx = primitivaz }| { F (x) (4.3) 29 30 CHAPTER 4. INTEGRAÇÃO compare d dx primitivaz }| { [F (x)] = derivadaz }| { f (x) ; (4.4) Dessa forma realizar a integração da função derivada f (x) é procurar pela função primitiva F (x), i.e: a seguinte expressão:Z [ f (x) ] dx =? está perguntando: Qual é a primitiva de f (x)? Resposta: É a função F (x) ou seja pergunta matem�aticaz }| {Z [f (x)] dx = respostaz }| { F (x) (4.5) Observe o signi cado do símbolo matemático da igualdade: = Nessa expressão ele faz a ligação entre a pergunta matemática e a resposta da pergunta. O símbolo = aqui não signi ca apenas que um lado é igual ao outro como nos casos: 1 = 1; x = x; (4.6) O signi cado do símbolo = na equação (4.5) tem signi cados adicionais: 1) signi ca a ligação entre uma pergunta matemática à sua re- sposta. 2) signi ca a ligação entre a operação de transformar a função f (x) e o resultado da operação que é a função F (x). Pensando dessa maneira, podemos ver que há outras possibilidades de uso do símbolo da igualdade: = : Por exemplo: g (x) = h (x) (4.7) Aqui a função g (x) não precisa ser a mesma função h (x). Elas podem ser: g (x) = x+ 2a; h (x) = 3x� 4b e elas não são iguais! O símbolo de igualdade na equação (4.7) tem o signi cado adicional de in- formar que há um ponto de itersecção entre g (x) e h (x) : x+ 2a = 3x� 4b: (4.8) 4.1. INTEGRAIS DE ALGUMAS FUNÇÕES 31 4.1 Integrais de algumas funções 4.1.1 Potências de x Vimos que para ax a ação da derivada resulta em d dx [ax] = a então para inverter (desfazer) essa operação se fazZ [a ] dx = ax+ C1 (4.9) onde C é uma constante arbitrária pois a derivada de uma constante é zero e a integração de zero não aparece do lado esquerdo da igualdade. Se a = 1, temos que Z dx = x+ C1 (4.10) Para o caso de ax2 temos d dx � ax2 � = 2ax;Z [2ax ] dx = ax2 + C2 (4.11) 4.1.2 Funções trigonométricas elementares Vimos as seguintes derivadas das funções trigonométricas (Apostila Fisica e Matemática 1, C.M. Maekawa): d d� sin � = cos �; d d� cos � = � sin � Na derivação do seno, temos que d d� primitivaz}|{ sin � = derivadaz}|{ cos � Podemos agora integrar Z cos � d� = ? essa expressão está perguntando: Qual é a primitiva da função cos � ? Da derivação do seno, temos a resposta: É a função sin �. 32 CHAPTER 4. INTEGRAÇÃO Assim Z cos � d� = sin �: (4.12) O cálculo da integração do seno é da mesma forma:Z sin � d� = ? a equação está fazendo a pergunta: Qual é a primitiva da função sin �? E a resposta nos fornece o resultado da integração:Z sin � d� = � cos �: (4.13) 4.2 Função exponencial 1) A derivação da função exponencial ex é simplesmente d dx ex = ex: (4.14) A integração é simplesmente Z exdx = ex: (4.15) 2) Casos eax e e�ax d dx primitivaz}|{ eax = derivadaz}|{ aeax ; d dx e�ax = �ae�ax: (4.16) A integração Z aeax dx a pergunta matemática aqui é: Qual é a função primitiva de aeax? A resposta: É a função eax. Então: Z aeax dx = eax (4.17) A integração Z ae�ax dx a pergunta matemática aqui é: 4.3. PERGUNTASMATEMÁTICAS NO ENSINOMÉDIO E ELEMENTAR33 Qual é a função primitiva de ae�ax? A resposta: É a função �e�ax. Então: Z ae�ax dx = �e�ax (4.18) 4.3 Perguntas matemáticas no Ensino Médio e Elementar Perguntas matemáticas são mais comuns do que se pode imaginar, elas estão pre- sentes nos conteúdos de matemática do ensino médio e elementar. As equações para serem