Apostila Matemática ENEM - Analítica I

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Aula 04 
Geometria analítica I 
 
DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS: 
Quando as coordenadas dos pontos 
apresentam as abscissas (x) iguais ou as 
ordenadas (y) iguais, realizamos a operação 
entre os diferentes: 
 
 
 
dAB = 7-2 dCD = 12 + 3 
 
 
 
dAB = 8+3 dCD = 12 -5 
 
Quando as coordenadas dos pontos 
apresentam as abscissas (x) e ordenadas (y) 
diferentes, realizamos a operação entre eles: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ponto Médio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO 
DE TRÊS PONTOS: 
 
Para que três pontos quaisquer A (XA;YA), 
B (XB;YB) e C (XC;YC) sejam colineares o 
determinante correspondente a esses pontos 
deve ser nulo: 
 
 
 
Exemplo: 
Verifique se os pontos A (-1, 3), B(-4, -3) e C(2, 
9) são colineares. 
 
1 3 1
4 3 1
2 9 1
6 3
9 36
12 6
27 27
det 27 27
det 0

 

 

 
  

 
 
 
Como o determinante resultou zero, significa 
que os pontos A, B e C estão alinhados. 
A, B e C são colineares. 
A, B e C pertencem à mesma reta. 
 
*Quando três pontos não estão alinhados 
formam um triângulo. 
 
 
 
Área de um triângulo dados os seus vértices: 
dados três pontos A (XA;YA), B (XB;YB) e C (XC;YC) 
não colineares, podemos encontrar a área do 
triângulo com vértices nos pontos A, B e C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
Calcule a área do triângulo com vértices em 
A(3, 2), B(3, 8) e C(11, 2). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios: 
 
(OSEC SP) Considere o triângulo ABC, onde A(-
1, 1), B(5, 0) e C(1, 2). Então, o comprimento da 
mediana relativa ao vértice A é: 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
 
(UM SP) Sejam os pontos A(2, 3), B(3, 4), C(4, 
6), D(2, 4), E(3, 8) e F(k, 1). Se os triângulos 
ABC e DEF têm a mesma área, então um dos 
valores de k é: 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) 4 
 
 
 
 
(FEI SP) Os pontos X, Y e Z possuem as 
seguintes coordenadas no plano cartesiano: 
(0, 0), (m, 8), (m, n + 3). 
Se Z é o ponto médio do segmento XY, então: 
a) m = 2 
b) m = 1 
c) n = 3 
d) m = 3 
e) n = 2 
 
(UFRGS RS) Se um ponto P do eixo das 
abcissas é equidistante dos pontos A(1, 4) e B(-
6, 3), a abcissa de P vale: 
a) – 2 
b) – 1 
c) 0 
d) 1 
e) 3 
 
(FEI SP) Os vértices de um triângulo são A(5, -
3), B(x, 2) e C(-1, 3), e sua área mede 12 cm2. O 
valor de x pode ser: 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 4 
e) 8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gabarito: 
 
1 – D 2 – B 3 – A 4 – A 5 – D 
 
3 2 1
3 8 1
11 2 1
88 24
6 6
6 22
100 52
det 52 100
det 48
 
 
det 48 48
A
2 2 2
A 24



  
