Lista 2 - Divisibilidade

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Universidade Federal de Pernambuco
Teoria dos Números
Divisibilidade
Professora: Maria do Desterro A. da Silva 1
Exercícios
1. Encontrar, usando o algoritmo de Euclides, o máximo divisor comum dos seguintes
pares de números:
(a) 9652 e 252
(b) 24573 e 1387
(c) 4276 e 1234
(d) 48762 e 176
(e) 42516 e 97421
(f) 8374 e 24517
(g) 35262 e 12753
2. Achar o mínimo múltiplo comum dos seguintes pares de números:
(a) 44 e 32
(b) 234 e 12
(c) 35 e 24
1Professora Assistente do Núcleo de Formação Docente, UFPE (desterrouepb@gmail.com)
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(d) 142 e 742
(e) 17 e 141
(f) 42 e 52
(g) 501 e 2141
3. Prove que se a equação xn + a1xn−1 + . . . + an−1x + an = 0, onde n > 0 e
a1,a2, . . . ,an são inteiros, tem uma raiz racional, então esta raiz é um número
inteiro.
4. Mostrar que se a e b sao inteiros positivos com (a,b) = [a,b], então a = b.
5. Pode o número A = 111 . . . 1 formado por trezentos 1 ′s ser um quadrado?
6. Mostrar que 3 é o único primo p tal que p,p+ 2,p+ 4 são todos primos.
7. Os inteiros a,b e c sao lados de um triângulo retângulo. Prove que um desses
números é divisivel por 3.
8. Mostrar que para a,b e x inteiros temos (a,b) = (a,b+ ax).
9. Mostrar que se (a,b) = 1, então (2a+ b,a+ 2b) = 1 ou 3.
10. Sendo
1
a
+
1
b
um inteiro, onde a e b são inteiros positivos, mostrar que a = b.
Mostrar, também, que a = 1 ou 2.
11. O número de 6-digítos abcdef é tal que def − abc é divisível por 7. Prove que o
número é divisível por 7.
Obs.: a1a2 . . .an = 10n−1a1 + 10n−2a2 + . . . + 10an−1 + an.
12. Mostre que o número n(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3) + 1 é quadrado perfeito. (n ∈ ℤ).
13. Seja Un = 111 . . . 1 um número formado por n 1 ′s. Provar que Un primo implica
n primo.
14. Mostrar que se b|c então (a+ c,b) = (a,b).
15. Mostrar que (a,bc) = 1 se, e somente se, (a,b) = (a, c) = 1.
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16. Mostre que se para inteiros a e b temos que 7|a2 + b2, então 7|a e 7|b.
17. Mostrar que (a,b, c) = ((a,b), c).
Sug.: Verifique que os conjuntos de divisores comuns de a,b, c e (a,b) são iguais.
18. Mostrar que se n e m são inteiros ímpares, então 8|(n4 +m4 − 2).
19. Mostrar que se para algum n,m|(35n+ 26),m|(7n+ 3) e m > 1, então m = 11.
Sug.: Observe que 35n+ 26 = 5(7n+ 3) + 11.
20. Mostrar que se a e b são inteiros (a, 3) = (b, 3) = 1, então a2 + b2 não é um
quadrado perfeito.
21. Mostrar que além de 2 = 13 + 1 nenhum outro número da forma n3 + 1 é primo.
22. Mostrar que se (a, c) = 1, então (a,bc) = (a,b).
23. Prove que o número a1a2 . . .anan . . .a2a1 é composto.
24. Mostrar que se an − 1 for primo, n > 1 e a > 1, então a = 2 e n é primo.
Sug.: Observe que an − 1 = (a− 1)(an−1 + an−2 + . . . + a+ 1).
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