resolvidas que voces viram no ensino médio e elementar são na re- alidade perguntas matemáticas. Por exemplo: No problema de se resolver a seguinte equação: x� 1 = 0 (4.19) Ao invés de se fazer contas, essa equação está simplesmenteperguntando: Qual é o valor de x para que x� 1 seja igual à zero? Sem precisar fazer contas, apenas lembrando das propriedades da subtração de números, temos a resposta: x = 1: (4.20) Outro exemplo: Resolver a equação x (x� 2) = 0: (4.21) Aqui a pergunta matemática é: Quais são os valores de x para que x (x� 2) seja igual à zero? Lembrando das propriedades da multiplicação e da subtração, a resposta é: x = 0 e x = 2: (4.22) Veja que as perguntas matemáticas sempre foram feitas e são comuns. O problema é que não se conseguia percebê-las. Para equações mais complexas, as perguntas continuam, por exemplo: para o caso x2 � 2x+ 1 = 0: (4.23) A pergunta aqui é: 34 CHAPTER 4. INTEGRAÇÃO Quais são os valores de x para que x2 � 2x+ 1 seja igual à zero? A busca da resposta requer um método mais complexo, o de se encontrar as raízes dessa equação de segundo grau. Mas será que não podemos simpli car o nosso trabalho? Nesse caso o objetivo é obter um produto de dois fatores mais simples do tipo: (x� :::)� (x� :::) tal que: (x� :::)� (x� :::) = x2 � 2x+ 1 Podemos fazer o seguinte: Olhe para o termo: �2x, ele é o dobro de x e podemos escrever: �2x = �x� x; e temos: x2 � 2x+ 1 = x2 � x| {z } x(x�1) � x+ 1 Então x2 � 2x+ 1 = x (x� 1)� (x� 1) e podemos colocar em evidência (x� 1) x2 � 2x+ 1 = (x� 1) (x� 1) e assim simpli camos a expressão matemática para: x2 � 2x+ 1 = (x� 1)2 e a pergunta matemática cou mais simples: (x� 1)2 = 0: (4.24) assim a pergunta mais simples é: Qual é o valor de x que anula (x� 1)2? E a resposta é: x = 1: (4.25) Do estudo de equações do segundo grau, aprendemos que elas tem duas raízes. Assim neste caso vemos que as duas raízes x+ e x� são iguais, i.e.: x+ = x� = x = 1: (4.26) Obs: 1) Nesse problema, para enxergar a possibilidade de se simpli car a pergunta matemática é preciso que se tenha prática. E a prática só se adquire fazendo exercícios. 2) Vimos aqui que a pergunta matemática tem uma nova característica, ela pode, em alguns casos, ser simpli cada. 4.4. RIQUEZA DE INFORMAÇÕES, INTERPRETAÇÃOMATEMÁTICA.35 Um outro exemplo que parece complicado mas não é. Encontre o valor de x, para a seguinte equação: e15 e3x = 1 (4.27) Quem pensou na pergunta matemática já encontrou a resposta. Mas para aqueles que ainda não perceberam a simplicidade, podemos ree- screver essa equação: e15 = e3x e aqui cou evidente qual é o valor de x. Mas se ainda não percebeu a resposta, pode-se fazer a seguinte pergunta matemática: Qual o valor de x para que e3x = e15 ? Mas se ainda não foi possível perceber a resposta, então é preciso aplicar o método de resolução. Se aplica o logaritmo, ln, nos dois lados da equação e temos: ln e15 = ln e3x e tomba os expoentes 15 ln e = 3x ln e e como ln e = 1, então resta 15 = 3x: e encontramos x = 5: (4.28) 4.4 Riqueza de informações, Interpretação matemática. Com o que vimos sobre as funções e seus grá cos, o coe ciente de inclinação e derivadas, os signi cados adicionais do símbolo da igualdade, podemos ver que simples expressões matemáticas contém muita informação matemática. Por exemplo, a simples expressão matemática: x� 1 = 0: (4.29) Elá muito simples. Do treino mecânico de se resolver equações, nos preocu- paria simplesmente achar o valor de x e pronto. Vimos que essa equação é uma pergunta matemática: Qual o valor de x para que x� 1 = 0 ? 