Material para Estudo Álgebra Linear

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MATERIAL PARA ESTUDO – ÁLGEBRA LINEAR 
 
Multiplicação	de	Matrizes	
� � �1 22 3� 			
 � �1	2� A x B ? � �1	�	1 � 2	�	2	2	�	1 � 3	�	2�		� � 510� 
 2 x 2 2 x 1 
 
Obs.: Somente pode-se multiplicar se o numero de colunas for o mesmo de linhas da outra 
matriz. A x , B x e a resultante é uma matriz x 
Adição	de	Matrizes	
� � �1 22 3� 	
 � 	 �1 02 0� 	� � 
 � 	 �1 � 1 2 � 02 � 2 3 � 0� � 	 �2 24 3� 
 
 
Subtração	de	Matrizes	
� � �1 22 3� 	
 � 	 �1 02 0� 	� � 
 � 	 �1 � 1 2 � 02 � 2 3 � 0� � 	 �0 20 3� 
 
 
Matriz	Inversa	
Somente existe inversa se det(A) for ≠ de 0. 
[A | Identidade] � Inversa 
 
� � �1 22 3�
��
 = �1 22 3	� �1 00 1� � Gauss Jordan � �1 00 1� ��3 22 �1	� � Resposta = ��3 22 �1	� 
 
Equações	Lineares	
Exemplo: 
ANDERSON É DONO DE UMA EMPRESA QUE FABRICA ARTIGOS DE COURO. ELE PRODUZ SAPATOS E BOLSAS. SEGUEM ALGUNS 
DADOS SOBRE OS PRODUTOS: 
- PARA FABRICAR 1 BOLSA É NECESSÁRIO UTILIZAR 500G DE COURO E 2 HORAS DE TRABALHO; 
- PARA PRODUZIR UM SAPATO 300G DE COURO E 1 HORA DE TRABALHO; 
- HÁ DISPONIBILIDADE DE 1 TON. DE COURO E 3730 HORAS DE TRABALHO TODO MÊS. 
COMO TIRAR O MÁXIMO DE PROVEITO DO COURO E DO TEMPO DA INDÚSTRIA? 
 
Resolução 
 
 Bolsas Sapatos Total 
Couro (Kg) 0,500 0,300 1000 
Mão de Obra (H) 2:00 1:00 3730:00 
 
Com isso podemos criar o seguinte sistema de equações: 
| 0,5b + 0,3s = 1000 
| 2b + 1s = 3730 
 
Matriz ampliada do sistema: 
�0,5 0,32 1 			1000				3730� 
 
Aplicando Gauss-Jordan - Escalonamento 
�1 00 1			1190				1350� 
Resposta 
Para tirar o máximo de proveito é necessário produzir 1190 unidades de bolsas e 1350 
unidades de sapatos. 
 
 
CLASSIFICAÇA� O	DE	SISTEMAS	–	MATRIZES	
Sistemas	Possıv́eis	e	Indeterminados	(SPI)	
Quando um sistema possui mais de uma solução para o sistema. Seja pela combinação de 
outros elementos ou outra solução. 
 
Exemplo: 
 X Y Z W 
�1 2 22 4 73 6 9			
1 13�1 380 51� � Gauss Jordan � �
1 2 00 0 10 0 0			
1 5�1 40 0� � 
� � 2� � 3� � 5� �� � 4�� ℎ"	#$%" 
 
Número de Incógnitas “Nulidade”: 4 (x,y,z,w) 
Número de Pivôs “Posto”: 2 (linha 1 e linha 2) 
Grau de Liberdade: Nulidade – Posto = 4 – 2 = 2 (Se o grau de liberdade for > 0, e não 
for um sistema impossível (SI), sempre será SPI). 
Dica: Se det(matriz) = 0, será SPI ou SI. 
Se o número de colunas for maior que o número de linhas, será SPI ou SI. Pois o grau e 
liberdade será maior que 0. 
 
Sistemas	Possıv́eis	e	Determinados	(SPD)	
O sistema é possível e determinado quando há apenas uma solução para o sistema, a 
solução trivial. E o grau de liberdade é igual a 0. 
 
Exemplo: 
 X Y 
�0,5 0,32 1 			1000				3730� � Gauss Jordan � �1 00 1 			1190				1350�	
 
Número de Incógnitas “Nulidade”: 2 (x,y) 
Número de Pivôs “Posto”: 2 (linha 1 e linha 2) 
Grau de Liberdade: Nulidade – Posto = 2 – 2 = 0 (Se o grau de liberdade for = 0, é um 
sistema SPD. 
Dica: Se det(matriz) ≠ 0, será SPD. 
 
