Retas e Planos_2016_2.pdf

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE DE CAXIAS DO SUL - CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TECNOLOGIA 
DISCIPLINA: GEOMETRIA ANALÍTICA – MAT0358 
PROFESSORES: ADRIANA ADAMI, JULIANA DOTTO E MONICA SCOTTI. 
RETAS E PLANOS EM R3 
 
Nesta Atividade, é proposto o estudo à das equações de retas e planos em R3. O conteúdo encontra-se nas 
páginas indicadas e somente alguns tópicos primordiais foram selecionados. Um Fórum será aberto para 
discussão e resolução de dúvidas. O conteúdo fará parte da segunda avaliação parcial. 
Orientações: realize a leitura atenta do material e execute as tarefas indicadas. Na aula do dia 16/05, 
faremos uma breve discussão dos tópicos aqui tratados. É de extrema importância que a atividade esteja 
concluída nesta data. 
 
1) ESTUDO DA RETA EM R3 (P. 805) 
Um conjunto de infinitos pontos alinhados forma uma reta em R3. 
Você já estudou retas em R2 e sabe que os pontos que as formam são descritos por equações do primeiro 
grau. Por exemplo, quando precisamos representar uma reta descrita pela equação 2 3y x= − sabemos que se 
trata de uma reta crescente, pois seu coeficiente angular é 2, e podemos identificar o ponto onde a reta 
intercepta o eixo das ordenadas: (0, - 3). 
 Ou seja, temos uma informação sobre a direção da reta e um ponto da mesma, apenas observando 
sua equação reduzida. De maneira geral, uma reta pode ser representada, na forma reduzida, pela equação 
y mx b= + . 
 Pensando da mesma forma, uma reta em R3 deve ser definida pela sua direção (que será dada por 
um vetor) e por um ponto da mesma. 
 Seja a reta r da figura 11.5.1, da página 806. Os infinitos pontos que formam essa reta podem ser 
representados por ( ), ,P x y z . Observe que o vetor v
�
, que fornece a direção da reta, é paralelo ao vetor 
0P P
����
, obtido fazendo 
( ) ( )0 0 0 0 0 0 0 0, , , , , ,P P P P x y z x y z x x y y z z= − = − = − − −
����
. 
 Assim, v
�
// 0P P
����
, ou seja, v
�
 é múltiplo de 0P P
����
 e, por esse motivo, podemos escrever 0P P t= v
���� �
, 
com t ∈ R. Supondo que o vetor v
�
 pode ser dado por , ,a b c=v
�
, temos: 
0 0 0 0 0 0, , , , , , , ,x x y y z z t a b c x x y y z z at bt ct− − − = ⇒ − − − = 
 
De onde podemos concluir: 
0 0
0 0
0 0
;
x x at x x at
y y bt y y bt t
z z ct z z ct
− = = + 
 
− = ⇒ = + ∈ 
 − = = + 
R 
que representa uma reta no espaço tridimensional, ou seja, é um conjunto de equações de reta na forma 
paramétrica (recebem esse nome em função da dependência do parâmetro t, que pode assumir qualquer 
valor real). 
Exemplo 1) A reta r passa por ( )1, 1,4A − e tem a direção de 2,3,2=v , tem a equação vetorial: 
0 1, 1, 4 2 ,3 ,2P P t AP t P A t x y z t t t= ⇒ = ⇒ − = ⇒ − + − =v v v
���� ����
 
que fornece as equações paramétricas: 
 
1 2 1 2
1 3 1 3 ;
4 2 4 2
x t x t
y t y t t
z t z t
− = = + 
 
+ = ⇒ = − + ∈ 
 − = = + 
R. 
 
Para determinar outros pontos dessa reta basta atribuir valores para t. Observe alguns pontos na figura 
abaixo: 
 
 
Existem outras formas de apresentar uma equação de reta, reorganizando seus termos e equações. 
Por exemplo, se organizarmos as equações de forma que t fique isolado em todas elas podemos escrever: 
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct
= +

= + ⇒
 = +
0
0 0 0 0
0
x x
t
a
y y x x y y z z
t
b a b c
z z
t
c
−
=
− − − −
= ⇒ = =
−
=
 
As equações 0 0 0
x x y y z z
a b c
− − −
= = são chamadas equações simétricas da reta e não dependem do 
parâmetro t. Tal modelo de equações da reta aparece nos exercícios 52, 53 e 54 dessa seção. 
 Para o exemplo acima, as equações simétricas podem ser: 
1 1 4
2 3 2
x y z− + −
= = . 
 
