Algebra linear material para estudo

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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA 
DO RIO GRANDE DO SUL 
FACULDADE DE MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ÁLGEBRA LINEAR A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Francisco Leal Moreira 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2003/1 
 
SUMÁRIO 
1. MATRIZES ................................................................................................................................................... 1 
1.1. INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................... 1 
1.2. PROPRIEDADES ................................................................................................................................... 2 
1.3. RESPOSTAS .......................................................................................................................................... 4 
2. INVERSÃO DE MATRIZES ........................................................................................................................ 5 
2.1. INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................... 5 
2.2. MATRIZ INVERSA ............................................................................................................................... 5 
2.3. PROPRIEDADES ................................................................................................................................... 6 
2.4. OPERAÇÕES ELEMENTARES DE UMA MATRIZ............................................................................ 6 
2.5. INVERSÃO DE MATRIZ POR OPERAÇÕES ELEMENTARES ........................................................ 6 
2.6. RESPOSTAS .......................................................................................................................................... 7 
3. SISTEMAS LINEARES ............................................................................................................................... 8 
3.1. INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................... 8 
3.2. EQUAÇÃO LINEAR ............................................................................................................................. 8 
3.3. SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES ............................................................................................... 8 
3.4. SISTEMAS EQUIVALENTES. ............................................................................................................. 9 
3.5. SISTEMA LINEAR ESCALONADO. ................................................................................................... 9 
3.6. RESOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR POR TRIANGULAÇÃO OU ESCALONAMENTO. .... 10 
3.7. MÉTODO DE CASTILHOS. ................................................................................................................ 11 
3.8. RESPOSTAS ........................................................................................................................................ 13 
4. ESPAÇOS VETORIAIS .............................................................................................................................. 14 
4.1. INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 14 
4.2. ESPAÇO VETORIAL REAL ............................................................................................................... 15 
4.3. RESPOSTAS ........................................................................................................................................ 16 
5. SUBESPAÇO VETORIAL .......................................................................................................................... 17 
5.1. INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 17 
5.2. SUBESPAÇO VETORIAL ................................................................................................................... 17 
5.3. RESPOSTAS ........................................................................................................................................ 19 
6. COMBINAÇÃO LINEAR DE VETORES .................................................................................................. 20 
6.1. INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 20 
6.2. RESPOSTAS ........................................................................................................................................ 21 
7. SUBESPAÇO VETORIAL GERADO ....................................................................................................... 22 
7.1. INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 22 
7.2. RESPOSTAS ........................................................................................................................................ 23 
8.DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR ........................................................................................ 24 
8.1. INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 24 
8.2. PROPRIEDADES ................................................................................................................................. 24 
8.3. RESPOSTAS ........................................................................................................................................ 26 
9. BASE E DIMENSÃO .................................................................................................................................. 27 
9.1. INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 27 
9.2. BASE .................................................................................................................................................... 28 
9.3. PROPRIEDADES ................................................................................................................................. 28 
9.4. DIMENSÃO DE UM ESPAÇO VETORIAL ....................................................................................... 29 
9.5. RESPOSTAS ........................................................................................................................................ 30 
10. COMPONENTES DE UM VETOR E MUDANÇA DE BASE ................................................................. 31 
10.1. INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 31 
10.2. COMPONENTES DE UM VETOR .................................................................................................... 31 
10.3. MUDANÇA DE BASE ....................................................................................................................... 31 
10.4. RESPOSTAS ...................................................................................................................................... 33 
11. PRODUTO INTERNO .............................................................................................................................. 34 
11.2. INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 34 
11.2.RESPOSTAS ...................................................................................................................................... 35 
12. ORTOGONALIDADE .............................................................................................................................. 36 
12.1. VETORES ORTOGONAIS ................................................................................................................ 36 
12.2. BASE ORTOGONAL E BASE ORTONORMAL .............................................................................. 36 
12.3. PROCESSO DE ORTOGONALIZAÇÃO DE GRAM-SCHMIDT .................................................... 37 
12.4. RESPOSTAS ...................................................................................................................................... 37 
13. TRANSFORMAÇÕES LINEARES .......................................................................................................... 38 
13.1. INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 38 
13.2. TRANSFORMAÇÃO LINEAR ......................................................................................................... 38 
13.3. MATRIZ NATURAL OU MATRIZ CANÔNICA ............................................................................. 39 
13.4. T L DEFINIDA PELAS IMAGENS DOS VETORES DE UMA BASE ............................................. 40 
13.5. COMPOSTA DE DUAS TL ............................................................................................................... 41 
13.6. RESPOSTAS ...................................................................................................................................... 42 
14. TRANSFORMAÇÕES LINEARES PLANAS ......................................................................................... 43 
14.1. INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 43 
14.2. REFLEXÕES ...................................................................................................................................... 43 
14.3. DILATAÇÕES E CONTRAÇÕES ..................................................................................................... 45 
14.4. CISALHAMENTOS ........................................................................................................................... 46 
14.5. ROTAÇÕES ....................................................................................................................................... 47 
14.6. RESPOSTAS ...................................................................................................................................... 49 
15. MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR EM BASES QUAISQUER ..................................... 52 
15.1. INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 52 
15.2. PROCEDIMENTO PARA ENCONTRAR A MATRIZ 
A
B]f[
 ............................................................ 53 
15.3. RESPOSTAS ...................................................................................................................................... 53 
16. OPERADORES LINEARES ..................................................................................................................... 54 
16.1. INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 54 
16.2. MATRIZES SEMELHANTES ........................................................................................................... 54 
16.3. RELAÇÃO ENTRE MATRIZES SEMELHANTES . ........................................................................ 54 
16.4. OPERADORES INVERSÍVEIS ......................................................................................................... 55 
16.5. MATRIZ ORTOGONAL .................................................................................................................... 55 
16.7. OPERADOR LINEAR ORTOGONAL .............................................................................................. 55 
16.8. PROPRIEDADES ............................................................................................................................... 56 
16.9. OPERADOR LINEAR SIMÉTRICO ................................................................................................. 56 
16.10. PROPRIEDADE ............................................................................................................................... 57 
16.11. RESPOSTAS .................................................................................................................................... 57 
17. VETORES PRÓPRIOS E VALORES PRÓPRIOS.................................................................................... 58 
17.1. INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 58 
17.2. DETERMINAÇÃO DOS VALORES E VETORES PRÓPRIOS ....................................................... 59 
17.3. PROPRIEDADES ............................................................................................................................... 60 
17.4. RESPOSTAS ...................................................................................................................................... 61 
18. DIAGONALIZAÇÃO DE OPERADORES .............................................................................................. 62 
18.1. INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 62 
18.2. DIAGONALIZAÇÃO DE MATRIZES SIMÉTRICAS ..................................................................... 63 
18.3. RESPOSTAS ...................................................................................................................................... 64 
19. CÔNICAS .................................................................................................................................................. 65 
19.2. CÔNICAS NÃO-DEGENERADAS EM POSIÇÕES PADRÕES ...................................................... 65 
19.3. PROCEDIMENTO PARA ELIMINAR O TERMO EM XY DA EQUAÇÃO .................................... 67 
19.4. CLASSIFICAÇÃO DAS CÔNICAS QUANTO AOS VALORES PRÓPRIOS ................................. 69 
19.5. RESPOSTAS ...................................................................................................................................... 69 
20. BIBLIOGRAFIA ....................................................................................................................................... 70 
 
 
 1 
1. MATRIZES 
 
1.1. INTRODUÇÃO 
Esta secção, apresenta um conjunto de exercícios que possibilitam ao aluno, 
revisar conceitos básicos sobre matrizes. É muito importante que o aluno se detenha nas 
propriedades apresentadas, pois são de grande importância dentro da Álgebra Linear. 
Algumas aplicações do estudo das matrizes são resolução de sistemas de equações lineares, 
mudança de bases de um espaço vetorial, representação e composição de transformações 
lineares. 
 
