Relatorio MOVIMENTO DE TRANSLAÇÃO DE UM SISTEMA FORMADO POR DUAS MASSAS CONECTADAS POR UM FIO INEXTENSÍVEL

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE FÍSICA
LABORATÓRIO DE FÍSICA 1
EXPERIMENTO 5: MOVIMENTO DE TRANSLAÇÃO DE UM SISTEMA FORMADO POR DUAS MASSAS CONECTADAS POR UM FIO INEXTENSÍVEL
ACADÊMICOS: 	FERNANDA KURODA 			RA: 95607	
				POLYANNA THAMYRES		RA: 95616
TURMA: 06 – ENGENHARIA CIVIL 				PROFESSOR: IVAIR
MARINGÁ/2015
Resumo
O experimento tem como finalidade aplicar as leis de Newton para o movimento, tais leis explicam interações entre corpos e aborda os movimentos, o qual é executado e estudado neste experimento foi o movimento de translação, baseando-se nos conceitos de força e massa. Para isso, é utilizado um trilho de ar cronometrado da marca Azeheb com precisão de 0,01s, onde se analisa a aceleração de um sistema formado por duas massas conectadas por um fio inextensível que passa por uma roldana. Após o experimento, aplicando as leis de Newton, pode-se encontrar a relação entre a força e a aceleração do sistema, a massa. [1]
 
Introdução
As Leis de Newton constituíram na história da ciência, um marco conceitual de extrema importância, pois alterou a concepção de mundo da humanidade dando uma explicação universal e contundente para os movimentos dos corpos. Galileu iniciou a revolução científica, acompanhado, entre outros, de Kepler, Copérnico, Descartes, Halley. Porém Newton é que realizou o “fechamento” das ideias anteriormente desconectadas. [2]
1ª. Lei de Newton: “Todo corpo permanece em repouso ou em movimento retilíneo e uniforme, a menos que seja obrigado a modificar seu estado pela ação de forças impressas a ele”.
2ª. Lei de Newton: “A aceleração de um corpo em movimento é diretamente proporcional a resultante das forças que atuam sobre ele e inversamente proporcional a sua massa”
3ª. Lei de Newton: “A toda ação corresponde uma reação igual e oposta, ou, as ações mútuas de dois corpos entre si são sempre dirigidas em uma mesma direção, mas em sentidos contrários”.
As leis de Newton são válidas apenas em referencias inerciais (aceleração nula). [1]
Objetivos
O objetivo deste experimento é aplicar as leis de Newton, principalmente, determinando a relação entre a aceleração e a força resultante que atua em um sistema via gráfico e aplicação da teoria de erros.
Fundamentação teórica
No experimento realizado, a partícula deslizou sobre uma camada de ar que escapa através de orifícios, produzindo um “colchão de gás” sobre o qual o carrinho flutua, como um aerobarco, tornando muito pequeno o efeito do atrito. Nessas condições, podemos verificar aproximadamente a lei da inércia (1ª. Lei). Ademais, o corpo inicialmente se encontra em repouso e tende a ficar em repouso como diz a primeira lei, pois a força exercida pela superfície sobre o corpo (trilho de ar), a força normal, tem o módulo igual da força peso e como estão atuando em sentidos opostos, elas se anularão.
Uma das implicações da 1ª. Lei é que qualquer variação de velocidade v de um corpo (em módulo ou direção) em relação a um referencia inercial, ou seja, qualquer aceleração diferente de zero deve estar associada à ação de forças. Isto sugere procurar uma relação mais precisa entre força e aceleração. Assim, empiricamente, encontrou-se a 2ª. Lei de Newton [3]:
	(1)
Onde o coeficiente da inercia m associado à partícula sobre a qual age a força F chama-se massa inercial dessa partícula.
Portanto, aplicando a 2ª. Lei de Newton, podemos encontrar a força-peso, a qual atua sobre um corpo na vizinhança da superfície da Terra devido à atração gravitacional por ela exercida sobre o corpo que é: 
					 (2)
Onde m é a massa inercial do corpo e g a aceleração da gravidade, vertical, dirigida para baixo e de magnitude g. [3]
A 3ª. Lei de Newton pode ser observada nas forças de trações exercidas no sistema, já que estas possuem uma mesma intensidade e direção, mas, sentidos opostos. A lei é aplicada nos pares carrinho-fio inextensível e fio inextensível-massa suspensa.
Para melhor entendimento, a figura abaixo esquematiza o sistema do experimento:
	
