Lista 07 A Derivada

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UFRN – CCET – Departamento de Matemática
MAT0318 – Cálculo Básico I - Turma 01 – Local 3H4
Lista de Exercícios 07 - 23/04/2012
Aluno(a):___________________________________
Prof. Roosewelt F. Soares
A Derivada
Definição 1: Dada a função f, a função 
 definida por
é chamada de derivada de f em relação a x. O domínio de 
 consiste do conjunto de todos os x para os quais o limite existe.
Obs. A fração 
 é chamada de Quociente de Newton.
Ex. 1: Calcule 
 para a função 
, usando o limite do quociente de Newton, 
.
Ex. 2: Calcule 
 para a função 
, usando o limite do quociente de Newton, 
.
Ex. 3: Calcule 
 para a função 
, usando a definição de derivada.
Ex. 4: Calcule 
 para a função 
, onde n é um inteiro positivo, usando a definição de derivada.
Ex. 5: Calcule 
 para a função 
, usando a definição de derivada.
Ex. 6: Calcule 
 para a função 
, usando a definição de derivada.
Ex. 6: Calcule 
 para a função 
, usando a definição de derivada.
Ex. 7: Calcule 
 para a função 
, usando a definição de derivada.
Ex. 8: Calcule 
 para a função 
, usando a definição de derivada.
Ex. 9: Calcule 
 para a função 
, usando a definição de derivada.
Ex. 10: Calcule 
 para a função 
, usando a definição de derivada.
Ex. 11: Calcule 
 para a função 
, usando a definição de derivada.
Ex. 12: Calcule 
 para a função 
, usando a definição de derivada.
Ex. 13: Calcule 
 para a função 
, usando a definição de derivada.
Ex. 14: Calcule 
 para a função 
, usando a definição de derivada.
Ex. 15: Calcule 
 para a função 
, usando a definição de derivada.
Ex. 16: Calcule 
 quando 
 para a função 
, usando a definição de derivada.
Ex. 17: Calcule 
 quando 
 para a função 
, usando a definição de derivada.
Ex. 18: Calcule 
 quando 
 para a função 
, usando a definição de derivada.
Ex. 19: Calcule 
 quando 
 para a função 
, usando a definição de derivada.
Ex. 20: Calcule 
 quando 
 para a função 
, usando a definição de derivada.
Ex. 21: Calcule 
 para a função 
, usando a definição de derivada.
Derivadas Laterais
Definição 2: (Derivada lateral à direita) - Sejam 
 uma função, em que 
 e 
 um número, tal que, 
. Definimos a derivada lateral à direita de f em 
, denotada por 
, do seguinte modo:
quando este limite existe.
Definição 3: (Derivada lateral à esquerda) - Sejam 
 uma função, em que 
 e 
 um número, tal que, 
. Definimos a derivada lateral à esquerda de f em 
, denotada por 
, do seguinte modo:
quando este limite existe.
Definição 4: (Função Derivável em 
) - Sejam 
 uma função, em que 
 e 
 um número, tal que, 
. Dizemos que f é derivável em 
 se existem as derivadas laterais 
 e 
 e, além disso, 
.
Definição 5: (Função Derivável em um intervalo aberto) - Sejam 
 uma função, em que 
 e 
 um número, tal que, 
. Dizemos que f é derivável no intervalo aberto 
 se f é derivável em todo x, tal que, 
.
Teorema 1: (Continuidade de uma função derivável) – Se uma função f é derivável em um número x, então f é contínua em x.
Dem. Seja f derivável em x. Devemos mostrar que f é contínua em x demonstrando que 
.
Como o limite de um produto é o produto dos limites, temos
Por outro lado, como o limite de uma soma é a soma dos limites, temos
Assim, 
, portanto f é contínua em x.
Obs. A recíproca deste Teorema não é verdadeira. Isto é, se f é contínua em x não necessariamente f será derivável em x.
Exercício: Mostre que a função 
 definida por 
é contínua e não derivável em 
. Construa o gráfico de f.
Regras de Derivação
1)	Derivada de uma constante: Sejam c uma constante e f uma função, tal que, 	
 para todo x. Então f é derivável e 
.
	Dem.:
2)	Derivada de uma soma de funções: Sejam f e g funções deriváveis e definidas 	de tal modo que existe a função soma 
. Então, 
 é derivável e 	
.
	Dem.:
3)	Derivada de uma diferença de funções: Sejam f e g funções deriváveis e 	definidas de tal modo que existe a função diferença 
. Então, 
 é 	derivável e 
.
	Dem.:
4)	Derivada de uma constante vezes uma função: Sejam c uma constante e f uma 	função derivável. Então, a função 
 é derivável e 
.
	Dem.:
5)	Derivada do produto de duas funções: Sejam f e g funções deriváveis e 	definidas de tal modo que existe a função produto 
. Então, 
 é 	derivável e 
.