 
E1) Construa uma matriz: 
 
a) Retangular b) Linha c) Coluna d) Nula e) Quadrada 
 
E2) Identifique a ordem de cada matriz do exercício E1. 
 
E3) Escreva a forma genérica de uma matriz de ordem m x n com elementos a
ji
. 
 
E4) Escreva a matriz oposta (-A é a oposta de A) decada matriz do exercício E1. 
 
E5) Construa a matriz A= [aij]mxn tal que: 
 
 
 a) m = n = 4 e a
ji
= 








jise,2
jise,1
jise,0 b) m = 2, n = 3 e a
ji
= 
  ji1   3ji 
 
 
 
 E6) No exercício E5 a , identifique a diagonal principal e a secundária. 
 
 
 E7) Escreva uma matriz diagonal ( A=[aij]
nxn
, a
ij
=0 se i

j) de ordem 3. 
 
 
 E8) Escreva a matriz identidade ( I
n
=[aij]
nxn
, a
ij
=





jise,0
jise,1
 ) para n = 4. 
 
 
 E9) Escreva uma matriz triangular superior ( A=[aij]
nxn
, a
ij
=0 se i>j) de ordem 3. 
 
 
 E10)Escreva uma matriz triangular inferior ( A=[aij]
nxn
, a
ij
=0 se i<j) de ordem 4. 
 
 
 
 
 
 
 
 2 
 
 E11) Encontre x, y, z e w de forma que A=B, sendo: 
 
 a) A = 










 434
30sen52
22
1
002 , B = 










4wz
2
1
yx
 
 
 
 b) A = 








8w2z3
yx413
 , B = 








w3z27
9y5x4
 
 
 
 E12) Dadas as matrizes A = 






 542
021
, B = 








105
312
 e C = 








23
11
 determine a matriz: 
 
 a) A + 2B + (-A) + (-B) 
 
 b) A – B + 
2
AB
 
 
 c) 3( C – 2I
2
) 
 
1.2. PROPRIEDADES 
 
 1. Propriedades da Adição 
 
 a) A + B = B + A 
 
 b) (A + B) + C = A + (B + C) 
 
 c) A + O = A 
 
 d) A + (-A) = O 
 
 sendo A, B, C e O matrizes de mesma ordem 
 
 
 
 2. Propriedades do Produto de uma Matriz por um Real 
 
 a) ()A = (A) 
 
 b(A + B) = A + B 
 
 c) ( + )A = A + A 
 
 d) 1A = A 
 
 sendo A e B matrizes de mesma ordem e ,

 
 
 
 
 3 
E13) Sejam as matrizes A = 













151
433
012 , B = 












413
202
111 e C = 






 142
321
, determine: 
 
 a) AB b) AC c) CA d) (A-I
3
) (B+I
3
) 
 
 3. Propriedades da Multiplicação de Matrizes 
 
 a) ABC = (AB)C = A(BC) 
 
 b) A(B+C) = AB + AC 
 
 c) (A+B)C = AC + BC 
 
 d(AB) = (A)B = A(B) ,  
 
 
 
 e) AO = O 
 
 f) AI = IA = A 
 
 
E14) Use V ou F : 
 
 a) Se existem AB e BA então AB = BA ( ) 
 
 b) Se AB = O então necessariamente A = O ou B = O ( ) 
 
 
E15) Encontre a matriz transposta de: 
 
 a) A = 






450
321
 b) B = 












673
524
102
 
 
 4. Propriedades da Transposta 
 
 a) (A t ) t = A 
 
 b) (A + B) t = A t + B t 
 
 c) (AB) t = B t A t 
 
 d) (A) t = A t ,  

 
 
E16) Sejam as matrizes A = 






30
12
, B = 








15
24
 e C = 






43
21
, determine: 
 
 a) ( A - B) t (B - C) t b) [(2A - I
2
) + (C + I
2
)] t c) (AB t C) t 
 
E17) Construa uma matriz simétrica (A t = A) de ordem 3. 
 4 
 
E18) Construa uma matriz anti-simétrica (A t = -A) de ordem 4. 
 
 
 
 
 
1.3. RESPOSTAS 
 
 
E3) 












mn2m1m
n22221
n11211
aaa
aaa
aaa




 
E5) a)A= 














1222
0122
0012
0001
 b)A=








101
810
 
 
E6) a)Dp = { 1, 1, 1, 1 } e Ds= { 2, 2, 0, 0 } 
 
E8) a)I4=














1000
0100
0010
0001
 
 
E11) a) x=-4, y=1, z=2 e w=
9
1
 b) x=2, y=1, z=1 e w=2 
 
E12) a) B b) 





 
643
313
2
1
 c) 3








43
11
 
 
E13) a)












528
719
420 b) NE c)






 1559
5811
 d) 













186
9510
300 
 
E14) a) F b) F 
E15) a)A
t
=










43
52
01 b)B
t
=














651
720
342 
 
E16) a) 






 147
2114
 b) 






104
35
 c) 








2448
1533
 
 
 
 
 5 
 
2. INVERSÃO DE MATRIZES 
 
2.1. INTRODUÇÃO 
 No início desta secção, o aluno encontrará alguns exercícios que possibilitam 
revisar o cálculo de determinantes, importante para a identificação de uma matriz 
inversível. O estudo de matriz inversa tem várias aplicações na Álgebra Linear, como por 
exemplo, na mudança de base de um espaço vetorial e resolução de equações matriciais. 
 
 
E1) Calcule os determinantes: 
 a) 
2
 b) 
31
12

 c) 
423
145
021

 d) 
300
640
311  e) 
20101
01003
0064
0001


 
E2) Resolva as equações: 
 
 a) 
x10
0x1
154


 = 0 b) 
x2
9x2
 = 
x213
132
x321

 c) 
351
034
00x2
 = 
xsenxcos
xcosxsen
 
 
 
2.2. MATRIZ INVERSA 
 
 Uma matriz quadrada A é inversível se existir uma matriz quadrada B tal que AB = BA = I. 
 A matriz B é chamada matriz inversa de A e é representada por A1 . 
 
 
E3) Use a definição acima para calcular a inversa da matriz A = 






dc
ba
 
 Sugestão: Resolva os sistemas pela regra de Cramer. 
 
 
DISPOSITIVO PRÁTICO 
Se A = 






dc
ba
 e det A 

0 , então A 1 = 
Adet
1








ac
bd
 
 
 
 
0AdetA 1  
 
 
 
E4) Calcule as inversas das matrizes A = 








12
23
 e B = 








72
51
 . 
 
 
 
 
 
 6 
 2.3. PROPRIEDADES 
 
a) (A 1 ) 1 = A 
 
b) I
n
1
 = I
n
 
 
c) (A) 1 = A 1 , 
 0
 
 
d) (AB) 1 = B 1 A 1 
 
 
 2.4. OPERAÇÕES ELEMENTARES DE UMA MATRIZ 
 
L
ji
 - Permutação das linhas de ordem i e j. 
kL
i
 - Multiplicação da linha de ordem i por k

0. 
L
i
+ kL
j
 - Substituição da linha de ordem i pela sua soma com a linha de ordem j multiplicada por k

0. 
 
 
 
E5) Complete corretamente as matrizes: 
 
 A=






31
52
 L
12
 






........
........
 L
2
- 2L
1
 






........
........
 - L
2
 






................
 L
1
- 3L
2
 






10
01
 
 
 
 Toda matriz inversível pode ser transformada, mediante um número finito de operações elementares, na 
 matriz I 
 
 
E6) Aplique a seqüência L
12
, L
2
- 2L
1
, - L
2
, L
1
- 3L
2
 na matriz 






10
01
. 
 