Sistemas	Impossıv́eis	(SI)	
Quando o sistema retorna em alguma linha um valor 0 = número. 
Exemplo: 
 
�1 2 22 4 73 6 9			
1 13�1 380 10� � Gauss Jordan � �
1 2 00 0 10 0 0			
1 5�1 40 �41� � 
� � 2� � 3� � 5� �� � 4�� ℎ"	& 'á%�)" 
 
 
Sistemas	Homogêneos	
O sistema é considerado homogêneo quando a matriz está igualada a valores nulos. 
 
�1 2 *4 5 *� 
 
Sistemas homogêneos jamais serão SI, pois sempre haverá uma solução pelo menos, quando 
todas as variáveis forem = 0. Se o número de colunas for maior que o número de linhas, 
será SPI, NUNCA SI, devido a fato de haverem mais incógnitas que equações. 
 
Combinação	Linear	
A combinação de vetores com escalar resulta em algum ponto. Esses escalares são 
chamados de coordenadas. (c1, c2.. ) 
Equação: 
c1 x Vetor 1 + c2 x Vetor 2 = Vetor 
 
Exemplo: 
VERIFIQUE SE � � + 5−8, É COMBINAÇÃO DE $ = +12, E ' = +−14 ,? 
c1 x u + c2 x v = W 
 -�	�	 �1	2� + -.	�	 �−1	4 � = � 	5−8�	 
 
| 1c1 + -1c2 = 5 
| 2c1 + 4c2 = -8 
 
Matriz ampliada do sistema: �1 −1 52 4 −8� � Gauss Jordan � �1 0 20 1 −3� � c1 = 2, c2 = -3 
Prova Real: 
c1 x u + c2 x v = W 
 -�	�	 �1	2� + -.	�	 �−1	4 � = � 	5−8�	 
 2	�	 �1	2� + 3	�	 �−1	4 � = � 	5−8�	 
 	� 5−8� = � 	5−8�	 
 
 
Sistemas	Linearmente	Dependentes	e	
Linearmente	Independentes	
Um conjunto é definido com linearmente Independente se entre os vetores que o compõem 
não existe um vetor que é combinação entre eles. 
Podemos descobrir se é LI se a soma da combinação linear é igual a zero. Ou seja c1 x 
vetor 1 + c2 x vetor 2... = 0. 
 
Como descobrir se um sistema de vetores é LD ou LI ? 
c1 = c2 = c3 = 0. Se essa condição for encontrada, é LI. 
 
 
Para descobrir se se um conjunto é LD ou LI ? 
a = b = c.. = 0. Se essa condição for encontrada o sistema é LI. 
Exemplo: 
DESCUBRA SE O CONJUNTO / = 011242 , 1
25023 É LI: 
"	�	 11242 + 4	�	 1
2502 = 1
0002 � (1a+2a+4a) + (2b+5b+0b) = (0,0,0) 
 
| 1a+2b=0 
| 2a+5b=0 � b=0 
| 4a+0b=0 � a=0 
 
Resposta: Sim, é LI. 
 
Se tivermos apenas a resposta trivial, ou seja, sem combinação de variáveis (p.ex. 
x+2y=0), ele pode ser considerado LI. Caso contrário é Linearmente Dependente. 
 
LI: 
• O conjunto vazio é LI. 
• O conjunto unitário cujo único valor não é o vetor nulo, é LI. 
 
Bases 
Base de um sistema linear é um conjunto de vetores Linearmente Independentes que geram 
esse espaço. P.Ex. base de R2 gera todo R2. 
Obrigatoriamente o sistema tem que ser SPD, com apenas uma solução, a solução trivial e 
quadrado, por exemplo, a Base de R2 é 2x2, de R3 é 3x3, R4 é 4x4.. 
Dica: Se do det(matriz) ≠ 0 e é um sistema quadrado, onde o numero de linhas e número 
de colunas é o mesmo, é um sistema SPD, portanto LI. 
Para descobrir se é uma base de um espaço, pode-se criar um sistema homogêneo, e 
verificar se é SPD ou SPI. 
*** c1 e c2 são denominadas coordenadas de um vetor. 
 
Exemplo: 
DESCUBRA SE S = 6+1	2, , +2	4,7 SÃO BASES DE R2? 
 