 Ainda, é possível expressar y e z em função de x. No exemplo, podemos fazer: 
( ) ( )1 1 3 52 1 3 1 2 2 3 3
2 3 2 2
x y
y x y x y x
− +
= ⇒ + = − ⇒ + = − ⇒ = − 
1 4
4 1 3
2 2
x z
z x z x
− −
= ⇒ − = − ⇒ = + 
Assim, teremos as equações 
3 5
2 2
3
y x
z x
 = −

 = +
, chamadas de equações reduzidas da reta, que podem ser 
escritas, de maneira geral, na forma 
y mx n
z px q
= +

= +
. 
Note que 
b
m
a
= e 
c
p
a
= , lembrando que , ,a b c é o vetor diretor da reta. 
 
Exemplo 2) Encontre as equações reduzidas da reta gerada pelo vetor 1, 4,3− e que passa pelo ponto: 
a) ( )0,0,0 b) ( )1,1,5− 
Podemos obter as equações reduzidas observando que 
4
4
1
b
m
a
= = − = − e 
3
3
1
c
p
a
= = = . Assim, as 
equações procuradas são da forma: 
4
3
y x n
z x q
= − +

= +
. Observe que o vetor diretor fornece as relações 
4 e 3y x z x= − = , faltando determinar os coeficientes e n q . 
 Em (a), a reta contém a origem e, portanto, 0n q= = . Veja: 
substituindo o ponto (0,0,0)4 0 4.0 0y x m m m= − + → = − + ⇒ = 
substituindo o ponto (0,0,0)3 0 3.0 0z x q q q= + → = + ⇒ = 
Portanto, temos as equações reduzidas da reta 
4
3
y x
z x
= −

=
. 
 Em (b), procedendo da mesma forma, encontramos: 
( )substituindo o ponto (-1,1,5)4 1 4. 1 3y x m m m= − + → = − − + ⇒ = − 
( )substituindo o ponto (-1,1,5)3 5 3. 1 8z x q q q= + → = − + ⇒ = 
Portanto, temos as equações reduzidas da reta 
4 3
3 8
y x
z x
= − −

= +
. 
 
Tarefa: 
• Estude os exemplos 1, 2 e 3 da página 806. 
• Resolva os exercícios 19, 21, 25, 29, 31 e 33 da página 810, e verifique se estão corretos. 
• Resolva os exercícios 20, 26, 30, 32 e 34 para discussão no Fórum. 
 
 
 
 
 
 
2) ESTUDO DO PLANO EM R3 (P. 813) 
Seja um ponto ( )0 0 0, ,A x y z que pertencente a um plano π. Para cada ponto desconhecido desse 
plano ( ), ,P x y z por exemplo, devemos ter o vetor AP
����
 ortogonal ao vetor n, que é chamado de vetor 
normal ao plano e dado por , ,a b c=n . Assim: 
 
0 0 0. 0 , , . , , 0AP AP x x y y z z a b c⊥ ⇒ = ⇒ − − − =n n
���� ����
 
De onde obtemos a equação: 
( ) ( ) ( )
( )
0 0 0
0 0 0
0
0
0
d
a x x b y y c z z
ax by cz ax by cz
ax by cz d
− + − + − =
+ + + − − − =
+ + + =
���������
 
que é a equação geral do plano π. 
 
Exemplo 3) Encontre a equação geral do plano que passa pelo ponto ( )1, 1,2− e é ortogonal ao vetor 2,3,4 . 
Se 2,3,4=n , temos a equação 0 2 3 4 0ax by cz d x y z d+ + + = ⇒ + + + = . Para determinar o valor 
do parâmetro d, usamos o ponto do plano: 
( ) ( ) ( )2 3 4 0 2 1 3 1 4 2 0 7x y z d d d+ + + = ⇒ + − + + = ⇒ = − 
e, assim, teremos a equação geral do plano: 
 2 3 4 7 0x y z+ + − = . 
 