 






10
01
 L
12
 






........
........
 L
2
- 2L
1
 






........
........
 - L
2
 






........
........
 L
1
- 3L
2
 





=B 
 
 
E7) Calcule AB e BA considerando A e B matrizes dos exercícios E5 e E6. O que se pode concluir ? 
 
2.5. INVERSÃO DE MATRIZ POR OPERAÇÕES ELEMENTARES 
 
A mesma seqüência de operações elementares que transforma uma matriz A em I
n
, transforma I
n
em A 1 . 
 [ A I
n
] seqüência de operações elementares [ I
n
 A 1 ] 
 
 
 
 
 
 
 7 
 
E8) Determine a matriz inversa, caso exista, de cada uma das matrizes dadas: 
 
 A = 












352
141
010 , B = 






53
21
 , C = 












1201
0301
0010
0120
 e D = 













304
202
011 
 
E9) Mostre que 
t11t )A()A(  
. 
 
 
E10) Resolva as equações matriciais na variável X, sabendo-se que A, B, C e X são matrizes inversíveis: 
 
 a) AX = B b) AXB = C c) X 1 AB 1 = C d) (AX 1 ) t = B e) AXB = BA f) A t X t = B 
 
 
 
 
2.6. RESPOSTAS 
 
 
E1) a) –2 b) 7 c) –16 d) 12 e) –120 
 
E2) a) x = 1/4 ou x = 1 b) x = 0 ou x = 3 c) x = -1/6 
 
E3) A
-1
=






11
23
 
 
E4) A
-1
=








32
21
 B
-1
=














3
1
3
2
3
5
3
7
 
 
E8) A
-1
=












1213
001
1317 B
-1
=








13
25
 C
-1
=

















1121
0021
0010
0163
 D
-1
=



















120
1
2
3
1
1
2
3
0
 
 
E10) a) X=A
-1
B b) X=A
-1
CB
-1
 c) X= AB
-1
C
-1
 d) X=(B
t
)
-1
A e) X=A
-1
BAB
-1 
 f) X=B
t
A
-1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 8 
 
3. SISTEMAS LINEARES 
 
3.1. INTRODUÇÃO 
 O estudo de sistemas de equações lineares é de fundamental importância na Álgebra 
Linear. Resolvendo sistemas de equações lineares podemos determinar: a dependência ou 
independência linear de vetores, o subespaço vetorial gerado por um conjunto de vetores, a 
matriz que representa uma transformação linear em bases dadas e vetores próprios de um 
operador linear. No final dessa secção, apresentaremos o método de Castilhos que pode ser 
utilizado na resolução de sistemas de equações lineares. 
 
 
3.2. EQUAÇÃO LINEAR 
 
 
bxaxaxa nn2211  
, com 
b,a,a,a n21 
 
 
 Exemplos 
 
 a) No 
 2
, x = 3 

1x + 0y = 3 
 
 b) No 
3
, x = 3 

1x + 0y + 0z = 3 
 
 c) As seguintes equações não são lineares: x
2
 – 2x = 4 , 
2yx 
, cos x = 1, e
y
-3x = 0 e ln x + 4y = 3. 
 
 Solução de uma equação linear é uma seqüência de números que satisfaz a equação. 
 
 Conjunto-solução de uma equação é o conjunto de todas as soluções da equção. 
 
 
 Exemplos 
 
 a) No 
 2
, o conjunto-solução da equação x = 3 é {(3,y) / y

} e (3,5) é uma solução particular. 
 
 b) No 
3
, o conjunto-solução da equação x = 3 é {(3,y,z) / y,z

} e (3,7,9) é uma solução particular. 
 
 
3.3. SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES 
 
 Sistema linear de m equações com n incógnitas 
 
 










mnmn22m11m
2nn2222121
1nn1212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa




 
 
 
 
 Solução de um sistema linear é uma seqüência de números que é solução de toda equação do sistema. 
 
 9 
 
E1) Resolva, se possível, os sistemas escrevendo os conjuntos soluções em U. 
 
 a) 





0yx
3yx2
 , U =
2
 b)





1yx
2y2x2
, U =
2
 c)





3y2x2
3yx
 , U =
2
 
 
 d) 





2y
0zyx
 , U =
3
 e)





0zy
1z2y2x
, U =
3
 f)





1zx
3zx
 , U =
3
 
 
 
CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR QUANTO ÀS SOLUÇÕES: 
 determinado (solução única) 
 compatível 
Sistema Linear (possui solução) indeterminado (várias soluções) 
 
 incompatível (não possui solução) 
 
 
 
REPRESENTAÇÃO MATRICIAL DE UM SISTEMA LINEAR. 
 A equação AX=B é a representação matricial de qualquer sistema de equações lineares. Se a matriz B é 
nula, o sistema é chamado de homogêneo. 
 Um sistema homogêneo é sempre compatível: 
 - Determinado se tiver apenas a solução trivial ou imprópria que apresenta todas as variáveis 
 assumindo valor zero. 
 - Indeterminado se tiver a solução trivial e outras denominadas soluções próprias. 
 
 
E2) Mostre que se A é uma matriz inversível então o sistema AX = B admite apenas uma solução. Qual é esta 
 solução se B = 0 ? 
 
E3) Escreva um sistema linear homogêneo de duas equações com duas variáveis que seja: 
 
 a) compatível e determinado b) compatível e indeterminado c) incompatível 
 
3.4. SISTEMAS EQUIVALENTES. 
 
 Dois sistemas que apresentam o mesmo conjunto solução são chamados sistemas equivalentes. 
 
 
E4) Resolva, se possível, o sistema: 
 








4z2
1zy
0zyx3 
 
3.5. SISTEMA LINEAR ESCALONADO. 
 
 Um sistema linear está na forma escalonada se o número de zeros que precede o primeiro coeficiente não 
nulo aumenta de equação para equação. Todo sistema escalonado pode ser facilmente resolvido como no 
 exercício E4. 
 
 
 
 10 
Exemplo: 
 
 O sistema 








4z2y0x0
1zyx0
0zyx3 do exercício E4, cuja matriz ampliada é 









 
4
1
0
200
110
113 
 
E5) Resolva o sistema: 
 
 





2tz
1tzy2x
 
 
3.6. RESOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR POR TRIANGULAÇÃO OU 
ESCALONAMENTO. 
 
 Um sistema linear pode ser transformado em outro, equivalente e escalonado, com as seguintes operações: 
 a) Permutação de duas equações; 
 b) Multiplicação de uma equação porum número real diferente de zero; 
 c) Substituição de uma equação por sua soma com outra equação previamente multiplicada por um número 
 real diferente de zero. 
 
Exemplo: 
 
Resolva o sistema por triangulação: 
 








1z2yx
0zyx
0zy3x2 





...........................
...........................
........................... 
 
 
 





...........................
...........................
........................... 





...........................
...........................
........................... 
 
 O sistema resultante está na forma escalonada e é equivalente ao sistema dado. Logo, o sistema dado é 
 
determinado e seu conjunto solução é S = 
 ),,(
. 
 
A seguir, resolva o mesmo sistema, a partir da matriz ampliada. 
 










1
0
0
211
111
132 L
21
 










....
....
....
.........
.........
......... L
2
+(-2)L
1
 










....
....
....
.........
.........
......... L
3
+(-1)L
1
 










....
....
....
.........
.........
......... 
 
 
E6) Resolva, se possível, os sistemas por escalonamento: 
 
 a) 








4zx
1zy3x2
1yx b) 








2z2y2x
1zyx2
1zyx 
Permutan-
do as duas 
primeiras 
equações 
 
Substituindo a 2o 
eq. pela sua soma 
com a 1o multipli- 
cada por -2 
Substituindo a 3 o equação 
pela sua soma com a 1 o 
multiplicada por -1 
 11 
 
CLASSIFICAÇÃO DE SISTEMAS LINEARES POR TRIANGULAÇÃO OU ESCALONAMENTO. 
 