36 CHAPTER 4. INTEGRAÇÃO Mas se nos lembrarmos do que aprendemos até agora, podemos ver mais que isso. Análise Matemática: y = x� 1 (4.30) é uma equação de uma reta. A reta corta o eixo y^ no ponto y = �1. As coordenadas desse ponto são: (0;�1) Ela é inclinada. O coe ciente de inclinação é 1, pois d dx x = 1: (4.31) Desse resultado podemos encontrar o ângulo de inclinação da reta da seguinte maneira: tan � = dy dx = d dx x = 1 e do nosso conhecimento de trigonometria, obtemos que: � = 45o: (4.32) Essa reta corta o eixo x^ no ponto: x = 1 : e as coordenadas desse ponto são: (1; 0). Observe que dessa análise quanto mais informação matemática conhecemos mais percebemos o conteúdo matemático de uma expressão que pareceu, no princípio, ser apenas um problema a ser resolvido. Veja também que o conhecimento de derivadas nos permitiu realizar a análise matemática que reuniu conhecimentos de geometria, cálculo e trigonometria numa simples expressão como x� 1 = 0. Dessa forma, agora podemos perceber toda a riqueza de conteúdo matemático que uma expressão simples possui. Toda essa informação extraída pela análise matemática de expressões como x � 1 = 0 é uma base para as análises do conteúdo físico da aplicação dessa expressão na Física. Observe nessa análise os signi cados adicionais que o símbolo de igualdade tem. 1) Em � = 45o e x = 1 o símbolo = faz o papel de atribuição de valôres às variáveis. 2) Em y = x� 1 O símbolo de igualdade é usado para atribuir um nome ou rótulo, y, à expressão x � 1. E, do ponto de vista da geometria no plano cartesiano, o símbolo da igualdade realiza a associação da coordenada y com a coordenada x. 4.4. RIQUEZA DE INFORMAÇÕES, INTERPRETAÇÃOMATEMÁTICA.37 3) Em d dx x = 1: (4.33) o símbolo de igualdade está indicando o resultado do cálculo da derivação. 4) Em tan � = dy dx aqui temos dois elementos oriundos de áreas diferentes. Da trigonometria: tan �, do cálculo: dydx . O que permitiu interligar dois conceitos de origens diferentes foi a geometria baseada na gura do triângulo que se formou no grá co da função y (x). Lembre que y é uma função de x e não tem nenhuma função trigonométrica nela. Assim o símbolo de igualdade está interligando dois ele- mentos que a princípio eram distintos. trigonometria Geometria Cálculo Avançado + tan � + = + dy dx Embora o símbolo da igualdade tenha vários signi cados adicionais, todos eles são exatos e consistentes entre eles. 38 CHAPTER 4. INTEGRAÇÃO Chapter 5 Integrais de nidas e cálculo de áreas O processo de integração permite que se cálcule áreas sob as curvas dos grá cos. A integração que permite isso é chamada de integral de nida. A integral é considerada de nida porque o processo de integração está limi- tado à um intervalo de nido numéricamente, por exemplo: de xi até xf . Aqui xi representa um valor inicial no eixo x e xf o valor nal nesse mesmo eixo. Para incluir essa limitação no processo de integração se denota:Z xf xi f (x) dx (5.1) O resultado dessa integração é dada pela função primitiva F (x) calculada nos pontos xf e xi da seguinte forma:Z xf xi f (x) dx = F (xf )� F (xi) (5.2) Essa expressão é chamada de Teorema