1.a Condição: é quadrado ? SIM 
2.a Condição: det 6+1	2, , +2	4,7 = 0, Erro. Não é Base de R2. 
Prova Real: 
-�	�	 �1	2� + -.	�	 �24� = �00� 
 
| 1c1 + 2c2 = 0 
| 2c1 + 4c2 = 0 
 
Matriz ampliada �1 2 02 4 0� � Gauss Jordan � �1 2 00 0 0� � SPI, portando não é base de R2. É LD. c1+2c2=0 ! 
 
Dica: 
- 1.o, verificar se é um sistema quadrado. Ok, 2 linhas e 2 colunas ! 
- 2.o tirar o det 6+1	2, , +2	4,7 = 0. ATENÇÂO : sistema SPI. Por esse dado é possível perceber 
que é um sistema Linearmente Dependente. Portanto não é base de R2. 
 
Como sendo um sistema SPI, onde o grau de liberdade é maior que 0, não é uma base de 
R2. Um dos motivos é que pode haver vetores redundantes entre os dados. Nesse caso 
pode-se perceber que o vetor +24, na verdade é o dobro do vetor +12,. Essa informação não 
traz nenhuma ajuda para o problema sendo, portanto redundante. 
 
Exemplo: 
DESCUBRA SE S = 6+1	2, , +−11 ,7 SÃO BASES DE R2? 
 
1.a Condição: é quadrado ? SIM 
2.a Condição: det 6+1	2, , +−1	1 ,7 = 3, CERTO, é Base de R2. 
Prova Real: 
-�	�	 �1	2� + -.	�	 �−11 � = �00� 
 
| 1c1 + -1c2 = 0 
| 2c1 + 1c2 = 0 
 
Matriz ampliada �1 −1 02 1 0� � Gauss Jordan � �1 0 00 1 0� � SPD, portando é base de R2. É LI. c1=c2=0 
 
 
Bases canônicas 
Base Canônica de: 
R1 = ;1< � 1x1 
 
R2 = �1 00 1� � 2x2 
 
R3 = �1 0 00 1 00 0 1� � 3x3 
 
Mudança de Base 
Um vetor v que pertence a uma base gera coordenadas (c1,c2..) únicas, na troca de base 
o objetivo é encontrar novas coordenadas (c1,c2..) mas com outras bases. 
Por exemplo, se as coordenadas (c1,c2..) de uma Base B são (c1=2 e c2=4) como ficariam 
essas coordenadas se mudássemos a base para S ? Segue exemplo abaixo. 
 
Exemplo: 
SEJA AS BASES 
 = 6+10, , +52,7	 E / = 6+12, , +−11 ,7	 DE R2, DETERMINE VS A PARTIR DE VB = +32, : (OU SEJA MUDE A BASE DE 
B PARA S) 
 
 
1. Escreva os vetores de B como combinação linear da Base S:+1	0, = -�	�	 +1	2, + -.	�	 +−1	1 , � �1 −1 12 1 0� � Gauss Jordan � =1 0
�>0 1 − .>? � -� =
�> , -. =	− .> 
 
+5	2, = ->	�	 +1	2, + -@	�	 +−1	1 , � �1 −1 52 1 2� � Gauss Jordan � =1 0
A>0 1 − B>? � -> =
A> , -@ =	− B> 
Prova real: 
+1	0, = -�	�	 +1	2, + -.	�	 +−1	1 , � +1	0, = �> 	�	 +1	2, − .> 	�	 +−1	1 , � +1	0, = +1	0, 
 +5	2, = ->	�	 +1	2, + -@	�	 +−1	1 , � +1	0, = A> 	�	 +1	2, − B> 	�	 +−1	1 , � +5	2, = +5	2, 
 
 
2. Achamos a combinação de coordenadas na base S que chegam aos valores da base B. 
Agora é uma nova combinação de valores entre bases. 
 
Portanto: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Então: 
VB = C	D	 +E	*, + F	D	 +G	F, 
 
3. Trocamos +E	*, e +G	F, pelos valores encontrados na tabela. 
 
VB = C	D	 +E	*, + F	D	 +G	F, 
 
 
VS = 3.( 
�> H�.I +	�.> H��� I ) + 2.( A> H�.I +	�B> H��� I ) 
 
VS = ( 
>> H�.I +	�J> H��� I ) + ( �@> H�.I +	��J> H��� I ) 
 
Vs = ( 1. H�.I 	− 	2. H��� I ) + ( �@> H�.I 	− 	��J> H��� I ) 
 
Vs = ( 
�A> H�.I 	− ..> 	H��� I ) 
 
Vs = (
�A> , − ..> ) � Coordenadas na base S 
Prova real: 
LM =	 (173 	�	 +12, − 223 	�	 +−11 ,) = 134 
LP =	 (3	�	 +1	0, + 2	�	 +5	2,) = 134 
 