Figura 1 – Desenho esquemático indicando as forças que atuam no sistema. N força normal; P., força peso referente à massa suspensa; T força tração; x e y sistema de coordenadas cartesianas. [1]
Além disso, para a interpretação dos resultados, como serão calculadas várias medidas, é necessário tirar a média das medidas (que será o valor mais provável da medida) e calcular o desvio, neste caso, chamado desvio padrão. 
Uma vez que todas as medidas foram obtidas da mesma forma (com as mesmas condições), o peso atribuído a cada medida será o mesmo. Portanto, a média que utilizaremos será uma média aritmética simples: 
	(3)
Onde n correspondente ao número total de medidas realizadas.
OBS: a barra horizontal sobre a grandeza x indica valor médio e o símbolo Σ significa somatório.
O desvio padrão (σ) atribuído à medida de uma dada grandeza é uma dispersão estatística. Este informa o quanto de variação ou dispersão existe em relação à média ou o valor esperado da medida, e é dado por:
	 (4)
Onde i corresponde a i-ésima medida e n o número total de medidas realizadas.
Como serão calculadas indiretamente algumas medidas, para obter o desvio de medidas indiretas, quando tivermos uma multiplicação ou divisão, aplica-se logaritmo neperiano (ln) em ambos os lados da equação e considera-se que:
 	(5)
Sendo x a grandeza envolvida. 
Ademais, para a confecção do gráfico, é necessário determinar a escala do gráfico no papel milimetrado. Para definir a escala, utiliza-se a equação:
			 (6)
Como será trabalhado com dados experimentais, nem todos os pontos de um gráfico ficam alinhados completamente, assim para um melhor resultado quando o gráfico é linear, utiliza-se o método dos mínimos quadrados para ajustar esta reta (regressão linear). Neste método considera-se a seguinte equação da reta:
					(7)					 
Onde o coeficiente linear (a) é dado por:
					(8)			
E o coeficiente angular (b) é dado por:
 	(9)
E para relacionar matematicamente, os dados do eixo das ordenadas (y) com os da abcissa (x) escreve-se a variável dependente (y) em função da independente (x) temos . Substituindo por um sinal de igualdade e uma constante de proporcionalidade (C):
				(10) [1]
Desenvolvimento Experimental
Materiais utilizados
1 trilho de ar Azeheb;
1 compressor de ar Azeheb;
1 cronômetro digital Azeheb com precisão de 0,01s;
1 carrinho;
1 eletroímã Azeheb;
5 sensores fotoelétricos de tempo;
Chave liga-desliga;
Fio inextensível;
Roldana 
6 massas (discos metálicos de diferentes massas)
1 trena Bellota com precisão de 1mm;
1 nível Lufkin;
Balança digital da marca bel com precisão de 1g; [1]
Montagem Experimental
Figura 2.1 – Figura esquemática ilustrando o equipamento utilizado no experimento ( I ao VII)
Na figura 2.1 temos:
1 trilho de ar Azeheb;
1 compressor de ar Azeheb;
1 cronômetro digital Azeheb com precisão de 0,01s;
1 carrinho;
1 eletroímã Azeheb;
5 sensores fotoelétricos de tempo;
Chave liga-desliga;
Figura 2.2 - Figura esquemática ilustrando o equipamento utilizado no experimento (VIII ao XIII)
	Na figura 2.2 temos:
Fio inextensível;
Roldana 
6 massas (discos metálicos de diferentes massas)
1 trena Bellota com precisão de 1mm;
1 nível Lufkin;
Balança digital da marca bel com precisão de 1g; [1]
Descrição do experimento
O experimento consiste em analisar a aceleração a de um sistema formado por massas unidas por um fio (de massa desprezível) que passa por uma roldana. Uma das massas, ms (massa suspensa), se move na direção vertical e outra, Mc (massa do carrinho) na direção horizontal. Utiliza-se o aparato experimental ilustrado na figura:
Figura 3 - Figura esquemática ilustrando o equipamento utilizado no experimento (Figura elaborada pelo Prof. Arlindo Antonio Savi). [1]
Antes de fazermos qualquer medida devemos considerar algumas informações especiaisque influenciam as medidas, as quais são: 
1- Quando queremos determinar experimentalmente a relação matemática entre duas grandezas de um sistema, elas devem ser variadas de tal forma que todas as outras grandezas permaneçam constantes. 
2- Neste caso, estamos estudando um sistema composto do corpo de massa Mc, (carrinho) e massa suspensa ms, portanto a massa do sistema é Mc + ms. 
3- Se variarmos apenas ms, a aceleração varia, a força resultante varia e a massa do sistema também varia (o que contraria a nossa primeira consideração). 
