Apostila de Cálculo III - Professor Artur Fassoni - UNIFEI

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Ca´lculo III
Resumo da Teoria e Exercı´cios Propostos
Prof. Artur Fassoni - IMC/UNIFEI
Fevereiro de 2016
2
Suma´rio
1 Integrais Duplas e Triplas 5
1.1 Integrais Duplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Integrais Duplas em Coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Mudanc¸a de Varia´veis em Integrais Duplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Integrais Triplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5 Mudanc¸a de Varia´veis em Integrais Triplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.6 Aplicac¸o˜es das Integrais Duplas e Triplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 Integrais de Linha 27
2.1 Curvas Parametrizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2 Integrais de Linha de Campos Escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3 Campos Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4 Integrais de Linha de Campos Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.5 Teorema Fundamental das Integrais de Linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.6 Caracterizac¸a˜o de Campos Conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3 Ca´lculo Vetorial em R2 43
3.1 Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2 Divergente e Rotacional: Derivadas de Campos Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3 O Fluxo de um Campo Vetorial no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.4 Teoremas de Stokes e da Divergeˆncia no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4 Ca´lculo Vetorial em R3 57
4.1 Superfı´cies Parametrizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.2 A´rea e Integrais de Superfı´cie de Campos Escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.3 Integrais de Superfı´cie de Campos Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.4 Teorema da Divergeˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.5 Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
A Apeˆndices 75
A.1 Revisa˜o de Geometria Analı´tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
A.2 Formula´rio - Integrais de Linha e Ca´lculo Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3
4
Capı´tulo 1
Integrais Duplas e Triplas
5
1.1 Integrais Duplas
O Volume de um So´lido como uma Integral Dupla
Definic¸a˜o 1 (Fechado, limitado, compacto).
i) Um conjunto D em R2 e´ fechado se ele conteˆm todos os pontos de sua fronteira.
ii) Um conjunto D em R2 e´ limitado se estiver contido em algum retaˆngulo R.
iii) Um conjunto D em R2 e´ compacto se for fechado e limitado.
Sejam D ⊂ R2 um conjunto compacto, contido num retaˆngulo da forma R = [a,b]× [c,d], e f (x,y)
uma func¸a˜o contı´nua em D. Queremos calcular o volume do so´lido S compreendido entre D e o
gra´fico de f . Este volume pode ser aproximado por uma soma da seguinte maneira.
- Dividimos o intervalo [a,b] em m pedac¸os de tamanho ∆x = (b− a)/m, e o intervalo [c,d] em n
pedac¸os de tamanho ∆y= (d−c)/n. Assim, o retaˆngulo R esta´ dividido em mn retaˆngulos pequenos
Ri j de a´rea ∆A = ∆x∆y, e o conjunto D e´ coberto por uma certa quantidade destes retaˆngulos. Em
cada retaˆngulo Ri j escolhemos um ponto qualquer (x∗i j,y∗i j).
- Consideramos agora os paralelepı´pedos de base Ri j e altura f (x∗i j,y∗i j). A unia˜o destes parale-
lepı´pedos e´ uma aproximac¸a˜o do so´lido S. Assim, o volume procurado e´ aproximado pela seguinte
soma de Riemmann:
V ≈
m
∑
i=1
n
∑
j=1
f
(
x∗i j,y∗i j
)
∆A.
Ri j ⊂ D
- Se aumentarmos m e n, diminuı´mos ∆x e ∆y, de modo que o nu´mero de retaˆngulos Ri j contidos em
D aumenta. Como f e´ contı´nua, os paralelepı´pedos ficam mais finos, e a soma acima fica cada vez
mais pro´xima do volume exato. Portanto, o volume exato e´ dado pelo limite
V = lim
m,n→∞
m
∑
i=1
n
∑
j=1
f
(
x∗i j,y∗i j
)
∆A.
Ri j ⊂ D
Definic¸a˜o 2 (Integral Dupla).
A integral dupla de uma func¸a˜o contı´nua f (x,y) sobre um compacto D e´ definida como sendo o limite
∫∫
D
f (x,y)dA = lim
m,n→∞
m
∑
i=1
n
∑
j=1
f
(
x∗i j,y∗i j
)
∆A.
Ri j ⊂ D
Ca´lculo de Integrais duplas: Integrais Iteradas
A definic¸a˜o 2 na˜o fornece uma maneira de calcular a integral, mas apenas a estabelece como sendo
o limite de uma soma de Riemmann. Para obter uma maneira pra´tica de calcular integrais duplas,
expressamos o volume do so´lido S usando um “fatiamento” em apenas uma varia´vel. Isto e´, fatiamos
D fazendo va´rios cortes da forma x= xi, ou da forma y= y j, e calculamos o volume total como sendo
a soma dos volumes de cada fatia. Este e´ o conteu´do do Teorema de Fubini.
6
Teorema 3 (Integrais Iteradas e Teorema de Fubinni).
Sejam D um compacto e f (x,y) uma func¸a˜o contı´nua em D.
i) Se a regia˜o D esta´ contida entre dois gra´ficos de func¸o˜es de x, com x ∈ [a,b], ou seja,
D = {(x,y) | a≤ x≤ b, g1 (x)≤ y≤ g2 (x)} ,
enta˜o a integral dupla de f sobre D pode ser calculada como∫∫
D
f (x,y)dA =
∫ b
a
A(x)dx =
∫ b
a
∫ g2(x)
g1(x)
f (x,y)dydx
onde A(x) e´ a a´rea da sec¸a˜o transversal no ponto x. Neste caso, dizemos que D e´ uma regia˜o do
tipo 1, e que a integral dupla e´ escrita como duas integrais iteradas na ordem dxdy.
ii) Se a regia˜o D esta´ contida entre dois gra´ficos de func¸o˜es de y, com y ∈ [c,d], ou seja
D = {(x,y) | c≤ y≤ d, h1 (y)≤ x≤ h2 (y)} ,
enta˜o a integral dupla de f sobre D pode ser calculada como∫∫
D
f (x,y)dA =
∫ d
c
A(y)dy =
∫ d
c
∫ h2(y)
h1(y)
f (x,y)dxdy
onde A(y) e´ a a´rea da sec¸a˜o transversal no ponto y. Neste caso, dizemos que D e´ uma regia˜o do
tipo 2, e que a integral dupla e´ escrita como duas integrais iteradas na ordem dydx.
iii) Se uma regia˜o D e´ tanto tanto do tipo 1 quanto do tipo 2, enta˜o o resultado da integral e´ o mesmo
em qualquer ordem de integrac¸a˜o, ou seja,∫∫
D
f (x,y)dA =
∫ b
a
∫ g2(x)
g1(x)
f (x,y)dydx =
∫ d
c
∫ h2(y)
h1(y)
f (x,y)dxdy.
Observac¸a˜o 4: i) A escolha da ordem de integrac¸a˜o pode facilitar ou dificultar o ca´lculo da integral.
ii) Se uma regia˜o na˜o e´ nem do tipo 1 nem do tipo 2, dividimos ela em duas partes que sejam do
tipo 1 ou 2 e utilizamos a propriedade vi) abaixo.
Proposic¸a˜o 5 (Propriedades da Integral Dupla).
Sejam f (x,y) e g(x,y) func¸o˜es cujas integrais duplas em D existem. Enta˜o:
i)
∫∫
D
( f (x,y)±g(x,y))dA =
∫∫
D
f (x,y)dA±
∫∫
D
g(x,y)dA.
ii)
∫∫
D
c f (x,y)dA = c
∫∫
D
f (x,y)dA.
iii) Se f (x,y)≥ g(x,y) para todo (x,y) ∈ D, enta˜o
∫∫
D
f (x,y)dA≥
∫∫
D
g(x,y)dA.
iv) Se D = D1∪D2 com D1∩D2 = /0, enta˜o
∫∫
D
f (x,y)dA =
∫∫
D1
f (x,y)dA+
∫∫
D2
f (x,y)dA.
v) A a´rea da regia˜o D e´ dada por A(D) = lim
m,n→∞
m
∑
i=1
n
∑
j=1
∆A =
∫∫
D
1 dA.
vi) O valor me´dio de f sobre D, ou seja, a me´dia de f em D, e´ dado por vm(f,D)=
1
A(D)
∫∫
D
f (x,y)dA.
Ele satisfaz a seguinte relac¸a˜o∫∫
D
f (x,y)dA = “volume do so´lido entre gr(f) e D” = A(D)×vm(f,D) .
7
Exercı´cios
Exercı´cio 1. Encontre o volume do prisma cuja base e´ o triaˆngulo no plano xy limitado pelo eixo-x e
pelas retas y = x e x = 1, e cujo topo esta´ no plano z = f (x,y) = 3− x− y. (R = 1)
Exercı´cio 2. Calcule
∫∫
D
sinx
x dA, onde D = {(x,y)|0≤ y≤ 1, y≤ x≤ 1}. (R = 1− cos1 )
Exercı´cio 3. Esboce a regia˜o de integrac¸a˜o e troque a ordem de integrac¸a˜o da integral:∫ 2
0
∫ 2x
x2
(4x+2)dy dx.
Exercı´cio 4. Calcule o volume do so´lido abaixo da superfı´cie z = 16− x2− y2 e acima da regia˜o
limitada pela curva y = 2
√
x, pela reta y = 4x−2 e pelo eixo-x.(R = 20803/1680)
Exercı´cio 5. Encontre a a´rea da regia˜o D limitada pelas curvas y = x+2 e y = x2. (R = 9/2)
Nos exercı´cios 6 a 12, esboce a regia˜o de integrac¸a˜o e calcule a integral dupla.
Exercı´cio 6.
∫ 1
0
∫ 0
y−1
ex+ydxdy+
∫ 1
0
∫ 1−y
0
ex+ydxdy. R: e/2+1/2e.
Exercı´cio 7.
∫ 2
0
∫ 2
x
x
√
1+ y3dydx. R: 26/9.
Exercı´cio 8.
∫ 2
0
∫ 2
x
e−y
2
dydx. R: 1/2−1/2e4.
Exercı´cio 9.
∫ 0
−1
∫ √x+1
−√x+1
xydxdy+
∫ 1
0
∫ √1−x
−√1−x
xydxdy. R: 0.
Exercı´cio 10. (2014/1)
∫ 1
0
∫ pi/2
arcsiny
cosx
√
1+ cos2 x dxdy. R: 2
√
2−1
3
Exercı´cio 11.
∫∫
D
cos(y3)dA, onde D e´ a regia˜o limitada pelas curvas y =
√
x, y = 2 e x = 0. R:
(sin8)/3.
Exercı´cio 12.
∫∫
D
y−2ex/
√
ydA, onde D e´ a regia˜o limitada pelas curvas x = 0, x = 1, y = 1 e y = 2.
R: 2
(
e− e
1√
2 +
√
2
2 −1
)
.
Nos exercı´cios 13 a 15, calcule a a´rea da regia˜o D.
Exercı´cio 13. D e´ a regia˜o limitada pelas curvas 2y = 16− x2 e x+2y+4 = 0. R: 243
4
.
Exercı´cio 14. D e´ a regia˜o limitada pelas curvas x = y3, x+ y = 2 e y = 0. R:
5
4
.
Exercı´cio 15. D e´ o triaˆngulo entre as retas y = x, y+ x = 0 e y = 3. R: 9.
8
Nos exercı´cios 16 a 19, calcule o volume do so´lido S.
Exercı´cio 16. S e´ o so´lido no primeiro octante, abaixo do plano x+ y+ z = 6 e dentro do cilindro
parabo´lico y = 4− x2. R: 292/15.
Exercı´cio 17. S e´ o so´lido entre as superfı´cies z = 3+ x2+ y2 e z = 4. R: pi/2.
Exercı´cio 18. S e´ o so´lido no primeiro octante, satisfazendo z≤ x2+ y2 e x+ y≤ 1. R: 1/6.
Exercı´cio 19. S e´ o conjunto dos pontos que satisfazem x+ y+ z≤ 1 e x,y,z≥ 0. R: 1/6.
Exercı´cio 20. (2014/1) Esboce e descreva o so´lido cujo volume e´ dado pela integral dupla∫ 1
0
∫ 1−y
0
√
1− x2 dxdy.
9
1.2 Integrais Duplas em Coordenadas Polares
Todo ponto P = (x,y) do plano pode ser descrito em termos
- da distaˆncia r de P a` origem O e
- do aˆngulo θ que o ~OP faz com eixo-x (anti-hora´rio)
Assim, e´ possı´vel passar a descric¸a˜o de um conjunto do plano das coordenadas cartesianas (x,y) para
as chamadas coordenadas polares (r,θ), por meio das fo´rmulas:{
x = rcosθ
y = rsinθ ⇔
{
θ= arctan yx
r =
√
x2+ y2
.
Muitos conjuntos sa˜o descritos de modo muito simples em coordenadas polares. O ca´lculo de in-
tegrais duplas nestes conjuntos, por meio de coordenadas cartesianas, pode ser complicado e ate´
impossı´vel. Utilizar coordenadas polares nestes casos simplifica muito.
Queremos calcular a integrais duplas
∫∫
R f (x,y)dA em regio˜es que sejam da forma
D = {(r,θ)| α≤ θ≤ β, h1 (θ)≤ r ≤ h2 (θ)}.
Uma regia˜o desta forma esta´ contida em algum retaˆngulo polar, que e´ um conjunto da forma
R = {(r,θ)| α≤ θ≤ β, a≤ r ≤ b}.
Para calcular a integral, dividimos o intervalo [α,β] dos aˆngulos em m pedac¸os de tamanho ∆θ, e
o intervalo [a,b] dos raios em n pedac¸os de tamanho ∆r, de modo a cobrir D com va´rios retaˆngulos
polares infinitesimais Ri j. Tomando um ponto (x∗i j,y∗i j)↔ (r∗i j,θ∗i j) no meio de cada retaˆngulo Ri j ⊂ R,
temos:∫∫
R
f (x,y)dA= lim
m,n→∞
m
∑
i=1, Ri j⊂D
n
∑
j=1
f
(
x∗i j,y
∗
i j
)
∆Ai j = lim
m,n→∞
m
∑
i=1, Ri j⊂D
n
∑
j=1
f
(
r∗i jcosθ
∗
i j ,r
∗
i jsinθ
∗
i j
)
∆Ai j.
Resta sabermos o valor de cada a´rea ∆Ai j. Para calcula´-la, note que ∆Ai j pode ser aproximada por um
retaˆngulo de base r∗i j∆θ e altura ∆r. Assim, quando ∆r e ∆θ sa˜o muito pequenos, temos
Area ∆Ai j =≈ r∗i j∆r∆θ
Assim, a integral dupla de f (x,y) em D e´ dada pelo limite
∫∫
D
f (x,y)dA = lim
m,n→∞
m
∑
i=1, Ri j⊂D
n
∑
j=1
f
(
r∗i jcosθ
∗
i j ,r
∗
i jsinθ
∗
i j
)
r∗i j∆r∆θ
Ou seja, vale a seguinte formula de mudanc¸a de coordenadas cartesianas para polares:
∫∫
D
f (x,y)dA =
∫ b
a
∫ h2(θ)
h1(θ)
f (r cosθ ,r sinθ) rdrdθ
onde
D = {(r,θ)| α≤ θ≤ β, h1 (θ)≤ r ≤ h2 (θ)}.
Dizemos dA = rdrdθ e´ o elemento de a´rea em coordenadas polares.
10
Exercı´cios
Exercı´cio 21. Calcule
∫∫
R e
x2+y2dA, onde R e´ a regia˜o limitada pelo eixo-x e pela curva y =
√
1− x2.(
R = pi2 (e−1)
)
.
Exercı´cio 22. Calcule o volume do so´lido abaixo da superfı´cie z = 9− x2− y2 e acima do cı´rculo
unita´rio no plano xy. (R = 17pi/2)
Exercı´cio 23. Encontre a a´rea da regia˜o compreendida dentro do cı´rculo x2 + y2 = 4, acima da reta
y = 1, e abaixo da reta y =
√
3x.
(
R = pi−
√
3
3
)
Nos exercı´cios 24 a 25, utilize coordenadas polares para calcular a integral dupla.
Exercı´cio 24.
∫∫
D x
2+ y2dA, onde D e´ a regia˜o tal que 1≤ x2+ y2+≤ 4. R: 15pi2 .
Exercı´cio 25.
∫∫
D
1
(1+x2+y2)3/2
dA, onde D e´ a regia˜o limitada pelas retas y = x, x = 0 e y = 1. R: ....
Exercı´cio 26. Reescreva a integral em coordenadas polares (na˜o e´ necessa´rio calcula´-la):
∫∫
D
√
x2+ y2dA,
onde D e´ a regia˜o tal que y≥ x− x2 e x2+ y2− x≤ 0. R: ... .
Exercı´cio 27. Calcule o volume do so´lido compreendido dentro da esfera x2 + y2 + z2 = a2, dentro
do cilindro x2+ y2 = ay e acima do plano xy. R: ....
Exercı´cio 28. Encontre a a´rea da regia˜o no plano xy que esta´ dentro do cı´rculo r = 4sinθ e fora do
cı´rculo r = 2. R: 4pi3 +2
√
3.
Exercı´cio 29. Calcule∫ 1
√
2/2
∫ x
√
1−x2
4x2+4y2 dydx+
∫ √2
1
∫ x
0
4x2+4y2 dydx +
∫ 2
√
2
∫ √4−x2
0
4x2+4y2 dydx.
O resultado obtido representa o volume de qual so´lido? R: ... .
Exercı´cio 30. (2015/1) Mateus e Marcos desejam dividir ao meio um terreno T , que pode ser descrito
como
T =
{
(x,y) ∈ R2 |x≥ 0,y≥ 0, x2+ y2 ≤ 100} ,
onde x e y sa˜o medidos em metros. Como a rua em frente ao terreno passa sobre o eixo x, Mateus
propo˜e a Marcos que dividam o terreno em duas partes, T1 e T2, dadas por
T1 =
{
(x,y) ∈ R2 |0≤ x≤ 10cosα, y≥ 0, x2+ y2 ≤ 100}
e
T2 =
{
(x,y) ∈ R2 |10cosα≤ x≤ 10, y≥ 0, x2+ y2 ≤ 100}
onde α e´ raiz da equac¸a˜o
α− sin2α
2
=
pi
4
.
Fac¸a um esboc¸o de T com divisa˜o T = T1∪T2, e mostre que a divisa˜o proposta por Mateus e´ justa,
isto e´, que T1 e T2 possuem a mesma a´rea.
11
1.3 Mudanc¸a de Varia´veis em Integrais Duplas
Definic¸a˜o 6 (Mudanc¸a de Varia´veis no Plano).
Uma mudanc¸a de varia´veis no plano e´ definida por uma transformac¸a˜o
T : S → R
(u,v) → (x,y) = T (u,v)
onde S,R ⊂ R2, com R = T (S), e cada ponto (x,y) ∈ R e´ imagem de um u´nico ponto (u,v) ∈ S. A
transformac¸a˜o T possui uma transformac¸a˜o inversa, denotada por T−1,
T−1 : R → S
(x,y) → (u,v) = T−1 (x,v) .
Portanto, por meio de T e T−1, as varia´veis x e y ficam relacionadas a`s varia´veis u e v, e tambe´m as
varia´veis (u,v) podem ser escritas em termos de (x,y) :{
x = x(u,v)
y = y(u,v) ⇐⇒
{
u = u(x,y)
v = v(x,y) .
Mudanc¸a de Varia´veis em Integrais Duplas
Uma mudanc¸a de varia´veis pode facilitar muito o ca´lculo de certas integrais duplas, dependendo do
integrando f (x,y) ou da regia˜o de integrac¸a˜o.
Teorema 7 (Teorema de Mudanc¸a de Varia´veis).
Considere a mudanc¸a T dada por x= x(u,v) e y= y(u,v), (u,v)∈ S. Se x(u,v) e y(u,v) sa˜o contı´nuas
e possuem derivadas parciais contı´nuas, e se o determinante Jacobiano
J (u,v) =
∣∣∣∣∂(x,y)∂(u,v)
∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣ ∂x∂u ∂x∂v∂y∂u ∂y∂v
∣∣∣∣∣= ∂x∂u ∂y∂v − ∂x∂v ∂y∂u
e´ nulo apenas em pontos isolados de R, enta˜o vale a seguinte fo´rmula de mudanc¸a de varia´veis:∫∫
R
f (x,y)dxdy =
∫∫
S
f (x(u,v) ,y(u,v))
∣∣∣∣∂(x,y)∂(u,v)
∣∣∣∣dudv
Ou seja, o elemento de a´rea dA = dxdy se torna dxdy =
∣∣∣ ∂(x,y)∂(u,v)∣∣∣dudv.
Observac¸a˜o 8:
Observe a semelhanc¸a com uso de substituic¸a˜o simples em integrais do Ca´lculo I:
x = g(u)
dx = x′ (u)du
x = a⇒ u = c
x = b⇒ u = d
=⇒
∫ b
a
f (x)dx =
∫ d
c
f (x(u))x′(u)du.
Observac¸a˜o 9 (Coordenadas Polares):
O uso de Coordenadas Polares e´ um exemplode Mudanc¸a de Varia´veis
(x,y) = T (r,θ)
x = rcosθ
y = rsinθ
(r,θ) ∈ [0,1]× [0, pi2]
dA = rdrdθ
⇐⇒

(r,θ) = T−1(x,y)
θ= arctan yx
r =
√
x2+ y2
(x,y) ∈ R{(x,y) | x2+ y2 ≤ 1, x≥ 0, y≥ 0}
dA = dxdy
12
Exercı´cios
Exercı´cio 31. Verifique que o determinante jacobiano da transformac¸a˜o para coordenadas polares e´
dado por r.