 Se ao escalonar o sistema é zerada uma linha da matriz dos coeficientes sem zerar o correspondente 
termo independente, o sistema é incompatível . Caso contrário o sistema é compatível: 
- determinado , quando após escalonar obtém-se tantas linhas significativas (não totalmente nulas) quantas 
 são as colunas da matriz dos coeficientes. 
- Indeterminado , quanto após escalonar obtém-se menos linhas significativas do que o número de 
colunas da matriz dos coeficientes. 
 
 
 Todo sistema homogêneo que apresentar mais incógnitas que equações é indeterminado. 
 
E7) Determine o valor de “m” para que o sistema 








3zy2mx
0mzyx
2zyx seja: 
 
 a) Determinado; b) Indeterminado; c) incompatível. 
 
E8) Resolva, se possível, o sistema 








5z2yx3
1zy3x2
4z3yx 
 
3.7. MÉTODO DE CASTILHOS. 
 
 O método de Castilhos é uma simplificação do método do escalonamento, onde as operações aplicadas 
sobre as equações são representadas por determinantes de 2
º
 ordem. 
 
 
 A seguir, a aplicação do método de Castilhos na resolução do exercício E8. 
 
 
1
º
. Quadro 1 1 3 4 do 3
º
. quadro: ................ 
 
 
 
 2 3 1 1 
 
 3 1 -2 5 do 2
º
. quadro com ............... em qualquer equação: ............... 
 
 2
º
. Quadro 
 .... .... .... 
 
 
 
 .... .... .... do 1
º
. quadro com .......... e........... em qualquer equação:......... 
 
 3
º
. Quadro 
 .... .... S = 
 ),,(
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 12 
E9) Resolva, se possível, os sistemas: 
 
 a) 











3zy4x2
3zy2x
3zy4x2
4zy5x3
 b) 








1yx
2zy
0zyx2 c) 








25yx
5y5x3
4y2x 
 d) 





0zyx2
0zyx
 e)










111
112
321










z
y
x =










0
0
0 f) 















033
103
312
321










z
y
x =












7
2
5
4
 
 E10) Resolva o sistema para k = -1, k = -2 e k = 3. 
 
 













k02
0k10
20k










z
y
x =










0
0
0 
 
E11) Se A = 










 122
121
322 e X = 










z
y
x , resolva: 
 
 a) A.X = X b) A.X = 4.X c) ( A – 2.I
3
).X = 0 
 
E12) Determine para que valores de a, b e c o sistema é determinado, indeterminado ou impossível: 
 
 a) 








cz4y6
bz2y3
az5y2x b) 








ctz
btzy2
at3z2yx c) 








cz3yx2
bzx3
az5yx4 
 
 d) 













32
21
11






y
x
=










c
b
a e) 













211
432
321










z
y
x =










c
b
a 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 13 
 
3.8. RESPOSTAS 
 
E1) a) S={(1,-1)} b) S={
 y/)y,y1(
} c) S={ } d) S={
 z/)z,z,2z(
} 
 
 e) S={
 z/)z,z,1(
} f) S={
y/)1,y,2(
} 
 
E4) S={(1,-1,2)} 
 
E5) S={
 t,y/)t,2t,y,y23(
} 
 
E6) a) S={
 y/)3y,y,y1(
} b) S={ } 
 
E7) a) m 

0 e m 

1 b) m = 1 c) m = 0 
 
E8) S={(3,-2,1)} 
 
E9) a) S={ } b) S={
 z/)z,z2,1z(
} c) S={ } 
 
 d) S={
z/)z,z,0(
} e) S={(0,0,0)} f) S={ } 
 
E10) k=-1, SCI, S={
y/)0,y,0(
} ; k=-2, SCI, S={
 z/)z,0,z(
} ; k=3 , S={(0,0,0)}E11) a) S={(0,0,0)} b) S={
z/)z,
2
z5
,z4(
} c) S={


 z/)z,
2
z3
,z(
} 
 
E12) a) SI se c

2b e SCI se c=2b b) SCI, 
 c,b,a
 c) SCD, 
 c,b,a
 
 
 d) SI, se a-b-c

0 e SCD se a-b-c=0 e)SCD, 
 c,b,a
 
 14 
4. ESPAÇOS VETORIAIS 
 
4.1. INTRODUÇÃO 
 Nesta secção, generaliza-se o conceito de vetor enunciando uma série de axiomas que, 
caso sejam todos satisfeitos por uma classe de objetos, serão chamados vetores. O conceito 
de espaço vetorial ocorre em muitas aplicações tanto na Matemática quanto nas Ciências e 
na Engenharia. 
 
 P (ponto) 
2
= 
x
 = 
 y,x/)y,x(
 (x
1
,y
1
) 
 v (vetor) 
 
 y 
2
 
 
 
 y
1
 P 
 v 
 
 
 0 x
1
 x 
 
 
 
 P (ponto) 
3
= 
 xx
 = 
 z,y,x/)z,y,x(
 (x
1
,y
1
,z
1
) 
 v (vetor) 
 
 
 
 
 z 
3
 
 
 z
1
 
 
 P 
 v y
1
 
 o y 
 
 x
1
 
 
 x 
 
 
Esta idéia pode ser estendida para 
,..., 54 
,
  n21n21
n x,...,x,x/)x,...,x,x(
,com a perda 
da visão geométrica. 
 
 
 E1) Dê um exemplo de ponto ou vetor no: 
 
 a) 
4
 b) 
5
 c)
6
 
 15 
 
 
Se u = (x
1
,x
2
,..., x
n
) e v = (y
1
,y
2
,..., y
n
) são vetores de 
n
, tem-se: 
 
a) u = v 

 x
1
= y
1
, x
2
= y
2
,..., x
n
= y
n
 (igualdade) 
 
b) u + v =( x
1
+ y
1
, x
2
+ y
2
,..., x
n
+ y
n
) 
 
c) u = (x
1
,x
2
,..., x
n
) ,  
 
 (operações) 
 
d) u.v = x
1
. y
1
+ x
2
. y
2
+... + x
n
. y
n
 
 
e) 
u
 = 
2
n
2
2
2
1 xxx  
 (módulo de u) 
 
 
Para o conjunto 
n
, no qual estão definidas as operações adição e multiplicação por escalar, isto é 
 

u,v 
n
, u+v
n
 e 



,

u 
n
, u
n
 é fácil verificar-se as seguintes propriedades: 
 
A1 : u + v = v + u ,  u,v n 
 
A2 : (u + v) + w = u + (v + w) ,  u,v,w n 
 
A3 :  0 n ,  u n , u + 0 = u 
 
A4 :  u n ,  (-u) n , u + (-u) = 0 
 
M1 : ( + )u = u + u ,    e  u n 

(u + v) = u + v ,    e  u,v n 
 
M3 : ()u = (u) ,    e  u n 
 
M4 : 1u = u ,  u n 
 
Este conjunto 
n
, no qual estão definidas as operações adição e multiplicação por escalar e em relação as 
quais valem as dez propriedades citadas, é chamado espaço vetorial real. 
 
4.2. ESPAÇO VETORIAL REAL 
 
 Da mesma forma que o 
n
, qualquer conjunto V

 no qual estão definidas duas operações: adição e 
multiplicação por escalar em relação as quais valem as dez propriedades citadas acima chama-se espaço 
 vetorial real. 
Os elementos de um espaço vetorial são chamados vetores independente de sua natureza. 
 
 
 
 
 16 
 
Outros exemplos importantes de espaços vetoriais: 
 
1. O conjunto 
mxnM
das matrizes mxn com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar. 
 
 Observação: O conjunto 
1nxM
 é a notação matricial do 
n
. 
 Se u = (x
1
,x
2
,..., x
n
)
n
 então u = 














n
2
1
x
:
x
x
 

 
1nxM
(as operações de adição e multiplicação por 
 escalar produzem o mesmo resultado). 
 
