Sistemas Lineares

Prévia do material em texto

24/3/2013
1
Geometria Analítica e Álgebra
Linear
Sistemas Lineares
Prof. Daniel Tadeu de C. Ribeiro 1
Equação Linear
• Toda equação na forma a1x1 + a2x2 + a3x3+ ...+ anxn = b é
denominada equação linear.
– a1, a2, a3, ... an, são os coeficientes
– x1, x2, x3,... xn, são as incógnitas
– b é o termo independente
• Exemplos de equações lineares:
– 4x1 – 2x2 + 7x3 = 5 Três incógnitas (x1,x2,x3), Três coeficientes (4,-2,7) e 5
é o termo independente.
– x + y – z + t = -1 Quatro Incógnitas (x, y, z, t) Quatro Coeficientes (1, 1, -
1, 1). -1 é o termo independente.
• Quando o termo independente b é igual a zero, a equação
linear é chamada Equação Linear Homogênea.
• Exemplos: 5x – 3y = 0 ou 2x1 + 4x2 + 3x3 = 0
Prof. Daniel Tadeu de C. Ribeiro 2
24/3/2013
2
Equação Linear
• Uma equação linear possui expoente de suas incógnitas sempre
iguais a 1, ou seja, cada termo da equação possui apenas uma
incógnita.
• Sendo assim:
– 3x12 + 2x23 = 10 Não é uma equação linear (Tem incógnitas elevadas ao
quadrado e ao cubo.
– 2x.y + z = 5 Não é uma equação linear (Tem duas incógnitas para um
mesmo termo)
• A solução de uma equação linear é a seqüência de números
reais que, ao substituírem respectivamente todas as incógnitas
da mesma, satisfazem a igualdade.
Prof. Daniel Tadeu de C. Ribeiro 3
Equação Linear
• Exemplos de soluções de equações lineares:
– O conjunto de números reais (2,0,-6) satisfaz a igualdade 4x – y +z = 2,
pois 4.2 – 1.0 +1.(-6) = 2.
– O par ordenado (-1,-4) é solução da equação linear 3x-2y=5 pois 3.(-1) –
2.(-4) = 5.
– O conjunto de números (3, 5, 2, 1) satisfaz a igualdade x1 + 5x2 + x3 + 3x4
= 33 , pois 1.3+5.5+1.2+3.1 = 33
• Uma solução evidente para uma equação linear homogênea é
zero para todas as incógnitas:
– 3x + y = 0 (0,0) satisfaz esta igualdade, portanto é solução!
– 14x + 9y + 12z + 5t = 0 (0,0,0,0) também satisfaz esta igualdade!
– x1 + 3x2 + 9x3 = 0 (0,0,0) é solução para esta equação linear
homogênea!
Prof. Daniel Tadeu de C. Ribeiro 4
24/3/2013
3
Sistema Linear
• O conjunto de m equações de n incógnitas é denominado 
Sistema Linear e é apresentado na seguinte forma:
em que a11, a12, ... anm, b1,b2,...bn, são números reais.
Prof. Daniel Tadeu de C. Ribeiro 5










nnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
 
...
...
2211
22222121
11212111




Sistemas Lineares
• Assim como para equações lineares, denomina-se solução de
um sistema linear o conjunto de números reais que satisfazem
todas as equações do sistema simultâneamente.
• Se todos os termos independentes de todas as equações (b1,
b2, b3... bn) forem iguais a zero, o sistema linear é denominado
homogêneo e zero é uma solução trivial para o mesmo. Ex:
• Se dois sistemas lineares possuem a mesma solução, estes
sistemas são equivalentes.
Prof. Daniel Tadeu de C. Ribeiro 6








0254
0 02
053
zyx
zyxzyx
zyx
24/3/2013
4
Classificação de um Sistema Linear
• Um sistema Linear pode ser classificado de três maneiras:
Prof. Daniel Tadeu de C. Ribeiro 7
Sistema Linear
Possível ou 
Compatível: 
Possui solução
Determinado: 
Admite uma única 
solução
Indeterminado: 
Admite infinitas 
soluçõesImpossível ou 
Incompatível: Não 
possui solução
Solucionando um Sistema Linear
• Existem algumas formas de se resolver
um sistema linear. Duas delas são:
– Resolução por Escalonamento
– Resolução pela Regra de Cramer
• A Regra de Cramer também nos
permite discutir se um sistema é
possível (determinado ou não) ou
impossível.
Prof. Daniel Tadeu de C. Ribeiro 8
24/3/2013
5
Sistema Linear Escalonado
• Um sistema linear se apresenta na forma escalonada quando
ele passa a ter um coeficiente não nulo a menos a cada
equação. Vejamos alguns exemplos:
• A resolução de um sistema escalonado fica bastante
simplificada, pois podemos obter o resultado da única incógnita
da última equação e substituí-la na anterior, obtendo outro
resultado e assim por diante.
Prof. Daniel Tadeu de C. Ribeiro 9





