DECOMPOSIÇÃO ELETRÔNICA DA SÉRIE DE FOURIER

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DEcomposição eletrônica da série de fourier
tadeu g, da silva
Engenharia Elétrica, Faculdades Santo Agostinho
Av. Osmane Brabosa, 937 Bairro: JK - Montes Claros MG CEP.: 39404-006
E-mails: tadeuibr@hotmail.com
joão b, teixeira
Engenharia Elétrica, Faculdades Santo Agostinho
Av. Osmane Brabosa, 937 Bairro: JK - Montes Claros MG CEP.: 39404-006
E-mails: jotabate@gmail.com
Abstract This article aims to form a periodic signal, such as "square wave", from the sum of a series of sinusoidal signals and cosinusoidais with frequencies, amplitudes and phases defined by the expressions developed by Fourier and demonstrate how an electronic circuit can perform this task using a  simulation software .
KeywordsResistor, adder, inverter, Operational Amplifier, Signal, Signal Generator, Source Voltage, Phase, Oscilloscope, Gain, Key Switch Simulator, Fourier, Fourier Serie’s.
Resumo Este artigo se propõe a formar um sinal periódico, tipo “onda quadrada”, a partir da soma de uma série de sinais senoidais e cossenoidais com freqüências, fases e amplitudes definidos a partir das expressões elaboradas por Fourier e demonstrar como um circuito eletrônico pode executar esta tarefa usando um software de simulação. 
Palavras-chaveResistor, Somador, Inversor, Amplificador Operacional, Gerador de Sinal, Fonte de Tensão, Fase, Osciloscópio, Ganho, Chave de comutação, simulador, Séries de Fourier.
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1 Introdução
 Jean-Baptiste Joseph Fourier (Auxerre, 21 de março de 1768 — Paris, 16 de maio de 1830) foi um matemático e físico francês, celebrado por iniciar a investigação sobre a decomposição de funções periódicas em séries trigonométricas convergentes chamadas séries de Fourier e a sua aplicação aos problemas da condução do calor. A Transformada de Fourier foi designada em sua homenagem. 
Este artigo se propõe a formar um sinal periódico, tipo “onda quadrada”, a partir da soma de uma série de sinais senoidais e cossenoidais com freqüências, fases e amplitudes definidos a partir das expressões elaboradas por Fourier e demonstrar como um circuito eletrônico pode executar esta tarefa usando um software de simulação. O “MULTISIM” da National Instruments, é um software típico para isto.
2 A Série de Fourier
A Série de Fourier é válida para sinais periódicos do tipo f(t)=f(t+T) e é definida como:
 (1)
Onde “ao”, “an” e “bn” são os coeficientes de Fourier e são definidos como:
, (2)
 (3) e 
 (4)
Onde:
“n” é um número inteiro a partir de 1 até infinito.
“T” é o período do sinal fundamental.
“
” é a velocidade angular, ou 
Como a Série de Fourier é a soma dos senos e cossenos definidos em (1), pode-se escrever:
 