4- Este problema experimental pode ser solucionado se alterarmos simultaneamente da mesma quantidade os valores de Mc e ms. À medida que aumentamos ms diminuímos Mc, (massa do carrinho) da mesma quantidade, ou seja, mantemos a massa do sistema constante. Note que alterando apenas Mc a força resultante não muda.
	Primeiramente, considerando as observações especiais, selecionou-se 6 discos metálicos enumerando cada um separadamente, e posteriormente, aferindo o valor de cada uma delas. Também, mediu-se a massa do carrinho e o fixou com o eletroímã ligando o cronômetro e mantendo o botão seletor do controle do eletroímã na posição LIGA.
	Após isso, com o auxílio do nível, nivelou-se o trilho. E com a trena, posicionaram-se os sensores de tempo a uma distância de 15 cm cada um, sendo o primeiro sensor próximo ao carrinho de modo que ao ser liberado acione imediatamente o cronômetro, garantindo que a velocidade inicial seja nula na posição inicial (S0) e no tempo inicial (to); e o último sensor foi posicionado a uma distância assegurando que o carrinho tenha passado por ele, antes de atingir o final do trilho onde se encontra a roldana. Nessa extremidade, a um suporte com elástico para evitar danos aos equipamentos. 
Foi fixado uma das extremidades do fio no carrinho e passado pela roldana que se situa na extremidade oposta do eletroímã e foi amarrada a outra extremidade do fio as massas, a qual ficará suspensa. Posteriormente, foi deslocada a extremidade do trilho, onde se encontra a roldana, em direção à borda da mesa, tal que as massas suspensas pelo fio possam percorrer livremente a trajetória vertical, enquanto o carrinho percorre a trajetória na horizontal ao longo do trilho. Também foi controlado o comprimento do fio, para que a massa suspensa não atinja o solo antes que o móvel percorra toda a sua trajetória no trilho de ar. 
Iniciando o experimento, ligou-se o compressor de ar e posicionou-se o fluxo de ar em sua potência máxima, logo em seguida, foi selecionada a função F1 no cronômetro e fixado o móvel na extremidade inicial, ligando o eletroímã na sua máxima intensidade, para que ao colocar as massas no suporte este se mantenha fixo, sem se mover. Colocou-se 100g no carrinho e aproximadamente 30g na extremidade do fio, tal que este fique na posição vertical em relação ao móvel, e sem nenhuma oscilação, foi liberado o carrinho e anotado o tempo necessário para percorrer a distância ΔS nos 5 sensores que estavam a uma distância de 15cm cada um. Para minimizar os erros aleatórios foi repetido 5 vezes, e anotado os dados na tabela. E para cada medida, foi zerado o cronômetro.
Assim, foi retirado cerca de 30g da extremidade do fio e foi passado para cima do móvel, de modo que a massa “suspensa” é a soma de ambos, anotou-se o valor na tabela e o tempo que o carrinho leva para percorrer a distância ΔS, foi repetido 5 vezes e anotado os dados na tabela. O procedimento se repetiu para os demais corpos, até que restou 30g na extremidade do fio, lembrando-se de que a massa ms é a soma das massas de todos os corpos suspensos. Ao passar a massa sobre o carrinho, foi distribuindo-os de forma equilibrada em cada lado do carrinho. Além disso, foi anotado também a massa total do sistema Mc+ms e a distância ΔS, os quais devem ser mantidos constantes durante todo o experimento. [1]
Dados obtidos experimentalmente 
A Tabela 1.1 apresenta os dados das massas individuais (devidamente enumeradas) e do carrinho com seus respectivos desvios.
Tabela 1.1 – Massa do sistema
	Disco 1
	(50,85±0,1)g
	Disco 2
	(20,20±0,1)g
	Disco 3
	(20,20±0,1)g
	Disco 4
	(20,30±0,1)g
	Disco 5
	(10,20±0,1)g
	Disco 6
	(9,25±0,1)g
	Carrinho
	(213,95±0,1)g
A Tabela 1.2 apresenta os dados experimentais obtidos com a variação da massa suspensa ms (utilizando os dados da tabela 1.1) tal que a massa total do sistema permaneça constante. Conforme o valor da massa suspensa varia, ocorre uma variação do tempo de percurso no intervalo ΔS fixo que é a trajetória percorrida pelo móvel. Sendo t o tempo captado pelo sensor quando o móvel passa por ele e registrado pelo cronômetro, este é repetido 5 vezes (t1, t2, t3, t4,t5) para cada conjunto de massa suspensa ms.
Tabela 1.2 – dados experimentais com a massa total do sistema constante. Massa suspensa e tempos aferidos, com seus respectivos desvios.
	