 
2. O conjunto 
nP
a
0
x n + a
1
x 1n + ... + a
n
 ; ai

 dos polinômios de grau menor ou igual a “n”, 
incluindo o polinômio identicamente nulo, com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar. 
 
 
 
3. O conjunto das funções definidas no intervalo [a ; b] em relação às operações definidas por 
(f + g)(x) = f(x) + g(x) e (f)(x) = f(x) , 



 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
E2) Identifique o vetor nulo, um vetor e o respectivo vetor oposto dos seguintes espaços vetoriais: 
 
a) 
2x2M
 b) 
1x3M
 c) P2 d) P3 
 
E3) Analise cada conjunto abaixo e diga porque não é um espaço vetorial com as operações usuais., 
 
a) V = 
 1yx/)y,x( 222 
 b) V = 
 3x2y/)y,x( 2 
 
 
 c) V = 
 0ye0x/)y,x( 2 
 d) V = 
 01zyx/)z,y,x( 3 
 
 
 e) V = 





















0a/M
0
0
a
1x3
 f) V = 














0d/M
dc
ba
2x2
 
 
 
4.3. RESPOSTAS 
 
 
E3) a) Não b) Não c)Não d) Não e) Não f) Não 
 
 
 17 
 
5. SUBESPAÇO VETORIAL 
 
5.1. INTRODUÇÃO 
 Às vezes, é importante identificar, dentro de um espaço vetorial, subconjuntos que 
sejam também, espaços vetoriais. 
 
 SUBESPAÇO VETORIAL 
 Seja S um subconjunto não vazio de um espaço vetorial V. S é um subespaço vetorial de V se S é também 
espaço vetorial com as mesmas operações definidas em V. 
 
 
 Como S
V
, os axiomas A1 , A2 , M1 , M2 , M3 e M4 , da definição, são verificados pois todos os vetores de 
S são também de V. Portanto, para que S seja um subespaço vetorial de V, basta que os axiomas A3 e A4 
também se verifiquem. Todas estas condições estão reunidas na definição abaixo. 
 
5.2. SUBESPAÇO VETORIAL 
 
 Seja S um subconjunto não-vazio de um espaço vetorial V. S é um subespaço vetorial de V sse: 
 i) 
Sv,u 
 , 
Svu 
 
 ii)



Su

Su
 
 
 
E1)Verifique se S com as operações usuais é um subespaço vetorial de V. 
 
 a) S=















y,x/M
yxy
x0
2x2
 e V=
2x2M
. 
 
 b) S =
 x2y/)y,x( 2 
 V = 
2
 
 
 c) S= 
  x/)1x,x(
e V=
2
 
 
d) S = 
 0z2yx/)z,y,x( 3 
 V = 
3
 
 
e) S = 
 01zyx2/)z,y,x( 3 
 V = 
3
 
 
 
Importante: 
 
 a) O conjunto formado apenas pelo vetor nulo de um espaço vetorial V é um subespaço vetorial de V. 
 
O subespaço {0} é chamado de subespaço nulo. 
 
 b) Qualquer reta do 
2
 que passa pela origem é um subespaço vetorial do
2
. 
 
 c) Qualquer reta do 
 3
 que passa pela origem é um subespaço vetorial do
 3
. 
 
 d) Qualquer plano do 
 3
que passa pela origem é um subespaço vetorial do
 3
. 
 
 
 18 
 
SUBESPAÇOS VETORIAIS DO 
 2
 
a) Triviais: 
 2
 e {(0,0)} 
b) Não triviais: S =
 0ByAx/)y,x( 2 
 (retas que passam pela origem) 
 
 
SUBESPAÇOS VETORIAIS DO 
 3
 
a) Triviais: 
 3
e {(0,0,0)} 
b) Não triviais: S = 
 pxzemxy/)z,y,x( 3 
 ou S = 
 0czbyax/)z,y,x( 3 
( retas e planos 
 que passam pela origem) 
 
 
SUBESPAÇOS VETORIAIS DE UM ESPAÇO VETORIAL V 
a) Triviais: V e {0} 
b) Não triviais: outros 

 
E2)Verifique se S com as operações usuais é um subespaço vetorial de V. 
 
a) S = 
 x/)x,x( 2
e V=
2
 
 
b) S é o conjunto solução do sistema 





1yx
1xy
 e V = 
2
 
 
c) S =
 xzexy/)z,y,x( 3 
 V = 
3
 
 
d) S = 
 0x/)t,z,y,x( 4 
 V = 
4
 
 
e) S é o conjunto solução de um sistema homogêneo AX = 0, onde A é uma matriz de ordem mxn e uma 
 solução X é um vetor de 
n
. 
 
f) S o conjunto de todas as matrizes triangulares superiores, V = 
2x2M
 
 
g) S = 
 0ze1yx/)z,y,x( 223 
 V = 
3
 
 
h) S = 














y,x/
00
yx
, V = 
2x2M
 
 
i) S = 
  c,a/cax
, V = P
1
 
 
j) S = 
 0a,c,a/cax2 
, V = P
2
 
 
k) S é o conjunto solução do sistema 








0z3y8x5
0z2y3x2
0zy2x e V = 
3
 
 
l) S = 
 0Adet/VA 
, V = 
3x3M
 
 19 
 
5.3. RESPOSTAS 
 
 E1) a) Sim b) Sim c) Não d) Sim e) Não 
 
 E2) a) Não b) Não c) Sim d)Não e) Sim f)Sim g) Não h) Sim i) Sim 
 
 j) Não k) Sim l) Não 
 
 
 20 
 
6. COMBINAÇÃO LINEAR DE VETORES 
 
6.1. INTRODUÇÃO 
 Uma das características mais importantes de um espaço vetorial é a determinação de 
novos vetores a partir de vetores dados. 
 
 
 Sejam os vetores 
n21 v,...,v,v
 de um espaço vetorial V. Um vetor 
v
V é combinação linear (CL) dos 
vetores 
n21 v,...,v,v
 se existem os reais 
n21 a,...,a,a
, tais que 
vva...vava nn2211 
. 
 
 
E1) Verifique se o vetor 
)7,8,1(v 
 é combinação linear dos vetores 
)1,2,3(v1 
 e 
)5,1,4(v2 
. Em 
 caso afirmativo, escreva o vetor 
v
 como combinação linear de 
1v
 e 
2v
. 
 
 
 A combinação linear 
vva...vava nn2211 
 pode ser representada matricialmente por MA=V, 
onde: M é a matriz cujas colunas são os vetores 
n21 v,...,v,v
, A é a matriz coluna formada pelos 
coeficientes
n21 a,...,a,a
e V é a representação matricial do vetor v. 
 
E2) Sejam os vetores 
)2,1,2(v1 
 , 
)2,3,0(v2 
 e 
)0,2,4(v3 
. 
 
 a) Escreva, se possível, o vetor 
)2,5,2(v 
 como CL dos vetores 
1v
 e 
2v
. 
 
 b) Escreva, se possível, o vetor 
1v
 como CL dos vetores 
2v
 e 
3v
. 
 
 c) Determine o valor de “m” para que o vetor 
)m,0,6(u 
 seja CL dos vetores 
1v
 e 
2v
 . 
 
 d) Determine os vetores do 
3
 que podem ser escritos como CL dos vetores 
1v
, 
2v
 e 
3v
. 
 
 e) Determine os vetores do 
3
 que podem ser escritos como CL dos vetores 
)0,1,2(vev 43 
. 
 
E3) Sejam os vetores 







11
01
v1
, 







10
21
v2
 e 





 

12
10
v3
 de V = 
2x2M
. 
a)Escreva, se possível, o vetor 







50
81
v
 como CL dos vetores 
1v
, 
2v
 e 
3v
. 
b)Escreva, se possível, o vetor 
v
 como combinação linear dos vetores 
1v
 e 
2v
. 
 