Exercı´cio 32. Calcule a integral
∫ 4
0
∫ (y/2)+1
y/2
2x−y
2 dxdy, usando a transformac¸a˜o u =
2x−y
2 , v =
y
2 .
R: 1/6.
Exercı´cio 33. Calcule a integral
∫ 1
0
∫ 1−x
0
√
x+ y (y−2x)2dydx. R: 2.
Exercı´cio 34. Calcule a integral
∫ 2
1
∫ y
1/y
√
y
xe
√
xydxdy. R: 2e(e−2).
Exercı´cio 35. (2015/1) Seja R a regia˜o do primeiro quadrante do plano xy limitada pelas hipe´rboles
xy = 1, xy = 9, e pelas retas y = x, y = 4x. Utilizando a mudanc¸a de varia´veis x = u/v e y = uv,
com u > 0 e v > 0, calcule a integral dupla a seguir, esboc¸ando a regia˜o R no plano xy, e a regia˜o S
correspondente no plano uv: ∫∫
R
(√
y
x
+
√
xy
)
dxdy.
R: 8+ 523 ln2.
Nos exercı´cios 36 e 37, use a mudanc¸a de variave´is indicada para calcular a integral dupla.
Exercı´cio 36.
∫∫
D
√
x+ y
x
dydx. x = u, y = uv. D: triaˆngulo com ve´rtices em (0,0), (4,0) e (4,4).
R: 32(2
√
2−1)/9.
Exercı´cio 37.
∫∫
D
ysinxy dydx. x = u/v, y = v. D: regia˜o entre as curvas xy = 1, xy = 4, y = 1 e
y = 4. R: 3(cos1− cos4).
Exercı´cio 38. Calcule o volume do so´lido limitado superiomente pela superfı´cie z = 16− x2− y2 e
inferiormente pela regia˜o elı´ptica x
2
16 +
y2
9 ≤ 1. R: (117pi)/2.
Exercı´cio 39. Calcule
∫∫
D
cos(x− y)
sin(x+ y)
dxdy onde D e´ a regia˜o que satisfaz
1≤ x+ y≤ 2, x≥ 0, y≥ 0.
R: 1.
Exercı´cio 40. Calcule
∫∫
D x
2dx dy onde D e´ o conjunto x2+4y2 ≤ 1 R: pi3 − 49 .
13
1.4 Integrais Triplas
Volume como uma Integral Tripla
Do mesmo modo que definimos integral dupla dividindo uma regia˜o plana em retaˆngulos pequenos,
podemos definir integrais triplas a partir de regio˜es so´lidas. Seja E ⊂ R3 um so´lido no espac¸o tridi-
mensional, fechado e limitado. Existe uma ‘caixa retangular’ R que conteˆm E. Particionamos R em
pequenas caixas retangulares, e enumeramos em uma certa ordem, de 1 a n, aquelas subcaixas que
estiverem dentro de E. A k-e´sima caixa possui dimenso˜es ∆xk,∆yk e ∆zk. Assim, o volume aproxi-
mado do so´lido E e´ a soma dos volumes das caixas dentro dele, e e´ exato quando o nu´mero de caixas
n→ ∞, ou, equivalentemente, ∆xk,∆yk,∆zk→ 0:
Vol(E)≈ lim
n→∞
n
∑
k=1
∆Vk = limn→∞
n
∑
k=1
∆xk∆yk∆zk.
Definic¸a˜o 10.
Seja f (x,y,z) uma func¸a˜o contı´nua em uma regia˜o E contida em R3. A integral tripla de f sobre E
e´ definida como sendo o limite∫∫∫
E
F (x,y,z)dV = lim
n→∞
n
∑
k=1
F (xk,yk,zk)∆Vk = limn→∞
n
∑
k=1
F (xk,yk,zk)∆xk∆yk∆zk .
Observac¸a˜o 11: i) A integral tripla
∫∫∫
E
dV representa o volume de E.
ii) Se f (x,y,z) representa a densidade em cada ponto do so´lido E, a integral tripla
∫∫∫
E
f (x,y,z)dV
representa a massa de E.
Ca´lculo de Integrais Triplas como Integrais Iteradas
O ca´lculo de integrais triplas tambe´m e´ feito por meio de integrais iteradas. O processo possui sempre
treˆs passos ba´sicos:
i) Esboc¸amos o so´lido E e escolhemos algum dos planos coordenados para projetar E.
ii) Determinamos as ‘tampas’ superior e inferior (com relac¸a˜o ao plano escolhido) que delimitam E
por cima e por baixo.
iii) Determinamos no plano escolhido a ‘sombra’ D de E como sendo uma regia˜o do tipo 1 ou 2.
Dependendo da geometria do so´lido E, pode ser melhor considerar sua projec¸a˜o no plano x×y ou no
plano x× z ou no plano y× z. Vejamos como fica cada caso.
Projetando no plano x× y
i) Esboc¸amos o so´lido E e sua ‘sombra’ D no plano x× y.
ii) Determinamos as ‘tampas’ superior e inferior z = u2 (x,y) e z = u1 (x,y) que delimitam E por
cima e por baixo, de modo que E e´ dado por
E = {(x,y,z) ∈ R3 | (x,y) ∈ D, u1(x,y)≤ z≤ u2(x,y)},
e a integral tripla pode ser escrita na ordem dzdA, como sendo uma integral simples iterada com
uma integral dupla: ∫∫∫
E
f (x,y,z)dV =
∫∫
D
(∫ u2(x,y)
u1(x,y)
f (x,y,z)dz
)
dA
14
iii) Escrevemos a ‘sombra’ D como sendo uma regia˜o do tipo 1 ou 2, obtendo assim uma expressa˜o
para a integral tripla como treˆs integrais iteradas.
Se D e´ do tipo 1, enta˜o
E = {(x,y,z)| a≤ x≤ b, g1 (x)≤ y≤ g2 (x) , u1 (x,y)≤ z≤ u2(x,y)},
e daı´ a integral e´ feita na ordem dzdydx:∫∫∫
E
f (x,y,z)dV =
∫ b
a
∫ g2(x)
g1(x)
∫ u2(x,y)
u1(x,y)
f (x,y,z) dzdy dx.
Se D e´ do tipo 2, enta˜o
E = {(x,y,z)| c≤ y≤ d, h1 (y)≤ x≤ h2 (y) , u1 (x,y)≤ z≤ u2(x,y)},
e daı´ a integral e´ feita na ordem dzdxdy∫∫∫
E
f (x,y,z)dV =
∫ d
c
∫ h2(y)
h1(y)
∫ u2(x,y)
u1(x,y)
f (x,y,z) dzdx dy.
Projetando no plano x× z
i) Esboc¸amos o so´lido E e sua ‘sombra’ D no plano x× z.
ii) Determinamos as ‘tampas laterais’ direita e esquerda, que agora dependem de x e z, y = u2 (x,z)
e y = u1 (x,z), delimitando E pelos lados. Assim, E e´ dado por
E = {(x,y,z) ∈ R3 | (x,z) ∈ D, u1(x,z)≤ y≤ u2(x,z)}.
e a integral tripla pode ser escrita na ordem dydA, como sendo uma integral simples iterada com
uma integral dupla: ∫∫∫
E
f (x,y,z)dV =
∫∫
D
(∫ u2(x,z)
u1(x,z)
f (x,y,z)dy
)
dA
iii) Escrevemos a ‘sombra’ D no plano x× z como sendo uma regia˜o do tipo 1 ou 2, obtendo assim
uma expressa˜o para a integral tripla como treˆs integrais iteradas, na ordem dydxdz ou dydzdx.
Projetando no plano y× z
i) Esboc¸amos o so´lido E e sua ‘sombra’ D no plano y× z.
ii) Determinamos as ‘tampas laterais’ de frente e de tra´s, x = u2 (y,z) e x = u1 (y,z), de modo que E
e´ dado por
E = {(x,y,z) ∈ R3 | (y,z) ∈ D, u1(y,z)≤ x≤ u2(y,z)}.
Deste modo, a integral tripla pode ser escrita na ordem dxdA, como sendo uma integral simples
iterada com uma integral dupla:∫∫∫
E
f (x,y,z)dV =
∫∫
D
(∫ u2(y,z)
u1(y,z)
f (x,y,z)dx
)
dA
iii) Procedendo de modo ana´logo, escrevemos a ‘sombra’ D no plano y× z como sendo uma regia˜o
do tipo 1 ou 2, obtendo assim uma expressa˜o para a integral tripla como treˆs integrais iteradas,
na ordem dxdydz ou dxdzdy.
15
Exercı´cios
Exercı´cio 41. Calcule o volume do tetraedro de vertices (0,0,0) , (1,0,0) , (0,1,0) e (0,1,1),
usando a ordem dzdydx. (R = 1/6)
Exercı´cio 42. Encontre o volume da regia˜o D delimitada pelas superfı´cies z= x2+3y2 e z= 8−x2−
y2. (R = 8p
√
2
Exercı´cio 43. Calcule o volume do tetraedro do Exemplo 41, usando a ordem dydzdx.
Exercı´cio 44. Calcule
∫∫∫
E
√
x2+ z2dV , onde E e´ a regia˜o limitada pelo paraboloide y = x2 + z2, e
pelo plano y = 4. (R = 128pi/15)
Exercı´cio 45. Reescreva a integral iterada
∫ 1
0
∫ x2
0
∫ y
0 f (x,y,z)dzdydx nas ordens dxdzdy e dydzdx, e
esboce a regia˜o de integrac¸a˜o.
Exercı´cio 46. (2014/1) Calcule a integral tripla
∫∫∫
E
x dV , onde E e´ o so´lido limitado pelo cilindro
parabo´lico y = x2 e pelos planos x = 0 e y+ z = 1. R: 1/12.
Exercı´cio 47. (2014/1) Escreva o volume de cada so´lido esboc¸ado nas figuras abaixo como uma
integral tripla iterada em cada uma das seis possı´veis ordens de integrac¸a˜o.
Exercı´cio 48. (2015/1) Seja S a regia˜o so´lida do primeiro octante, limitada pelos planos z = 0,y =
0,x = 0,y+ z = 1 e pelo cilindro x = 1− y2. Fac¸a um esboc¸o de S e de suas projec¸o˜es nos planos xy,
xz, e yz, e expresse o volume de S como uma integral tripla iterada, nas ordens de integrac¸a˜o dzdydx,
dydzdx e dxdzdy. R:∫ 1
0
∫ √1−x
0
∫ 1−y
0
dzdydx=
∫ 1
0
∫ √1−y
0
∫ 1−y2
0
dxdzdy=
∫ 1
0
∫ 1−√1−x
0
∫ √1−x
0
dydzdx+
∫ 1
0
∫ 1
1−√1−x
∫ 1−z
0
dydzdx.
Exercı´cio 49. Calcule o volume do so´lido S limitado por z+ x2 = 9, y+ z = 4, y = 0 e y = 4. R:
8
15(243−25√
5).
Exercı´cio 50. Calcule
∫∫∫
S 3zdV onde S e´ o so´lido limitado por z = 1, x+ y+ z = 2, x = 0, y = 0 e
z = 0. R: 11/8.
16
1.5 Mudanc¸a de Varia´veis em Integrais Triplas
Uma mudanc¸a de varia´veis no espac¸o e´ definida de maneira ana´loga a` mudanc¸as no plano, e vale
tambe´m um resultado sobre mudanc¸a de varia´veis em integrais triplas.
Seja R uma regia˜o em R3 e considere a mudanc¸a de coordenadas
x = x(u,v,w) , y = y(u,v,w) , z = z(u,v,w) , (u,v,w) ∈ S⊂ R3,
onde cada (x,y,z) ∈ R e´ imagem de um u´nico ponto (u,v,w) ∈ S. Se x(u,v,w), y(u,v,w) e z(u,v,w)
forem contı´nuas, possuı´rem derivadas parciais contı´nuas, e se o determinante jacobiano
J (u,v,w) =
∣∣∣∣ ∂(x,y,z)∂(u,v,w)
∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣∣∣
∂x
∂u
∂x
∂v
∂x
∂w
∂y
∂u
∂y
∂v
∂y
∂w
∂z
∂u
∂z
∂v
∂z
∂w
∣∣∣∣∣∣∣
for nulo no ma´ximo em pontos isolados de S, enta˜o vale a seguinte fo´rmula de mudanc¸a de varia´veis:∫∫∫
R
f (x,y,z)dV =
∫∫∫
S
f (x(u,v,w) ,y(u,v,w) ,z(u,v,w))
∣∣∣∣ ∂(x,y,z)∂(u,v,w)
∣∣∣∣dudvdw.
Ou seja, o elemento de volume e´ dado por dV = dxdydz =
∣∣∣ ∂(x,y,z)∂(u,v,w)∣∣∣dudvdw.
Integrais Triplas em Coordenadas Cilı´ndricas
Um ponto P = (x,y,z) ∈ R3 pode ser representado pela terna (r,θ,z), onde (r,θ) sa˜o as coordenadas
polares da projec¸a˜o de P no plano x× y e z e´ a altura no ponto P em relac¸a˜o ao plano xy. Os nu´meros
(r,θ,z) sa˜o as coordenadas cilı´ndricas de P. Ou seja,
Coordenadas Cilı´ndricas = Coordenadas Polares no plano xy + coordenada cartesiana no eixo z.
Assim, as equac¸o˜es relacionando coordenadas cilı´ndricas e retangulares sa˜o
x = r cosθ, y = r sinθ, z = z, r2 = x2+ y2, tanθ= y/x.
Portanto, em coordenadas cilı´ndricas:
i) A equac¸a˜o r = a descreve um cilindro de raio a (θ e z esta˜o livres).
ii) A equac¸a˜o θ = θ0 descreve o semi-plano que conteˆm o eixo-z e faz um aˆngulo θ0 com o eixo-x
(r e z esta˜o livres).
iii) A equac¸a˜o z = z0 descreve um plano paralelo ao plano xy na altura z0 (r e θ esta˜o livres).
Seja E e um so´lido em R3 e D a sua projec¸a˜o no plano x× y. Assim,
E = {(x,y,z) | (x,y) ∈ D u1(x,y)≤ z≤ u2(x,y)}.
Se D possuir uma representac¸a˜o conveniente em coordenadas polares, ou seja, se
D = {(r,θ)| α≤ θ≤ β, h1(θ)≤ r ≤ h2(θ)},
enta˜o, podemos utilizar coordenadas cilı´ndricas para calcular integrais triplas em E. Temos∫∫∫
E
f (x,y,z)dV =
∫∫
D
∫ u2(x,y)
u1(x,y)
f (x,y,z)dzdA =
∫ b
a
∫ h2(θ)
h1(θ)
∫ u2(x,y)
u1(x,y)
f (x,y,z)dzrdrdθ.
Ou seja, o elemento de volume em coordenadas cilı´ndricas e´ dado por:
dV = dz r dr dθ.
17
Integrais Triplas em Coordenadas Esfe´ricas
Um outro sistema de coordenadas muito utilizado e´ o sistema de coordenadas esfe´ricas. Neste sistema,
um ponto P = (x,y,z) ∈ R3 e´ representado pela terna (ρ,θ,φ), onde:
i) ρ e´ a distaˆncia de P a` origem (ρ≥ 0),
ii) θ e´ o aˆngulo das coordenadas cilı´ndricas, ou seja, e´ o aˆngulo que o vetor (x,y,0) faz com o eixo-x
(0≤ θ≤ 2pi),
iii) φ e´ o aˆngulo que ~OP faz com o eixo-z positivo (0≤ φ≤ pi).
Para melhor entender e memorizar as fo´rmulas de coordenadas esfe´ricas, e´ interessante considerar a
varia´vel r das coordenadas cilı´ndricas. Pelas definic¸o˜es de r, ρ e φ temos que
ρ2 = r2+ z2, r = ρsinφ, z = ρcosφ.
Como x = r cosθ e y = r sinθ, as equac¸o˜es relacionando coordenadas esfe´ricas e retangulares sa˜o:
x = ρsinφcosθ
y = ρsinφsinθ
z = ρcosφ
⇐⇒

ρ2 = x2+ y2+ z2
tanθ= y/x
tanφ= rz =
√
x2+y2
z
.
Em coordenadas esfe´ricas:
i) A equac¸a˜o ρ= a descreve uma esfera de raio a e centro na origem (θ e φ esta˜o livres)
ii) θ = θ0 descreve o semi-plano que conteˆm o eixo-z e faz um aˆngulo θ0 com o eixo-x positivo (ρ
e φ livres)
iii) φ = φ0 descreve um cone com ve´rtice na origem, com eixo de simetria sendo o eixo-z, e com
aˆngulo de abertura 2φ0 (ρ e θ livres). Se φ0 > pi/2, o cone e´ voltado para baixo.
Em geral, uma integral tripla num so´lido E ⊂ R3 pode ser calculada usando coordenadas esfe´ricas se
E for um so´lido de revoluc¸a˜o ao longo do eixo z, como uma esfera ou um cone. A descric¸a˜o de E em
coordenadas esfe´ricas deve ser da forma
E = {(ρ,θ,φ) | α≤ θ≤ β, c≤ φ≤ d, g1 (θ,φ)≤ ρ≤ g2(θ,φ)}.
Calculando o jacobiano para as coordenadas esfe´ricas, obtemos∣∣∣∣ ∂(x,y,z)∂(ρ,θ,φ)
∣∣∣∣= ρ2 sinφ.
Logo, o elemento de volume em coordenadas esfe´ricas e´ dado por:
dV = ρ2 sinφ dρdθdφ.
Portanto, o ca´lculo de uma integral tripla em E em coordenadas esfe´ricas fica∫∫∫
E
f (x,y,z)dV =
∫ b
a
∫ d
c
∫ g2(θ,φ)
g1(θ,φ)
f (ρsinφcosθ,ρsinφsinθ,ρcosφ)ρ2 sinφ dρdθdφ.
18
Exercı´cios
Exercı´cio 51. Calcule a integral
∫ 3
0
∫ 4
0
∫ (y/2)+1
y/2
(
2x−y
2 +
z
3
)
dxdydz, usando a transformac¸a˜o u= 2x−y2 , v=
y
2 , w =
z
3 . R: 12.
Exercı´cio 52. Calcule o volume do elipso´ide
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1.
Exercı´cio 53. Encontre o centroide do so´lido de densidade ρ = 1 compreendido dentro do cilindro
x2+ y2 = 4, abaixo do paraboloide z = x2+ y2, e acima do plano xy. R: (0,0,4/3).
Exercı´cio 54. Encontre os limites de integrac¸a˜o, em coordenadas cilı´ndricas, para integrar f (x,y,z)
sobre a regia˜o limitada abaixo pelo plano z = 0, lateralmente pelo cilindro circular x2+(y−1)2 = 1
e acima pelo paraboloide z = x2+ y2.
Exercı´cio 55. Calcule a integral tripla
∫ 2
−2
∫ √4−x2
−√4−x2
∫ 2
√
x2+y2
x2+ y2dz dy dx. R: 16pi/5.
Exercı´cio 56. Encontre a equac¸a˜o em coordenadas esfe´ricas para a esfera x2+ y2+(z−1)2 = 1.
Exercı´cio 57. Encontre a equac¸a˜o em coordenadas esfe´ricas para o cone z =
√
x2+ y2.
Exercı´cio 58. Calcule o jacobiano da transformac¸a˜o em coordenadas esfe´ricas.
Exercı´cio 59. Calcule
∫∫∫
B e
(x2+y2+z2)
2
3
dV , onde B e´ a bola unita´ria B=
{
(x,y,z) |x2+ y2+ z2 ≤ 1}.
R: 43pi(e−1).
Exercı´cio 60. Calcule o volume do so´lido que esta´ acima do cone z =
√
x2+ y2 e abaixo da esfera
x2+ y2+ z2 = z. R: pi8 .
Exercı´cio 61. Calcule o volume do so´lido no primeiro octante limitado pelo cone z = 4r e pelo
cilindro r = 4sinθ. R: 1289 .
Exercı´cio 62. (2014/1) Calcule o volume da regia˜o so´lida compreendida dentro da esfera x2 + y2 +
z2 = a2, abaixo do cone z =
√
x2+ y2 e acima do plano z = 0. R:
√
2pia3
3
.
Exercı´cio 63. Calcule o volume da regia˜o acima do cone z =
√
x2+ y2 e dentro da esfera x2+ y2+
z2 = z. R: pi8 .
Exercı´cio 64. (2014/1) Esboce a regia˜o de integrac¸a˜o e calcule a integral tripla∫ √2
−√2
∫ √2−x2
−√2−x2
∫ √4−x2−y2
√
x2+y2
(x2z+ y2z+ z3) dzdydx. (1.1)
R:
∫ 2
0
∫ 2pi
0
∫ pi
4
0
ρ4 cosφsinφdφdθdρ= ....
Exercı´cio 65. Use coordenadas cilı´ndricas para calcular o volume de um cone circular reto cujo raio
da base e´ a e cuja altura e´ h. R: pia2h/3.
19
Exercı´cio 66. Use coordenadas cilı´ndricas para calcular
∫∫∫
E
z
√
x2+ y2dV , onde E e´ a metade do
cone circular reto de ve´rtice (0,0,h) e base x2+y2 ≤ a2 compreendido no lado direito do plano y= 0.
R: pia3h2/60.