Transformação	linear	
É um tipo de função entre duas matrizes ou espaços vetoriais. 
Somente se: 
1. T(u+v) = T(u) + T(v) 
2. k.T(u) = T(k.u) 
 
Exemplo: 
 R3 em R2 = T (a,b,c) = (a,b) 
 T (1,2,3) = (1,2) 
 
 Dobrar o vetor = T (a,b) = (2a, 2b) 
+E	*, = 13 	�	 +1	2, +	−23 	�	 +−1	1 , 
+G	F, = 73 �	 +1	2, 	+	−83 �	 +−1	1 , 
 
 
 
 T (2,3) = (2.2, 2.3) � (4,6) 
 
 
 Inverter o vetor = T (a,b) = (a,-b) 
 T (1,2) = (1, -2) 
 
Tirando a prova real se é transformação linear: 
Exemplo: 
VERIFICAR SE T (X,Y) = (X,Y,X+1) É TRANSFORMAÇÃO LINEAR: 
 
zConferir axioma 1. 
T (u+v) = T(u) + T(v) ? 
Supomos que u = (a,b) e v = (c,d) 
T (u+v) = T ((a,b) + (c,d)) � T (a+c,b+d) � (a+c, b+d, a+c+1) 
T(u) + T(v) = T ((a,b,a+1) + T(c,d,c+1)) � (a+c, b+d, a+c+2) 
Diferentes !! Portanto não é transformação linear. 
 
 
Exemplos: 
SENDO Q	 +1	1, = 1 1−3	1 2 E Q	 +2	3, = 1
10	−12 DETERMINE Q	 +−1	2 , ? 
 
Metodologia parecida com a troca de base. 
Ou seja, faça a transformação como combinação linear das bases das transformações. +−1	2 , = -1	�	 +1	1, + -2	�	 +2	3, � �1 1 −11 3 2 � � Gauss Jordan � -1 = 	−7, -2 = 3 
 
 +−1	2 , = −7	�	 +1	1, + 3	�	 +2	3, Q +−1	2 , = −7	�	Q +1	1, + 3	�	Q +2	3, 
Q +−1	2 , = −7	�	 1 1−3	1 2 + 3	�	 1
1	0−12 
Q +−1	2 , = 1−4	21−102 
 
 
Núcleo	de	um	Conjunto	
É o conjunto que forma o vetor nulo. 
Por exemplo: 
T(x,y,z) = (x,y) 
Nuc(T) = (0,0) 
 
T(x,y,z) = (0,0) 
x = 0 
y = 0 
z = qualquer número. 
 
Conjunto	Imagem	
É o conjunto resposta após a transformação linear. 
Por exemplo: 
 
T(x,y,z) = (x,y) 
 R3 R2 
 
Im(T) é o R2 
Conjunto imagem é o R2. 
 
 
Matriz	canônica	da	Transformação	
Exemplo: 
T(x,y) = (2x,2y) 
T(x,y) = w (vetor qualquer) 
(2x, 2y) = (w1, w2) 
| w1 = 2x + 0y 
| w2 = 0x + 2y 
 �2 00 2� 	�	 ��R� � Matriz canônica da Transformação 
 
 
Mudança	de	Base	em	Matrizes	
DADAS AS SEGUINTES BASES 
 = 6+1	0, 	+0	1,7 E #
 = 6+11, 	+2	1,7 ENCONTRE A MATRIZ DE TRANSIÇÃO DE NB PARA B E USE A 
MATRIZ PARA DETERMINAR WB SENDO WNB = +−3	5 ,. 
Matriz de transição: 
Metodologia parecida com troca de base: 
 +1	1, = -�	�	 +1	0, + -.	�	 +0	1, � Gauss Jordan � -� = 1, -. = 1 
 +2	1, = ->	�	 +1	0, + -@	�	 +0	1, � Gauss Jordan � -> = 2, 	-@ = 1 
 
Modelo de Matriz de Transição: +-� ->-. -@,	 
 
Portanto, +1 21 1,	� Matriz de Transição (P) 
 
Após isso utilizamos a equação: 
 
WB = P x WNB 
WB = +1 21 1, 	�	 +−3	5 ,	� +7	2, 
 
Prova Real: 
 
 = 6+1	0,	+0	1,7 � 7	�	 +1	0, + 2	 +0	1, � +S	F, 
 #
 = 6+1	1,	+2	1,7 � −3	�	 +1	1, + 5	 +2	1, � +SF, 
 
 
Ou seja, as coordenadas do vetor WNB +−3	5 , para chegar a um ponto utiliza as novas 
coordenadas WB +7	2,numa nova base para chegar ao mesmo ponto. 
 