	S = (15±0,05)cm
	(ms ±0,1)g
	(T1±0, 001)s
	(T2±0, 001)s
	(T3±0, 001)s
	(T4±0, 001)s
	(T5±0, 001)s
	30,05
	0,513
	0,508
	0,507
	0,518
	0,502
	60,90
	0,361
	0,358
	0,353
	0,356
	0,354
	91,15
	0,292
	0,295
	0,295
	0,291
	0,242
	121,4
	0,256
	0,258
	0,264
	0,253
	0,278
	
	S = (30±0,05)cm
	(ms ±0,1)g
	(T1±0, 001)s
	(T2±0, 001)s
	(T3±0, 001)s
	(T4±0, 001)s
	(T5±0, 001)s
	30,05
	0,764
	0,757
	0,757
	0,767
	0,751
	60,90
	0,538
	0,534
	0,529
	0,531
	0,529
	91,15
	0,435
	0,439
	0,438
	0,434
	0,435
	121,4
	0,380
	0,382
	0,392
	0,378
	0,372
	
	S = (45±0,05)cm
	(ms ±0,1)g
	(T1±0, 001)s
	(T2±0, 001)s
	(T3±0, 001)s
	(T4±0, 001)s
	(T5±0, 001)s
	30,05
	0,953
	0,945
	0,945
	0,956
	0,939
	60,90
	0,671
	0,666
	0,661
	0,664
	0,662
	91,15
	0,543
	0,547
	0,547
	0,542
	0,543
	121,4
	0,474
	0,476
	0,489
	0,472
	0,466
	