Exercı´cio 67. Encontre o volume removido quando se abre um furo de raio a numa esfera de raio 2a,
sendo o eixo do furo um diaˆmetro da esfera. R: 4(8−3√3)a3pi/3.
Exercı´cio 68. Encontre k de modo que volume dentro do hemisfe´rio z =
√
16− x2− y2 e fora do
cilindro x2+ y2 = k2 seja a metade do volume do hemisfe´rio. R:
√
4−2 3√2.
Exercı´cio 69. Seja Q a cunha no primeiro octante seccionada do cilindro y2 + z2 ≤ 1 pelos planos
y = x e x = 0. Calcule
∫∫∫
Q z dV . R: 1/8.
Exercı´cio 70. Calcule o volume do so´lido E limitado pela esfera ρ = 4 e pelos cones φ = pi/6 e
φ= pi/3. R: 64pi3 (
√
3−1).
20
1.6 Aplicac¸o˜es das Integrais Duplas e Triplas
Densidade e Massa
Considere um so´lido E com densidade descrita por ρ(x,y,z). Esta densidade pode ser escrita como
ρ(x,y,z) = lim
∆V→0
∆m
∆V
,
onde ∆m e ∆V sa˜o a massa e o volumede um pequeno cubo contendo o ponto (x,y,z). Podemos
dividir o so´lido em n cubos Ri, cada um com volume ∆V = ∆x∆y∆z, e aproximar a massa de cada
cubo por
∆m≈ ρ(x∗i ,y∗i ,z∗i )∆V,
onde (x∗i ,y∗i ,x∗i ) e´ um ponto no cubo Ri. Fazendo o nu´mero de cubos n aumentar e somando todas as
massas, temos a massa total do so´lido, expressa como uma integral tripla:
m = lim
n→∞
n
∑
i=1
ρ(x∗i ,y
∗
i ,z
∗
i )∆V =
∫∫∫
E
ρ(x,y,z)dV .
Esta expressa˜o pode ser entendida como sendo a soma de todas as massas pontuais ρ(x,y,z)dV de
todos os pontos (x,y,z) ∈ E de densidades ρ(x,y,z) e volumes pontuas dV .
Momentos e centro de massa
Agora, queremos encontrar o centro de massa (ou centro de gravidade) do so´lido D, isto e´, o ponto P
no qual ele se equilibra horizontalmente.
A situac¸a˜o mais simples e´ quando duas massas m1 e m2 sa˜o presas a um basta˜o de massa desprezı´vel
em lados opostos a um apoio e a distaˆncias d1 e d2 do apoio. Pela Lei da Alavanca de Arquimedes, o
basta˜o estara´ em equilı´brio se
m1d1 = m2d2.
Introduzindo um sistema de coordenadas, esta condic¸a˜o e´ escrita como
m1 (x− x1) = m2 (x− x2) ,
onde x e´ a coordenada do centro de massa. Isolando x obtemos
x =
m1x1+m2x2
m1+m2
.
Os nu´meros m1x1 e m2x2 sa˜o chamados momentos das massas m1 e m2 (em relac¸a˜o a` origem) e a
equac¸a˜o acima nos diz que o centro de massa e´ igual a soma dos momentos dividida pela soma das
massas.
Agora, considere va´rias massas no plano xy. De modo ana´logo, as coordenadas do centro de massa
sa˜o
x =
∑ni=1 mixi
∑ni=1 mi
=
My
m
, y =
∑ni=1 miyi
∑ni=1 mi
=
Mx
m
onde os nu´meros mixi e miyi sa˜o os momentos de cada massa em relac¸a˜o aos eixos, e
My =
n
∑
i=1
mixi, Mx =
n
∑
i=1
miyi
sa˜o os momentos totais da placa com relac¸a˜o ao eixo-y e ao eixo-x, respectivamente. Eles medem a
tendeˆncia de o sistema girar em torno destes eixos.
21
Finalmente, interpretando um so´lido E de densidade ρ(x,y,z) como uma nuvem de va´rias massas
pontuais dm = ρ(x,y,z)dV , podemos calcular, de maneira ana´loga, os momentos em relac¸a˜o aos
planos x× y, x× z e y× z como sendo, respectivamente,
Mxy =
∫∫∫
E
z ρ(x,y,z)dV , Mxz =
∫∫∫
E
y ρ(x,y,z)dV , Myz =
∫∫∫
E
x ρ(x,y,z)dV .
Assim, o centro de massa de E e´ dado por (x,y,z), onde
x =
Myz
m
=
∫∫∫
E
x ρ(x,y,z)dV∫∫∫
E
ρ(x,y,z)dV
, y =
Mxz
m
=
∫∫∫
E
y ρ(x,y,z)dV∫∫∫
E
ρ(x,y,z)dV
, z =
Mxy
m
=
∫∫∫
E
z ρ(x,y,z)dV∫∫∫
E
ρ(x,y,z)dV
.
O centro de massa e´ o ponto que concentra toda a massa do so´lido. Como mx = Myz, my = Mxz e
mz=Mxy, uma partı´cula u´nica de massa m posicionada neste mesmo ponto teria os mesmos momentos
que o so´lido. Se a densidade ρ(x,y,z) e´ constante, o centro de massa e´ chamado centroide.
Momentos de ine´rcia
O momento de ine´rcia (tambe´m chamado segundo momento) de uma partı´cula de massa m em relac¸a˜o
a um eixo e´ definido como mr2, onde r e´ a distaˆncia da partı´cula ao eixo. Assim, procedendo com
a mesma divisa˜o do so´lido E feita anteriormente, podemos definir os seus momentos de ine´rcia em
relac¸a˜o aos eixos x, y e z, como sendo, respectivamente:
Ix =
∫∫∫
E
(
y2+ z2
)
ρ(x,y,z)dV , Iy =
∫∫∫
E
(
x2+ z2
)
ρ(x,y,z)dV , Iz =
∫∫∫
E
(
x2+ y2
)
ρ(x,y,z)dV .
A energia cine´tica de um objeto se movendo com velocidade linear v, de massa m, e´ Ec = 12mv
2. A
energia cine´tica de um eixo girando com velocidade angular w e momento de ine´rcia I, em relac¸a˜o
ao eixo de rotac¸a˜o, e´ Ec = 12 Iw
2. Portanto, da mesma maneira que a massa m de um corpo esta´
relacionada a energia inercial para colocar o corpo em movimento retilı´neo, o momento de ine´rcia em
relac¸a˜o a um eixo esta´ relacionado a` quantidade de energia necessa´ria para efetuar um movimento de
rotac¸a˜o em torno daquele eixo. Quanto maior for I, mais energia e´ necessa´ria. Quanto mais a massa
estiver distribuı´da longe do eixo, maior sera´ I.
22
Aplicac¸o˜es das Integrais Duplas
Todas as aplicac¸o˜es das integrais triplas podem ser reduzidas naturalmente para integrais duplas. Ou
seja, se D representa uma placa fina com densidade laminar ρ(x,y) em cada ponto, enta˜o:
i) A massa de D e´ dada por
∫∫
Dρ(x,y)dA.
ii) Os momentos em relac¸a˜o aos eixos x e y sa˜o, respectivamente,
Mx =
∫∫
D
ydm =
∫∫
D
y ρ(x,y)dA, My=
∫∫
D
xdm =
∫∫
D
x ρ(x,y)dA.
iii) O centro de massa e´ o ponto (x,y), onde
x =
My
m
=
∫∫
D
x ρ(x,y)dA∫∫
D
ρ(x,y)dA
, y =
Mx
m
=
∫∫
D
y ρ(x,y)dA∫∫
D
ρ(x,y)dA
.
iv) Os momentos de ine´rcia em relac¸a˜o aos eixos x e y sa˜o, respectivamente
Ix =
∫∫
D
y2ρ(x,y)dA, Iy =
∫∫
D
x2ρ(x,y)dA.
v) O momento de ine´rcia em relac¸a˜o a` origem (ou momento polar de ine´rcia) e´
I0 =
∫∫
D
(
x2+ y2
)
ρ(x,y)dA = (Ix+ Iy).
Ele mede a tendeˆncia da placa girar, no plano x× y, em torno do eixo z.
23
Exercı´cios
Exercı´cio 71. A fronteira de uma laˆmina consiste dos semicı´rculos y =
√
1− x2 e y =√4− x2 jun-
tamente com a porc¸a˜o do eixo-x que une. Calcule a massa desta laˆmina, sabendo que a densidade
ρ(x,y) em cada ponto e´ proporcional a` distaˆncia do ponto a` origem. Calcule tambe´m, o centro de
massa desta laˆmina. R: m = ..., C =
(
0, 4514pi
)
.
Exercı´cio 72. Considere um disco homogeˆneo D de raio a e densidade constante ρ. Verifique que
seu momento de ine´rcia de em relac¸a˜o ao seu centro (como uma roda em torno de seu eixo) pode ser
escrito como
I0 =
1
2
(
ρpia2
)
a2 =
1
2
ma2,
de modo que se aumentarmos a massa ou o raio do disco, aumentaremos o momento de ine´rcia.
Exercı´cio 73. Uma placa fina consiste da regia˜o triangular delimitada pelo eixo-x e pelas retas x = 1
e y = 2x no primeiro quadrante. Encontre os momentos de ine´rcia da placa em relac¸a˜o aos eixos x e
y e em relac¸a˜o a` origem. A densidade em cada ponto e´ ρ(x,y) = 6x+6y+6.
Exercı´cio 74. Calcule o momento de ine´rcia, em relac¸a˜o ao eixo-z, da “casquinha de sorvete” cortada
da bola ρ≤ 1 pelo cone φ= pi/3, sabendo que a densidade e´ constante igual a 1. R: pi12 .
Exercı´cio 75. Encontre o centro de massa de um so´lido de densidade constante, que e´ limitado pelo
cilindro parabo´lico x = y2 e pelos planos x = z, z = 0, e x = 1. R :
(5
7 ,0,
5
14
)
.
Exercı´cio 76. (2014/1) A integral calculada abaixo representa a massa de um so´lido E com densidade
varia´vel:
m =
∫ 3
−3
∫ √9−x2
0
∫ 9−x2−y2
0
√
x2+ y2 dzdydx =
162pi
5
.
Descreva e desenhe este so´lido, e calcule seu centro de massa (x¯, y¯, z¯). R: (x¯, y¯, z¯) =
(
0, 154pi ,
18
7
)
.
Exercı´cio 77. Tem-se uma massa distribuı´da atrave´s do interior de uma esfera de raio 1 m, de tal
modo que a densidade em um ponto P e´ inversamente proporcional a` distaˆncia de P ao centro, e na
superfı´cie esfe´rica a densidade e´ de 1 g/cm3. Calcule a massa total em kg contida na esfera. R: 2000pi
kg.
Exercı´cio 78. Calcule o volume e o centro´ide do so´lido S no primeiro octante, limitado pelos planos
coordenados e pelo plano xa +
y
b +
z
c = 1, onde a, b e c sa˜o constantes positivas. R: V =
abc
6 e (x¯, y¯,z¯) =
(a4 ,
b
4 ,
c
4).
Exercı´cio 79. Calcule o momento de ine´rcia, em relac¸a˜o ao eixo central, de um so´lido cilı´ndrico reto
S, homogeˆneo, de raio a altura h e massa total m. R: ma2/2.
Exercı´cio 80. (2015/1) Considere uma pa´ como a da figura, constituı´da de um cabo de madeira, e
uma chapa fina de metal, possuindo as dimenso˜es indicadas.
24
A chapa de metal e´ a metade de uma elipse. A densidade (laminar, em g/cm2) em cada ponto da
chapa e´ igual a` distaˆncia do ponto a` base da chapa (linha pontilhada entre o cabo e a chapa).
O cabo de madeira e´ um cilindro, e a densidade (volume´trica, em g/cm3) em cada ponto e´ igual a`
distaˆncia do pontoao eixo do cilindro.
Calcule a massa total da pa´. R: 40003 +40pi.
25
26
Capı´tulo 2
Integrais de Linha
27
2.1 Curvas Parametrizadas
Descrevendo o movimento de uma partı´cula no espac¸o
Definic¸a˜o 12 (Curva Parametrizada).
Considere um ponto P= (x,y,z) se movendo no espac¸o. Enta˜o, seu vetor posic¸a˜o~r varia com o tempo
t, isto e´
~r =~r(t) = (x(t),y(t),z(t)) = x(t)~i+ y(t)~j+ z(t)~k.
A medida que t varia num certo intervalo I, ~r (t) descreve uma curva C no espac¸o. Esta curva C
e´ chamada curva parametrizada, e a func¸a˜o vetorial, ~r (t) e´ chamada parametrizac¸a˜o de C. As
func¸o˜es x(t), y(t), z(t) sa˜o chamadas componentes de~r (t). A varia´vel independente t e´ chamada
paraˆmetro. A curva C tambe´m e´ chamada de imagem ou trac¸o da parametrizac¸a˜o~r(t).
Definic¸a˜o 13 (Curvas suaves e suaves por partes).
Dizemos que uma curva C, com parametrizac¸a˜o~r(t), e´ suave se as suas componentes x(t), y(t) e z(t)
possuı´rem derivadas de primeira ordem contı´nuas. Dizemos que uma curva parametrizada C e´ suave
por partes se ela puder ser escrita como a unia˜o de pedac¸os suaves, isto e´, se
C =C1∪C2∪ ...∪Cn,
onde cada Ci e´ suave.
Definic¸a˜o 14 (Vetor tangente, Velocidade e Acelerac¸a˜o).
O vetor tangente a uma curva parametrizada C no ponto~r(t) e´ dado por
~r′ (t) = lim
∆t→0
~r (t+∆t)−~r (t)
∆t
=
(
x′(t),y′(t),z′(t)
)
.
Este limite sempre existe se C e´ suave, e e´ chamado a derivada da func¸a˜o vetorial~r(t). Ele tambe´m e´
o vetor velocidade da partı´cula cuja posic¸a˜o e´~r (t). Ele aponta na direc¸a˜o do movimento da partı´cula,
e seu comprimento ∣∣∣~r′ (t)∣∣∣
representa a velocidade escalar da partı´cula. A acelerac¸a˜o da partı´cula e´ dada pela derivada segunda
de~r (t):
~a(t) =~r
′′
(t) .
28
Exercı´cios
Exercı´cio 81. Dados dois pontos A, B ∈ Rd (d = 2 ou 3), fornec¸a uma parametrizac¸a˜o para o seg-
mento de reta unindo A e B. Qual e´ uma parametrizac¸a˜o para a reta passando por A e B?
Exercı´cio 82. a) Fornec¸a uma parametrizac¸a˜o~r (t) para o cı´rculo x2+ y2 = 1 em R2, que percorra o
cı´rculo no sentido anti-hora´rio, a` medida que t cresce.
b) Generalize para o cı´rculo de raio r e centro C = (x0,y0), e depois para uma elipse de semi-eixos a
e b e centro C = (x0,y0).
c) Para todas estas curvas, obtenha tambe´m parametrizac¸o˜es no sentido hora´rio.
Exercı´cio 83. Esboce as curvas dadas pela parametrizac¸o˜es~r1 (t)= (cos t ,sin t , t),~r2 (t)= (t,cos t ,sin t )
e~r3 (t) = (tcos t , tsin t , t).
Exercı´cio 84. Encontre uma parametrizac¸a˜o para a curva dada pela intersec¸a˜o do cilindro x2+y2 = 4
com o plano y+ z =5.
Exercı´cio 85. Encontre a posic¸a˜o~r(t) de uma partı´cula lanc¸ada do cha˜o com velocidade inicial ~v0
e aˆngulo de elevac¸a˜o a, supondo que ela esta´ sujeita apenas a ac¸a˜o da gravidade, e desprezando
a resisteˆncia do ar. Encontre o tempo que ela demora para retornar ao cha˜o. A que distaˆncia ela
retorna? Qual aˆngulo a maximiza esta distaˆncia? E qual aˆngulo a maximiza o tempo que ela fica no
ar?
29
2.2 Integrais de Linha de Campos Escalares
Calculando o comprimento de uma curva
Seja C uma curva com parametrizac¸a˜o~r (t) = (x(t) ,y(t)) , t ∈ [a,b] . Queremos calcular o seu com-
primento. Para isto, fazemos o seguinte:
- Dividimos o intervalo [a,b] em n pedac¸os de tamanho ∆t = b−an .
- Os extremos dos intervalos [ti−1, ti] determinam pontos Pi =~r(ti) em C.
- A curva C pode ser aproximada pela poligonal ligando os pontos Pi.
- O comprimento de cada segmento Pi−1Pi e´ ∆si = |~r (ti)−~r(ti−1)|.
- Temos que ∆si = |~r(ti)−~r(ti−1)|∆t ∆t ≈ |~r′ (t∗i )|∆t =
√
x′(t∗i )
2+ y′(t∗i )
2∆t, para algum t∗i ∈ (ti−1, ti).
- Assim, o comprimento e´ aproximadamente
L≈
n
∑
i=1
∆si =
n
∑
i=1
∣∣~r′ (t∗i )∣∣∆t = n∑
i=1
√
x′(t∗i )
2+ y′(t∗i )
2∆t.
- Fazendo ∆t→ 0, ou seja, n→ ∞, temos o comprimento exato de C, dado por
L =
∫
C
ds =
∫ b
a
∣∣∣~r′ (t)∣∣∣dt = ∫ b
a
√
x′(t)2+ y′(t)2dt.
Calculando a massa de um fio fino
No mesmo contexto anterior, suponhamos que C representa um fio fino com densidade linear varia´vel
ρ(x,y) em cada ponto. Queremos calcular a massa de C. Realizando a mesma divisa˜o anterior temos:
i) A massa de cada segmento Pi−1Pi pode ser aproximada por
∆mi = ρ(x∗i ,y
∗
i )∆si ≈ ρ(~r (t∗i ))
∣∣~r′ (t∗i )∣∣∆t.
ii) Portanto, a massa total do fio e´ aproximadamente
m≈
n
∑
i=1
∆mi ≈
n
∑
i=1
ρ(~r (t∗i ))
∣∣~r′ (t∗i )∣∣∆t = n∑
i=1
ρ(x(t∗i ) ,y(t
∗
i ))
√
x′(t∗i )
2+ y′(t∗i )
2∆t.
iii) Novamente fazendo n→ ∞, temos a massa exata de C :
m =
∫
C
ρ(x,y)ds =
∫ b
a
ρ(~r (t))
∣∣∣~r′ (t)∣∣∣dt = ∫ b
a
ρ(x(t) ,y(t))
√
x′(t)2+ y′(t)2dt.
30
Integrais de Linha de Campos Escalares
Definic¸a˜o 15 (Integral de Linha de Campo Escalar).
Sejam C uma curva suave com parametrizac¸a˜o ~r (t) , t ∈ [a,b] e f uma func¸a˜o (campo escalar)
contı´nua numa regia˜o D contendo C. A integral de linha de f sobre C e´ definida como o limite∫
C
f ds = lim
n→∞
n
∑
i=1
f (~r (t∗i ))
∣∣~r′ (t∗i )∣∣∆t
e e´ calculada da seguinte maneira: ∫
C
f ds =
∫ b
a
f (~r (t))
∣∣∣~r′ (t)∣∣∣dt.
Quando f = f (x,y) e C e´ uma curva plana temos:
∫
C
f (x,y)ds =
∫ b
a
f (~r (t))
∣∣∣~r′ (t)∣∣∣dt = ∫ b
a
f (x(t) ,y(t))
√(
dx
dt
)2
+
(
dy
dt
)2
dt.
Quando f = f (x,y,z) e C e´ uma curva espacial:
∫
C
f (x,y,z)ds =
∫ b
a
f (~r (t))
∣∣∣~r′ (t)∣∣∣dt = ∫ b
a
f (x(t) ,y(t) ,z(t))
√(
dx
dt
)2
+
(
dy
dt
)2
+
(
dz
dt
)2
dt.
Em ambos os casos, dizemos que
ds =
∣∣∣~r′ (t)∣∣∣dt =
√(
dx
dt
)2
+
(
dy
dt
)2
ou ds =
∣∣∣~r′ (t)∣∣∣dt =
√(
dx
dt
)2
+
(
dy
dt
)2
+
(
dz
dt
)2
e´ o elemento de comprimento de arco.
Aplicac¸o˜es e Propriedades
A integral de linha de f sobre C,
∫
C f ds, possui as seguintes interpretac¸o˜es e propriedades:
i) Se f = 1, o resultado
∫
C ds representa o comprimento da curva C.
ii) Se f representa a densidade linear do fio fino C, enta˜o
∫
C f ds e´ a massa deste fio.
iii) Se f (x,y) ≥ 0, enta˜o ∫C f (x,y)ds representa a a´rea da ‘superfı´cie cerca’, cuja base e´ C e cuja
altura em cada ponto e´ f (x,y) (fac¸a uma figura).
iv) Se C e´ uma curva suave por partes, ou seja se C =C1∪C2∪·· ·∪Cn, onde cada Cn e´ suave, enta˜o∫
C
f ds =
∫
C1
f ds+ · · ·+
∫
Cn
f ds.
v) Se C e´ percorrida num sentido, e denotamos por −C a curva C percorrida no sentido contra´rio,
enta˜o ∫
C
f ds =
∫
−C
f ds
31
Exercı´cios
Exercı´cio 86. Calcule
∫
C f ds, onde
a) f (x,y)= x2+y e C e´ formado pelos segmentos horizontal e vertical que ligam os pontos (0,0) ,(1,0)
e (1,1) . R: ....
b) f (x,y,z)= x+y e C e´ a curva obtida como intersec¸a˜o do semiplano y= x, y≥ 0, com o paraboloide
z = x2+ y2, z≤ 2. R: ....
c) f (x,y,z) = x e C a intersec¸a˜o do cilindro parabo´lico z= 4−x2 com o plano y= x, do ponto (0,0,4)
ao ponto (2,2,0). R: 13
√
2/3.