10
43
yx
yx








700
150
22
zyx
zyx
zyx
Exemplo 1
• Resolver o seguinte sistema 
escalonado:
• Da última equação temos 
que
• Substituímos z na equação 
anterior:
• Agora substituímos z e y na 
primeira equação
Prof. Daniel Tadeu de C. Ribeiro 10








7 
15 
22
z
zy
zyx
6,1
85
1)7(5



y
y
y
2,8
2)7()6,1.(2


x
x
7z
24/3/2013
6
Escalonamento de Sistemas
• Para facilitar a resolução de um sistema linear, podemos
transofrmá-lo em um sistema escalonado equivalente
(com mesma solução) pela aplicação das seguintes
propriedades:
– Trocar posição de duas equações.
– Trocar as incógnitas de posição.
– Dividir uma das equações por um número real diferente de zero.
– Multiplicar uma equação por um número real e adicionar o resultado a
outra equação.
• Após transformação do sistema em outro na forma
escalonada, resolve-se o mesmo por substituição como
demonstrado anteriormente.
Prof. Daniel Tadeu de C. Ribeiro 11
O processo de escalonamento
I) Colocamos como 1ª equação aquela em que o coeficiente da 1ª
incógnita seja diferente de zero.
II) Anulamos o coeficiente da 1ª incógnita de todas as equações
(com exceção da 1ª) substituindo cada uma delas pela soma da
primeira multiplicada por um número conveniente.
III) Deixamos de lado a 1ª equação e aplicamos o 1º e 2º passos
nas restantes.
IV) Deixamos de lado a 1ª e a 2ª equação e aplicamos o 1º e 2º
passos nas restantes, e assim por diante, até o sistema ficar
escalonado.
Prof. Daniel Tadeu de C. Ribeiro 12
24/3/2013
7
Exemplo 2
• Escalonar o seguinte sistema
linear:
• Para “eliminar” x na segunda
e terceira equações,
podemos multiplicar a
primeira equação por -2 e -3
e somá-la a cada uma delas:
Prof. Daniel Tadeu de C. Ribeiro 13








733
822
542
zyx
zyx
zyx








733
822
542
zyx
zyx
zyx - 2 - 3
Exemplo 2
• Assim, o sistema fica:
• Dividindo-se a segunda equação
por -5, deixamos y com o
coeficiente igual a 1:
• Agora multiplicamos a segunda
equação por 9 e somamos a
mesma à terceira, eliminando y:
• Assim temos:
Prof. Daniel Tadeu de C. Ribeiro 14








8139 
265 
542
zy
zy
zyx









8139 
5
2
5
6 
542
zy
zy
zyx









8139 
5
2
5
6 
542
zy
zy
zyx
9












5
22
5
11 
5
2
5
6 
542
z
zy
zyx
24/3/2013
8
Exemplo 3
• Resolver o seguinte sistema
por escalonamento:
• Agora podemos resolver. Na 
terceira equação temos:
• Substituindo na segunda:
• Substituindo na terceira:
Prof. Daniel Tadeu de C. Ribeiro 15








14232
1643
82
zyx
zyx
zyx - 3 - 2








2 
842 
82
y
zy
zyx
2y
44
842.2


z
z
1z
58
812.2


x
x 3x
Exemplo 4
• Resolver o seguinte sistema
por escalonamento:
• O sistema na forma 
escalonada seré:
Prof. Daniel Tadeu de C. Ribeiro 16








24325
1224
1543
zyx
zyx
zyx








24325
1543
1224
zyx
zyx
zyx
- 4 - 5







511717 
481714 
1543
zy
zy
zyx
- 1








 3 3 
481714 
1543
y
zy
zyx
24/3/2013
9
Exemplo 4
• Agora resolvendo:
• Da terceira equação:
• Substituindo na segunda
equação, temos:
• Finalmente, na primeira
equação:
Prof. Daniel Tadeu de C. Ribeiro 17








 3 3 
481714 
1543
y
zy
zyx
33 y
1y
3417
144817
4817)1.(14



z
z
z
2z
8315
152.4)1.(3


x
x
4x
Expressão Matricial de um Sistema Linear
• Seja um sistema linear na forma padrão
• Ele pode ser representado matricialmente na forma
Prof. Daniel Tadeu de C. Ribeiro 18










nnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
 
...
...
2211
22222121
11212111




     
tesIndependen
Termos dos 
Matriz 
Incógnitas
das 
Matriz 
esCoeficient
dos 
Matriz 
BXA 
24/3/2013
10
Expressão Matricial de um Sistema Linear
• Então, o sistema fica da forma
• Conhecendo-se as matrizes A, X e B, podemos resolver
sistemas lineares pela Regra de Cramer.
Prof. Daniel Tadeu de C. Ribeiro 19
   

 

B
n
X
n
A
mnmm
n
n
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa







































   