Fundamental do Cálculo. Por causa dessa classi cação, a integral:Z f (x) dx recebe a classi cação de integral inde nida. Exemplo: Vamos escolher xi = 1 e xf = 3 e calcular a integral da função constante f (x) = a. Z xf xi a dx = ::: (5.3) 39 40 CHAPTER 5. INTEGRAIS DEFINIDAS E CÁLCULO DE ÁREAS Vimos que a função primitiva F (x) da função derivada f (x) = a é F (x) = ax assim F (xf ) = axf ; F (xi) = axi (5.4) e a integração de nida resulta emZ xf xi a dx = axf � axi = a (xf � xi) (5.5) Agora substituímos os números: xi = 1 e xf = 3Z 3 1 a dx = a (3� 1) = 2a: (5.6) 5.1 Cálculo da área sob o grá co de f (x). O caso mais simples f (x) = 2. Vamos olhar para o grá co da função. em x = 2 temos uma reta tracejada que cruza a reta f (x) = 2. As coorde- nadas do ponto de intersecção são (2; 2). A área do quadrado que vemos é A = 2� 2 = 4: (5.7) Vamos agora para um outro ponto: x = 5 5.1. CÁLCULO DA ÁREA SOB O GRÁFICO DE F (X). 41 Vemos um retângulo de altura h = 2 e comprimento L = 5. A área desse retângulo é: A = 2� 5 = 10: (5.8) Vamos agora olhar para a seguinte integral da funçãof (x) = 2 de nida entre os pontos xi = 0 e xf = 2. Primeiro a integral inde nida de f (x) = 2Z 2dx = 2x (5.9) e encontramos a função primitiva F (x) = 2x Agora a integração de nida:Z xf xi 2dx = F (xf )� F (xi) (5.10) e temos Z xf xi 2dx = 2xf � 2xi e substitui os valôres xi = 0 e xf = 2Z 2 0 2dx = 2 (2)� 2 (0) = 4: (5.11) Compara com o resultado da eq.(5.7) do cálculo da área do quadrado. Será que é coincidência? Vamos ver o caso do retângulo. A base do retângulo vai de xi = 0 até xf = 5, temos então:Z xf xi 2dx = 2xf � 2xi 42 CHAPTER 5. INTEGRAIS DEFINIDAS E CÁLCULO DE ÁREAS e substitui os valôres Z 5 0 2dx = 2 (5)� 2 (0) = 10: (5.12) Vemos que é o mesmo resultado do cálculo de área da equação (5.8). Conclusão: O Cálculo de integrais de nidas num intervalo [xi; xf ] de uma função f (x) é igual à área que ca sob a curva f (x) e o eixo x^, delimitada pelas retas que passam nos pontos xi e xf . Exercício Calcule a área sob a curva da função f (x) = 2x no intervalo xi = 0 e xf = 2. 5.2 Integração: Soma in nita de áreas elementares Será que o resultado que vimos na seção anterior é uma coincidência? Veremos que o processo de integração é na realidade uma forma de se calcular áreas sob as curvas de um grá co. Objetivo: Calcular a àrea sob a curva de y (x), do ponto y (x0) até o ponto y (xf ). Sabemos calcular área de polígonos. O mais simples é o retângulo. Área do retângulo = base � altura Podemos usar essa expressão para obter um valor aproximado da área sob a curva y (x) da seguinte maneira: 5.2. INTEGRAÇÃO: SOMA INFINITA DE ÁREAS ELEMENTARES 43 Temos uma sucessão de retângulos. A largura do retângulo é: x1 � x0. A altura do retângulo é o valor y (�x1). Assim para o retângulo 1, a área é a1 = (x1 � x0)| {z } �x1 y (�x1) = = y (�x1)�x1: (5.13) De forma análoga as áreas a2 e a3 são: a2 = y (�x2)�x2; �x2 = x2 � x1; a3 = y (�x3)�x3; �x3 = x3 � x2: (5.14) e somando as áreas Atot = a1 + a2 + a3 = 3X i=1 ai aqui P3 i=1 ai signi ca: soma dos ai para i = 1 até 3. Cada ai é dado por ai = y (�xi)�xi; i = 1; 2; 3 então Atot = 3X i=1 y (�xi)�xi; �xi = xi�1 + �xi 2 (5.15) 44 CHAPTER 5. INTEGRAIS DEFINIDAS E CÁLCULO DE ÁREAS Aqui �xi = x0+ Da gura podemos notar que obtemos um resultado aproximado. Esta aproximação pode ser melhorada reduzindo