Prova 3 Guidi 2016

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UFRGS – Instituto de Matemática
Depto. de Matemática Pura e Aplicada
MAT01169 – Cálculo Numérico – Turma B1
Recuperação da 3ª Avaliação – 01 de julho de
2016
Nome completo: Cartão:
Questão 1 (1.2 ponto). Considere as seguintes declarações:
III) A operação
f(x+ 3h)− f(x− 3h)
6h2
aproxima f ′(x) com erro de truncamento O
(
h2
)
.
III) Na operação de diferença finita D+,hf(x) :=
f(x+ h)− f(x)
h
= f ′(x) +O
(
h2
)
.
III) Sejam respectivamenteD+,heD−,h os operadores de diferença finita posterior e anterior. Então
D+,hf(x)−D−,hf(
h
aproxima f ′′(x).
É correto afirmar que
a) Apenas as declarações I e III são corretas.
b) Apenas as declarações I e II são corretas.
c) Apenas a declaração I é correta.
d) Apenas a declaração II é correta.
e) Apenas a declaração III é correta.
Questão 2 (1.2 ponto): A ação de um determinado operador diferencial T sobre uma função f : R → R é
aproximada por uma operação de diferença finita ∆h,
Tf(x) = ∆hf(x) +O
(
h3
)
.
A aproximação de ordem superior para T , construída a partir da técnica da extrapolação de Richardson e
das operações ∆h e ∆−3h é dada por
a)
∆h +∆−3h
2
b)
8∆h −∆−3h
7
c)
8∆ +∆−3h
9
d)
27∆h +∆−3h
28
e)
27∆h −∆−3h
26
◆�✁✂✄ ✶☎✆☎
Tiago de Abreu Oliveira 191683
Questão 3 (1.2 ponto): A partir dos n pontos de Chebyshev no intervalo (a, b):
xi =
a+ b
2
+
a− b
2
cos
(
2i− 1
2n
pi
)
, i = 1, 2, . . . , n
a aproximação da integral definida I =
∫
3
−2
e−x
2
dx dada pela quadratura por interpolação em oito pontos
com essa distribuição é aproximadamente igual a
a) 1,77093
b) 1,76290
c) 1,76936
d) 1,76563
e) 1,76702
Questão 4 (1.2 ponto): A partir dos dados disponíveis abaixo sobre a função f
xi 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3
f (xi) 0.9723 2.946 5.962 9.317 13.90 19.53 26.25 34.13 43.22 53.55 65.18
a aproximação da integral definida ∫
3
1
ln (x+ f(x)) dx
calculada através da quadratura composta do trapézio com todos os dados é aproximadamente igual a
a) 5,7769375
b) 5,7770331
c) 5,7772347
d) 5,7773934
e) 5,7774402
Questão 5 (1.2 ponto): A partir da informação fornecida pelas quadraturas compostas de Simpson com
espaçamentos h = 0,05 e h = 0,025 os primeiros dígitos corretos da integral definida
∫
6
1
cos
(
3
√
x
)
dx
são iguais a
a) 1,6622796. . .
b) 1,6623823. . .
c) 1,6620381. . .
d) 1,6619984. . .
e) 1,6621895. . .
Questão 6 (1.2 ponto): A quadratura de Gauss-Legendre consiste na aproximação
n∑
i=1
f (xi)Ci ≈
∫
1
−1
f(x)dx,
onde xi ∈ (−1, 1) e Ci > 0 são valores tabelados. Determine a expressão para a quadratura de Gauss-
Legendre para a integral definida ∫
0.1
0
g (x) dx
em termos dos valores xi e Ci.
a)
∑n
i=1 g (20xi − 1)
Ci
20
b)
n∑
i=1
g (20xi − 1) 20Ci
c)
n∑
i=1
g
(
1
20
xi +
1
20
)
20Ci
d)
n∑
i=1
g
(
1
20
xi −
1
20
)
Ci
20
e)
n∑
i=1
g
(
1
20
xi +
1
20
)
Ci
20
Questão 7 (1.2 ponto): O método de Euler aplicado ao P.V.I.


y′ = t x , t > 2
x′ =
y
t
, t > 2
y(2) = −5 , x(2) = 3
consiste na sequência de aproximações yi e xi com ti = 2 + ih, onde
a)


yi+1 = yi + hxi
xi+1 = xi +
1
h
yi
para i = 0, 1, . . . e x0 = −5, y0 = 3.
b)


yi+1 = yi +
(
2h+ ih2
)
xi
xi+1 = xi +
h
2 + ih
yi
para i = 0, 1, . . . e x0 = −5, y0 = 3.
c)
{
yi+1 = yi + ihxi
xi+1 = xi + iyi
para i = 0, 1, . . . e x0 = −5, y0 = 3.
d)


yi+1 = yi + (2 + ih)xi
xi+1 = xi +
h
2 + ih
yi
para i = 0, 1, . . . e x0 = −5, y0 = 3.
e)


yi+1 = yi − (2 + ih)xi
xi+1 = xi −
h
2 + ih
yi
para i = 0, 1, . . . e x0 = −5, y0 = 3.
Questão 8 (1.2 ponto): Seja y : [0, 10]→ R a solução não nula do problema de contorno


y′′ + 1
4
sen(y′) + ln(1 + y) = 0 , x ∈ (0, 10)
y(0) = 0 y(10) = 0
então y′′(10) é aproximadamente igual a
a) 0,1001325
b) 0,1029823
c) 0,1176796
d) 0,1228747
e) 0,1313092
Questão 9 (1.2 ponto): Considere o P.V.I.


z′ = cos(z + t), t > 3,
z(3) = 0.6
Determine uma aproximação correta com seis dígitos para z′′(6).
a) 0,730187
b) 0,733298
c) 0,710936
d) 0,689004
e) 0,691013
Questão 10 (1.2 ponto): Sejam x(t) e y(t) soluções do P.V.I. abaixo


x′ = 2x (1− y) , t > 0
y′ = 4 y (x− 1) , t > 0
x(0) = 0.8 e y(0) = 1.2
Considerando as aproximações para o P.V.I. obtidas a partir do método Runge-Kutta clássico com espaça-
mento h = 0.005, a aproximação do valor médio de y nesse intervalo
1
10
∫
20
10
(x(t) + y(t)) dt
calculado através da quadratura composta de Simpson (com o mesmo espaçamento) é igual a
a) 2,0289942. . .
b) 2,0281039. . .
c) 2,0286723. . .
d) 2,0285386. . .
e) 2,02857028. . .