2
1
2
1
21
22221
11211
Exemplo 5
• Represente o sistema linear abaixo na forma matricial:
Prof. Daniel Tadeu de C. Ribeiro 20








827
1634
052
321
321
321
xxx
xxx
xxx


































8
1
0
.
217
634
152
3
2
1
x
x
x
24/3/2013
11
Exemplo 6
• Represente o sistema linear abaixo na forma matricial:
Prof. Daniel Tadeu de C. Ribeiro 21








42
74
032
zyx
zyx
zyx

































4
7
0
.
112
114
132
z
y
x
A Regra de Cramer
• A Regra de Cramer é útil para resolvermos sistemas lineares de 
forma direta.
• Primeiro, representamos o sistema na forma matricial e 
identificamos as matrizes A e B.
Prof. Daniel Tadeu de C. Ribeiro 22
   

 

B
n
X
n
A
mnmm
n
n
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa







































   



2
1
2
1
21
22221
11211
24/3/2013
12
A Regra de Cramer
• Para cada incógnita, vamos substituir a matriz B na coluna da 
matriz A que corresponde à incógnita.
• Por exemplo, a incógnita x1 corresponde à primeira coluna de 
A logo, ao substituirmos B, temos uma nova matriz:
Prof. Daniel Tadeu de C. Ribeiro 23













mnmn
n
n
aab
aab
aab
A




2
2222
1121
1Para x1
A Regra de Cramer
• Podemos criar novas matrizes para cada incógnita:
Prof. Daniel Tadeu de C. Ribeiro 24













mnnm
n
n
aba
aba
aba
A




1
2221
1111
2
Para x2













nmm
n
baa
baa
baa
A




21
22221
11211Para xn
24/3/2013
13
A Regra de Cramer
• Finalmente, o valor de cada incógnita será a razão entre os
determinantes da matriz gerada pela substituição da coluna
correspondente pela matriz B, e o determinante da matriz A:
• Ou seja, para x1,x2 e x3 por exemplo...
Prof. Daniel Tadeu de C. Ribeiro 25
A
Ax nn det
det

A
Ax
det
det 1
1  A
Ax
det
det 2
2  A
Ax
det
det 3
3 
Exemplo 7
• Resolva o seguinte sistema
por Cramer:
• Identificamos a matriz A e
calculamos seu
determinante:
• Agora encontramos a matriz 
correspondente a x (A1)
• Assim:
Prof. Daniel Tadeu de C. Ribeiro 26





25
72
yx
yx
11det
51
12





 
 AA
33det
52
17
11 







 AA
11
33
det
det 1 
A
Ax 3x
Matriz B
24/3/2013
14
Exemplo 7
• Da mesma maneira, 
calcularemos y:
• Este sistema linear, por ser
um sistema simples, poderia
ser mais facilmente resolvido
por outros métodos como
escalonamento e
substituição.
Prof. Daniel Tadeu de C. Ribeiro 27
11det
21
72
22 






 AA
Matriz B
11
11
det
det 2 
A
Ay 1y
Exemplo 8
• Resolva o seguinte sistema
linear pela Regra de Cramer:
Prof. Daniel Tadeu de C. Ribeiro 28








1
10543
02
321
321
321
xxx
xxx
xxx
12det
111
543
121













 AA











1
10
0
B
24det
111
5410
120
11 












 AA
12
24
det
det 1
1 


A
Ax 21 x
24/3/2013
15
Exemplo 8
Prof. Daniel Tadeu de C. Ribeiro 29
12det
111
5103
101
22 









 
 AA
0det
111
1043
021
33 










 AA
12
12
det
det 2
2 

A
Ax 12 x
12
0
det
det 3
3 

A
Ax 03 x
Discussão de um Sistema Linear
• Discutir um Sistema Linear é saber se ele é Possível,
Impossível ou Indeterminado.
• Uma maneira simples de se discutir um sistema linear deriva da 
Regra de Cramer.
• Pela Regra de Cramer, sabemos que:
• Logo, pelas matrizes formadas, podemos estudar o sistema 
como a seguir.
Prof. Daniel Tadeu de C. Ribeiro 30
A
Ax nn det
det

24/3/2013
16
Discussão de um Sistema Linear
• A partir das matrizes A e A1, A2..An, definimos a classificação de 
um sistema linear pelas seguintes relações:
Prof. Daniel Tadeu de C. Ribeiro 31
•Sistema Possível e Determinado (SPD): det A ≠ 0
•Sistema Possível e Indeterminado (SPI): det A = 0
det A1 = det A2 = ..det An = 0
•Sistema Impossível (SI): det A = 0
pelo menos um det An ≠ 0
Exemplo 9
• Determine k para que o
sistema seja possível e
determinado.
• Para satisfazer esta
condição, det A ≠ 0. Logo
Prof. Daniel Tadeu de C. Ribeiro 32








22 
03
02
zx
zyx
zykx 












201
131
12k
A
056
0det


k
A
6
5
k