E4) Sejam os vetores 
tt2pe2tp,1t2tp 232
2
1 
 de V = 
2P
. 
 
 a)Escreva, se possível, o vetor 
7t5t5p 2 
 como CL dos vetores 
1p
,
2p
 e 
3p
. 
 Nota: As operações de adição e multiplicação por escalar aplicadas sobre p =
cbtat 2 
 e sobre 
 p = (a,b,c) produzem o mesmo resultado. Por que ? 
 Sugestão: represente o vetor 
cbtat 2 
 pela terna (a,b,c). 
 
 b)Escreva, se possível, o vetor 
p
 como CL dos vetores 
1p
 e 
2p
. 
 21 
 
6.2. RESPOSTAS 
 
E1) v = 3v1 - 2v2 
 
E2) a) v=v1+2v2 b) Impossível c) m=4 d) 3v  e) v=(2y,y,0) , y  
 
E3) a) v=4v1+3v2-2v3 b) Impossível 
 
E4) a) p=3p1+2p2+p3 b) Impossível 
 
 
 
 22 
 
7. SUBESPAÇO VETORIAL GERADO 
 
7.1. INTRODUÇÃO 
 Nesta secção, veremos como determinar todos os vetores do espaço vetorial que 
 podem ser obtidos a partir de vetores dados. 
 
E1) Mostre que se V é um espaço vetorial e
n21 v,...,v,v
V
, então o conjunto 
 S =
  inn2211 a,va...vavav/Vv
 é um subespaço vetorial de V. 
 
 
 Sejam A = 
 n21 v,..,v,v
 um conjunto de vetores de um espaço vetorial V , e 
S =
  inn2211 a,va...vavav/Vv
. O conjunto S também representado por G(A) 
ou [
n21 v,...,v,v
] é denominado subespaço vetorial gerado por A ou pelos vetores 
n21 v,...,v,v
. 
Exemplos os exercícios E2d e E2e página 20. 
 
 
E2) Se V = 
2
, determine o subespaço gerado por: 
 (Quais são os subespaços do 
2
? Veja página 18 ) 
 
 a) 
)2,1(v1 
 b) 
)2,1(v1 
 e 
)2,1(v2 
 c) 
)0,1(v1 
 e 
)2,2(v 2 
 
 
 d) 
)2,1(v1 
 , 
)1,1(v2 
 e 
)1,1(v3 
 e) 
)2,1(v1 
 e 
)1,0(v2 
 
 
E3) Se V =
3
, determine o subespaço gerado por: 
 (Quais são os subespaços do 
3
? Veja página 18) 
 
 a) 
)2,3,1(v1 
 b) 
)2,3,1(v1 
 e 
)4,6,2(v2 
 c) 
)2,1,1(v1 
 e 
)1,1,1(v2 
 
 
 d) 
)1,1,1(v1 
 , 
)2,2,2(v2 
 e 
)1,1,1(v3 
 e) 
)0,0,1(v1 
 , 
)0,2,0(v2 
 e 
)3,0,0(v3 
 
 
 f) 
)0,1,1(v1 
 , 
)1,1,0(v2 
, 
)1,1,1(v3 
 e 
)1,0,2(v4 
 
 
E4) Se V = 
2x2M
, determine o subespaço gerado por: 
a) 







00
01
v1
, 







00
11
v2
 , 







12
10
v3
 e 







11
11
v4
 
 
b) 









21
21v1
, 







43
12
v2
 e 









62
13
v3
 
 
c) 







00
01
v1
 e 







00
23
v2
 
 
d) 









21
12
v1
 
 
 23 
E5) Se V = P
2
, determine o subespaço gerado por: 
 
a) 
2tt2v 21 
 , 
t2tv 22 
 e 
2t3tv 23 
 
 
b) 
1tv1 
 e 
2
2 tv 
 
 
c) 
2tv 21 
 e 
3t2v 22 
 
E6) Determine um conjunto gerador do conjunto solução do sistema: 











0t9zy4x4
0t3zyx
0t5zy2x2
0t2yx
 
Sugestão: Procure escrever o vetor genérico do conjunto solução como combinação linear de vetores do 
4
. 
 
 
7.2. RESPOSTAS 
 
E2) a) 
 x2y/)y,x( 2 
 b) 
 x2y/)y,x( 2 
 c) 
2
 d) 
2
 e) 
2
 
 
E3) a) 
 x2zex3y/)z,y,x( 3 
 b) 
 x2zex3y/)z,y,x( 3 
 
 
 c) 
 0z2y3x/)z,y,x( 3 
 d) 
 xz/)z,y,x( 3 
 e) 
3
 f) 
3
 
 
E4) 4) a) M2x2 b)














c,b,a/
a2c
ba
 c) 














b,a/
00
ba
 d) 
















b/
b2b
bb2
 
 
E5) a) 
 0c5b2a4/cbtat 2 
 b) 
 0cb/cbtat 2 
 c) 
  c,a/cat 2
 
 
E6) S=
  t,y/)t,t,y,t2y(
 
 
 24 
 
8.DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR 
 
8.1. INTRODUÇÃO 
 Em nosso estudo, temos grande interesse na determinação do menor conjunto de 
vetores que gera um espaço vetorial, para isto, precisamos das noção de dependência e 
independência linear. 
 
 
 Sejam os vetores 
n21 v,...,v,v
 de um espaço vetorial V e a equação 
0va...vava nn2211 
 (1). 
 Os vetores 
n21 v,...,v,v
 são linearmente independentes (LI) caso a equação (1) admita apenas a 
 solução trivial 
0a...aa n21 
. 
 Se a equação (1) admitir soluções distintas da trivial, isto é, algum 
0a i 
, então os vetores 
n21 v,...,v,v
 
 são linearmente dependentes (LD). 
 
 
E1) Verifique se os vetores são LI ou LD. 
 
 a)
)3,2,1(v1 
 e 
)6,4,2(v2 
 b)
)2,1,1(v1 
, 
)3,0,2(v2 
 e 
)1,2,0(v3 
 
 
 c)
)2,1,0(v1 
 , 
)3,2,1(v2 
 e 
)0,3,1(v3 
 
 
 8.2. PROPRIEDADES 
 
 a) Um conjunto com dois ou mais vetores é LD sse pelo menos um dos vetores é CL dos demais. 
 
 b) Se um dos vetores de um conjunto é o vetor nulo então este conjunto é LD. 
 
 c) Se um conjunto é LD então qualquer conjunto que contém este também é LD. 
 
 d) Se um conjunto é LI então qualquer subconjunto deste também é LI. 
 
 
E2) Observe a figura abaixo e justifique cada afirmação 
 
 y 
2
 
 
 
 
3v
 
 
1v
 
 
4v
 
 
2v
 
 0 x 
 
 
 a) 0 é LD b) 
1v
 é LI c) 
2v
 e 
4v
 são LD d) 
1v
e 
2v
 são LI e) 
1v
, 
2v
 e 
3v
 são LD 
 
 f) 
1v
, 
2v
, 
3v
 e 
4v
 são LD 
 25 
 
 
 
E3) Observe a figura abaixo e justifique cada afirmação. 
 z 
 
5v
 
 
 
 
3v
 
 0 
 
1v
 
2v
 y 
 
 
4v
 
 x xoy 
 
 
 a) 0 é LD b) 
1v
 é LI c) 
3v
 e 
5v
 são LD d) 
1v
e
3v
 são LI e) 
1v
, 
2v
 e 
4v
 são LD 
 
 f) 
1v
, 
2v
 e v3 são LI g) 
1v
, 
2v
, 
3v
 e 
4v
 são LD h) 
1v
, 
2v
, 
3v
 , 
4v
 e 
5v
 são LD. 
 