 (5)
Os pontinhos (...) significam que a série de somas de senos e cossenos continuam até o infinito. Neste caso se limita até o valor de “n” onde seja satisfatório para a composição do sinal fundamental que se deseja obter.
3 A Série de Fourier de um sinal quadrado
f(t) = 1 se 0 < t < 1 e f(t)= 0 se 0 < t < 2
e
f(t) = f(t + T)
Figura 1 – Sinal Quadrado
Calculando os coeficientes de Fourier conforme as fórmulas (2), (3) e (4) obtemos:
,
, 
 para “n” impar e
para “n” par.
Este sinal quadrado pode ser composto, ou construído, tendo como princípio a Série de Fourier definida em (5).
Substituindo na equação (5) os coeficientes de Fourier obtidos anteriormente tem-se a série:
 (6)
Obs.: Os termos cossenoidais foram anulados, pois an=0.
Nota-se que só são somados os termos senoidais com “n” impar, pois “n” par faz bn=0.
4 A composição eletrônica do sinal quadrado
Indo ao que se propõe este artigo, a definição dos termos de sinais senoidais para a composição de um sinal quadrado com as características:
Tensão do degrau = 1 Volt
Freqüência fundamental = 1 kHz
Cada um dos termos da série de Fourier é obtido da expressão (6) da seguinte maneira:
A0/2 é o valor médio da tensão do sinal fundamental e é uma componente de tensão contínua presente na função. 
O valor da tensão contínua é a metade da tensão desejada para o degrau, como se segue:
Vmédio = 1 V /2 = 0,5 V (7)
Os demais termos são os componentes senoidais como se segue:
�� EMBED Equation.3 (8)
Considerando que a tensão de pico do sinal senoidal ocorre a 90º ou em 
 teremos 
, pois o seno de 90º é 1.
Desta forma os demais termos senoidais têm a tensão de pico calculada como sendo: 
 (9)
Seguindo o raciocínio, para n=1 tem-se Vp=0,636 V, para n=3 tem-se Vp=0,212 V e assim por diante, até quantos termos se desejar somar para a composição do sinal.
A freqüência fundamental é dada por 
 e a freqüência de cada termo é dada por:
, (10)
Neste caso, para o sinal escolhido de 1 kHz, cada termo terá freqüência igual a:
 (11)
Ou seja, para n = 1, fn = 1kHz, para n = 3, fn = 3kHz, e assim por diante, até quantos termos se desejar somar na Série de Fourier.
A fase dos sinais em cada termo é 0º, pois os sinais são senoidais e devem ser sincronizados.
Agora está tudo pronto para a composição do sinal quadrado da Série de Fourier eletronicamente no simulador MULTISIM, que dará origem ao sinal quadrado de 1 Volt de degrau e freqüência fundamental de 1 kHz.
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5 A simulação do circuito somador de Fourier
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A figura 1 mostra o a interface do simulador MULTISIM com o circuito do Somador. 
O circuito eletrônico do somador proposto é composto basicamente por um amplificador operacional montado na configuração “Somador Inversor” de ganho unitário. Um segundo amplificador operacional é usado na mesma configuração com a finalidade de se inverter novamente o sinal. Nesta simulação soma-se o valor médio de “ao”, que é um sinal de tensão contínua igual a 0.5 V, e nove sinais senoidais calculados para cada termo subseqüente, com seus respectivos valores de Fase (0°), Tensões de pico Vp equivalentes conforme expressão ( 9) e Freqüências equivalentes conforme expressão (11). Os sinais senoidais são gerados por fontes independentes, porém sincronizadas pelo simulador. 
Cada sinal de entrada do somador é conectado através de uma chave de comutação manual (key), de modo que se pode estudar o sinal de saída do circuito para a adição de cada termo na série.
Para analisar o funcionamento do circuito usa-se um osciloscópio de quatro canais. Assim pode-se analisar o sinal de saída (Sinal composto de Fourier) em função da somatória dos termos na entrada do circuito.
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Figura 1 – Interface do Simulador com o circuito do Somador de Fourier.
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6 Análise do sinal composto para até 4 termos de sinais de entrada.
Agora a formação do sinal de saída do somador com a adição seqüencial dos três primeiros sinais (termos) da série de Fourier para o sinal quadrado que desejamos compor. 
A figura 2 mostra a tela captura pelo osciloscópio do sinal de saída do somador em função do sinal “a0” de 0.5 V. Observa-se que o sinal de saída no osciloscópio é uma linha contínua no tempo e de valor igual a 0.5 Vcc.
Figura 2 – Saída do somador para a0=0.5 V
A figura 3 mostra a tela de captura pelo osciloscópio do sinal de saída do somador em função da adição do segundo sinal (termo) da série. Nota-se que este sinal é senoidal, de freqüência igual a 1 kHz e amplitude igual a 0.636 Vp, conforme calculo a partir da expressão (9).
É importante notar que este sinal senoidal se soma ao valor médio “a0”.
Figura 3 – Sinal de saída com o segundo termo
Na figura 4 o sinal de saída na tela do osciloscópio já começa a se modificar com a adição do sinal (termo) três da série de Fourier e tende atransformar o sinal de saída senoidal para quadrado.
Figura 4 – Sinal de saída com o terceiro termo
Na figura 5 o sinal de saída com o quarto, quinto e sexto sinais (termos) adicionados à série.
Figura 5 – Sinal de saída com seis termos da Série de Fourier adicionados.
Na figura 6 o sinal de saída do somador com a adição de dez termos da Série de Fourier.
Figura 6 – Sinal de saída com dez termos da Série de Fourier adicionados.
7 Conclusão
Observa-se na figura 1 que o décimo termo é um sinal senoidal de amplitude de 0.037 vp e freqüência de 17 kHz. É um sinal pouco expressivo em relação ao termo fundamental. Isto indica que, à medida que se calculam novos termos para a Série de Fourier, estes termos se tornam cada vez menos expressivos para a composição do sinal de saída. Partindo do princípio de que estes termos podem assumir amplitudes cada vez menores e freqüências cada vez maiores, Considera-se que não é necessário incluir infinitos termos na série para a obtenção do sinal quadrado aproximado do desejado.
Portanto, um sinal quadrado real apresenta infinitos harmônicos em função de seus infinitos termos.
Aplicando a Série de Fourier em sistemas de transmissão de dados é possível economizar recursos e melhorar o desempenho de transmissão em termos de velocidade de tráfego dos dados e eficiência da transmissão.
 
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