Lista 5 - Derivada

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Universidade Federal de Pernambuco
Cálculo Diferencial e Integral I
Derivada I
Professora: Maria do Desterro A. da Silva 1
Exercícios
1. Deferencie:
(a) f(x) =
1
x2
(b) y = 3
√
x2 (c) y = x
√
x
(d) f(x) = x8 + 12x5 − 4x4 + 10x3 − 6x+ 5 (e) y = −x+ ex
(f) g(x) =
√
10
x2
(g) y = 4π2 (h) y =
1
4
(t4 + 8)
(i) h(t) = t2 −
1
4
√
t3
(j) y(t) = (2t3 + 3)(t4 − 2t)
(l) f(x) =
x
x+
c
x
(m) g(x) =
√
x− 1√
x+ 1
(n) x2ex
(o) Y(u) = (u−2 + u−4)(u5 − 2u2)
2. Se f(3) = 4, g(3) = 2, f ′(3) = −6 e g ′(3) = 5, encontre os seguintes números:
(a) (f+ g) ′(3) (b) (fg) ′(3)
(c)
(
f
g
) ′
(3) (d)
(
f
f− g
) ′
(3)
3. Se f(x) = exg(x), onde g(0) = 2 e g ′(0) = 5, encontre f ′(0).
4. Diferencie:
(a) f(x) = x− 3senx (b) y = xsenx (c) h(t) = t2 cos t
(d) y = 2cossecx+5 cos3 x (e) y = ln(senx) (f) y =
1
lnx
+2lnx−
lnc
x
(g) f(x) = (3 − 2 sen x)5 (h) y = sen(3x) + cos
(x
5
)
+ tg(
√
x)
(i) y(θ) = esec 3θ (j) y = 101−x
2
(l) h(r) =
r√
r2 + 1
1desterrouepb@gmail.com
1
(m) h(t) =
√
xex + x (n)
√
x+
√
x (o) sen(tg
√
senx)
(p) f(x) = 23
x2
(q) g(t) = (1− t2)100 (r) G(y) =
(y− 1)4
(y2 + 2y)5
5. Use a regra da cadeia para diferenciar a função exponencial f(x) = ax para qual-
quer base base a > 0.
6. Prove que
d
dx
sec x = sec x tgx.
7. Determine as equações das retas horizontais que são tangentes ao gráfico da
função g(x) =
x3
3
+
x2
2
− 2x− 1.
8. Se y = x2 −
√
1 − u2 e u =
x+ 1
x− 1
, calcule
dy
dx
.
9. Se h(x) = [f(x)]3 + f(x3), calcule h ′(2), sabendo que f(2) = 1, f ′(2) = 7 e que
f ′(8) = −3.
10. Use a Regra da Cadeia para mostrar que a derivada de uma função par é uma
função ímpar e que a derivada de uma função ímpar é uma função par.
11. Verifique que a função y = xe−x é solução da equação xy ′ = (1 − x)y.
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