 
 E4) Complete a tabela abaixo: 
 
 
 número de vetores LD LI 
 
 1 
 
 
2
 2 
 
 3 ou mais 
 
 1 
 
 
3
 2 
 
 3 
 
 4 ou mais 
 
 
E5) Verifique se os vetores são LI ou LD. 
 a)







13
20
v1
, 








12
01
v2
 e 





 

01
12
v3
 
 
 b)







00
01
v1
, 







00
12
v2
, 








01
23
v3
 e 





 

01
10
v4
 
 
 c)
1xv1 
, 
5x3x2v 22 
 e 
1x3xv 23 
 
 d)
x1v1 
, 
xv2 
 e 
2
3 xv 
 
 
 26 
8.3. RESPOSTAS 
 
E1) a) LD b)LD c) LI 
 
E5) a)LI b)LD c)LD d)LI 
 
 
 27 
 
9. BASE E DIMENSÃO 
9.1. INTRODUÇÃO 
 Nesta secção, estamos interessados em encontrar, dentro de um espaço vetorial V, os 
menores conjuntos finitos de vetores, tais que qualquer vetor de V seja combinação linear 
de um deles, isto é, queremos determinar os conjuntos com um número mínimo de vetores 
que gere V. Um conjunto com estas propriedades será denominado base do espaço vetorial 
V e o número de vetores desses conjuntos de dimensão de V. 
 
Exemplo: Com base na figura abaixo, determine um conjunto com o menor número de vetores que gere o
2
. 
Solução: Queremos determinar um conjunto de vetores que gere o 
2
e que tenha o menor número de 
 vetores escolhidos dentre 
1v
,
2v
,
3v
,
4v
e
5v
 . 
 a) Seja A o conjunto {
1v
,
2v
,
3v
,
4v
,
5v
}. A é LI ou LD ? ...... 
 
3v
 
2
 
 
1v
 Qual é o subespaço vetorial do 
2
, gerado por A? ................ 
 
4v
 
 
2v
 b) Construa um conjunto B, retirando um vetor do conjunto A 
 
5v
 
 B = {..... , ..... , ..... , ..... }. O conjunto B é LI ou LD ?..............Qual é o subespaço vetorial do 
2
, gerado pelo conjunto B? .............. 
 
 c) Construa um conjunto C, retirando um vetor do conjunto B. C = {..... , ..... , ..... }. 
 
 O conjunto C é LI ou LD ? ............. 
 
 Qual é o subespaço vetorial do 
2
, gerado pelo conjunto C? .................... 
 
d) Construa um conjunto D, retirando um vetor do conjunto C, de modo que o gerado continue sendo 
o 
2
. D = {..... , ..... }, 
 
 Este conjunto é LI ou LD ? ............ 
 
 Se for retirado um vetor do conjunto D, o gerado será o 
2
? ............ 
 
 Portanto, D é um conjunto com o menor número de vetores que gera o
2
. Note que dos conjuntos 
 considerados D é o único LI. 
 
 Um conjunto com estas propriedades, LI e que gera um espaço vetorial V, é denominado de base 
 
 de V. Portanto D é uma base do 
2
. 
 
 Apresente, a partir da figura acima, outra base do 
2
: E = {..... , ..... } 
 
 Quantas bases podemos construir com vetores do 
2
?......... 
 
 Quantos vetores tem uma base qualquer do 
2
?.......... 
 28 
9.2. BASE 
 
 Seja B = 
 n21 v,...v,v
um subconjunto de um espaço vetorial V. B é uma base de V, se: 
 a) B é LI; 
 b) B gera V. 
 
E1) Sejam os vetores v1 = (1,0), v2 = (-2,0) e v3 = (1,2). Verifique se B é uma base do 2 . 
 
 a) B = {
1v
} b) B = {
1v
,
2v
} c) B = {
1v
,
2v
,
3v
} d) B = {
1v
,
3v
} 
 
E2) Sejam os vetores 
)0,2,1(v1 
,
)1,1,0(v2 
,
)0,0,1(v3 
e
)1,1,1(v4 
.Verifique se B é uma base do 
3
. 
 
 a) B = {
1v
} b) B = {
1v
,
2v
} c) B = {
1v
,
2v
,
3v
} d) B = {
1v
,
2v
,
4v
} 
 
 e) B = {
1v
,
2v
,
3v
,
4v
} 
 
E3) Seja o conjunto B = {(1,-3,-2),(2,-1,1)}. 
 
 B é LI ou LD ?........... 
 
 B é uma base do 
3
? 
 
 Qual é o subespaço S do 
3
gerado por B ? S = ................................................... 
 
 Logo, B é uma base de .......... 
 
9.3. PROPRIEDADES 
 
1. Todo conjunto LI de vetores de um espaço vetorial é uma base do subespaço por ele gerado. 
 
 
E4) Seja o conjunto B do exercício E3 anterior. Se for acrescentado ao mesmo, um ou mais vetores de S , o 
 o conjunto resultante será LI ou LD? 
 
 
2. Se B = {
1v
,
2v
,...,
nv
} é uma base de um espaço vetorial V, então todo subconjunto de V com mais de 
 “n” vetores é LD. 
 
 
3. Se B = {
1v
,
2v
,...,
nv
} é uma base de um espaço vetorial V, qualquer vetor de V se escreve de modo 
único como combinação linear dos vetores de B, isto é, existe uma única n-upla (
n21 a,...,a,a
), tal que 
vva...vava nn2211 
. 
 
 
4. Todas as bases de um espaço vetorial V, têm o mesmo número de vetores. 
 
 
Exemplo: Qualquer base do 
2
 tem ........ vetores e qualquer base do 
3
 tem ........ vetores. 
 
 
 
 29 
 
9.4. DIMENSÃO DE UM ESPAÇO VETORIAL 
 
 A dimensão de um espaço vetorial V é o número de vetores de qualquer base de V. 
 
Exemplo: 
..........dim 2 
 e 
..........dim 3 
 
 
E5) Qual a dimensão do espaço vetorial S = 
 0zyx/)z,y,x( 3 
? 
 
Solução: Podemos escrever o vetor genérico de S em função de duas variáveis: v = ( x , y ,x + y ). 
 
 
 )z,y,x(
S 
)z,y,x(
( x , y , x + y.) 

)y,y,0()x,0,x()z,y,x( 
 
 
 
)1,1,0.(y)1,0,1.(x)z,y,x( 
(1) 
 
 Logo, qualquer vetor (x,y,z) de S é CL dos vetores v1=(1,0,1) e v2 =(0,1,1), isto é, o gerado pelos vetores 
 
v1 e v2 é o conjunto S . Além disso, como B = {v1,v2}é LI , B é uma base de S. Portanto, dim S = 2 ( B tem 
 
dois vetores). Na igualdade (1), pode-se observar que o número de vetores é igual ao número de variáveis. 
 
Então, podemos dizer que: 
 
 
A dimensão de um espaço vetorial V é igual ao número de variáveis livres do vetor genérico de V. 
 
 
Se a dimensão de um espaço vetorial V é n, então qualquer conjunto LI de “n” vetores de V é uma base de V. 
 
 
E6) Determine a dimensão e apresentar uma base para cada um dos subespaços: 
 
 a) 
4
1S 
 b) 
22 PS 
 c) 
1x23 MS 
 d) 
 x2y/)y,x(S 24 
 
 
 e) 
 0zyx2/)z,y,x(S 35 
 f) 














 0teyxz/M
tz
yx
S 2x26
 
E7)Determine a dimensão de cada um dos subespaços: 
 
 a) S1 = n b)S2 =
mxnM
 c) S3 =
nP
 
 
E8)Determine a dimensão e apresentar uma base para cada um dos subespaços: 
 
 a) 
5
1S 
 b) 
32 PS 
 c) 
2x23 MS 
 d) 
 xy/)y,x(S 24 
 
 
 e) 
 0z2yx/)z,y,x(S 35 
 f) 














 0texz/M
tz
yx
S 2x26
 
 
 
 
 
 
 30 
E9) Sejam os vetores 
1v







00
01
, 
2v







00
12
, 
3v








01
23
, 
4v





 

13
12
 e 








01
10
v5
 
 verifique se B é uma base de 
2x2M
. 
 
 a) B = {
1v
} b) B = {
1v
,
2v
} c) B = {
1v
,
2v
,
3v
} d) B = {
1v
,
2v
,
3v
,
4v
} 
 
 e)B = {
1v
,
2v
,
3v
,
4v
,
5v
} 
 
E10) Sejam os vetores 
1v
=
2x
, 
2v
=
2x1
, 
3v
=
x2 
, 
4v
=
2xx 
 verifique se B é uma base de 
2P
. 
 
 a) B = {
1v
} b) B = {
1v
,
2v
} c) B = {
1v
,
2v
,
3v
} d) B = {
1v
,
2v
,
3v
,
4v
} 
 
E11) Um certo espaço vetorial V é gerado por cinco vetores LD. O que pode ser dito sobre a dimensão de V? 
 