a largura �xi dos retân- gulos. Isso aumenta o número de retângulos e agora temos para Atot a seguinte expressão: Atot = y (�x1)�x1 + y (�x2)�x2 + y (�x3)�x3 + :::+ y (�x6)�x6 = 6X i=1 y (�xi)�xi Observe que a área calculada ca mais perto da área sob a curva de y (x). Podemos repetir o processo n vezes. Isso faz com que se aumente o número de retângulos enquanto diminui a largura deles, i.e: Atot = y (�x1)�x1 + :::+ y (�xn)�xn = nX i=0 y (�xn)�xn Podemos levar n!1, isso faz com que os retângulos quem nos, tão nos que a espessura deles se tornam quase nulos, ou seja: �xn ! dx (5.16) 5.2. INTEGRAÇÃO: SOMA INFINITA DE ÁREAS ELEMENTARES 45 quando isso acontece, podemos escrever �xn ! x; y (�xn)! y (x) e a somatória Pn i=0 que é uma soma discreta se torna uma soma contínua: nX i=0 ! Z xf x0 e temos que: Atot = lim �xn!0 nX i=0 y (�xn)�xn = Z xf x0 y (x) dx: (5.17) Essa expressão nos conta que a integral F (x) = Z xf x0 f (x) dx pode ser interpretada como uma soma contínua de áreas elementares: F (x) = Z xf x0 �area elementarz }| { f (x) dx (5.18) Obs: Na Cálculo mais formal a expressão lim�xn!0 Pn i=0 y (�xn)�xn é chamada de soma de Riemann e a obtenção da equação (5.17) é feita de uma forma mais formal e precisa. Aqui estamos esboçando apenas as idéias rudimentares por trás da equação (5.17). 46 CHAPTER 5. INTEGRAIS DEFINIDAS E CÁLCULO DE ÁREAS 5.3 Exemplos A área entre o eixo x^ e a curva f (x) = 2x. O grá co é uma reta inclinada que passa pela origem: 10.750.50.250-0.25-0.5-0.75-1 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 x y x y No grá co, podemos observar um triângulo cuja base vai de x = 0 até x = 0:25. Sua área é: a1 = 0:25� 0:5 = 0:125 A integração.inde nida é: Z 2x dx = x2 A integração de nida entre x = 0 e x = 0:25 é:Z 0:25 0 2x dx = x2j0:250 = (0:25)2 � (0)2 = 0:125: (5.19) O triângulo no lado esquerdo do grá co. No lado esquerdo, temos outro triângulo. Sua base vai de x = �0:25 até x = 0. Observe os pontos xi = �0:25 e xf = 0. Veja que o ponto onde x se anula não é o ponto inicial.Z 0 0:25 2x dx = x2j00:25 = (0)2 � (0:25)2 = �0:125: (5.20) O resultado forneceu uma área negativa! 5.3. EXEMPLOS 47 O que aconteceu ? O cálculo da integral de nida não realiza a interpretação de que o resultado deva ser uma área. O Teorema Fundamental do Cálculo simplesmente nos informa como se faz para obter a integral de nida.Z xf xi f (x) dx = F (xf )� F (xi) : (5.21) A interpretação de que esse resultado é o cálculo de uma área é uma das aplicações humanas desse teorema. O que devemos fazer para manter essa interpretação? Modi camos um pouco a interpretação. O módulo de R xf xi f (x) dx é igual a área entre a curva de f (x) e o eixo x^ delimitadas pelas retas x = xi e x = xf . Ou seja ����Z xf xi f (x) dx ���� = jF (xf )� F (xi)j = �area: (5.22) Exemplo 2 Área entre o eixo x^ e a curva da função f (x) = �x2 e x = 0 a x = 1. O grá co da função f (x) = �x2. 21.510.50 0 -1 -2 -3 -4 x y x y 48 CHAPTER 5. INTEGRAIS DEFINIDAS E CÁLCULO DE ÁREAS a) A integral inde nida nesse caso é: Z �x2dx = F (x) A pergunta matemática: Qual é a função primitiva F (x) da função derivada f (x) = �x2? Resposta: F (x) = �x 3 3 Teste: d dx � �x 3 3 � = �3x 3�1 3 = �x2: (5.23) Então Z �x2dx = �x 3 3 : (5.24) b) A integral de nida no intervalo [0; 1]: Z 1 0 �x2dx = �x 3 3 j10 = � �1 3 3 � � � �0 3 3 � = � �1 3 � e tomando o módulo, temos que a área é: �area = 1 3 Exemplo 3.Aplicação em arquitetura. Na arquitetura, as formas curvas são usadas, e.g., para colunas de susten- tação. É importante determinar o volume dessas colunas. Uma forma simples é obter a área da parte curva e multiplicar pela largura. 