	S =(60±0,05)cm
	(ms ±0,1)g
	(T1±0, 001)s
	(T2±0, 001)s
	(T3±0, 001)s
	(T4±0, 001)s
	(T5±0, 001)s
	30,05
	1,117
	1,109
	1,108
	1,119
	1,102
	60,90
	0,787
	0,781
	0,776
	0,778
	0,776
	91,15
	0,631
	0,641
	0,641
	0,636
	0,637
	121,4
	0,555
	0,557
	0,579
	0,553
	0,547
Interpretação dos resultados
Utilizando os dados da tabela 1.1 e 1.2 e as equações (3) e (4), calcularam-se os valores dos tempos médios e seus respectivos desvios. 
Posteriormente, calculou-se a força resultante no sistema para cada massa com auxilio das equações (1) e (2). A força resultante é dada pela força peso (, foi utilizado para g o seu valor exato de 980,665cm/s2). Obteve-se também a expressão para o desvio da força resultante através da equação (5), para representar seu valor com o desvio na tabela 2.1. Calculando o desvio da força: 
Onde é o desvio, f a força e m a massa suspensa. Como neste caso a aceleração é a própria gravidade, e sendo esta um número dotado como exato, seu desvio é nulo.
Foi utilizada a relação entre espaço e tempo (equação horaria do movimento) para uma força constante atuando no sistema, lembrando que , determinou-se também a expressão para o desvio da aceleração com a equação (5), para se obter seu valor e representar o resultado da aceleração com o desvio na tabela 2.1. Calculando o desvio da aceleração:
Onde é o desvio, a a aceleração, tm o tempo médio e s o espaço percorrido.
Tabela 2.1 – Dados finais para interpretação referentes a tabela 1.2. 
	
	S=(15±0,05)cm
	
	
	
	(ms±0,1)g
	F=P (dinas)
	(s)
	a()
	30,05
	29.468,98±98,07
	0,5096±0,0055
	115,52±2,88
	60,90
	59.722,49±98,07
	0,3564±0,0029
	236,18±4,63
	91,15
	89.387,61±98,07
	0,2930±0,0017
	349,45±5,22
	121,4
	121.052,73±98,07
	0,2558±0,0053
	458,48±20,53
	
	S=(30±0,05)cm
	
	
	
	(ms±0,1)g
	F=P (dinas)
	(s)
	a()
	30,05
	29.468,98±98,07
	0,7592±0,0057
	104,10±1,74
	60,90
	59.722,49±98,07
	0,5322±0,0034
	211,84±3,10
	91,15
	89.387,61±98,07
	0,4362±0,0019
	315,34±3,27
	121,4
	121.052,73±98,07
	0,3808±0,0065
	413,79±14,82S=(45±0,05)cm
	
	
	
	(ms±0,1)g
	F=P (dinas)
	(s)
	a()
	30,05
	29.468,98±98,07
	0,9476±0,0061
	100,23±1,40
	60,90
	59.722,49±98,07
	0,6648±0,0035
	203,64±2,37
	91,15
	89.387,61±98,07
	0,5444±0,0022
	303,67±2,80
	121,4
	121.052,73±98,07
	0,4754±0,0076
	398,22±13,18
	
	S=(60±0,05)cm
	
	
	
	(ms±0,1)g
	F=P (dinas)
	(s)
	a()
	30,05
	29.468,98±98,07
	1,111±0,0062
	97,22±1,17
	60,90
	59.722,49±98,07
	0,7796±0,0041
	197,44±2,24
	91,15
	89.387,61±98,07
	0,6384±0,0022
	294,44±2,27
	121,4
	121.052,73±98,07
	0,5572±0,0090
	386,51±12,81
	
Para representar visualmente a relação entre a aceleração e a força resultante do sistema, foi confeccionado o gráfico F x a no papel milimetrado, no qual F(dinas) está no eixo y e a(cm/s²) pertence ao eixo x. Primeiramente, com o auxílio da equação (6), foi realizada a escala de cada gráfico. Com os dados da tabela 2.1, encontrou-se os pontos no gráfico e para um melhor resultado, utilizou-se a equação (7), (8) e (9) para ajustar a reta com a ajuda da calculadora.
Tabela 2.2 – Ajuste da reta 
	(S±0,05)cm
	Equação da reta
	15
	