Observações: 
1) Qualquer vetor , 0,k k ≠n também é um vetor normal ao plano π. 
2) É importante notar que os coeficientes a, b, e c que aparecem na equação representam as componentes de 
um vetor normal ao plano. 
3) Para obter pontos de um plano, dada sua equação, basta atribuir valores para duas variáveis e calcular a 
terceira na equação dada. 
4) Um vetor normal a um plano é também normal a qualquer plano paralelo a este. 
5) Para encontrar um vetor n , normal a um plano definido por dois vetores não paralelos e u v , basta 
calcular = ×n u v . 
6) Também podemos determinar uma equação do plano considerando que os vetores , e APu v
����
 são 
coplanares, ou seja, o produto misto deles é nulo. 
 
 
 
 
 
Exemplo 4) Encontre a equação do plano que é gerado pelos vetores 1,2,3 e 2, 1,4− , que passa pelo ponto: 
a) ( )0,0,0 b) ( )1, 1,2− 
Para determinar o plano da letra (a), podemos considerar , ,x y z um vetor qualquer do plano. Como os 
três vetores são coplanares, eles não formam um sólido. Assim sendo, temos V = 0.Daí, 
1 2 3
2 1 4 0
x y z
− = . A equação obtida é 11 2 5 0x y z+ − = . Observe que o plano passa pela origem. 
Outra forma de resolver essa questão é encontrar o vetor normal, fazendo 1 2n = v × v , sendo e 1 2v v os 
vetores dados. Assim, teremos: 1 2 3 11, 2, 5
2 1 4
= ⇒ = −
−
i j k
n n e a equação do plano pode ser dada por 
11 2 5 0x y z d+ − + = . Para determinar o valor do termo independente d, basta considerar que o plano contém o 
ponto ( )0,0,0 , ficando com a equação: ( ) ( ) ( )11 0 2 0 5 0 0 0d d+ − + = ⇒ = . E, finalmente, teremos: 
11 2 5 0x y z+ − = . 
 Para resolver o item (b), podemos utilizar o mesmo vetor normal obtido para a primeira equação. Então, 
novamente, a equação do plano será dada por 11 2 5 0x y z d+ − + = . Para determinar d, utilizaremos um ponto 
dado do plano, nesse caso, ( )1, 1,2− : 
( ) ( ) ( )11 1 2 1 5 2 0 1d d+ − − + = ⇒ = . 
Logo, a equação do plano é 11 2 5 1 0x y z+ − + = . 
Da mesma forma que o item (a), o item (b) também pode ser resolvido com outra estratégia: como 
exercício, utilize a observação (6) para determinar a equação do plano dado (obviamente, devemos obter a mesma 
solução já encontrada usando o vetor normal). 
 
Outras observações: 
7) Na equação geral do plano 0ax by cz d+ + + = , se 0d = então o plano passa pela origem ( )0,0,0 . 
8) Supondo que todos os termos da equação 0ax by cz d+ + + = são não nulos, atribuindo para duas 
variáveis o valor 0 encontramos os pontos de intersecção do plano com os eixos coordenados. 
9) Um plano é paralelo a um dos eixos coordenados se e somente se o coeficiente da variável correspondente 
a esse eixo é nulo (ou seja, essa variável está “ausente” da equação). 
10) Um plano é paralelo a um dos planos coordenados se e somente se os coeficientes das variáveis 
correspondentes a esse plano são nulos (ou seja, essas variáveis estão “ausentes” da equação). 
 
 
Tarefa: 
• Estude a resolução dos exemplos 1, 2 e 3 das páginas 813, 814 e 815. 
• Resolva os exercícios 3, 5, 7, 9 e 11 da página 819 e verifique se estão corretos, comparando com as 
respostas fornecidas no livro. 
• Além de reconhecer e escrever equações de planos, é necessário que você saiba representar planos no 
espaço tridimensional. Trata-se de um pré-requisito importante para o desenvolvimento de muitos 
conceitos das disciplinas seguintes (Álgebra Linear e Cálculo III). Assim, retome as observações 7 a 10 e 
faça um esboço dos planos representados pelas equações dadas. Não esqueça de indicar os eixos e destacar 
as coordenadas dos pontos de intersecção com os mesmos (quando existirem): 
a) 2 4 4 0x y z+ + − = 
b) 2 4 0x y z− + = 
c) 3 2 1 0y z+ − = 
d) 2 3 1 0x z+ − = 
e) 3 2 1 0x y+ − = 
f) 3 2 0z − = 
g) 2 1 0x − = 
h) 5 2 0y − = 
• Resolva os exercícios 8, 10 e 12 para discussão no Fórum.