	Dem.:
6)	Derivada do inverso de uma função: Seja g uma função, tal que, 
 para 	todo x. Se g é derivável então a função 
 é derivável e
.
	Dem.:
7)	Derivada do quociente entre duas funções: Sejam f e g, tal que, 
 para 	todo x, funções deriváveis e definidas de tal modo que existe a função quociente 	
. Então, 
 é derivável e 
.
	Dem.:
8)	Derivada de uma potência de x: Se n for um número inteiro positivo, e 	
 então, f é derivável e 
.
 	Dem.:
9)	Derivada de uma potência de x: Se n for um número inteiro qualquer, e 	
 então, f é derivável e 
.
Dem.: Consideremos apenas os casos 
 e 
.
	Se 
, seja 
, portanto 
. Fazendo 
 e 	aplicando a regra (6) obtemos
	
Se 
, temos 
 e 
, portanto, satisfaz a regra.
Exemplo 1: Encontre a derivada da função 
.
Solução:
Assim, se 
 e 
, então, a regra também é válida para 
.
Exercícios: Encontre as derivadas aplicando as regras básicas.
1) 
		2) 
 	3) 
4) 
		5) 
	6) 
7)	Suponha que f, g e h são funções deriváveis. Seja k uma função definida por 	
. Use a regra do produto para mostrar que
.
8)	Encontre 
 se 
.
9)	Encontre 
 se 
.
10)	Sejam 
, 
 e 
. Encontre 
.
11)	Seja 
. Determine se f é derivável em 
. Caso seja 	encontre o valor da derivada neste ponto.
12)	Seja 
. Determine se f é derivável em 
. Caso seja 	encontre o valor da derivada neste ponto.
13)	Seja 
. Ache os valores de a e b de tal forma que f seja 	derivável em 
.
14)	Ache a coordenada x do ponto sobre o gráfico de 
 no qual a reta 	tangente é paralela à reta secante que corta a curva em 
 e 
.
15)	Ache a coordenada x do ponto sobre o gráfico de 
 no qual a reta 	tangente é paralela à reta secante que corta a curva em 
 e 
.
16)	Ache uma equação para a tangente à curva 
 no ponto 
.
17)	Encontre uma equação da reta tangente à curva 
 no ponto 
.
18)	Encontre a equação da reta tangente à curva 
 que passa no ponto 
.
19)	Ache a coordenada x do ponto sobre o gráfico de 
 no qual a reta 	tangente é paralela à reta secante que corta a curva em 
 e 
.
20)	Mostre que o triângulo formado por qualquer reta tangente ao gráfico de 
, 	
 e pelos eixos coordenados tem uma área de 2 unidades quadradas.
Derivadas das Funções Trigonométricas
Definição 1: Seja 
 definida por
, então f é derivável e 
.
Solução: Vamos admitir que 
 e 
. Então, pela definição de derivada, temos
Portanto, se 
, então 
.
Definição 2: Seja 
 definida por
, então g é derivável e 
.
Solução: Pela definição de derivada, temos
.
Portanto, se 
, então 
.
Exercício:
1) Encontre a derivada da função 
.
2) Encontre a derivada da função 
.
3) Encontre a derivada da função 
.
4) Encontre a derivada da função 
.
A Regra da Cadeia
Teorema 2: (A Regra da Cadeia) – Seja 
 uma função, tal que, 
 e tal que g é derivável em x. Seja 
 uma função, tal que, 
 e tal que f é derivável em u. Então a função composta 
 é derivável em x e
.
Podemos escrever também 
.
Exercícios
01) Seja 
. Encontre a derivada 
.
02) Seja 
 e 
. Encontre a derivada da função composta 
.
03) Seja 
 e 
. Encontre a derivada da função composta 
.
04)Seja 
 e 
. Encontre a derivada da função composta 
.
05) Seja 
 e 
. Encontre a derivada da função composta 
.
06) Seja 
 e 
. Encontre a derivada da função composta 
.
07) Seja 
 e 
. Encontre a derivada da função composta 
.
08) Encontre a derivada 
 da função 
.
09) Encontre a derivada 
 da função 
.
10) Encontre a derivada 
 da função 
.
11) Encontre a derivada 
 da função 
.
12) Encontre a derivada 
 da função 
.
13) Encontre a derivada 
 da função 
.
14) Encontre a derivada 
 da função 
.
15) Encontre a derivada 
 da função 
.
16) Encontre a derivada 
 da função 
.
Derivada da Função Inversa
Teorema 3: (Regra da Função Inversa) – Seja f uma função cujo domínio é um intervalo aberto I, suponha que f é derivável em I, e suponha que 
 para todo número c em I. Então f tem uma inversa 
, 
 é derivável, e
é válido para todo número x no domínio de 
.