Exercı´cio 87. Um arame tem a forma de uma curva obtida como intersec¸a˜o da porc¸a˜o da esfera
x2+ y2+ z2 = 4, y≥ 0, com o plano x+ z = 2. Sabendo-se que a densidade em cada ponto do arame
e´ f (x,y,z) = xy, calcule a massa total do arame.
Exercı´cio 88. Deseja-se construir uma pec¸a de zinco que tem a forma da superfı´cie do cilindro x2+
y2 = 4, compreendida entre os planos z= 0 e x+y+ z= 2, z≥ 0. Se o metro quadrado de zinco custa
M reais, calcule o custo total da pec¸a.
Exercı´cio 89. Calcule a massa do fio no formato da curva C, se C e´ a intersec¸a˜o do cilindro x2+y2 =
4y com o plano y = z, e se a densidade em cada ponto e´ ρ(x,y,z) =
√
4+ x2. R: 12pi.
Exercı´cio 90. Calcule a a´rea da superfı´cie ‘cerca’ cuja base e´ a curva y = x2, 0≤ x≤ 2, e cuja altura
e´ dada por z =
√
y+ x R: 16(17
√
17−1).
322.3 Campos Vetoriais
Campos Vetoriais
Definic¸a˜o 16 (Campo Vetorial).
Um campo vetorial em R2 e´ uma func¸a˜o ~F(x,y) que a cada ponto (x,y) do plano associa um vetor
~F (x,y) = (P(x,y) ,Q(x,y))=P(x,y)~i + Q(x,y)~j ∈ R2.
Geometricamente, podemos visualizar campos de vetores esboc¸ando vetores ~F (x,y) com origem em
(x,y). Note que P(x,y) e´ a componente horizontal do campo, e Q(x,y) e´ a componente vertical do
campo.
Um campo vetorial em R3 e´ uma func¸a˜o ~F(x,y,z) que a cada ponto (x,y,z) do espac¸o associa um
vetor
~F (x,y,z) = (P(x,y,z) ,Q(x,y,z) ,R(x,y,z))=P(x,y,z)~i+Q(x,y,z)~j+R(x,y,z)~k ∈ R3.
Campos vetoriais sa˜o usados para descrever diversas grandezas vetoriais distribuı´das espacial-
mente, como o campo de velocidades de um fluido em movimento, a direc¸a˜o e velocidade do vento
ou das correntes marı´timas, forc¸as gravitacionais, campos ele´tricos ou magne´ticos, etc.
Campos Gradientes
Seja f (x,y) uma func¸a˜o com derivadas parciais contı´nuas. O gradiente de f (x,y) e´ um vetor, dado
por ~∇ f =
(
∂ f
∂x ,
∂ f
∂y
)
. Portanto, a partir da func¸a˜o escalar f (x,y) podemos construir o campo vetorial
~F = ~∇ f =
(
∂ f
∂x
,
∂ f
∂y
)
=
∂ f
∂x
~i +
∂ f
∂y
~j.
Ele possui as seguintes propriedades:
i) ~∇ f e´ perpendicular a`s curvas de nı´vel f (x,y) = cte.
ii) ~∇ f aponta na direc¸a˜o de maior crescimento de f (x,y).
iii)
∣∣∣~∇ f ∣∣∣ mede o qua˜o ra´pido f (x,y) esta´ mudando na direc¸a˜o de ~∇ f .
Definic¸a˜o 17.
Um campo ~F da forma ~F = ~∇ f e´ chamado campo gradiente, e a func¸a˜o f (x,y) e´ chamada func¸a˜o
potencial do campo ~F .
33
Exercı´cios
Exercı´cio 91. O vetor posic¸a˜o do ponto (x,y),~r = x~i+ y~j, e´ um campo radial. O comprimento de
cada vetor aumenta a medida que nos afastamos da origem
|~r|=
√
x2+ y2 = r
OBS: r e´ nu´mero (distaˆncia) e~r e´ vetor.
Exercı´cio 92. O campo vetorial ~rr =
x√
x2+y2
~i+ y√
x2+y2
~j, e´ um campo vetorial radial e unita´rio,
apontando para fora da origem.
OBS: todo campo vetorial ~F (x,y) que possa ser escrito como
~F (x,y) = λ(x,y,z)~r
onde λ(x,y,z) e´ uma func¸a˜o escalar, e´ chamado campo radial.
Exercı´cio 93. Considere o campo vetorial ~S (x,y) = −y~i+ x~j. Para esboc¸a´-lo, observe o produto
escalar:
~r ·~S =−xy+ xy = 0
Portanto, ~S e´ perpendicular ao vetor posic¸a˜o~r em cada ponto. Assim, ~S gira em torno da origem, e∣∣∣~S∣∣∣= r.
Se considerarmos ~Sr =− y√x2+y2~i+
x√
x2+y2
~j, temos um campo unita´rio que gira em torno da origem.
O campo ~Sr2 tambe´m gira em torno da origem, mas possui norma
1
r . Por isto, ~S,
~S
r e
~S
r2 sa˜o chamados
campos spin.
Exercı´cio 94. Esboce as curvas de nı´vel da func¸a˜o potencial f (x,y) = x2y−y3, calcule seu gradiente
e esboce-o junto a`s curvas de nı´vel.
Exercı´cio 95 (Forc¸as Gravitacionais). a) Na superfı´cie da terra, a forc¸a gravitacional aponta para
baixo, e pode ser descrita pelo campo vertical:
~F =−mg~k
Assim, ~F e´ o gradiente de f (x,y,z) =−mgz. Portanto, ~F e´ menos o gradiente da func¸a˜o P(x,y,z) =
mgz, que e´ a energia potencial gravitacional.
b) No espac¸o, a forc¸a gravitacional aponta para o centro da terra, e e´ descrita pelo campo radial
~F =−mMG
r3
~r.
Sua magnitude e´
∣∣∣~F∣∣∣ = mMGr2 , proporcional ao inverso do quadrado da distaˆncia. Verifique que ~F e´ o
gradiente do potencial f (x,y,z) = mMGr =
mMG√
x2+y2+z2
.
34
2.4 Integrais de Linha de Campos Vetoriais
Calculando o trabalho ao longo de uma curva
Suponha que uma forc¸a ~F (x,y,z) move uma partı´cula ao longo de uma curva-trajeto´ria C parame-
trizada por ~r (t), t ∈ [a,b]. Queremos calcular trabalho de ~F ao longo de C. Para isto, fazemos o
seguinte:
- Dividimos o intervalo [a,b] em n pedac¸os de tamanho ∆t = b−an .
- Os pontos ti = a+ i∆x, i = 0, . . . ,n, determinam pontos Pi =~r(ti) em C.
- A curva C pode ser aproximada pela poligonal ligando os pontos Pi.
- O deslocamento em cada segmento Pi−1Pi e´ ∆~ri =~r (ti)−~r (ti−1) =~r′ (t∗i )∆t, para algum t∗i ∈
[ti−1, ti].
- O trabalho de ~F em cada segmento Pi−1Pi e´ ∆wi = ~F (~r (t∗i )) ·∆~ri = ~F (~r (t∗i )) ·~r′ (t∗i )∆t.
- Assim, o trabalho total e´ aproximadamente
W ≈
n
∑
i=1
∆wi =
n
∑
i=1
~F (~r (t∗i )) ·∆~ri =
n
∑
i=1
~F (~r (t∗i )) ·~r′ (t∗i )∆t.
- Fazendo ∆t→ 0, ou seja, n→ ∞, temos o valor exato do trabalho de ~F ao longo C:
W=
∫
C
~F · ~dr=
∫ b
a
~F (~r (t)) ·~r′ (t)dt.
Integrais de Linha de Campos Vetoriais
Definic¸a˜o 18 (Integral de Linha de Campo Vetorial).
Sejam C uma curva suave por partes com parametrizac¸a˜o ~r (t), t ∈ [a,b], e ~F um campo vetorial
contı´nuo numa regia˜o D contendo C. A integral de linha de ~F sobre C e´ definida como sendo o
limite ∫
C
~F · ~dr = lim
n→∞
n
∑
i=1
~F (~r (t∗i )) ·~r′ (t∗i )∆t ,
e calculada da seguinte maneira: ∫
C
~F · ~dr =
∫ b
a
~F (~r (t)) ·~r′ (t)dt.
Dizemos que ~dr =~r
′
(t)dt e´ o elemento de deslocamento.
Diferentes notac¸o˜es
Notac¸a˜o Diferencial Em R2, quando ~F = ~F (x,y) = (P(x,y),Q(x,y)) e C e´ uma curva plana, pode-
mos escrever
~dr =~r′(t)dt = (x′(t),y′(t))dt = (dx,dy)
e daı´ ∫
C
~F · ~dr =
∫ b
a
~F (~r (t)) ·~r′ (t)dt =
∫ b
a
P(~r (t))x′ (t)dt+Q(~r (t))y′ (t)dt,
ou seja, podemos escrever ∫
C
~F · ~dr =
∫
C
Pdx+Qdy. (2.1)
Esta notac¸a˜o sera´ frequentemente utilizada, especialmente no Teorema de Green.
35
Notac¸a˜o Componente Tangente Uma outra importante notac¸a˜o e´ a seguinte. Denotando por ~T (t)
o vetor unita´rio tangente a` curva C, apontando na direc¸a˜o do movimento, temos
~T (t) =
~r′ (t)
|~r′ (t) | .
Lembrando que ds =
∣∣∣~r′ (t)∣∣∣dt, podemos escrever
~dr =~r
′
(t)dt =
~r′ (t)
|~r′ (t) |
∣∣∣~r′ (t)∣∣∣dt = ~T (t)ds.
Portanto, podemos escrever tambe´m ∫
C
~F · ~dr =
∫
C
~F ·~T ds (2.2)
Resumindo A integral de linha
∫
C
~F · ~dr possui as seguintes notac¸o˜es:∫
C
~F · ~dr=
∫
C
Pdx+Qdy =
∫
C
~F ·~T ds.
Aplicac¸o˜es e Propriedades
A integral de linha do campo ~F sobre C,
∫
C
~F · ~dr, possui as seguintes interpretac¸o˜es e propriedades:
i) Se ~F representa um campo de forc¸as e C e´ a trajeto´ria de uma partı´cula movimentada por ~F ,
enta˜o
∫
C
~F · ~dr e´ o trabalho realizado por ~F .
ii) Se~v representa o campo de velocidades de um fluido escoando no plano ou no espac¸o, enta˜o∫
C
~v ·~T ds
e´ chamada de escoamento do fluido ao longo da curva C. Note que ~v ·~T representa a compo-
nente da velocidade do fluido que e´ tangente a` curva C. Assim, esta integral mede o quando o
fluido escoa na direc¸a˜o de C. Quando C e´ uma curva fechada, o escoamento e´ tambe´m chamado
de circulac¸a˜o de~v ao longo de C.
iii) Se C e´ uma curva suave por partes, ou seja, C =C1∪C2∪·· ·∪Cn, onde cada Cn e´ suave, enta˜o∫
C
~F · ~dr =
∫
C1
~F · ~dr+ · · ·+
∫
Cn
~F · ~dr.
iv) Se C e´ percorrida num dado sentido, e denotamos por −C a curva C percorrida no sentido
contra´rio, enta˜o ∫
C
~F · ~dr =−
∫
−C
~F · ~dr.
Curvas Fechadas
Definic¸a˜o 19 (Curva fechada).
Dizemos que uma curva parametrizada C e´ uma curva fechada se o seu ponto inicial e´ igual ao seu
ponto final. A integral de linha de um campo ~F ao longo de uma curva fechada C tem a seguinte
notac¸a˜o especial: ∫
C
~F · ~dr =
∮
C
~F · ~dr.
36
Exercı´cios
Exercı´cio 96. Calcule
∫
C
~F · ~dr, onde ~F = (z,xy,−y2) e C e´ a curva parametrizada por~r (t)= (t2, t,√t),
0≤ t ≤ 1. (R=17/20)
Exercı´cio 97. Calcule
∫
C
(
y− x2)dx+(z−y2)dy+ (x− z2)dz,onde C e a curva parametrizada por~r (t)=(
t, t2, t3
)
, 0≤ t ≤ 1. (R = 29/60).
Exercı´cio 98. Seja C a curva de intersec¸a˜o da superfı´cie x2+y2 = 4y, y≥ 2, com o plano y= z, desde
o ponto (2,2,2) ate´ o ponto (0,4,4). Parametrize C e calcule o trabalho realizado por ~F = (x,z−y,2y)
para deslocaruma partı´cula ao longo de C.
Exercı´cio 99. Calcule o trabalho realizado pela forc¸a ~F = (y,2x) para mover uma partı´cula sobre a
curva fechada C =C1∪C2, no sentido anti-hora´rio, onde C1 e´ o segmento de (0,1) para (1,0) e C2 e´
a parte da circunfereˆncia (x−1)2+(y−1)2 = 1, de (1,0) para (0,1). R: 12 + 3pi4 .
Exercı´cio 100. Calcule o trabalho realizado por ~F =(−z,2x,3y) para deslocar uma partı´cula ao longo
da curva C, contida no primeiro octante, que e´ a intersec¸a˜o das superfı´cies z = 4− x2 e x+ y = 1,
percorrida no sentido decrescente de x. R: 17/3.
Exercı´cio 101. “E´ quase meia-noite. Na sala de estar vazia, se ouve apenas o tic-tac do relo´gio de
parede e um leve balanc¸ar das a´rvores la´ de fora. De repente, algo rompe a monotonia noturna. E´ uma
formiga, destas bem pequenas, que esta´ no centro do relo´gio, e comec¸a sua caminhada em direc¸a˜o
a` extremidade do ponteiro dos minutos. Durante o dia, Eduardo havia ajustado as horas com a ma˜o
lambuzada de chocolate, e acabou deixando pequenos trac¸os saborosos no relo´gio. O maior deles
ficou na ponta do marcador de minutos, e a esperta formiga o detectou. Se posicionou ao fim do dia,
esperou todos irem dormir e escalou a parede. Restava agora a u´ltima etapa, na˜o menos difı´cil. Todo
cuidado e´ pouco. A escurida˜o da noite e o movimento do fino ponteiro tornavam os movimentos
arriscados e difı´ceis. Seriam longos 10 centı´metros ate´ a outra ponta. Tomadas as precauc¸o˜es, ela
inicia a jornada a` meia-noite. A caminhada e´ lenta. Vinte longos minutos depois, a pequena formiga
chega ao seu destino. E porque e´ formiga, e na˜o cigarra, na˜o ataca o chocolate ali. Prefere coloca´-lo
nas costas, amarra´-lo firme, e seguir para casa, onde podera´ saborear o doce sem os perigos da noite.
Quando tudo esta´ pronto para a caminhada de volta, uma luz irrompe na sala. E´ Moˆnica que veio do
quarto e apertou o interruptor. Ela atravessa a sala e vai ate´ cozinha. Toma um copo d’a´gua. Dois.
Tira do freezer a carne de amanha˜, que esquecera de tirar mais cedo, e come um pedac¸o de bolo
que sua tia trouxera na ve´spera. Em seguida, apaga a luz e volta para o quarto. A escurida˜o, agora
amiga da formiga, volta a preencher a sala. O relo´gio ja´ marca meia-noite e meia. Dez minutos se
passaram desde que a formiga alcanc¸ou o chocolate. Sa´bia e paciente, ficou imo´vel enquanto Moˆnica
atrapalhava sua empreitada. Agora, ela pode comec¸ar seu caminho de volta, mais perigoso ainda,
devido ao peso nas costas. A` uma da madrugada, a formiga finalmente alcanc¸a o centro do relo´gio. O
resto do caminho de volta e´ terreno conhecido. Ela volta para casa, guarda o chocolate, e se apronta
para a pro´xima excursa˜o. E´ que enquanto esteve imo´vel se escondendo de Moˆnica, na˜o deixou de
notar que esta deixou cair um bom pedac¸o de farelo do bolo na mesa da cozinha. A noite ainda
reservava outras aventuras...”
Sejam C1, C2 e C3 as curvas que descrevem a trajeto´ria da formiga, vistas por um observador na sala,
entre os instantes 0h00 e 0h20, 0h20 e 0h30, e 0h30 e 1h00, respectivamente.
a) Parametrize C1, C2 e C3 como curvas planas. Para isto, identifique o plano xy com a parede onde o
relo´gio esta´, e identifique a origem (0,0) com o centro do relo´gio.
b) Calcule o comprimento de C1.
c) Calcule o trabalho, ao longo de C3, realizado por forc¸a unita´ria e radial, apontando para a origem.
37
38
2.5 Teorema Fundamental das Integrais de Linha
Relembremos o Teorema Fundamental do Ca´lculo:
Teorema 20 (Teorema Fundamental do Ca´lculo).
Se f ′ (x) e´ contı´nua em [a,b], enta˜o ∫ b
a
f ′ (x)dx = f (b)− f (a).
Este teorema relaciona as operac¸o˜es de derivac¸a˜o e integrac¸a˜o para func¸o˜es f (x) de uma varia´vel.
A seguir, veremos um teorema que estabelece uma relac¸a˜o ana´loga para func¸o˜es de va´rias varia´veis,
como f (x,y) ou f (x,y,z). Para entendeˆ-lo melhor, lembre que o gradiente ~∇ f de um campo escalar
(func¸a˜o) f va´rias varia´veis pode ser concebido como a derivada de f .
Teorema 21 (Teorema Fundamental das Integrais de Linha).
Se C e´ uma curva suave por partes, com ponto inicial A e ponto final B, e se as derivadas parciais de
f sa˜o contı´nuas em uma rega˜o D contendo C, enta˜o∫
C
~∇ f · ~dr = f (B)− f (A).
Compare e veja as analogias entre estes dois teoremas fundamentais.
Campos conservativos
Definic¸a˜o 22 (Campo Conservativo).
Um campo gradiente tambe´m e´ chamado de campo conservativo. Ou seja, um campo vetorial ~F e´
conservativo se existir uma func¸a˜o f tal que ~F = ~∇ f , enta˜o ~F . Neste caso dizemos que f e´ uma
func¸a˜o potencial do campo ~F .
Observac¸a˜o 23 (Condic¸a˜o Necessa´ria para ser Conservativo):
Verifique que rot(~∇ f ) =~0. Assim, se ~F e´ um campo conservativo, enta˜o ~F e´ irrotacional (possui
rotacional nulo). Deste modo, temos uma condic¸a˜o alge´brica fa´cil de ser verificada, para saber se um
campo ~F pode ou na˜o ser conservativo: se rot
(
~F
)
=~0, enta˜o ~F pode ser conservativo. Para concluir
que de fato ele e´ conservativo, devemos encontrar uma func¸a˜o potencial f para ele, o que significa,
quando ~F = (P,Q,R), resolver as equac¸o˜es
fx = P, fy = Q, fz = R.
O pro´ximo Teorema explica o porqueˆ do uso da palavra conservativo para um campo gradiente.
Teorema 24 (Conservac¸a˜o da Energia Mecaˆnica).
Considere um campo de forc¸as contı´nuo ~F movendo uma partı´cula ao longo de uma curva-trajeto´ria
C. Enta˜o, o trabalho realizado por ~F e´ igual a` variac¸a˜o da energia cine´tica da partı´cula, i.e´.,
W = K (B)−K(A),
onde A e B sa˜o os pontos inicial e final de C e K(X) representa a energia cine´tica no ponto X .
Ainda, se o campo ~F for conservativo, isto e´, se ele for o gradiente de alguma func¸a˜o potencial f ,
enta˜o, denotando por P = − f a energia potencial, temos que a energia mecaˆnica total e´ conservada
ao longo do movimento:
K (A)+P(A) = K (B)+P(B)
39
Exercı´cios
Exercı´cio 102. (2015/1) Um homem de massa m sobe uma escada helicoidal que circunda um silo.
O silo possui 10 metros de diaˆmetro, altura de 60 metros, e a escada faz quatro voltas completas ao
longo da subida ate´ o topo.
a) Calcule o comprimento da escada. R: 8pi
√
25+ 2254pi2 .
b) Qual e´ o trabalho realizado pelo homem contra a ac¸a˜o da gravidade?. R: −60mg.
c) Seria possı´vel diminuir este trabalho, mudando a forma da escada e/ou o seu comprimento? R: ... .
Exercı´cio 103. Calcule
∫
C
~F · ~dr, onde ~F = (3+2xy,x2−3y2) e C e´ a curva parametrizada por~r (t) =
(e−tsin t ,e−tcos t ) , 0≤ t ≤ 8p.
Exercı´cio 104. O campo ~F =
(
y2,2xy+ e3z,3ye3z
)
e´ conservativo? E o campo ~F =
(
y2+2czx
)
~i+
y(bx+ cz)~j+
(
y2+ cx
)
~k?
Exercı´cio 105. (2014/1) Considere ~F(x,y,z) um campo de forc¸as contı´nuo, movendo uma partı´cula
ao longo de uma trajeto´ria suave C, parametrizada por~r(t), a ≤ t ≤ b, do ponto A =~r(a) ao ponto
B =~r(b).
(a) Utilizando a 2a Lei de Newton, mostre que o trabalho realizado por ~F e´ igual a variac¸a˜o da energia
cine´tica da partı´cula.