5.3. EXEMPLOS 49 2.62.42.221.81.61.41.210.80.60.40.20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 x (m) y (m) x (m) y (m) Nesse grá co temos duas curvas y1 (x) (vermelha) e y2 (x) (preta) y1 (x) = 2x 2 + 5; y2 (x) = 2:2x 2 onde as unidades estão em metros (m). Temos uma reta vertical em x = 2:7 m que vai de y = 15:9 m até y = 19:5m A estratégia é calcular a área sob a curva y1 e subtraí-la da área sob a curva y2.. de x = 0 até x = 2:7 Calcula a área de y1 (x) e subtrai a área de y2 (x) : a1 = R 2:7 0 � 2x2 + 5 � dx = � 2 3x 3 + 5x � j2:70 = � 232:73 + 5� 2:7��� 230x3 + 5� 0� = 232:7 3 + 5� 2:7 = 26:622 a1 = 26; 622 m 2 a2 = R 2:7 0 2:2x2dx = � 2:2 3 x 3 � j2:70 = 2:23 2:73 = 14:434 a2 = 14; 434 m 2 e a área total é: a = a1 � a2 = 12; 188 m2: (5.25) 50 CHAPTER 5. INTEGRAIS DEFINIDAS E CÁLCULO DE ÁREAS Para transformar essa gura em uma coluna, basta agora escolher uma largura. Por exemplo: z = 2 m E o volume é V = 12; 188 m2 � 2; 0 m = 24; 376 m3 Temos agora o volume da coluna. Com essa informação sabemos a quanti- dade de concreto necessária para construir a coluna. Podemos também usar o grá co para moldes de chapa de aço. Uma vez que sabemos como transformar formas geométricas em equações, podemos agora desenvolver programas de computador para realizar os cálculos e formar as guras. Essa é a base de uma das subrotinas de programação dos programas de CAD (Computer Aided Design)ou subrotinas para robôs cortarem chapas de aço. Isso nos mostra que a partir do conhecimento das equações e seus grá cos, podemos realizar várias aplicações simples na computação e na automação. Podemos posteriormente aplicar a física e realizar a análise do equilíbrio de forças, ou seja: veri car se a força resultante: ~Rtot = NX i=1 ~Fi = ~F1 + ~F2 + :::+ ~FN satisfaz: NX i=1 ~Fi = 0 (5.26) e se o torque resultante ~� tot = NX i=1 ~� i = ~�1 + ~�2 + :::+ ~�N satisfaz: NX i=1 ~� i = 0: (5.27) Essa é a base da análise estrutural em engenharias. Essa análise irá corrigir as formas obtidas para a realização do projeto nal. 5.4 Aplicação na Física 5.4.1 Caso do MRU Vimos que a partir da derivação da equação da posição podemos obter a equação da velocidade. x (t) = x0 + vt 5.4. APLICAÇÃO NA FÍSICA 51 Deriva: d dt x (t) = d dt (x0 + vt) = v ou seja: v (t) = v: (5.28) A partir dessa equação da velocidade podemos obter a equação da posição x (t). Podemos agora inverter integramos dos dois lados em tZ v (t) dt = Z vdt: (5.29) Vamos calcular separadamente cada lado dessa expressão: Az }| {Z v (t) dt = Bz }| {Z v dt (5.30) A é o lado direito dessa equação. A = Z v (t) dt Nesse lado vamos usar a de nição da velocildade: v (t) = dx dt assim reescrevemos: A = Z dx dt dt: Vimos que dx dt dt = dx; então A = Z xf x0 dx onde mudamos para integrais de nidas. Vimos que Z dx = x assim Z xf xi dx = xjxfxi = xf � xi: (5.31) O lado esquerdo da equação (5.30), temos: B = Z tf ti v dt = vtjtfti = vtf � vti: (5.32) 52 CHAPTER 5. INTEGRAIS DEFINIDAS E CÁLCULO DE ÁREAS Reúne os dois lados da equação (5.30): xf � xi = vtf � vti podemos escolher o tempo inicial como sendo nulo: ti = 0 e temos: xf � xi = vtf : (5.33) e reescrendo essa equação: xf = x0 + vt: (5.34) onde semos xi = x0 e tf = t. Reobtemos a equação da posição. 