Dem. Sejam 
, tal que, 
 e 
, tal que, 
. Então,
Derivando ambos os membros desta equação em relação a x, obtemos pela Regra da Cadeia,
 ( 
 ( 
Exemplo 1: Seja 
, tal que, 
. Então, 
 é a função dada por 
, que escrevendo na variável x obtemos 
. Construa os gráficos de f e 
 e determine 
.
Solução: Como f é definida e derivável no intervalo aberto 
, e 
 para todos os valores de x no intervalo, concluímos, pelo Teorema 3, que f é invertível, 
 é derivável e
 ( 
Escrevendo na variável x ficamos com
Exemplo 2: Seja 
, tal que, 
. Então, 
 é a função dada por 
, que escrevendo na variável x obtemos 
. Construa os gráficos de f e 
 e determine 
.
Solução: Como f é definida e derivável no intervalo aberto 
, e 
 para todos os valores de x no intervalo, concluímos, pelo Teorema 3, que f é invertível, 
 é derivável e
 ( 
Escrevendo na variável x ficamos com
Regra da Raiz
Teorema 4: (Regra da Raiz) – Se n é um inteiro positivo e 
, então podemos escrever 
 e 
 válido para todos os valores de x para os quais 
 é definida, exceto para 
.
Dem. Seja 
, onde 
 se n é par, não havendo restrições se n é ímpar. Resolvendo a equação 
 para x em termos de y, obtemos 
. Deste modo, a função 
 é a inversa função inversa de f . Usando a letra x para a variável independente na equação que define 
, encontramos que 
. Pelo Teorema 3, temos
desde que 
.
Teorema 5: (Regra da Potência para Expoentes Racionais) – Seja 
 um número racional, tal que n é um inteiro positivo e a fração 
 é irredutível. Se 
, então 
 é válido para todos os valores de x para os quais 
 é definida, exceto possivelmente para 
. Também será válido para 
, desde que n seja ímpar e 
.
Dem. Pela Regra da Cadeia e pela Regra da Raiz (Teorema 4), temos
desde que 
 seja definido e 
.
Exercícios:
1) Se 
 encontre 
.
2) Se 
 encontre 
.
3) Se 
 encontre 
.
4) Se 
 encontre 
.
5) Se 
 encontre 
.
6) Se 
 encontre 
.
7) Se 
 encontre 
.
8) Se 
 encontre 
.
9) Se 
 encontre 
.
10) Se 
 encontre 
.
11) Se 
 encontre 
.
12) Se 
 encontre 
.
13) Se 
 encontre 
.
14) Se 
 encontre 
.
15) Se 
 encontre 
.
16) Se 
 encontre 
.
17) Se 
 encontre 
.
18) Se 
 encontre 
.
19) Se 
 encontre 
.
20) Se 
 encontre 
.
Função Exponencial
Seja 
 definida por 
 com 
 e 
. Encontre 
 aplicando a definição de derivada.
Resolvendo o limite
Fazendo 
, temos 
. Aplicando logaritmo neperiano nesta equação, obtemos
 ( 
 ( 
Quando 
, 
 temos que 
, 
 e então podemos escrever,
Portanto, se 
 com 
 e 
, então f é derivável e 
.
Obs. Consideramos 
 onde 
 é o número irracional neperiano. Podemos observar melhor este limite através dos seguintes limites:
 e 
.
Fazendo 
 com base na seguinte
Regra de Limite: 
 se 
.
Derivada da Função Exponencial Natural
Seja 
 definida por 
. Então, f é derivável e 
.
Obs. A função 
 é a única função cuja derivada é igual a ela própria.
Derivadas das Funções Logarítmicas
Seja 
 definida por 
. Então, f é derivável e 
.
Solução: 
Fazendo 
 ficamos com
Seja 
 definida por 
 a função chamada de logaritmo natural ou logaritmo neperiano. Então, f é derivável e 
.
Obs. 
.
Derivada de 
 onde r é Irracional
Seja 
, onde r é um número real. Então, 
 .
Soluço: Aplicando o logaritmo natural a ambos os membros da equação 
, obtemos
Derivando ambos os membros com relação a x, obtemos 
Exercícios:
1)	Se 
 encontre 
.
2)	Se 
 encontre 
.
3)	Se 
 encontre 
.
4)	Se 
 encontre 
.
5)	Se 
 encontre 
.
6)	Se 
 encontre 
.
7)	Se 
 encontre 
.
8)	Se 
 encontre 
.
9)	Se 
 encontre 
.
10)	Se 
 encontre 
.
11)	Se 
 encontre 
.
12)	Se 
 encontre 
.
13)	Se 
 encontre 
.
14)	Se 
 encontre 
.
15)	Se 
 encontre 
.
16)	Se 
 encontre 
.
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