(b) Suponha que ~F e´ conservativo. A energia potencial e´ definida como sendo P(x,y,z) tal que ~F =
−~∇P. Mostre que a energia mecaˆnica total da partı´cula e´ preservada durante o movimento ao longo
de C.
Exercı´cio 106. (2014/1) Calcule o trabalho realizado por ~F(x,y,z) = (y2z+2xz2)~i+2xyz~j+(xy2+
2x2z)~k para deslocar uma partı´cula ao longo da curva C, parametrizada por~r(t) =
√
t~i+(t +1) ~j+
t2~k, 0≤ t ≤ 1. R: 5.
Exercı´cio 107. (2014/1) Calcule o trabalho realizado por ~F(x,y,z) = sen y~i+ (xcosy+ cosz)~j−
y sen z~k para deslocar uma partı´cula ao longo da curva C, parametrizada por~r(t) = sen t~i+ t~j+2t~k,
0≤ t ≤ pi/2. R: 1− pi2 .
Exercı´cio 108. Calcule o trabalho realizado pela forc¸a ~F(x,y,z) = (1+ ze(y−x),1− ze(y−x),−e(y−x))
para deslocar uma partı´cula sobre a curva C, intersec¸a˜o do paraboloide z = 8− x2− y2 com o plano
y = x, desde o ve´rticedo paraboloide ate´ o ponto no plano xy, de coordenada x > 0. R: 12.
Exercı´cio 109. Verifique que o trabalho feito por um campo de forc¸as constante ~F = a~i+b~j+c~k para
mover uma partı´cula ao longo de qualquer caminho ligando os pontos A e B e´ dado por W = ~F · ~AB.
Exercı´cio 110. Calcule o trabalho realizado pela forc¸a ~F(x,y) = (2xy3−y2 cosx,1−2ysinx+3x2y2)
ao longo da parabo´la 2x = piy2 de (0,0) a (pi/2,1) R: pi2/4.
Exercı´cio 111. Mostre que o valor da integral∮
C
xy2dx+(x2y+2x)dt
ao longo de qualquer quadrado C com lados paralelos aos eixos depende apenas da a´rea do quadrado
e na˜o da sua posic¸a˜o no plano.
40
2.6 Caracterizac¸a˜o de Campos Conservativos
Veremos agora algumas propriedades que os campos conservativos possuem. Estas propriedades
tambe´m caracterizam estes campos, ou seja, se um campo possui uma delas, enta˜o, necessariamente,
ele e´ conservativo. Em particular, veremos que a propriedade de possuir rotacional nulo caracteriza
um campo como sendo conservativo, se certas hipo´teses adicionais forem satisfeitas. Para enunciar o
Teorema de Caracterizac¸a˜o de Campos Conservativos, precisamos das seguintes definic¸o˜es.
Definic¸a˜o 25 (Aberto, conexo por caminhos, simplesmente conexo).
i) Um conjunto D em R2 ou R3 e´ aberto se, para todo ponto P em D e´ possı´vel obter um disco ou
uma bola contendo P, e inteiramente contido em D. Ou seja, D e´ aberto se na˜o conteˆm nenhum ponto
de sua fronteira.
ii) Um conjunto D emR2 ouR3 e´ conexo por caminhos se, quaisquer dois pontos P e Q em D podem
ser unidos por um caminho inteiramente contido em D.
iii) Um conjunto D em R2 ou R3 e´ simplesmente conexo se ele for conexo por caminhos e, ale´m
disso, se qualquer curva fechada simples contida D envolver, em seu interior, apenas pontos de D. Ou
seja, uma regia˜o simplesmente conexa na˜o possui ‘buracos’.
Teorema 26 (Caracterizac¸a˜o de Campos Conservativos).
Sejam D uma regia˜o aberta, conexa por caminhos, contida em R2 ou R3, e ~F um campo vetorial
contı´nuo em D.
i) Independeˆncia do Caminho.
O campo ~F e´ conservativo se, e somente se, a integral∫
C
~F · ~dr
e´ independente do caminho, isto e´, fixados dois pontos A e B, esta integral possui o mesmo valor
para qualquer curva C suave por partes contida em D, ligando A e B.
ii) Integral em Caminhos fechados.
O campo ~F e´ conservativo se, e somente se, para qualquer curva fechada C, suave por partes,
contida em D, tivermos ∮
C
~F · ~dr = 0.
iii) Rotacional nulo.
Se ~F e´ conservativo, enta˜o o rotacional de ~F e´ nulo, i.e´, ~∇×~F=~0.
Sob as condic¸o˜es adicionais de D ser uma regia˜o simplesmente conexa e de as derivadas parciais
de ~F serem contı´nuas em D, vale a volta desta implicac¸a˜o, ou seja,
“se ~∇×~F =~0 em D, enta˜o ~F e´ um campo conservativo”.
Observac¸a˜o 27:
a) Se ~F = (P,Q) e´ um campo em R2, a condic¸a˜o iii) equivale a ∂Q∂x =
∂P
∂y .
b) Usaremos muito a sua contrapositiva da propriedade iii):
“se ~∇×~F 6=~0 enta˜o ~F na˜o e´ um campo conservativo”.
41
Exercı´cios
Exercı´cio 112. Considere o campo ~F =
( −y
x2+y2 ,
x
x2+y2
)
.
a) Verifique que rot ~F =~0.
b) Verifique que ~F na˜o e´ conservativo. Para isto, calcule diretamente a integral de linha∮
C
~F · ~dr
onde C e´ o cı´rculo x2+ y2 = a2.
c) Explique porque os itens a) e b) na˜o se contradizem.
Exercı´cio 113. Calcule o trabalho realizado por ~F = (y,x,2ze−z2) para mover uma partı´cula ao longo
da curva C, contida no primeiro octante, que e´ a intersec¸a˜o das superfı´cies x2+ z2 = 1 e x+y = 1, e e´
percorrida no sentido decrescente de z. R: 1e −1.
Exercı´cio 114. Calcule
∫
C
2x
y
dx+
(
1− x2
y2
)
dy, onde C e´ uma curva ligando os pontos A = (1,1) e
B = (2,3). R: ?.
Exercı´cio 115. Verifique que o trabalho realizado pelo campo gravitacional
~F =−GmM (x,y,z)
(x2+ y2+ z2)3/2
para deslocar uma partı´cula de um ponto P1 ate´ um ponto P2 e´ dado por
GmM
(
1
s2
− 1
s1
)
,
onde s1 e s2 sa˜o as distaˆncias de P1 e P2 ate´ a origem.
Exercı´cio 116. Considere o campo vetorial ~F dado por
~F =
( −y
x2+ y2−2xy ,
x
x2+ y2−2xy
)
,
definido no conjunto D = {(x,y) | y < x}.
a) Mostre que ~F satisfaz a condic¸a˜o necessa´ria para ser conservativo.
b) Determine se ~F e´, de fato, conservativo.
c) Calcule
∫
C
~F · ~dr, onde C e´ o arco de circunfereˆncia que liga (0,−1) a (1,0) no sentido anti-hora´rio.
R: ....
42
Capı´tulo 3
Ca´lculo Vetorial em R2
43
3.1 Teorema de Green
O Teorema de Green e´ uma importantı´ssima ferramenta do Ca´lculo Vetorial. Podemos utiliza´-lo
para transformar integrais de linha complicadas em integrais duplas mais simples. Ale´m disso, mais
adiante veremos que ele tambe´m possui implicac¸o˜es teo´ricas importantes.
Definic¸a˜o 28 (Curva fechada simples).
Dizemos que uma curva fechada e´ simples, se ela na˜o possuir auto-intersec¸o˜es, exceto a do ponto
inicial com o final.
Teorema 29 (Teorema de Green).
Sejam C uma curva plana, fechada, simples, suave por partes, orientada no sentido anti-hora´rio, e
D a regia˜o cercada por C. Se o campo vetorial ~F(x,y) = (P(x,y) ,Q(x,y)) possui derivadas parciais
contı´nuas em D, enta˜o ∫∫
D
(
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
)
dA =
∮
C
Pdx+Qdy.
A´rea como Integral de Linha
Seja C uma curva nas hipo´teses do Teorema de Green. Se encontrarmos um campo ~F = (P,Q) tal que
∂Q
∂x − ∂P∂y = 1, teremos, pelo Teorema de Green, que∮
C
Pdx+Qdy =
∫∫
D
(
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
)
dA =
∫∫
D
1dA = A´rea(D) . (3.1)
Ou seja, a a´rea de D sera´ dada por uma integral de linha ao longo de sua fronteira C. Existem va´rias
possibilidades para F satisfazendo a condic¸a˜o acima. Os exemplos mais comuns sa˜o:
P = 0, Q = x; P =−y,Q = 0; P =−1
2
y, Q =
1
2
x
Portanto, aplicando o resultado dado em (3.1), temos
A´rea(D) =
∮
C
xdy =
∮
C
−ydx = 1
2
∮
C
−ydx+ xdy.
Versa˜o estendida do Teorema de Green - Regio˜es com furos
Seja D a regia˜o compreendida entre duas curvas fechadas simples, suaves por partes, C1 e C2, sendo
C2 a curva de dentro, e C1 a de fora. Diremos que a fronteira de D e´ a curva C = C1 ∪C2, onde a
orientac¸a˜o de C1e´ no sentido anti-hora´rio, e a orientac¸a˜o de C2 e´ no sentido hora´rio, de modo que D
estara´ sempre a` esquerda ao caminharmos em ambas as curvas nestas orientac¸o˜es. Nestas condic¸o˜es,
vale tambe´m uma versa˜o estendida do Teorema de Green, entendendo que
∮
C=
∮
C1 +
∮
C2 :∫∫
D
(
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
)
dA =
∮
C
Pdx+Qdy =
∮
C1
Pdx+Qdy+
∮
C2
Pdx+Qdy.
44
Exercı´cios
Exercı´cio 117. (a) Calcule
∮
C
(
x4− y3)dx+(x3+ y5)dy, onde C e´ parametrizada por~r (t)= (cos t ,sint ) , t ∈
[0,2pi].
(b) Calcule
∮
C
(
3y+ ex2cosx
)
dx+
(√
y2+8−2x
)
dy, onde C e´ o triaˆngulo de ve´rtices (0,0) ,(1,0) ,(1,1) .
Exercı´cio 118. Verifique que a´rea de uma elipse de semi-eixos a e b e´ piab.
Exercı´cio 119. Considere o campo ~F=
( −y
x2+ y2
,
x
x2+ y2
)
.
a) Verifique que, para toda curva suave fechada simples por partes, envolvendo a origem, temos∮
C
~F · ~dr = 2pi
(Utilize o Teorema de Green na sua versa˜o estendida e o exercı´cio 112).
b) Calcule os “dois lados” (as duas integrais) do Teorema de Green para o campo ~F e o disco D =
{(x,y) : x2+ y2 ≤ a2}. Explique porque elas tem valores diferentes.
c) Calcule o trabalho realizado por ~F ao longo de C = C1 ∪C2, onde C1 e´ a para´bola y = x2 + 1,
0 ≤ x ≤ 1, percorrida da esquerda para a direita, e C2 e´ o segmento de reta saindo de (1,2) e indo a
(0,2). R: 0.
Exercı´cio 120. Verifique que o Teorema de Green e´ verdadeiro para o campo
∮
C
(2xy− x2)dx+(x+
y2)dy, sendo C a fronteira da regia˜o compreendida entre y = x2 e y2 = x. R: Os dois lados da˜o 1/30.
Exercı´cio 121. (2014/1)
a) Utilizando o Teorema de Green, mostre que a a´reade uma regia˜o D simplesmente conexa e´ dada
por
A(D) =
1
2
∮
C
x dy− y dx,
onde C e´ a fronteira da regia˜o D, orientada no sentido anti-hora´rio.
b) Seja P um polı´gono de n lados, com ve´rtices consecutivos (x1,y1), (x2,y2), ..., (xn,yn), no sentido
anti-hora´rio. Obtenha uma fo´rmula para a a´rea de P em termos das coordenadas de seus ve´rtices.
(Dica: primeiro, calcule diretamente a integral de linha∫
Li
x dy− y dx,
onde Li e´ o lado ligando os ve´rtices (xi,yi) e (xi+1,yi+1)).
c) Encontre a a´rea delimitada pela hipociclo´ide x2/3+ y2/3 = a2/3. R: 3pia2/8.
Exercı´cio 122. Considere C =C1
⋃
C2, onde C1 e´ a parte da circunfereˆncia x2+y2 = 2, percorrida no
sentido anti-hora´rio, de (−1,1) para (0,√2) e C2 o segmento de reta de (0,
√
2) para (0,0). Calcule∫
C
(y+ x100)dx+(2x+ y100)dy
R: 3pi4 +
3
2 .
45
Exercı´cio 123. Seja D a regia˜o do plano delimitada pelas curvas x = y2, x =−y2 e y = 1.
a) Calcule
∫∫
D e
y3dA. R: 23(e−1).
b) Seja C =C1∪C2, onde C1 e´ a curva x =−y2 percorrida de (−1,1) para (0,0) e C2 e´ a curva x = y2
percorrida de (0,0) para (1,1). Calcule o trabalho realizado por ~F = (y+ x,x+ g(y) + xey
3
) para
mover uma partı´cula ao longo de C, onde g(y) e´ uma func¸a˜o real qualquer com derivada contı´nua. R:
2
3(e+2).
Exercı´cio 124. Calcule ∮
C
1− y
(x−1)2+(y−1)2 dx+
x−1
(x−1)2+(y−1)2 dy
no sentido anti-hora´rio, onde
a) C e´ o cı´rculo unita´rio de centro (1,1). R: ....
b) C e´ uma curva qualquer, fechada, simples, suave por partes, passando pela origem, e C e´ a fronteira
de um conjunto D que conteˆm a regia˜o (x−1)2+(y−1)2 ≤ 1.
Exercı´cio 125. Seja C a fronteira da regia˜o de R2 limitada por y= x, y=−x e x2+y2 = 4 com y≥ 0,
orientada no sentido anti-hora´rio. Calcule∮
C
(
y2
2
+ ln(1+ x6)
)
dx+
(
2xy+ sin(5+4y2)
)
dy.
R: ....
Exercı´cio 126. Determine uma curva C fechada simlpes, com orientac¸a˜o no sentido anti-hora´rio que
maximiza o valor de ∮
C
1
3
y3 dx+
(
x− 1
3
x3
)
dy.
46
3.2 Divergente e Rotacional: Derivadas de Campos Vetoriais
O vetor gradiente como derivada de um campo escalar
Uma func¸a˜o f (x,y) pode ser vista como um campo escalar no plano xy. Por exemplo: altura, tempera-
tura, intensidade de luz, densidade populacional, etc. O gradiente de f (x,y) e´ o vetor ~∇ f =
(
∂ f
∂x ,
∂ f
∂y
)
.
No caso de uma func¸a˜o de uma varia´vel, f = f (x), temos
~∇ f =
(
d f
dx
)
,
de modo que o vetor gradiente de f (x) e´ o vetor de uma dimensa˜o formado pela derivada f ′(x).
Voltando a uma func¸a˜o de duas varia´veis f = f (x,y), podemos estender este fato e dizer que sua
derivada “total” e´ o seu vetor gradiente, composto pelas suas derivadas parciais:
f ′ = ~∇ f =
(
∂ f
∂x
,
∂ f
∂y
)
.
Esta generalizac¸a˜o na˜o e´ apenas um artifı´cio puramente notacional, pois e´ fortemente justificada por
fatos geome´tricos. Para entender o porqueˆ, basta observar que todas as treˆs propriedades geome´tricas
do vetor gradiente ~∇ f de uma func¸a˜o f (x,y) sa˜o tambe´m propriedades geome´tricas da derivada f ′(x)
de uma func¸a˜o f (x) (fac¸a um esboc¸o gra´fico destes fatos para se convencer deles):
i) ~∇ f (x,y) e´ perpendicular a`s curvas de nı´vel f (x,y) = cte, enquanto f ′(x) e´ “perpendicular” a`
“curva de nı´vel” f (x) = cte.
ii) ~∇ f (x,y) aponta na direc¸a˜o de maior crescimento de f (x,y), enquanto f ′(x), vista como vetor no
eixo-x, aponta na direc¸a˜o de crescimento de f (x).
iii)
∣∣∣~∇ f (x,y)∣∣∣ mede o qua˜o ra´pido f (x,y) esta´ mudando na direc¸a˜o de ~∇ f , enquanto f ′(x) mede
inclinac¸a˜o do gra´fico de f (x) e, portanto, e´ uma medida de qua˜o ra´pido f (x) esta´ mudando.
Assim, nada mais natural do que considerar o gradiente ~∇ f como sendo a derivada da func¸a˜o f (x,y).
O operador diferencial ~∇ e as derivadas de um campo vetorial ~F
O gradiente de f (x,y), ~∇ f =
(
∂ f
∂x ,
∂ f
∂y
)
pode ser visto como o produto do ‘vetor’
~∇=
(
∂
∂x
,
∂
∂y
)
=
∂
∂x
~i+
∂
∂y
~j
pelo nu´mero escalar f (x,y):
~∇ f =
(
∂
∂x
,
∂
∂y
)
f =
(
∂ f
∂x
,
∂ f
∂y
)
=
∂ f
∂x
~i+
∂ f
∂y
~j.
O ‘vetor’ ~∇ =
(
∂
∂x ,
∂
∂y
)
= ∂∂x
~i+ ∂∂y ~j, chamado de ‘nabla’, na˜o e´ um vetor de nu´meros reais. Suas
componentes ∂∂x e
∂
∂y sa˜o operadores diferenciais, i.e´, representam operac¸o˜es que calculam derivadas.
De acordo com o que vimos acima, o produto ~∇ f e´ a derivada ‘total’ de uma func¸a˜o escalar f (x,y)
(vetor gradiente), de modo que podemos enxergar ~∇ como um operador diferencial, ou melhor,
como o ‘operador derivada generalizado’.
Utilizando esta ideia, podemos definir e calcular a derivada ‘total’ de um campo vetorial ~F (x,y) =
(P(x,y) ,Q(x,y)) fazendo o produto entre os vetores ~∇ e ~F . Contudo, existem dois tipos de produtos
entre vetores, de modo que um campo vetorial ~F ira´ possuir duas ‘derivadas’ diferentes.
47
Definic¸a˜o 30 (Divergente e Rotacional).
O produto escalar
~∇ ·~F=
(
∂
∂x
,
∂
∂y
)
· (P(x,y) ,Q(x,y)) = ∂P
∂x
+
∂Q
∂y
e´ chamado divergente do campo ~F , e tambe´m e´ denotado por div ~F .
O produto vetorial
~∇×~F =
(
∂
∂x
,
∂
∂y
)
× (P,Q) =
∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
∂x ∂y 0
P Q 0
∣∣∣∣∣∣=
(
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
)
~k
e´ chamado rotacional do campo ~F , e tambe´m e´ denotado por rot ~F (observe que para calcularmos
rot ~F , consideramos ~∇×~F como vetores em R3).
Para campos em R3, estas definic¸o˜es sa˜o ana´logas. O divergente de um campo ~F = (P,Q,R) e´
div ~F = ~∇ ·~F=
(
∂
∂x
,
∂
∂y
,
∂
∂z
)
· (P(x,y,z) ,Q(x,y,z) ,R(x,y,z)) = ∂P
∂x
+
∂Q
∂y
+
∂R
∂z
e o rotacional de ~F e´
rot ~F =~∇×~F=
(
∂
∂x
,
∂
∂y
,
∂
∂z
)
×(P,Q,R)=
∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
∂x ∂y ∂z
P Q R
∣∣∣∣∣∣=
(
∂R
∂y
− ∂Q
∂z
)
~i+
(
∂P
∂z
− ∂R
∂x
)
~j+
(
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
)
~k
Observac¸a˜o 31:
Note que o divergente de um campo ~F e´ um nu´mero real, enquanto o rotacional de ~F e´ um vetor com
a mesma dimensa˜o de ~F .
Interpretac¸a˜o Fı´sica do Divergente e Rotacional
Suponha que ~F representa o campo de velocidades de um fluido (um ga´s ou um lı´quido) escoando no
plano ou espac¸o.
Divergente O valor do divergente de ~F num ponto P0 do fluido representa a taxa de variac¸a˜o total
da massa de fluido escoando do ponto, por unidade de a´rea (ou volume). Esta valor e´ chamado de
densidade de fluxo no ponto P0. Assim,
- div ~F(P0)> 0 significa que o fluido esta´ se expandindo em P0.
- div ~F(P0)< 0 significa que o fluido esta´ se contraindo em P0.
Se div ~F = 0 em todo ponto, dizemos que o fluido e´ incompressı´vel. A maioria dos lı´quidos, como a
a´gua, por exemplo, sa˜o incompressı´veis.
Rotacional O valor da componente~k do rotacional de ~F num ponto P0, dada por
rot ~F(P0) ·~k = ∂Q∂x (P0)−
∂P
∂y
(P0),
representa o quanto uma partı´cula no fluido esta´ ‘girando’ em torno de P0, no sentido anti-hora´rio.
Este valor e´ chamado de densidade de circulac¸a˜o. Assim,
- rot ~F(P0) ·~k > 0 significa que o fluido esta´ girando no sentido anti-hora´rio em P0.
- rot ~F(P0) ·~k < 0 significa que o fluido esta´ girando no sentido hora´rio em P0.
Se rot ~F =~0 em todo ponto, enta˜o dizemos que o fluido e´ irrotacional.