5.4.2 Caso MRUV A equação da velocidade nesse caso é: v (t) = v0 + at: (5.35) Integramos dos dois lados em t :Z v (t) dt = Z (v0 + at) dt Tratamos cada lado separadamente: Az }| {Z v (t) dt = Bz }| {Z (v0 + at) dt: (5.36) O lado A: A = Z v (t) dt usa a de nição de velocidade: A = Z dx dt dt = Z dx e integra de xf à xi A = Z xf xi dx = xf � xi: (5.37) O lado B. B = Z (v0 + at) dt temos Z (v0 + vt) dt = Z v0dt+ Z atdt 5.4. APLICAÇÃO NA FÍSICA 53 do que vimos essas integrais são:Z v0dt = v0tZ atdt = 1 2 at2 Passamos para integrais de nidasZ tf ti v0dt = v0tjtfti = v0tf � v0tiZ tf ti atdt = 1 2 at2jtfti = � 1 2 at2f � � � 1 2 at2i � escolhe-se ti = 0 e tf = t Z t 0 v0dt = v0tZ t 0 atdt = 1 2 at2 Assim B = v0t+ 1 2 at2 Reúne os lados A e B. Az }| {Z v (t) dt = Bz }| {Z (v0 + at) dt temos: xf � xi = v0t+ 1 2 at2 fazemos xf = x (t) e xi = x0 x (t) = x0 + v0t+ 1 2 at2: (5.38) e recuperamos a equação da posição do MRUV. Exercício Obtenha a equação da velocidade: v (t) = v0 + at (5.39) A partir da equação da aceleração: a (t) = a; a = const: 54 CHAPTER 5. INTEGRAIS DEFINIDAS E CÁLCULO DE ÁREAS 5.4.3 Caso Movimento de um barco No caso do movimento do barco, podemos ter uma equação da velocidade da forma: v (t) = v0e �bt: (5.40) Podemos obter a equação da posição: Integra dos dois lados em t: Az }| {Z v (t) dt = Bz }| {Z v0e �btdt: (5.41) O lado A A = Z v (t) dt = Z dx dt dt = Z dx (5.42) Escolhe os limites de integração:Z xf x0 dx = xf � x0 Assim A = xf � x0 (5.43) O lado B B = Z v0e �btdt = v0 Z e�btdt (5.44) Lembrete: d dt e�bt = �be�bt A integral Z e�btdt = F (t) está perguntando: Qual é a função primitiva F (t) cuja derivada f (t) é f (t) = e�bt? Resposta: A função primitiva F (t) é : F (t) = 1�be �bt Então: Z e�btdt = 1 �be �bt: (5.45) Escolhe os limites de integração: ti e tfZ tf ti e�btdt = 1 �be �bt ����tf ti = � 1 �be �btf � � � 1 �be �bti � 5.4. APLICAÇÃO NA FÍSICA 55 Escolhemos ti = 0 e tf = tZ tf ti e�btdt = 1 �be �bt + 1 b o lado B resulta em B = v0 � 1 �be �bt + 1 b � : (5.46) Reúne o lado A e B: xf � x0 = �v0 b e�bt + v0 b Escolhe xf = x (t), obtemos a expressão nal para a equação da posição no caso do barco deslizando na água: x (t) = x0 + v0 b � v0 b e�bt: (5.47) 56 CHAPTER 5. INTEGRAIS DEFINIDAS E CÁLCULO DE ÁREAS Exercício 1 A partir da equação da velocidade: v (t) = v0e �bt; (5.48) mostre como se obtém a equação da aceleração, dada por: a (t) = �bv0e�bt: (5.49) Exercício 2 A partir da equação da aceleração a (t) = �bv0e�bt; (5.50) mostre como se reobtém a equação da velocidade: v (t) = v0e�bt. Appendix A The First Appendix The appendix fragment is used only once. Subsequent appendices can be created using the Chapter Section/Body Tag. 57 58 APPENDIX A. THE FIRST APPENDIX Afterword The back matter often includes one or more of an index, an afterword, acknowl- edgements, a bibliography, a colophon, or any other similar item. In the back matter, chapters do not produce a chapter number, but they are entered in the table of contents. If you are not using anything in the back matter, you can delete the back matter TeX eld and everything that follows it. 59
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