Pêndulo Simples

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Pêndulo simples 
Luciano da Veiga 
 
INTRODUÇÃO: 
Os movimentos periódicos ou oscilatórios são aqueles que se repetem 
em intervalos regulares ou indefinidamente. Em nosso dia-a-dia estamos 
cercados destes movimentos: barcos oscilando no cais, movimento dos 
pistões nos motores dos carros, vibrações sonoras produzidas por um 
clarinete, por exemplo, entre outros. E é por isso que as oscilações 
desempenham um papel fundamental em todos os ramos da física (mecânica, 
óptica, acústica, etc.). 
No experimento do pêndulo simples, pudemos entender e aplicar as 
três leis de Newton. Verificamos que o experimento independe da amplitude 
e da massa. A partir dos dados obtidos neste experimento, calculamos a 
aceleração da gravidade atuante no sistema. 
 
EXPOSIÇÃO TEÓRICA: 
 O experimento do pêndulo simples é composto de um corpo de 
massa m preso a um fio inextensível e sem peso de comprimento L, que pode 
oscilar livremente em torno de um ponto fixo. Quando o corpo puntiforme é 
puxado lateralmente a partir da sua posição de equilíbrio (ponto A) para um 
ponto de energia mais alto (ponto B), e é abandonado (velocidade inicial 
nula), ele oscila em torno da posição de equilíbrio e, então, a partícula 
descreve um movimento oscilatório, no plano da figura, em torno da posição 
A. 
Quando a partícula é levada de uma posição de mínima energia (ponto 
A) para um ponto de energia mais alto (ponto B) e é abandonada (velocidade 
inicial nula), então, a partícula descreverá um movimento oscilatório, no plano 
da figura, em torno da posição A. 
 
Figura 1 – Exemplo esquemático de um pêndulo simples. 
Desprezando-se a resistência do ar, a resultante das forças aplicadas à 
massa m na direção tangencial ao arco de circunferência é expressa por: 
 
𝐹𝜏 = 𝑚. 𝑔. sen 𝜃 (1) 
 
A aceleração tangencial é dada por: 
 
𝑎𝜏 = 𝐿
𝑑²𝜃
𝑑𝑡²
 (2) 
 
Pela lei de Newton podemos escrever que 
𝐹𝜏 = 𝑚𝑎𝜏 = 𝑚𝐿
𝑑²𝜃
𝑑𝑡²
 (3) 
Igualando (1) e (3), teremos: 
𝑑²𝜃
𝑑𝑡²
+
𝑔
𝐿
𝑠𝑒𝑛𝜃 = 0 (4) 
Simplificaremos o problema supondo que os deslocamentos angulares 
em torno da posição de equilíbrio não ultrapassam o valor de 15º ou 0,2618 
rad. Neste caso, pela série de Taylor (senθ = θ – θ³/3! + θ5/5! - ...) podemos 
aproximar sen θ = θ. Portanto, a equação (4) pode ser escrita como: 
𝑑²𝜃
𝑑𝑡²
+
𝑔
𝐿
𝜃 = 0 (5) 
A solução da equação (5) é do tipo: 
𝜃(𝑡) = 𝜃0𝑠𝑒𝑛 (𝜔𝑡 + ∅) (6) 
Onde ω²=g/L e φ é o ângulo da fase 
Lembrando que 𝜔 =
2𝜋
𝑇
 teremos: 
𝑇 = 2𝜋√
𝐿
𝑔
 (7) 
 
RESULTADOS E DISCUSSÃO: 
 O corpo preso no pêndulo foi abandonado a um ângulo θ = 10˚, tendo 
o período T calculado em dez oscilações, repetindo o processo dez vezes e 
fazendo uma média do tempo para cada comprimento L. 
 Deste modo, isolando a aceleração da gravidade a partir da equação 
(7), obtivemos: 
𝑔 = 
𝐿(2𝜋)²
𝑇²
 
A partir daí, aplicando os dados obtidos, calculamos a aceleração da 
gravidade: 
 
 
 
L 
(cm) 
T1 (s) T2 (s) T3 (s) T4 (s) T5 (s) T6 (s) T7 (s) T8 (s) T9 (s) T10 (s) T ± (s) g 
(m/s²) 
20 0,87 0,878 0,888 0,88 0,888 0,87 0,88 0,879 0,88 0,878 0,8791 10,21 
40 1,242 1,24 1,256 1,252 1,232 1,245 1,252 1,242 1,24 1,232 1,2433 10,21 
60 1,518 1,508 1,528 1,532 1,524 1,528 1,524 1,51 1,518 1,522 1,522 10,22 
80 1,738 1,73 1,732 1,764 1,758 1,738 1,732 1,758 1,73 1,764 1,7444 10,38 
100 1,964 1,958 1,952 1,962 1,964 1,962 1,961 1,958 1,963 1,96 1,96 10,27 
Tabela 1. Medidas do período de oscilações (T) em função do comprimento (L) do pêndulo 
 
Abaixo temos o gráfico da variável dependente T em função da variável 
independente L: 
 
Sendo m o coeficiente angular da reta, calculado a partir de: 
𝑚 = 
∆𝑦
∆𝑥
 
Obtemos mmáx. = 3,836 [s²/m] e mmín. = 3,865 [s²/m]. 
Se 𝑚 =
m𝑚á𝑥+𝑚𝑚í𝑛
2
 
Então m = 3,8505 s²/m. 
Desta forma, temos 𝑚 =
4𝜋²
𝑔
 
Substituindo o valor de m na equação, tem-se g = 10,2528 m/s². 
Também foi calculado o período que um corpo de massa muito maior 
em relação ao corpo da primeira etapa do experimento, sendo abandonado 
do mesmo ângulo e o comprimento do fio igual a 40 cm. 
L 
(cm) 
T1 (s) T2 (s) T3 (s) T4 (s) T5 (s) T6 (s) T7 (s) T8 (s) T9 (s) T10 (s) T ± (s) g (m/s²) 
40 1,246 1,292 1,27 1,254 1,282 1,28 1,284 1,296 1,288 1,2688 1,2688 9,81 
Tabela 2. Medidas do período de oscilações (T) em função do comprimento (L) de 40 cm do 
pêndulo 
CONCLUSÕES: 
Com o experimento, pudemos verificar que a aceleração da gravidade 
está presente toda parte, e preserva suas características onde quer que sejam 
aplicadas. Assim, com os dados obtidos no experimento, conseguimos 
calcular a aceleração da gravidade. Os valores obtidos no experimento foram 
diferentes do valor de 9,79 m/s², pois uma série de fatores influencia 
diretamente nos resultados, e como principal fator de erro está a falta de 
precisão no cálculo do tempo, visto que a medida é feita com o reflexo do ser 
humano em um cronômetro, uma medida digitalizada resolveria esse 
problema. Com isso, concluímos que, utilizando as leis de Newton, é possível 
calcular a aceleração gravitacional com um experimento simples.