48
Exercı´cios
Exercı´cio 127. Calcule o divergente e o rotacional do campo
~F (x,y,z)=x2y~i+ y2z ~j+ z2x~k
Exercı´cio 128. Calcule o divergente e o rotacional dos campos
a) ~F (x,y)=cx~i+ cy ~j (expansa˜o se c > 0, e contrac¸a˜o se c < 0)
b) ~F (x,y)=− cy~i+ cx ~j (rotac¸a˜o uniforme)
c) ~F (x,y)=y~i (cisalhamento)
d) ~F (x,y)=− y√
x2+y2
~i+ x√
x2+y2
~j (redemoinho)
Exercı´cio 129. Mostre que qualquer campo vetorial da forma
~F(x,y,z) = ( f (x),g(y),h(z)) ,
onde f ,g e h sa˜o deriva´veis, e´ irrotacional (possui rotacional nulo).
Exercı´cio 130. Mostreque qualquer campo vetorial da forma
~F(x,y,z) = ( f (y,z),g(x,z),h(x,y)) ,
onde f ,g e h possuem derivadas parciais contı´nuas, e´ incompressı´vel (possui divergente nulo).
Exercı´cio 131. Seja f um campo escalar e ~F um campo vetorial. Argumente sobre quais das ex-
presso˜es abaixo possuem significado (esta˜o bem definidas), e quais na˜o esta˜o definidas, explicando o
porqueˆ. Para as que estiverem definidas, responda se o resultado e´ um campo escalar ou um campo
vetorial.
a) rot f
b) grad f
c) div ~F
d) rot (grad f )
e) grad ~F
f) grad (div ~F)
g) div (grad f )
h) grad (div f )
i) rot (rot ~F)
j) div (div ~F)
k) (grad f ) × (div ~F)
l) div(rot(grad f ))
Exercı´cio 132. Mostre que rot (grad f )= 0, para todo campo escalar f com derivadas parciais ate´
segunda ordem contı´nuas.
Exercı´cio 133. Mostre que div (rot ~F)= 0, para todo campo vetorial ~F com derivadas parciais ate´
segunda ordem contı´nuas.
Exercı´cio 134. Existe algum campo vetorial ~F em R3 tal que rot ~F = (xsiny,cosy,z−xy)? Por que?
Exercı´cio 135. Existe algum campo vetorial ~F em R3 tal que rot ~F = (xyz,−y2z,yz2)? Por que?
Exercı´cio 136. Em cada caso e´ mostrado o esboc¸o do campo vetorial ~F(x,y). Responda se div ~F e´
nulo, positivo ou negativo, explicando o porqueˆ. Responda tambe´m se rot ~F e´ nulo ou na˜o; se na˜o for
nulo, ele aponta em que direc¸a˜o?
49
50
3.3 O Fluxo de um Campo Vetorial no Plano
Sejam C uma curva fechada simples, orientada no sentido anti-hora´rio, e D a regia˜o delimitada por
ela. Suponha que~v(x,y) descreve o campo de velocidades de um fluido escoando em R2 e que ρ(x,y)
e´ a densidade (massa/a´rea) do fluido no ponto (x,y). Queremos calcular a quantidade (massa) de
fluido que sai de D, ou seja, que passa atrave´s da curva C, ao longo do tempo. Para isto, fixe um ponto
P na curva, e considere os seguintes elementos:
- ds: elemento de comprimento de arco em torno de P
- ~n : vetor unita´rio normal a` curva C no ponto P, apontando para fora de D
- dt : intervalo de tempo muito pequeno
- dl: distaˆncia percorrida pelas partı´culas do fluido, a partir do ponto P, durante o intervalo dt,
na direc¸a˜o do vetor ~n
- dA: a´rea de fluido que passa atrave´s de C em ds durante o intervalo dt
- dm : massa que atravessa a curva C em ds durante o intervalo dt
Temos o seguinte. Apo´s um tempo dt, as partı´culas que estavam em P, va˜o sofrer um deslocamento
~vdt. Deste deslocamento, a componente na direc¸a˜o~n e´
dl =~v ·~n dt
Assim, a a´rea de fluido que efetivamente sai de D, atravessando C em ds durante o intervalo dt e´
dA = dl ds =~v ·~n dt ds
Portanto, a massa que atravessa a curva C em ds durante o intervalo dt e´
dm = ρ dA = ρ~v ·~n dt ds
Somando, para cada ponto da curva, essas massas que atravessam a curva C, temos massa total dM
que atravessa a curva C durante o intervalo dt:
dM =
∮
C
dm =
∮
C
ρ~v ·~n dt ds
Logo, a taxa de escoamento, ou vaza˜o, ou fluxo, do fluido passando atrave´s da curva C em cada
instante de tempo (em unidades de massa/tempo) e´
dM
dt
=
∮
C
ρ~v ·~n ds
Compare as unidades do lado direito para confirmar que dM/dt realmente possui unidades de massa/tempo.
O fluxo de um campo vetorial atrave´s de uma curva fechada.
A deduc¸a˜o acima motiva a seguinte definic¸a˜o:
Definic¸a˜o 32 (O fluxo de um campo atrave´s de uma curva).
Sejam C uma curva fechada simples, suave por partes, e D a regia˜o delimitada por ela. O fluxo do
campo vetorial ~F(x,y) = (P(x,y) ,Q(x,y)) atrave´s da curva C e´ definido como sendo a integral de
linha: ∮
C
~F ·~n ds
onde~n e´ o vetor unita´rio normal a C apontando para fora de D.
51
Notac¸o˜es para o vetor normal e para o fluxo
No contexto acima, seja r (t) = (x(t) ,y(t)) uma parametrizac¸a˜o de C. Queremos agora obter uma
expressa˜o para o vetor normal unita´rio exterior ~n e, com isto, calcular o fluxo de ~F atrave´s de C. O
vetor unita´rio tangente a C e´ dado por
~T =
~r′
|~r′| =
(x′,y′)√
x′2+ y′2
E´ fa´cil ver que os vetores
~n+ =
(y′,−x′)√
x′2+ y′2
e ~n− =− (y
′,−x′)√
x′2+ y′2
sa˜o unita´rios e sa˜o ortogonais a ~T , pois~n+ ·~T = 0=~n− ·~T . Assim, o vetor normal exterior~n procurado
sera´ ou ~n+ ou ~n−. Fazendo um desenho da curva C e de ~T em um ponto onde x′ > 0 e y′ > 0,
concluı´mos que~n e´ dado por~n+, ou seja,
~n(t) =
(y′ (t) ,−x′ (t))√
x′(t)2+ y′ (t)2
.
Utilizando este fato, vamos obter uma expressa˜o simplificada para~nds, que facilite o ca´lculo do fluxo∫
C
~F ·~nds. Lembrando que o elemento de comprimento de arco e´
ds =
∣∣~r′ (t)∣∣dt =√x′(t)2+ y′ (t)2dt
podemos escrever
~n ds =
(y′ (t) ,−x′ (t))√
x′(t)2+ y′ (t)2
√
x′(t)2+ y′ (t)2dt =
(
y′ (t) ,−x′ (t))dt
ou seja,
~n ds = (dy,−dx) . (3.2)
(compare com ~T ds = ~dr = (dx,dy)). Ainda, lembrando que o elemento de deslocamento e´ ~dr =
(dx,dy), podemos definir o elemento de deslocamento ortogonal,
~dr
⊥
= (dy,−dx)
para simbolizar o vetor ortogonal a ~dr de mesmo comprimento que ~dr, de modo que tambe´m temos
~n ds = ~dr
⊥
. (3.3)
Com as notac¸o˜es (3.2) e (3.3) acima para a expressa˜o ~nds, podemos escrever a integral de linha
que representa o fluxo de ~F = (P,Q) atrave´s de C de duas maneiras:∮
C
~F ·~n ds =
∮
C
~F · ~dr⊥, ou
∮
C
~F ·~n ds =
∮
C
Pdy−Qdx.
A primeira notac¸a˜o enfatiza que o fluxo de ~F atrave´s de C e´ dado pela soma das componentes de ~F
normais a C em cada ponto. A segunda notac¸a˜o nos da´ a maneira mais pra´tica e ra´pida de calcular o
fluxo.
52
3.4 Teoremas de Stokes e da Divergeˆncia no Plano
No que segue abaixo, assumiremos va´lidas todas as hipo´teses do Teorema de Green, isto e´: C e´
uma curva plana, fechada, simples, suave por partes, orientada no sentido anti-hora´rio, D e´ a regia˜o
cercada por C, e ~F = (P(x,y) ,Q(x,y)) e´ um campo que possui derivadas parciais contı´nuas em D.
Ale´m disso,~n e´ o vetor unita´rio normal a C apontando para fora de D. Neste contexto, relembremos
que o Teorema de Green nos diz que∮
C
Pdx+Qdy =
∫∫
D
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
dA.
Veremos a seguir os importantes Teoremas de Stokes e da Divergeˆncia no Plano, que nada mais sa˜o
do que verso˜es vetoriais do Teorema de Green.
Circulac¸a˜o e o Teorema de Stokes no Plano
Se ~F representa o campo de velocidades de um fluido escoando no plano, a integral de linha∮
C
~F ·~T ds =
∮
C
~F · ~dr =
∮
C
Pdx+Qdy
representa a circulac¸a˜o de ~F ao longo de C, uma medida de quanto o campo escoa ou circula ao longo
da curva, no sentido anti-hora´rio. Lembrando que
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
=
(
rot ~F
)
·~k
podemos aplicar o Teorema de Green a integral de circulac¸a˜o de ~F , relacionando-a a uma integral
dupla, obtendo o seguinte:
Circulac¸a˜o de ~F =
∮
C
~F ·~T ds =
∮
C
Pdx+Qdy =
∫∫
D
(
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
)
dA =
∫∫
D
(
rot ~F
)
·~k dA.
Esta igualdade e´ conhecida como Teorema de Stokes no Plano.
Teorema 33 (Stokes no Plano).
Nas hipo´teses do Teorema de Green, temos que∫∫
D
(
rot ~F
)
·~k dA =
∮
C
~F ·~T ds.
Interpretac¸a˜o Fı´sica do Teorema da Stokes no Plano
53
Fluxo e o Teorema da Divergeˆncia no Plano
Por outro lado, vimos tambe´m que o fluxo do campo ~F atrave´s de C e´ dado pela integral de linha∮
C
~F ·~n ds =
∮
C
Pdy−Qdx.
Da mesma forma que acima, podemos aplicar o Teorema de Greena a esta integral e obter outro
resultado interessantı´ssimo e muito importante:
Fluxo de ~F =
∮
C
~F ·~n ds =
∮
C
Pdy−Qdx =
∮
C
(−Q)dx+Pdy
=
∫∫
D
(
∂
∂x
(P)− ∂
∂y
(−Q)
)
dA =
∫∫
D
(
∂P
∂x
+
∂Q
∂y
)
dA =
∫∫
D
div ~F dA.
Este resultado e´ conhecido como Teorema da Divergeˆncia no Plano, ou Teorema de Gauss no plano,
e enunciamo-lo a seguir para maior clareza.
Teorema 34 (Divergeˆncia no Plano).
Nas hipo´teses do Teorema de Green,temos que∫∫
D
div ~F dA =
∮
C
~F ·~n ds
onde~n e´ o vetor unita´rio normal a C apontando para fora de D.
Interpretac¸a˜o Fı´sica do Teorema da Divergeˆncia no Plano
No contexto onde ~v(x,y) e´ o campo de velocidades de um fluido escoando no plano e ρ(x,y) e´ a
densidade do fluido, vimos que a massa de fluido que sai de D atrave´s de C, por unidade de tempo, e´
o fluxo do campo ρ~v, isto e´:
dM
dt
=
∮
C
ρ~v ·~n ds
Aplicando o Teorema da Divergeˆncia, temos que
dM
dt
=
∮
C
ρ~v ·~n ds =
∫∫
D
div (ρ~v) dA
ou seja, a quantidade de fluido que sai de D atrave´s de sua fronteira C e´ o resultado da soma de todas
as divergeˆncias div (ρ(x,y)~v(x,y)) em cada ponto (x,y) do interior de D. Assim, temos uma lei de
balanc¸o, ou, lei de conservac¸a˜o:
fluxo atrave´s de C (o que sai menos o que entra) = variac¸a˜o no interior (fontes menos sumidouros)
Comparac¸a˜o dos Teoremas Fundamentais
Note as semelhanc¸as que os dois teoremas acima possuem com o Teorema Fundamental do Ca´lculo,
onde uma integrac¸a˜o se cancela com uma derivac¸a˜o.
Teorema de Stokes no Plano - Versa˜o vetorial tangencial do Teorema de Green:∫∫
D
(
~∇×~F
)
·~k dA =
∮
C
~F ·~T ds =
∮
C
~F · ~dr
Teorema da Divergeˆncia no Plano - Versa˜o vetorial normal do Teorema de Green:∫∫
D
~∇ ·~F dA =
∮
C
~F ·~n ds =
∮
C
~F · ~dr⊥
54
Exercı´cios
Exercı´cio 137. Usando a definic¸a˜o, calcule o fluxo de ~F = (xy,y2− x) atrave´s do semicı´rculo x2 +
y2 = 2x, com y ≥ 0, percorrido no sentido anti-hora´rio. Depois, use o Teorema da Divergeˆncia no
Plano. R: 0.
Exercı´cio 138. Calcule a circulac¸a˜o e o fluxo dos campos ~F = (x,y) e ~G= (−y,x) ao longo do cı´rculo
x2+ y2 = 1.
Exercı´cio 139. Calcule diretamente o fluxo do campo vetorial~v =
(
x
x2+y2 ,
y
x2+y2
)
atrave´s do circulo
x2+ y2 = a2. Depois, tente aplicar o Teorema da Divergeˆncia. Porque na˜o e´ possı´vel aplica´-lo? Se~v
representa a velocidade de um fluido, como explicar o fluxo ser positivo, se div~v =~0?
Exercı´cio 140. Considere o campo ~F(x,y) = (xy,y2) e a curva C, que e´ a fronteira da regia˜o D =
{(x,y) | x≥ 0, x2 ≤ y≤ x}.
(a) Calcule o fluxo de ~F atrave´s de C. R: 1/5.
(b) Calcule a circulac¸a˜o de ~F ao longo de C. R: −1/12.
Exercı´cio 141. Seja f (x,y) = ln(x2+ y2).
(a) Verifique que o fluxo de ~∇ f atrave´s do cı´rculo x2+ y2 = a2, no sentido exterior, e´ na˜o-nulo.
b) Calcule o fluxo de ~∇ f atrave´s de uma curva fechada simples C que na˜o passa pela origem. So´ ha´
dois possı´veis valores, dependendo se a curva C envolve ou na˜o a origem (0,0).
Exercı´cio 142. (2015/1) Considere o campo ~F(x,y) = (2xy− y2,x2− y2+2y).
a) Seja C uma curva plana qualquer, fechada, simples, e D a regia˜o cercada por C. Mostre que o fluxo
de ~F atrave´s de C e´ igual ao dobro da a´rea de D.
b) Seja C1 a curva y = x2−1, −1≤ x≤ 1, orientada da esquerda para a direita. Mostre que a integral
linha de ~F ao longo de C1 possui o mesmo valor que a integral dupla∫ 1
−1
∫ 0
x2−1
2y dydx.
55
56
Capı´tulo 4
Ca´lculo Vetorial em R3
57
4.1 Superfı´cies Parametrizadas
Relembrando a ideia de curvas parametrizadas
Lembre-se que uma curva no espac¸o, R3, e´ representada, ou parametrizada, por uma func¸a˜o vetorial
~r(t) = (x(t),y(t),z(t)) , t ∈ [a,b].
Assim, podemos imaginar que~r(t) e´ uma func¸a˜o que transforma o intervalo unidimensional, retilı´neo,
[a,b], na curva espacial unidimensional C = {~r(t) | t ∈ [a,b]}. Temos um paraˆmetro livre, t, e por isso
o domı´nio [a,b] e a imagem C possuem dimensa˜o um. A ideia para descrever superfı´cies no espac¸o
sera´ esta mesma ideia, so´ que com dois paraˆmetros livres, para obtermos objetos de dimensa˜o dois,
de modo que uma superfı´cie e´ um plano curvado.
Extendendo para dimensa˜o dois: o conceito de superfı´cie parametrizada
Definic¸a˜o 35 (Superfı´cie Parametrizada).
Dizemos que uma superfı´cie S contida no espac¸o R3 esta´ parametrizada, ou representada, pela
parametrizac¸a˜o
~r(u,v) = (x(u,v),y(u,v),z(u,v)) , (u,v) ∈ D, D⊂ R2,
se S for a imagem de~r(u,v), ou seja, se
S = {(x,y,z) ∈ R3 | (x,y,z) =~r(u,v), (u,v) ∈ D}.
Neste caso, dizemos que as equac¸o˜es parame´tricas de S sa˜o
x = x(u,v)
y = y(u,v)
z = z(u,v)
, (u,v) ∈ D.
Note que o domı´nio D da parametrizac¸a˜o e´ um subconjunto de R2, e portanto, e´ um pedac¸o de plano,
possuindo dimensa˜o dois. Este pedac¸o D e´ transformado por ~r(u,v) na superfı´cie S, que possui,
portanto, dimensa˜o dois. Os dois paraˆmetros livres aqui sa˜o u e v.
Note tambe´m que as equac¸o˜es u = u0 = cte e v = v0 = cte, para va´rios valores de u0 e v0, definem,
respectivamente, retas verticais e horizontais contidas no domı´nio D. Estas retas sa˜o levadas, pela
parametrizac¸a˜o~r(u,v), nas chamadas curvas de grade da superfı´cie S, dadas pelas equac¸o˜es
~r(u0,v), (u0,v) ∈ D e
~r(u,v0), (u,v0) ∈ D.
Assim, a superfı´cie S pode ser vista tambe´m como a unia˜o de um feixe de curvas de grade~r(u0,v), ou
~r(u,v0).
Agora, considere um ponto P0 =~r(u0,v0) contido em S, e as curvas de grade passando por P0. Os
vetores tangentes a estas curvas de grade, no ponto P0, sa˜o dados por
~ru(u0,v0) e ~rv(u0,v0).
Como as curvas esta˜o contidas em S, segue que estes dois vetores sa˜o tangentes a superfı´cie S em
P0, de modo que eles geram o plano tangente a S no ponto P0. Definiremos o vetor normal a
superfı´cie S no ponto P0 como sendo o vetor normal ao plano tangente a S em P0, que e´ dado por
qualquer mu´ltiplo do produto vetorial
~ru(u0,v0)×~rv(u0,v0).
58
Caso particular de superfı´cie parametrizada: gra´ficos de func¸a˜o
Um caso particular que ocorre frequentemente e´ quando a superfı´cie S e´ o gra´fico de uma func¸a˜o
de duas varia´veis. Neste caso, podemos ja´ deduzir as fo´rmulas gerais para a parametrizac¸a˜o e vetor
normal, e aplica´-las diretamente.
Se S e´ o gra´fico de uma func¸a˜o z = g(x,y), com (x,y) ∈ D, a parametrizac¸a˜o e o vetor normal sa˜o:
x = x
y = y
z = g(x,y)
(x,y) ∈ D
, ~rx×~ry = (−gx,−gy,1).
Se S e´ o gra´fico de uma func¸a˜o y = g(x,z), com (x,z) ∈ D, a parametrizac¸a˜o e o vetor normal sa˜o:
x = x
y = g(x,z)
z = z
(x,z) ∈ D
, ~rx×~rz = (−gx,1,−gz).
Se S e´ o gra´fico de uma func¸a˜o x = g(y,z), com (y,z) ∈ D, a parametrizac¸a˜o e o vetor normal sa˜o:
x = g(y,z)
y = y
z = z
(y,z) ∈ D
, ~ry×~rz = (1,−gy,−gz).
59
Exercı´cios
Exercı´cio 143. a) Identifique e esboce a superfı´cie parametrizada por
~r(u,v) = (2cosu,v,2sinu)
e identifique as curvas de grade u = cte e v = cte.
b) Desenhe a superfı´cie se restringirmos (u,v) ao domı´nio D = [0,pi/2]× [0,3].
c) Encontre o vetor normal~ru×~rv num ponto qualquer.
Exercı´cio 144. Encontre uma representac¸a˜o parame´trica para a esfera x2 + y2 + z2 = a2, determine
suas curvas de grade, e o vetor normal num ponto qualquer. .
Exercı´cio 145. (a) Encontre uma parametrizac¸a˜o para o plano contido emR3, passando por um ponto
P, e paralelo aos vetores ~A e ~B.
(b) Encontre uma parametrizac¸a˜o para o plano tangente a uma superfı´cie S, num ponto P0 =~r(u0,v0)∈
S.
(c) Encontre uma parametrizac¸a˜o para o plano tangente a esfera do Exemplo 144, no ponto P0 qual-
quer e, depois, analise os casos em que P0 esta´ no equador, ou nos po´los sul/norte.
Exercı´cio 146. Encontre uma parametrizac¸a˜o para o paraboloide z = x2 + 2y2, 0 ≤ z ≤ 1, e o seu
vetor normal num ponto qualquer.
Exercı´cio 147. Parametrize o cone x2 = y2+ z2, 0≤ x≤ 3, de duas maneiras diferentes: utilizando a
ideia de coordenadas polares, e depois, como gra´fico de func¸a˜o. Em ambos os casos, calcule o vetor
normal num ponto qualquer, e no ponto (3,0,3).