Autovetores	e	Autovalores	
São valores de escalares e vetores que simplificam matrizes. 
Equação A.x = λ.x 
Sendo x um vetor e λ um escalar. 
Exemplo: 
 
O VETOR � = + 2	−5, É UM AUTOVETOR DE � = +3 25 0, ASSOCIADO AO AUTOVALOR Λ = 	−2, POIS: 
A.x = λ.x +3 25 0, 	�	 + 2	−5, = −2	�	 + 2	−5, � +−4	10 , = +−4	10 ,	 
 
Como descobrir autovetores e autovalores? 
Equação 1 
(λ.I – A).x = 0 
 
Equação 2 
det(λ.I – A) = 0 
 
* Sendo I matriz identidade (ou canônica). 
 
Exemplo: 
QUAIS SÃO OS AUTOVALORES E AUTOVETORES DA MATRIZ � = +1 02 3, ? 
Equação 2 
det(λ.I – A) = 0 
 
* Obs: Matriz identidade (2x2) = +1 00 1, 
 
det (λ.	+1 00 1, - +1 02 3,) = 0 
 
det (+λ 00 λ, - +1 02 3,) = 0 
 
det (+λ − 1 0 − 00 − 2 λ − 3,) = 0 
 
det (+λ − 1 0−2 λ − 3,) = 0 
 (λ − 1)x(λ − 3) − (0� − 2) = 0 
 λ. − 4λ + 3 = 0  Polinômio característico de A 
 
Resolvendo por Bhaskara: �W±YWZ�@[\.[ � λ� = 1, λ. = 3	  Autovalores de A 
 
� Autovetor associado a λ1 = 1 
A.x = λ.x 
* x é um vetor genérico +"	4 , 
 +1 02 3, x +"	4 , = 1 x +"	4 , 
 
| 1a + 0b = a 
| 2a + 3b = b  sugestão começar pela de baixo. Aqui b = -a 
 
Portanto λ1 = 1; x = +"	4 , = + "	−", � + 1	−1, 
Portando o vetor + 1	−1, é um autovetor de A associado ao λ1 = 1. 
 
 
� Autovetor associado a λ2 = 3 
A.x = λ.x 
* x é um vetor genérico +"	4 , 
 +1 02 3, x +"	4 , = 3 x +"	4 , 
 
| 1a + 0b = 3a 
| 2a + 3b = 3b  sugestão começar pela de baixo. Aqui a = 0 
 
Portanto λ2 = 3; x = +"	4 , = +0	4, � +0	1, 
 
Portando o vetor +0	1, é um autovetor de A associado ao λ2 = 3. 
Prova Real: 
� Autovetor associado a λ1 = 1 
A.x = λ.x 
* x é um vetor genérico no formato + 1	−1, +1 02 3, x + 1	−1, = 1 x + 1	−1, � + 1	−1, = 	 + 1	−1, 
 
 
� Autovetor associado a λ2 = 3 
A.x = λ.x 
* x é um vetor genérico no formato +0	4, +1 02 3, x +0	1, = 3 x +0	1, � +0	3, = 	 +0	3, 
 
 
Autoespaço	
Pegando o exemplo anterior: 
• O vetor + 1	−1, associado a λ1 = 1 é uma base do autoespaço associado a λ1 = 1. 
• O vetor +0	1, associado a λ2 = 3 é uma base do autoespaço associado a λ2 = 3. 
 
Diagonalização	de	Matrizes	
Tornar uma matriz diagonal. 
Equação 
P-1 x A x P = Matriz Diagonalizada 
 
Exemplo: 
ENCONTRE A MATRIZ QUE DIAGONALIZA � = +1 02 3,	? 
Descobrir os autovetores e autovalores da matriz. 
Pegando a resposta do exemplo anterior: 
Autovalores: λ� = 1, 	λ. = 3 
Autovetores: + 1	−1,, +0	1, 
 
Podemos criar a matriz P: + 1 0−1 1, 
 
 
P-1 x A x P = Matriz Diagonalizada +1 01 1, 	�	 +1 02 3, 	�	 + 1 0−1 1, 	= 	 +1 00 3, 
 
Como pode ser observado a matriz Diagonalizada são os valores dos autovalores λ� = 1, 	λ. =3. Portanto poderíamos ter feito a matriz sem nenhum cálculo. Apenas trocando os 
valores em uma matriz identidade.