E12) Determine um vetor “u”, tal que B= {u,(1,0,2),(0,1,1)} seja uma base do 
3
. 
 
E13) Mostre que o conjunto solução de cada sistema abaixo é um subespaço vetorial e ache uma base para 
 cada um deles: 
 a) 





0tzyx
0tzyx
 b) 








0t3zy2x2
0tzyx
0t4z2yx 
 
E14)Dê um exemplo de um subespaço de 
2x2M
 de dimensão 3. 
 
E15)Encontre uma base para o 
 3
 que inclua: 
 
 a) (-1,2,0) b) (-1,2,0) e (1,0,3) 
 
9.5. RESPOSTAS 
 
E1) a) Não b) Não c) Não d) Sim 
 
E2) a) Não b) Não c) Sim d) Não e) Não 
 
E6) a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 2 f) 2 
 
E7) a) n b) mxn c) n + 1 
 
E8) a) 5 b) 4 c) 4 d) 1 e) 2 f) 2 
 
E9) a) Não b) Não c) Não d)Sim e) Não 
 
E10) a) Não b) Não c) Sim d) Não 
 
E11) dim V < 5 E12) Qualquer vetor do conjunto 
}0zyx2/)z,y,x{( 3 
 
 
 
 
 
 31 
10. COMPONENTES DE UM VETOR E MUDANÇA DE BASE 
 
10.1. INTRODUÇÃO 
 
 Existe uma estreita ligação entre a noção de base e a de um sistema de coordenadas. Por exemplo, no 
 2
, cada base representa um sistema de coordenadas, onde os vetores determinam a direção, sentido e 
unidade dos eixos OX e OY, respectivamente. Portanto, cada vetor do espaço pode ser escrito de forma única 
como combinação linear dos vetores da base. 
 
 
10.2. COMPONENTES DE UM VETOR 
 
 Seja B = {
n21 v,...,v,v
} uma base de um espaço vetorial V.
v
 V,
nn2211 va...vavav 
. 
Os reais 
n21 a,...,a,a
 são chamados de componentes ou coordenadas de 
v
 na base B e se representa por 
)a,...,a,a(v n21B 
. 
Notação matricial:















n
2
1
B
a
:
a
a
v . 
 
 
E1) Sejam as bases A = {
)1,0(v),0,1(v 21 
} e B = {
)3,1(u),0,2(u 21 
} do 
2
 e o vetor 
)6,8(v 
. 
 Determine 
Av
 e 
Bv
. 
 
E2) Considere o exercício E1 e apresente, nos gráficos abaixo, as representações do vetor 
v
nas bases 
 
 A={v1,v2} e B={u1,u2}. 
 
 y y y’ 
 
 
 v v 
 
 
 
2u
 
 
2v
 
 
 0 
1v
 x 0 
1u
 x’ x 
 
 v = ......v1 + .....v2 

 vA= (..... , ..... ) v = ......u1 + .....u2 

 vB= (..... , ..... ) 
 
10.3. MUDANÇA DE BASE 
 
Como a cada base, corresponde um sistema de coordenadas, realizar uma mudança de base, é substituir o 
sistema de coordenadas por outro, isto é, é substituir as componentes de um vetor do espaço em relação ao 
primeiro sistema pelas componentes do mesmo vetor do espaço em relação ao outro. 
 
 
 32 
E2) Sejam A = {v1= (-1,2),v2= (3,-1)} e B = {u1= (1,-1),u2= (2,0)} bases do 2 . Calcule
Bv
, sabendo que 
 
)3,4(vA 
. 
 
Se vA = (a1,a2) 

 
 2211 vavav
 
)1,3.(3)2,1.(4v 

v =














3
4
12
31
 v = AvA (1) 
 
Se vB = (b1,b2) 

 
 2211 ububv  )0,2.(b)1,1.(bv 21
 v =












 2
1
b
b
01
21 
v = BvB (2) 
 
De (1) e (2) , AvA. = BvB que é a relação entre vetores nas bases A e B. 
 
 
 Da relação acima, 
ABv 1B

vA e 
BAv 1A

vB , onde: 
 
 -
A1B
 é denominada matriz mudança de base de A para B e é representada por 
A
BM
. 
 -
BA 1
 é denominada matriz mudança de base de B para A e é representada por 
B
AM
. 
 
 
Retornando o exercício E2: 
 









 
 
2
1
2
1
10
.ABM 1AB


















1
2
1
12
12
31
 logo
Bv
=
A
BM
.vA





















 

5
5
3
4
1
2
1
12 
 
 vB= (-5,5) 
 
Interpretação gráfica: 
 
v
 
 
 
 
A
BM
 
 
Av
 
Bv
 
E3) Sabendo que A = {(1,2),(-3,-5)} e B = {(1,1),(1,0)} são base do 
2
, determine: 
 
 a)
Bv
, sabendo que 
)1,1(vA 
 b) 
Av
, sabendo que 
)1,2(vB 
 
 
E4) Mostre que as matrizes 
A
BM
e 
B
AM
são inversas. 
 
E5) Se 









51
90
MAB
 e B = {(1,-2),(-2,3)}, determine a base A. 
E6) Se 












101
110
011
MBA
 e 











3
2
1
v B
, determine 
Av
. 
 
E7) Se A é uma base de um espaço vetorial de dimensão n, qual é a matriz mudança de 
 base de A para A. 
 33 
E8) Considere as bases 
}
1
6
1
v,
1
2
3
v,
1
0
1
v{A 321




































 e 
}
0
3
2
u,
1
3
2
u,
0
1
1
u{B 321

































 do 
 espaço 
1x3M
. 
 a)Determine a 
A
BM
. b) Se 













5
8
5
W
 calcular 
BW
. 
 
E9) Considere as bases 
}x23p,x34p{A 21 
 e 
}3x2q,2xq{B 21 
 
a) Determinar a matriz 
A
BM
. 
b) Calcular 
Ap
, onde 
4xp 
 
c) Use a matriz mudança de base para encontrar 
Bp
 
d) Calcular a matriz 
B
AM
 
e) Com o resultado de “c” e de “d”, calcule 
Ap
. 
 
E10) Os sistemas xOy e x’Oy’ da figura ao lado são definidos pelas bases y x’ 
 a 
S={(1,0),(0,1)} e P = {u1= 

















2
1
,
2
3
u,
2
3
,
2
1
2
 }, y’ 2 vS 
respectivamente. Utilizando a matriz u2 u1 
 4 x 
mudança de base, determine: 
 b 
a) vP = (a,b), sendo vS = (4,2) 
 
b) vS, sendo vP = (4,2 ) 
 
 
10.4. RESPOSTAS 
 
 E1) vA= (8,6) e vB= (3,2) 
 
 E2) vB= (-5,5) 
 
E3) a) vB=(-7,3) b) vA=(1,0) 
 
E5) A={(2,-3),(1,3)} 
 
E6) vA=(1,1,-4) 
 
E7) In 
 
E8) a) 














662
111
9133
M AB
 b) WB=












18
5
31 
 E9) a) 








710