60
4.2 A´rea e Integrais de Superfı´cie de Campos Escalares
Seja S uma superfı´cie parametrizada com parametrizac¸a˜o~r(u,v), (u,v)∈D. Queremos calcular a a´rea
desta superfı´cie. Para isto, fazemoso seguinte:
- Dividimos o plano R2 que conteˆm a regia˜o D em retaˆngulos pequenos, todos com base ∆u e altura
∆v e, portanto, com a´rea ∆A = ∆u∆v.
- Chamemos de n a quantidade destes retaˆngulos que esta˜o contidos na regia˜o D. Podemos enumera´-
los numa ordem qualquer e chama´-los de Ri, i = 1, ...,n.
- Cada retaˆngulo Ri em D e´ levado pela parametrizac¸a˜o num pedac¸o Si da superfı´cie S. Embora os
Ri’s tenham todos a mesma a´rea ∆u∆v, cada Si pode possuir uma a´rea diferente, que denotaremos
por ∆Si. Assim, a a´rea de S e´ aproximadamente
A(S)≈
n
∑
i=1
∆Si.
- E´ possı´vel mostrar que a a´rea de cada Si e´ aproximadamente
∆Si = ||~ru(ui,vi)×~rv(ui,vi)||∆u∆v,
onde (ui,vi) e´ um ponto do retaˆngulo Ri em D.
- Ou seja, ao transformar um retaˆngulo Ri de a´rea ∆u∆v em um pedac¸o de superfı´cie Si, a parametrizac¸a˜o
multiplica a a´rea deste retaˆngulo por um fator ||~ru(ui,vi)×~rv(ui,vi)||, que depende de cada retaˆngulo.
- Assim, a a´rea de S e´ aproximadamente
A(S)≈
n
∑
i=1
∆Si ≈
n
∑
i=1
||~ru(ui,vi)×~rv(ui,vi)||∆u∆v.
- No limite, quando ∆u,∆v→ 0, a a´rea e´ exata. Cada retaˆngulo Ri tende a um u´nico ponto (u,v) ∈D,
e temos uma soma contı´nua ao longo de todos os pontos (u,v) de D. Portanto, a a´rea e´ a integral
A(S) =
∫∫
S
dS =
∫∫
D
||~ru(u,v)×~rv(u,v)|| du dv.
Definic¸a˜o 36 (A´rea de Superfı´cie).
A a´rea de uma superfı´cie parametrizada S, com parametrizac¸a˜o
~r(u,v) = (x(u,v),y(u,v),z(u,v)) , (u,v) ∈ D,
e´ dada pela integral
A(S) =
∫∫
S
dS =
∫∫
D
||~ru×~rv||dudv,
onde dS = ||~ru×~rv||dudv e´ chamado de elemento de a´rea de superfı´cie.
Esta integral na˜o depende da parametrizac¸a˜o dada, isto e´, qualquer que seja a parametrizac¸a˜o esco-
lhida, o valor da integral sera´ o mesmo.
61
Massa como uma integral de superfı´cie
No contexto acima, suponha que S representa uma placa fina de metal, na˜o necessariamente plana.
Suponha que a densidade (superficial) em cada ponto (x,y,z) desta chapa possa ser descrita por uma
func¸a˜o contı´nua ρ(x,y,z).
Enta˜o, conforme o procedimento, S pode ser dividida em pedac¸os Si de a´rea
∆Si = ||~ru(ui,vi)×~rv(ui,vi)||∆u∆v,
Como a densidade ρ(x,y,z) e´ contı´nua, e como cada pedac¸o Si e´ muito pequeno, podemos supor
que em cada um destes pedac¸os, ρ(x,y,z) e´ aproximadamente constante, igual a ρ(xi,yi,zi), onde
(xi,yi,zi) =~r(ui,vi) e´ a imagem do ponto (ui,vi) pela parametrizac¸a˜o.
Assim, a massa de cada pedac¸o Si e´ aproximadamente
mi ≈ ρ(xi,yi,zi)∆Si,
de modo que a massa total da chapa e´ aproximada por
m≈
n
∑
i=1
mi ≈
n
∑
i=1
ρ(xi,yi,zi)∆Si.
Utilizando as expresso˜es para ∆Si e (xi,yi,zi) em termos da parametrizac¸a˜o, obtemos
m≈
n
∑
i=1
ρ(~r(ui,vi)) ||~ru(ui,vi)×~rv(ui,vi)||∆u∆v.
Fazendo ∆u,∆v→ 0, temos a massa exata, e a soma se torna contı´nua. Ou seja, a massa e´:
m =
∫∫
S
ρ(x,y,z)dS =
∫∫
D
ρ(~r(u,v)) ||~ru×~rv|| dudv.
Integral de Superfı´cie de um Campo Escalar
Motivados pela construc¸a˜o acima, podemos definir a integral de superfı´cie de uma func¸a˜o (campo
escalar) f (x,y,z).
Definic¸a˜o 37 (Integral de Superfı´cie de um Campo Escalar).
Sejam S uma superfı´cie parametrizada, com parametrizac¸a˜o~r(u,v), (u,v)∈D, e f (x,y,z) uma func¸a˜o
contı´nua definida em alguma regia˜o E ⊂ R3 contendo S. A integral de f (x,y,z) sobre S e´ definida
como sendo o limite∫∫
S
f (x,y,z)dS = lim
∆u,∆v→0
n
∑
i=1
ρ(~r(ui,vi)) ||~ru(ui,vi)×~rv(ui,vi)||∆u∆v.
e calculada da seguinte maneira:∫∫
S
f (x,y,z)dS =
∫∫
D
f (~r(u,v)) ||~ru×~rv|| dudv.
Aplicac¸o˜es e Propriedades
i) Esta integral tambe´m e´ chamada integral de superfı´cie de 1a espe´cie.
ii) Quando f (x,y,z) = 1 o valor desta integral representa a a´rea de S.
iii) Quando S representa uma chapa e f (x,y,z) representa a densidade em cada ponto da chapa, o
valor desta integral representa a massa da chapa.
iv) Esta integral na˜o depende da parametrizac¸a˜o dada, isto e´, qualquer que seja a parametrizac¸a˜o
escolhida, o valor da integral sera´ o mesmo.
62
Caso particular: gra´ficos de func¸a˜o
No caso particular onde S e´ o gra´fico de uma func¸a˜o de duas varia´veis, ja´ sabemos as fo´rmulas para a
parametrizac¸a˜o e vetor normal, de modo que a fo´rmula para o elemento de a´rea e´ imediata. Temos:
i. Se S e´ o gra´fico de uma func¸a˜o z = g(x,y), com (x,y) ∈ D, o elemento de a´rea de superfı´cie e´
dS = ||~rx×~ry|| dx dy =
√
g2x +g2y +1 dx dy ,
e a integral de superfı´cie de f sobre S e´∫∫
s
f (x,y,z)dS =
∫∫
s
f (x,y,g(x,y))
√
g2x +g2y +1 dx dy.
ii. Se S e´ o gra´fico de uma func¸a˜o y = g(x,z), com (x,z) ∈ D, o elemento de a´rea de superfı´cie e´
dS = ||~rx×~rz|| dx dz =
√
g2x +g2z +1 dx dz ,
e a integral de superfı´cie de f sobre S e´∫∫
s
f (x,y,z)dS =
∫∫
s
f (x,g(x,z),z)
√
g2x +g2z +1 dx dz.
iii. Se S e´ o gra´fico de uma func¸a˜o x = g(y,z), com (y,z) ∈ D, o elemento de a´rea de superfı´cie e´
dS = ||~ry×~rz|| dy dz =
√
g2y +g2z +1 dy dz ,
e a integral de superfı´cie de f sobre S e´∫∫
s
f (x,y,z)dS =
∫∫
s
f (g(y,z),y,z)
√
g2y +g2z +1 dy dz.
63
Exercı´cios
Exercı´cio 148. Calcule a a´rea do cone x2 = y2 + z2, 0 ≤ x ≤ 3, utilizando as duas parametrizac¸o˜es
diferentes encontradas no Exemplo 147.
Exercı´cio 149. Calcule a a´rea da esfera do Exemplo 144. R: 4pia2.
Exercı´cio 150. Calcule a a´rea do paraboloide do z= x2+y2 abaixo do plano z= 9. R: pi6 (37
√
37−1).
Exercı´cio 151. Calcule
∫∫
S x
2dS, onde S e´ a esfera x2+ y2+ z2 = 1. R: 4pi/3.
Exercı´cio 152. Calcule a a´rea do paraboloide do z= x2+y2 abaixo do plano z= 9. R: pi6 (37
√
37−1).
Exercı´cio 153. Seja a superfı´cie S com parametrizac¸a˜o dada por
x = x
y = y
z =−a2(x2+ y2)+a2
x2+ y2 ≤ 1
.
Esboce S e calcule sua a´rea. R: ....
Exercı´cio 154. (2014/1) Calcule a a´rea de superfı´cie da parte da esfera x2 + y2 + z2 = a2 que esta´
dentro do cilindro x2+ y2 = ay e acima do plano xy. R: ... .
Exercı´cio 155. Calcule a massa da parte da superfı´cie z = x2+ y2 em que z≤ 16, y≥ 0 e exterior ao
cilindro x2+ y2 = 4y, se a densidade em cada ponto e´ dada por ρ(x,y,z) =
1√
z(1+4z)
. R: 4pi−8.
Exercı´cio 156. Calcule a a´rea da parte do cone z2 = 4(x2 + y2), z ≥ 0 que esta´ dentro do cilindro
x2+ y2 = 2x. R: 4pi−8.
Exercı´cio 157. Seja S a porc¸a˜o da superfı´cie x2 + y2 = 9 situada no primeiro octante, dentro da
superfı´cie cilı´ndrica x2+9z2 = 9. Se a densidade em cada ponto de S e´ proporcional ao quadrado da
distaˆncia do ponto ao plano xy, com constante de proporc¸a˜o igual a 12, calcule a massa de S. R: 8.
64
4.3 Integrais de Superfı´cie de Campos Vetoriais
O fluxo de um fluido atrave´s de uma superfı´cie
Sejam S uma superfı´cie parametrizada,~v(x,y,z) o campo de velocidades de um fluido escoando emR3
e ρ(x,y,z) a densidade (massa/volume) do fluido no ponto (x,y,z). Queremos calcular a quantidade
(massa) de fluido que atravessa, em um sentido escolhido, a superfı´cie S ao longo do tempo. Para
isto, fixe um ponto P = (x,y,z) na superfı´cie, e considere os seguintes elementos:
- dS: elemento de superfı´cie torno de P;
- ~n: vetor unita´rio normal a` superfı´cie S no ponto P; apontando no sentido estabelecido anteriormente;
- dt: intervalo de tempo muito pequeno;
- dl: distaˆncia percorrida pelas partı´culas do fluido, a partir do ponto P, durante o intervalo dt, na
direc¸a˜o do vetor~n;
- dV : volume de fluido que passa atrave´s de S em dS durante o intervalo dt;
- dm: massa que atravessa S em dS durante o intervalo dt.
Temos o seguinte. Apo´s um tempo dt, as partı´culas que estavam em P, va˜o sofrer um deslocamento
~vdt. Deste deslocamento, a componente na direc¸a˜o~n e´
dl =~v ·~n dt.
Assim, o volume de fluido que efetivamente atravessa S em dS durante o intervalo dt e´
dV = dldS =~v ·~n dt dS.
Portanto,a massa que atravessa S em dS durante o intervalo dt e´
dm = ρdA = ρ~v ·~n dS dt.
Somando as massas que atravessam S em cada ponto, temos a massa total dM que atravessa S durante
o intervalo dt:
dM =
∫
S
ρ~v ·~n dS dt.
Logo, a taxa de escoamento, ou vaza˜o, ou fluxo, do fluido passando atrave´s da superfı´cie S em cada
instante de tempo (em unidades de massa/tempo) e´
∆M
∆t
=
dM
dt
=
∫
S
ρ~v ·~n dS
Compare as unidades do lado direito para confirmar que dM/dt realmente possui unidades de massa/tempo.
Integral de Superfı´cie de 2a Espe´cie - Definic¸a˜o e propriedades
Motivados pela construc¸a˜o acima, podemos definir a integral de superfı´cie de um campo ~F(x,y,z).
Definic¸a˜o 38 (Orientac¸a˜o de Superfı´cies).
Seja S uma superfı´cie parametrizada, com parametrizac¸a˜o~r(u,v), (u,v) ∈ D. Dizemos que S e´ uma
superfı´cie orienta´vel se o vetor normal
~ru(u,v)×~rv(u,v)
65
for na˜o nulo em todo ponto de S, e contı´nuo para (u,v) ∈ D. Se S for orienta´vel, ela possui dois
vetores normais unita´rios, apontando em sentidos contra´rios, dados por
~n+ =+
~ru×~rv
||~ru×~rv|| e ~n− =−
~ru×~rv
||~ru×~rv|| .
Dizemos que ~n+ e ~n− determinam duas orientac¸o˜es possı´veis para a superfı´cie S. Escolher uma
orientac¸a˜o para S corresponde a escolher entre ~n+ ou ~n−, ou seja, corresponde a escolher um dos
lados de S. No caso particular em que a superfı´cie S e´ fechada (e´ a fronteira de um so´lido E) dizemos
que a orientac¸a˜o positiva e´ aquela que aponta para fora do so´lido.
Definic¸a˜o 39 (Fluxo de um campo atrave´s de uma superfı´cie).
Sejam S uma superfı´cie orienta´vel, com parametrizac¸a˜o
~r(u,v) = (x(u,v),y(u,v),z(u,v)) , (u,v) ∈ D.
e~n um vetor normal a S, unita´rio, apontando em uma orientac¸a˜o escolhida para S. Seja ~F(x,y,z) um
campo vetorial contı´nuo definido em alguma regia˜o E ⊂ R3 contendo S.
O Fluxo do Campo ~F(x,yy,z) atrave´s de S, na direc¸a˜o dada por~n, e´ definido como sendo a integral
de superfı´cie ∫∫
S
~F(x,y,z) · ~dS =
∫∫
S
~F(x,y,z) ·~n dS
onde
~dS =~n dS
e´ chamado elemento de a´rea de superfı´cie orientado. Ele possui a informac¸a˜o do elemento de a´rea
de superfı´cie, mas tambe´m a direc¸a˜o em que estamos orientando S.
Como
~n =± ~ru×~rv||~ru×~rv||
e dS = ||~ru×~rv|| dudv, temos que
~dS =± ~ru×~rv||~ru×~rv|| ||~ru×~rv||dudv =±(~ru×~rv) dudv,
Logo, o fluxo de ~F sobre S e´ calculado da seguinte maneira:∫∫
S
~F(x,y,z) · ~dS =±
∫∫
D
~F((~r(u,v)) · (~ru×~rv) dudv,
onde o sinal e´ escolhido conforme a orientac¸a˜o fixada por~n.
Observac¸o˜es:
1. Esta integral e´ chamada uma integral de superfı´cie de 2a espe´cie, ou integral de superfı´cie de
campo vetorial.
2. Quando ~F = ρ~v representa o produto entre a a densidade de um fluido e sua velocidade, esta
integral representa a taxa (volume por unidade de tempo) na qual o fluido esta´ atravessando S
em direc¸a˜o ao lado descrito pelo vetor~n.
3. Esta integral na˜o depende da parametrizac¸a˜o dada, isto e´, qualquer que seja a parametrizac¸a˜o
escolhida, o valor da integral sera´ o mesmo.
66
Exercı´cios
Exercı´cio 158. Quando S e´ o gra´fico de uma func¸a˜o de duas varia´veis, z = g(x,y), com (x,y) ∈ D,
verifique que o elemento de superfı´cie orientado e fluxo de um campo ~F = (P,Q,R) atrave´s de S sa˜o
dados por
~dS =±(−gx,−gy,1) dxdy e
∫∫
s
~F · ~dS =±
∫∫
s
(−Pgx−Qgy+R) dx dy.
Obtenha fo´rmulas ana´logas para os casos em que S e´ o gra´fico de uma func¸a˜o y = g(x,z) e depois
x = g(y,z).
Exercı´cio 159. Calcule o fluxo do campo ~F(x,y,z) = (z,y,x) sobre a esfera x2+y2+z2 = 1. R: 4pi/3.
Exercı´cio 160. Calcule o fluxo do campo ~F(x,y,z)= (y,x,z) sobre a fronteira do so´lido E = {(x,y,z)∈
R3 | 0≤ z≤ 1− x2− y2}. R: 4pi/3.
Exercı´cio 161. Escreva as fo´rmulas para os casos em que S e´ o gra´fico de uma func¸a˜o y = g(x,z) e
x = g(y,z).
Exercı´cio 162. Calcule o fluxo de ~F(x,y,z) = (0,yz,z2) sobre o cilindro y2+z2 = 1, z≥ 0, 0≤ x≤ 1,
orientado para cima. R: 2.
Exercı´cio 163. Sejam S1 a parte do plano x+ z = 4 interior a` superfı´cie cilı´ndrica x2+ y2 = 4 e S2 a
parte da superfı´cie cilı´drica x2+ y2 compreendida entre os planos z = 0 e x+ z = 4. Seja ~F(x,y,z) =
(x+2,y+ f (z),0), onde f (z) e´ uma func¸a˜o real com derivada contı´nua.
a) Calcule o fluxo de ~F atrave´s de S1 no sentido crescente de z. R: 8pi.
b) Escreva a integral dupla que representa o fluxo de ~F atrave´s de S2.
Exercı´cio 164. Seja S a parte do plano x+ y+ z = 4 situada no interior do cilindro x2+ y2 = 4, com
orientac¸a˜o no sentido positivo de z. Calcule o fluxo de ~F = (−2x,−2y,4z) atrave´s de S. R: 64pi.
67
4.4 Teorema da Divergeˆncia
Relembremos o Teorema da Divergeˆncia no Plano: se C e´ uma curva fechada simples, orientada no
sentido anti-hora´rio, D e´ a regia˜o cercada pela curva,~n e´ o vetor normal unita´rio apontando para fora
da curva, e ~F(x,y) e´ um campo com derivadas parciais contı´nuas em D, enta˜o∮
C
~F ·~n ds =
∫∫
D
~∇ ·~F dA.
Fisicamente, vimos que o Teorema da Divergeˆncia nos diz que o fluxo de ~F atrave´s de C e´ igual a
soma das divergeˆncias de ~F em cada ponto de D, ou seja, o que fluido que sai atrave´s de C depende
das expanso˜es e contrac¸o˜es que ocorrem no interior.
Veremos agora a versa˜o do Teorema da Divergeˆncia em R3, inteiramente ana´loga a esta, e que
relaciona uma integral de superfı´cie (o fluxo de ~F atrave´s de uma superfı´cie fechada S) com uma
integral tripla, e possui a mesma interpretac¸a˜o fı´sica que sua versa˜o no plano.
Teorema 40 (Teorema da Divergeˆncia).
Sejam S uma superfı´cie fechada suave, e E a regia˜o so´lida cercada por S, ~F(x,y,z) um campo vetorial
com derivadas parciais contı´nuas, e~n o vetor unita´rio normal a S, apontando para fora de S. Enta˜o,∫∫
S
~F ·~n dS =
∫∫∫
E
~∇ ·~F dV.
O lado esquerdo do Teorema da Divergeˆncia e´ o fluxo de ~F atrave´s de S na direc¸a˜o para fora de
E, tambe´m representado por ∫∫
S
~F · ~dS.
Muitas vezes, esta integral de superfı´cie pode ser difı´cil de calcular, e o Teorema da Divergeˆncia nos
fornece uma maneira de transforma´-la em uma integral tripla, geralmente mais fa´cil.
Equac¸a˜o da Continuidade
68
Exercı´cios
Exercı´cio 165. Calcule os dois lados do Teorema da Divergeˆncia para o campo ~F(x,y,z) = (x,y,z) e
a esfera x2+ y2+ z2 = a2.
Exercı´cio 166. Utilize o Teorema da Divergeˆncia para calcular o fluxo do Exemplo 159.
Exercı´cio 167. Calcule o fluxo de ~F(x,y,z) = (xy,y2+ exz2,sinxy) sobre a fronteira S da regia˜o limi-
tada pelo cilindro parabo´lico z = 1− x2 e pelos planos z = 0,y = 0 e y+ z = 2. R: 184/55.
Exercı´cio 168. Calcule o fluxo de ~F(x,y,z) = (xy,yz,xz) sobre a fronteira S do cubo cujas faces sa˜o
os planos coordenados e os planos x = 1, y = 1 e z = 1.
Exercı´cio 169. Calcule o fluxo de ~F(x,y,z) = (z2x, 13y
3+ tanz,x2z+y2) sobre o hemisfe´rio x2+y2+
z2 = 1, z > 0. R: 13pi/20.
Exercı´cio 170. (2014/1) Utilizando o Teorema da Divergeˆncia, calcule o fluxo do campo ~F(x,y,z) =
xz~i−2x ~j+3~k atrave´s do hemisfe´rio x2+ y2+ z2 = 4, z≥ 0, orientado para baixo. R: −16pi.
Exercı´cio 171. (2014/1) Calcule a integral de superfı´cie∫∫
S
~F · ~dS,
onde ~F = (ye−z+ xz2)~i+(cosz+ yx2)~j+(sen x+ y2z)~k, e S e´ a fronteira do so´lido
E = {(x,y,z)|
√
x2+ y2 ≤ z≤
√
4− x2− y2};
(a orientac¸a˜o de S e´ positiva, no sentido exterior ao so´lido). R: 32pi5
(
2−√2
)
.