	30
	
	45
	
	60
	
(ANEXADO AO RELATÓRIO)
Figura 4 – Gráfico de F x a.
	Depois de feito o gráfico, foi obtido, através dos dados extraídos do mesmo, a relação entre F x a. Com o auxilio da equação (10), fez-se uma análise dimensional da relação e foi visto que a constante de proporcionalidade (C) tem a dimensão [M], que neste sistema representa a grandeza física g (gramas). Ou seja, a tangente do gráfico é numericamente igual à massa total do sistema.
Aplicando as unidades utilizadas no experimento:
Pelo gráfico, como o eixo x é a aceleração e o eixo y a força, ao fazer a tangente da reta, tem-se:
Tabela 2.3 – Tangente da reta
	(S±0,05)cm
	Tangente da reta=(massa±0,1)g
	15
	
	30
	
	45
	
	60
	
 	 
Análise (discussão) dos resultados
Primeiramente, os tempos médios obtidos no experimento foram satisfatórios, já que se anotaram todas as casas decimais após a vírgula do cronômetro e seu respectivo desvio, além disso, foram feitas cinco medidas a fim de diminuir a incidência de erros. Entretanto, como o instrumento possui uma incerteza de 0,001s, ou seja, o último algarismo pode sofrer variações, houve pequenas falhas na precisão do tempo. Em relação à grandeza comprimento, foi utilizada uma trena a qual possui uma incerteza de 0,05cm, podendo este valor afetar nos dados calculados.
Os resultados adquiridos para as medidas indiretas, a força e a aceleração, ficaram suscetíveis a vários erros por conta das incertezas do instrumento. No caso da força, os resultados foram como o esperado já que só havia uma medida com desvio, a massa, pois a balança utilizada possuía um desvio de 0,1g. Em relação a aceleração, houve maiores desvios, principalmente quando a massa suspensa tinha um maior valor que a massa no carrinho, uma vez que a equação para encontrar a aceleração possui 2 medidas com desvio, o espaço e o tempo. 
Ao realizar o gráfico com auxílio da tabela 2.1, observou-se que os pontos não estão totalmente alinhados com a equação da reta da tabela 2.2. Contudo, a reta fica bem próxima aos pontos, em alguns casos, a reta inclusive passou pelos pontos. 
Ao analisar os resultados da tabela 2.3, verifica-se que os valores tendem a se aproximar da massa total do sistema que é dada como Mc+ms=213,95+131g=344,95g de acordo com os dados da tabela 1.1. Sendo isto, o que o experimento tinha como objetivo, a relação entre a força (eixo y) e a aceleração (eixo x) resultando na massa total do sistema, como descreve a segunda lei de Newton. Percebe-se que os primeiros valores da tangente estão longe do esperado, esta discrepância pode ser explicada devido ao desvio dos instrumentos ou até mesmo algum erro na hora de calcular as medidas.
Conclusões 
Pode-se inserir que o experimento foi satisfatório, uma vez que se pode aplicar as leis de Newton no experimento e obter o resultado esperado, analisando e calculando os dados adquiridos.
Como expõe a primeira lei de Newton, o carrinho inicialmente estava parado, no momento que se aplicou uma força externa, exercida pela massa suspensa, modificou-se a tendência do corpo ficar em repouso para um movimento retilíneo uniformemente variado. Aplicando a segunda e a terceira lei de Newton no sistema e com o auxílio da equação horária do movimento, encontrou-se a força resultante. Ao fazer a análise dimensional da constante de proporcionalidade entre a força e a aceleração, juntamente com os dados postos no gráfico F x a e feito à teoria de erros, foi encontrado a massa do sistema.
Logo, ao aplicar as leis de Newton, principalmente, determinando a relação entre a aceleração e a força resultante que atua em um sistema via gráfico e aplicação da teoria de erros, o objetivo do experimento foi atingido.
Referencia Bibliográfica
[1]	Manual de Laboratório – Física Experimental I – Hatsumi Mukai e Paulo R.G Fernandes – 2015;
[2]	site: http://crv.educacao.mg.gov.br/sistema_crv/documentos/op/em/fisica/2010-08/op-em-fs-26.pdf, página visitada em 07/2015;
[3] H. Moysés Nussenzveig, Curso de física Básica – 1 – Mecânica; Editora Edgar Blucher Ltda, 3 edição, 1981.