Rec MTM5186 14.2 Bortolan

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PROVA DE RECUPERAÇÃO - DISCIPLINA MTM 5186: CÁLCULO IV
Professor: Matheus C. Bortolan
Nome:___________________________________________ Matrícula: _____________
(a) (b) (c) (d)
Questão 1
Questão 2 xxxxx xxxxx
Questão 3 xxxxx
Questão 4 xxxxx
Questão 5 xxxxx xxxxx xxxxx
Total / 10.0
Orientações para a avaliação
• Leia atentamente cada uma das questões da prova.
• Justifique cada uma de suas respostas. Respostas sem justificativa serão desconsideradas.
• As respostas devem estar escritas à caneta e as resoluções devem estar legíveis.
• A prova é individual e sem consulta a nenhum material.
• Não é permitido sair da sala durante o período da avaliação.
• Não é permitido uso nenhum tipo de calculadora, celulares, tablets, notebooks e
smartphones. O não cumprimento desta regra anulará completamente a sua avaliação.
• Faça cada questão com calma e tenha uma boa prova! =)
PROVA DE RECUPERAÇÃO - DISCIPLINA MTM 5186: CÁLCULO IV
Professor: Matheus C. Bortolan
Nome:___________________________________________ Matrícula: _____________
(Valor 2.0) Questão 1: Diga se cada um dos itens é verdadeiro ou falso. Justifique.
(0.5) (a) A função f (z) = |z|2 é analítica em todo o plano complexo.
(0.5) (b)
∮
γ
ezdz = 0, para toda curva fechada γ.
(0.5) (c)
∮
γ
e4z
(z−3)2 dz = 8piie
12, onde γ é o círculo |z|= 4.
(0.5) (d)
∮
γ
e4z
(z−3)2 dz = 8piie
12, onde γ é o círculo |z|= 2.
(Valor 1.5) Questão 2: Considere os pontos z1 =−1, z2 = 0, z3 = 1, w1 = 3, w2 = 3i, w3 =−3.
(1.0) (a) Encontre a transformação de Möbius T que leva zi em wi, para i = 1,2, 3.
(0.5) (b) O lado de cima do eixo real é levado para dentro ou para fora do círculo |z| = 3?
Justifique.
(Valor 3.0) Questão 3: Considere as funções f (z) = e
5
z , g(z) = sin z
z3
e h(z) = 1
z(z−1)2 .
(1.0) (a) Quais são as singularidades de f , g e h? Classifique-as.
(1.0) (b) Encontre os resíduos para cada uma das singularidades do item (a).
(1.0) (c) Calcule
∮
γ
[ f (z) + g(z) + h(z)]dz, onde γ é o círculo |z|= 2.
(Valor 1.5) Questão 4: Encontre a solução geral da equação em cada um dos itens abaixo:
(0.5) (a) x2 y ′′− 2x y ′+ 2y = 0.
(0.5) (b) x2 y ′′− x y ′+ y = 0.
(0.5) (c) x2 y ′′+ x y ′+ y = 0.
(Valor 2.0) Questão 5: Sabendo que a solução para o problema de Dirichlet para a equação da
onda, dado por 
ut t = ux x , para 0< x < pi
u(0, t) = u(pi, t) = 0
u(x , 0) = φ(x) e ut(x , 0) =ψ(x)
é dada por
u(x , t) =
∞∑
n=1
�
an cos(nt) + bn sin(nt)
�
sin(nx),
onde φ(x) =
∑∞
n=1 an sin(nx) e ψ(x) =
∑∞
n=1 nbn sin(nx), encontre a fórmula explicita
para a solução u(x , t) quando φ(x) = sin(8x) e ψ(x) = 1.