Exercı´cio 172. (2014/1) Calcule a integral de superfı´cie∫∫
S
~F · ~dS,
onde ~F = y3 cos z~i+(ez + y)~j+(sen y+ x2)~k, e S e´ a fronteira do so´lida compreendido abaixo do
cone z =
√
x2+ y2, acima do plano z = 0 e dentro da esfera x2 + y2 + z2 = 1; (a orientac¸a˜o de S e´
positiva, no sentido exterior ao so´lido). R: pi
√
2
3 .
Exercı´cio 173. Considere o so´lido W que conteˆm o eixo-z, delimitado superiormente pela superfı´cie
coˆnica S1 : z = 4−
√
x2+y2, inferiormente pela superfı´cie coˆnica S2 : z =
√
x2+ y2 e lateralmente
pelo cilindro S3 : x2+y2 = 1. Calcule o fluxo de ~F =(x+z,y+z,2z) atrave´s de S1∪S2, com orientac¸a˜o
apontando para fora de W . R: 20pi/3.
Exercı´cio 174. Seja S a superfı´cie esfe´rica de equac¸a˜o x2 + y2 + z2 = 2az, z ≤ a, a > 0 constante,
com vetor normal tendo componente~k negativa. Calcule o fluxo de ~F = (y5,x5,2z) atrave´s de S. R:
−23pia3.
Exercı´cio 175. Utilize o Teorema da Divergeˆncia para calcular o fluxo de ~F atrave´s de S2, do
Exercı´cio 163, b). R: 24pi.
69
Exercı´cio 176. Considere o campo ~F =
(x,y,z)
(x2+ y2+ z2)3/2
.
a) Calcule o fluxo de ~F atrave´s da esfera x2+ y2+ z2 = 1, orientada para fora. R: ....
b) Calcule o fluxo de ~F atrave´s do elipso´ide 4(x−2)2+4y2+ z2 = 4, orientado para fora. R: ....
c) Calcule
∫∫∫
E1 div
~FdV , onde E1 e´ o so´lido delimitado pela superfı´cie do item a).
d) Calcule
∫∫∫
E2 div
~FdV , onde E2 e´ o so´lido delimitado pela superfı´cie do item b).
Exercı´cio 177. Sejam S uma superfı´cie fechada simples suave por partes e~n o vetor normal unita´rio
exterior. Mostre que a a´rea de S e´ dada por
A(S) =
∫∫∫
E
div~ndV,
onde E e´ o so´lido delimitado por S.
70
4.5 Teorema de Stokes
Relembremos o Teorema de Stokes no Plano: se C e´ uma curva fechada simples, orientada no
sentido anti-hora´rio, D e´ a regia˜o cercada pela curva, ~T e´ o vetor unita´rio tangente a` curva, e ~F(x,y) =
(P,Q) e´ um campo com derivadas parciais contı´nuas em D, enta˜o∮
C
~F ·~T ds =
∫∫
D
(
~∇×~F
)
·~k dA,
ou tambe´m, ∮
C
~F · ~dr =
∫∫
D
Qx−Py dA,
Fisicamente, o Teorema de Stokes nos diz que a circulac¸a˜o de ~F ao longo de C e´ igual a soma das
componentes rotacionais normais de ~F em cada ponto de D, ou seja, a circulac¸a˜o resultante em C e´
fruto da soma de todas as rotac¸o˜es internas.
Veremos agora a versa˜o, inteiramente ana´loga, do Teorema da Stokes em R3, que relaciona uma
integral de linha (a circulac¸a˜o de ~F ao longo de uma curva C) com uma integral de superfı´cie, e possui
a mesma interpretac¸a˜o fı´sica que sua versa˜o no plano.
Teorema 41 (Teorema de Stokes).
Seja S uma superfı´cie suave por partes, com orientac¸a˜o dada pelo vetor unita´rio normal ~n. Seja C a
borda (ou fronteira) de S (C e´ uma curva), com orientac¸a˜o induzida (escolhida) da seguinte maneira:
ao caminhar sobre C, seguindo a orientac¸a˜o dada por~n, a superfı´cie S deve estar sempre a` esquerda.
Seja ~F(x,y,z) um campo vetorial com derivadas parciais contı´nuas. Enta˜o,∮
C
~F · ~dr =
∫∫
S
(
~∇×~F
)
·~n dS.
Observac¸a˜o 42: 1. As orientac¸o˜es de C e S no Teorema de Stokes esta˜o ‘amarradas’ uma a` outra
segundo uma regra da ma˜o direita: ao vetor ~n corresponde o polegar direito, ao sentido de
percurso de C corresponde o sentido dos outros dedos da ma˜o direita, de modo que a superfı´cie
S e´ ‘abrac¸ada’ pela palma da ma˜o direita.
2. Note do Teorema de Stokes que se S1 e S2 sa˜o duas superfı´cies diferentes, mas com mesma
borda C, enta˜o ∫∫
S1
(
~∇×~F
)
·~n dS =
∫∫
S2
(
~∇×~F
)
·~n dS.
71
Exercı´cios
Exercı´cio 178. Calcule
∫
C
~F · ~dr, onde ~F(x,y,z) = (−y2,x,z2) e C e´ a intersec¸a˜o do plano y+ z = 2
com o cilindro x2+ y2 = 1, orientada no sentido anti-hora´rio quando vista de cima. R: 13pi/20.
Exercı´cio 179. Calcule os dois lados do Teorema de Stokes quando ~F(x,y,z) = (y,x,0) e S e´ o he-
misfe´rio x2+y2+z2 = 9, z≥ 0. Calcule tambe´m a circulac¸a˜o de ~F ao longo da borda deste hemisfe´rio,
utilizando um disco contido no plano z = 0. R: −18pi.
Exercı´cio 180. Utilize o Teorema de Stokes para calcular a circulac¸a˜o de ~F(x,y,z) = (x2− y,4z,x2)
ao longo da curva C que e´ a intersec¸a˜o do cone z=
√
x2+ y2, orientado para cima, com o plano z= 2.
Utilize S1 =cone, e tambe´m S2 =plano, e compare os resultados. R: 4pi.
Exercı´cio 181. Calcule a circulac¸a˜o de ~F(x,y,z) = (xz,xy,3xz) ao longo C, onde C e´ a intersec¸a˜o do
plano 2x+ y+ z = 2 com os planos coordenados, orientada no sentido anti-hora´rio quando vista de
cima. R: −1.
Exercı´cio 182. (2014/1) Verifique que o Teorema de Stokes e´ verdadeiro para o campo ~F(x,y,z) =
−2yz~i+ y ~j+3x~k e a superfı´cie S, dada pela parte do paraboloide z = 5− x2− y2 que esta´ acima do
plano z = 1, orientada para cima. R: os dois lados da igualdade sa˜o 8pi.
Exercı´cio 183. (2014/1) Calcule a integral de linha∮
C
~F · ~dr,
onde ~F = x2z~i+ xy2~j+ z2~k, e C e´ a intersec¸a˜o do cilindro x2+ y2 = 9 com o paraboloide z = x2+ y2.
(A orientac¸a˜o de C e´ no sentido anti-hora´rio, quando vista de cima). R: 81pi4 .
Exercı´cio 184. (2014/1) Calcule a integral de linha∮
C
~F · ~dr,
onde ~F = ex cos x4~i+ x~j− xy~k, e C e´ a intersec¸a˜o do cilindro x2+ y2 = 1 com a superfı´cie z = 2xy.
(A orientac¸a˜o de C e´ no sentido anti-hora´rio, quando vista de cima). R: pi.
Exercı´cio 185. Calcule ∮
C
~F · ~dr,
onde ~F =(z,y, f (z)), onde f e´ uma func¸a˜o de classe C1 e a curva C e´ a intersec¸a˜o do plano x+y+z= 2
com a superfı´cie x2+ y2 = 1. A projec¸a˜o de C no plano xy e´ percorrida no sentido anti-hora´rio. R: pi.
Exercı´cio 186. Considere o polı´gono C, contido no plano x+ y = 1, com ve´rtices A = (1,0,0), B =
(0,1,0), C = (0,1,1) e D = (1,0,1), percorrido no sentido ABCDA. Calcule a circulac¸a˜o de ~F =
(2x, f (y),2y) ao longo de C, onde f (y) e´ uma func¸a˜o real qualquer com derivada contı´nua. R: 2.
Exercı´cio 187. Seja C uma curva qualquer fechada simples contida no plano 2x+2y+ z= 2. Mostre
que ∮
C
2ydx+3zdy− xdz
72
depende apenas da a´rea delimitada por C, e na˜o depende da posic¸a˜o nem do formato de C.
Revisa˜o
Exercı´cio 188. (2015/1) Seja S a superfı´cie dada pela equac¸a˜o z = 1− x2− y2, com z≥ 0, orientada
para baixo. Considere o campo
~F(x,y,z) = (−xez+2x,−yez,2ez).
a) Calcule a a´rea de S. R: pi6 (5
√
5−1).
b) Calcule o fluxo de ~F atrave´s de S. R: −4pi.
c) Calcule o fluxo de rot ~F atrave´s de S. R: 0. R: ?.
Exercı´cio 189. (2015/1) Sejam S1 a parte da esfera x2 + y2 + z2 = 2 que esta´ acima do cone z =√
x2+ y2, e S2 a parte deste cone que esta´ abaixo (dentro) desta mesma esfera. Seja S = S1 ∪ S2.
Considere o campo
~F =
( −x
z2+1
,
y
2
,arctanz
)
.
a) Obtenha parametrizac¸o˜es para S1 e S2, expresse a a´rea de S como a soma de duas integrais duplas
e calcule-as. R: A(S) =
∫∫
D
√
2√
2−x2−y2 +
∫∫
D
√
2dA = ..., onde D = {(x,y) | x2+ y2 ≤ 1}
b) Calcule o fluxo de ~F atrave´s de S1, orientada para cima E. R: pi6 (4
√
2−5)+ pi24 .
c) Calcule o fluxo de rot ~F atrave´s de S2, orientada para baixo. R: 0.
Exercı´cio 190. Mostre que para qualquer campo vetorial ~F com derivadas parciais contı´nuas, o fluxo
de rot ~F atrave´s de qualquer superfı´cie fechada S suave por partes e´ zero, utilizando:
a) O Teorema da Divergeˆncia.
b) O Teorema de Stokes.
73
74
Apeˆndice A
Apeˆndices
75
A.1 Revisa˜o de Geometria Analı´tica
Vetores e Pontos no Espac¸o
O espac¸o tridimensional R3 e´ o conjunto R3 = {(x,y,z) | x,y,z ∈ R}.
Todo ponto no espac¸o e´ descrito por meio de suas coordenadas: P = (x,y,z).
O vetor posic¸a˜o do ponto P e´ o vetor com mesmas coordenadas que P: ~OP = (x,y,z).
A distaˆncia entre dois pontos P = (x,y,z) e P0 = (x0,y0,z0) e´ dada por:
d(P,P0) =
√
(x− x0)2+(y− y0)2+(z− z0)2.
A norma de um vetor v = (x,y,z) e´ dada por:
d(P,P0) =
√
x2+ y2+ z2.
Produtos entre Vetores:
Dados dois vetores~a = (a1,a2,a3) e~b = (b1,b2,b3), podemos calcular dois produtos entre eles.
O produto escalar (ou produto interno) e´ um nu´mero, definido por
~a ·~b = a1b1+a2b2+a3b3.
Possui a seguinte propriedade: a · b = |a||b|cosθ, onde θ e´ o aˆngulo entre ~a e~b. Portanto pode ser
usado para determinar o aˆngulo entre dois vetores conhecidos. Ale´m disso, o produto escalar a· b e´
nulo se, e somente se,~a e~b formam um aˆngulo de 90 graus, ou seja, sa˜o ortogonais (perpendiculares).
O produto escalar e´ ma´ximo quando~a e~b possuem mesma direc¸a˜o e sentido.
O produto vetorial e´ um vetor, definido pelo ‘determinante’
~a×~b =
∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
a1 a2 a3
b1 b2 b3
∣∣∣∣∣∣= (a2b3−a3b2,a3b1−a1b3,a1b2−a2b1).
Possui a seguinte propriedade: ~a×~b e´ um vetor ortogonal ao plano que conteˆm~a e~b, e possui norma
dada por
|~a×~b|= |~a||~b|sinθ,
onde θ e´ o aˆngulo entre~a e~b. Este valor e´ igual a a´rea do paralelogramo cujos lados sa˜o~a e~b.
Retas no Plano
Uma reta r em R2 (plano x×), pode ser descrita de treˆs maneiras diferentes. Cada maneira possui
suas vantagens e e´ conveniente em alguma situac¸a˜o.
1. Forma implı´cita: r e´ o conjunto de pontos que satisfazem uma equac¸a˜o da forma ax+by = c.
2. Como gra´fico de func¸a˜o: r e´ o gra´fico de uma func¸a˜o da forma y= y0+m(x−x0). Neste caso,
r passa pelo ponto (x0,y0) e possui coeficiente angular m.
3. Forma Parametrizada: r pode ser parametrizada como uma func¸a˜o vetorial
~r(t) = ~P0+ t~v,
onde ~P0 = (x0,y0) e´ um ponto da reta e ~v = (A,B) e´ um vetor paralelo a ela. Suas equac¸o˜es
parame´tricas sa˜o {
x = x0+At
y = y0+Bt
.
76
Curvas no Plano
Da mesma forma, toda curva em R2 pode ser descrita destas treˆs formas diferentes. Vejamos o
exemplo da circunfereˆncia C de raio R e centro na origem.
1. Forma implı´cita: C e´ o conjunto de pontos que satisfazem a equac¸a˜o x2+ y2 = R2.
2. Como gra´fico de func¸a˜o: C e´ a unia˜o dos gra´ficos das func¸o˜es
y =−
√
1− x2 e y =
√
1− x2, x ∈ [−1,1].
3. Forma Parametrizada: C pode ser descrita pela parametrizac¸a˜o
r(t) = (Rcos t,Rsin t), t ∈ [0,2pi].
Planos no Espac¸o
No espac¸o R3, o mesmo acontece com um plano Π. Ele pode ser descrito das seguintes maneiras.
1. Forma implı´cita: Π e´ o conjunto de pontos que satisfazem a equac¸a˜o ax+by+ cz = d. Neste
caso, o vetor normal ao plano e´ ~N = (a,b,c) e d e´ dado por d = ax0+by0+cz0, onde (x0,y0,z0)
e´ um ponto do plano.
2. Como gra´fico de func¸a˜o: Π e´ o gra´fico de uma func¸a˜o da forma
z = z0+m1(x− x0)+m2(y− y0).
Aqui, o plano passa por (x0,y0,z0), e possui inclinac¸o˜es m1 na direc¸a˜o x e m2 na direc¸a˜o y.
3. Forma Parametrizada: Π pode ser descrito pela parametrizac¸a˜o
X(u,v) = P0+u~a+ v~b, u,v ∈ R,
onde P0 e´ um ponto no plano e ~a = (a1,a2,a3) e~b = (b1,b2,b3) sa˜o dois vetores que geram o
plano. As equac¸o˜es parame´tricas ficam:
x = x0+a1u+b1v
y = y0+a2u+b2v
z = z0+a3u+b3v
.
Superfı´cies no Espac¸o
Tambe´m e´ possı´vel descrever superfı´cies no espac¸o utilizando qualquer uma das treˆs formas acima.
Na˜o entraremos em detalhes sobre isto aqui. Ao contra´rio, estudaremos casos particulares importantes
de superfı´cies descritas implicitamente.
Superfı´cies Qua´dricas
Uma superfı´cie qua´drica e´ uma superfı´cie cuja descric¸a˜o implı´cita e´ dada por uma equac¸a˜o de 2o grau
nas varia´veis x, y e z, ou seja, uma equac¸a˜o da forma:
Ax2+By2+Cz2+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+ Iz+ J = 0.
Todas as qua´dricas se resumem a 7 tipos. As formas mais comuns destes tipos sa˜o:
77
1. Elipsoide: a equac¸a˜o de um elipsoide centrado na origem, com semi-eixos a, b e c e´
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1
2. Hiperboloide de uma folha: a equac¸a˜o de um hiperboloide de uma folha cujo eixo de simetria
e´ o eixo-z e´:
x2
a2
+
y2
b2
− z
2
c2
= 1
3. Hiperboloide de duas folhas: a equac¸a˜o de um hiperboloide de duas folhas cujo eixo de simetria
e´ o eixo-z e´:
−x
2
a2
− y
2
b2
+
z2
c2
= 1
4. Cone Elı´ptico: a equac¸a˜o de um cone cujo eixo de simetria e´ o eixo-z e´:
x2
a2
+
y2
b2
− z
2
c2
= 0
5. Cilindro Elı´ptico: a equac¸a˜o de um cilindro elı´ptico cujo eixo de simetria e´ o eixo-z e´:
x2
a2
+
y2
b2
= 0
6. Paraboloide Elı´ptico: a equac¸a˜o de um paraboloide elı´ptico cujo eixo de simetria e´ o eixo-z e´:
z =
x2
a2
+
y2
b2
7. Paraboloide Hiperbo´lico: a equac¸a˜o de um paraboloide hiperbo´lico cujo eixo de simetria e´ o
eixo-z e´:
z =±x
2
a2
∓ y
2
b2
Superfı´cies Cilı´ndricas
Toda superfı´cie cuja descric¸a˜o implı´cita e´ dada por uma equac¸a˜o que so´ envolve duas das varia´veis x,
y e z, e´ chamada de superfı´cie cilı´ndrica. Alguns exemplos comuns sa˜o
1. Cilindro Elı´ptico: ale´m de ser uma qua´drica, ele e´ tambe´m uma superfı´cie cilı´ndrica. Um
cilindro circular reto de raio R, cujo eixo central e´ o eixo-z, possui equac¸a˜o dada por
x2+ y2 = R2.
Observe que, no plano xy, esta equac¸a˜o define um cı´rculo de raio R e centro (0,0).
2. Cilindro parabo´lico: um exemplo e´ dado pela equac¸a˜o
y = x2.
Esta equac¸a˜o e´ dada em R3, assim este cilindro pode ser visto como o rastro da para´bola y = x2
movida na paralelamente ao eixo-z, para cima e para baixo.
78
A.2 Formula´rio - Integrais de Linha e Ca´lculo Vetorial
Integrais de Linha em R2, com C = {~r(t), t ∈ [a,b]}, f = f (x,y), ~F = (P,Q):
1. ds = |~r′(t)| dt, ~dr = ~T ds = dx~i+dy ~j =~r′(t) dt, ~dr⊥ =~n ds = dy~i−dx~j
2.
∫
C
f ds =
∫ b
a
f (~r(t)) |~r′(t)| dt
3.
∫
C
~F · ~dr =
∫
C
~F ·~T ds =
∫
C
P dx + Q dy =
∫ b
a
~F (~r(t)) ·~r′(t) dt
4.
∫
C
~F · ~dr⊥ =
∫
C
~F ·~n ds =
∫
C
P dy−Q dx =
∫ b
a
~F (~r(t)) · (y′(t),−x′(t)) dt
Integrais de Superfı´cie em R3, com S = {~r(u,v), (u,v) ∈ D}, f = f (x,y,z), ~F = (P,Q,R):
1. dS = |~ru×~rv| dudv, ~n =± ~ru×~rv|~ru×~rv| ,
~dS =~n dS =±~ru×~rv dudv.
2.
∫∫
S
f dS =
∫∫
D
f (~r(u,v)) |~ru×~rv| dudv
3.
∫∫
S
~F · ~dS =
∫∫
S
~F ·~n dS =±
∫∫
D
~F (~r(u,v)) · (~ru×~rv) dudv
Teoremas Fundamentais:
1.
∫ b
a
f ′(x) dx = f (b)− f (a)
2.
∫
C
~∇ f · ~dr = f (~r(b))− f (~r(a))
3.
∮
C
Pdx+Qdy =
∫∫
D
Qx−Py dA
4.
∮
C
~F ·~T ds =
∫∫
D
(
~∇×~F
)
·~k dA
5.
∮
C
~F ·~n ds =
∫∫
D
~∇ ·~F dA
6.
∫∫
S
~F ·~n dS =
∫∫∫
E
~∇ ·~F dV
7.
∮
C
~F · ~dr =
∫∫
S
(
~∇×~F
)
·~n dS
Parametrizac¸a˜o:
1. Se~r(θ,φ) = (asinφcosθ,asinφsinθ,acosφ), enta˜o, |~r(u,v)|= a e~ru×~rv = asinφ~r(u,v)
79
	Integrais Duplas e Triplas
	Integrais Duplas
	Integrais Duplas em Coordenadas Polares
	Mudança de Variáveis em Integrais Duplas
	Integrais Triplas
	Mudança de Variáveis em Integrais Triplas
	Aplicações das Integrais Duplas e Triplas
	Integrais de Linha
	Curvas Parametrizadas
	Integrais de Linha de Campos Escalares
	Campos Vetoriais
	Integrais de Linha de Campos Vetoriais
	Teorema Fundamental das Integrais de Linha
	Caracterização de Campos Conservativos
	Cálculo Vetorial em R2
	Teorema de Green
	Divergente e Rotacional: Derivadas de Campos Vetoriais
	O Fluxo de um Campo Vetorial no Plano
	Teoremas de Stokes e da Divergência no Plano
	Cálculo Vetorial em R3
	Superfícies Parametrizadas
	Área e Integrais de Superfície de Campos Escalares
	Integrais de Superfície de Campos Vetoriais
	Teorema da Divergência
	Teorema de Stokes
	Apêndices
	Revisão de Geometria Analítica 
	Formulário - Integrais de Linha e Cálculo Vetorial