LAPLACE APLICADA A CIRCUITOS

TENSÕES E CORRENTES 
 
 
TRANSITÓRIAS E 
 
 
TRANSFORMADA 
 
 
DE 
 
 
LAPLACE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1
 PRINCIPAIS SINAIS NÃO SENOIDAIS 
 
Degrau de amplitude E - É um sinal que vale 0 volt para t < 0 e vale E volt, 
constante, para t >0. Ver fig. 1-a. 
 
 
t
E
E vR
(a) (b)
v
0
0
 
 
 Fig. 1 
 
A fig. 1-b mostra um exemplo da geração desse sinal. Com a chave aberta, a tensão em 
R é igual a zero volt. Com a chave fechada tem-se, em R, a tensão E volt. Supondo que 
a chave fechou no instante t = 0, tem-se o sinal na forma de degrau mostrado na fig. 1.a. 
 
Degrau unitário – É o degrau em que o valor para t > 0 é 1. Neste caso ele é 
designado por ( )tu . Ver fig. 2. 
 
 
t0
1
( )tu
+0−0
0
 
 Fig. 2 
 
Uma dúvida que se poderia ter seria sobre o valor da função para t = 0, uma vez que, 
pela figura 2, vemos que o valor pode ser qualquer um entre zero e 1. 
Por convenção, em t = 0, a função ( )tu é descrita analiticamente pelas expressões: 
 
Para )0( −=t ! ( ) 0=tu 
 
Para )0( +=t ! ( ) 1=tu 
 
 
O sinal degrau representado na fig. 1-a é designado por: 
 
 
( )tuEv ×= 
 
 2
Sinal impulso unitário 
 
É um sinal que é zero para qualquer 0≠t e é infinito para 0=t . Entretanto sua área é 
igual a 1. Ver fig. 3. 
 
 
0 t
∞
( )tδ
Área = 1
0
 
 
 Fig. 3 
 
Este sinal é, também, chamado de função Dirac e é representado por ( )tδ . 
Uma das maneiras matemáticas de descrevê-lo se refere à fig. 4. 
 
 
t
τ
1
=h
τ
0
0
 
 
 Fig. 4 
 
Nessa figura temos um pulso ( )tf de duração τ e amplitude 
τ
1
=h . 
Sua área fica: 11 =×=
τ
τA
 
Portanto, a área é igual a 1 independentemente do valor de τ . 
Neste caso poderíamos dizer que 
 
 
hlim= ∞=
0→τ τ
1lim
0→τ
=( ) ( )tft lim=δ
0→τ
 
 
Portanto, tem-se para ( )tδ : 
 
 0=τ 
 
 ∞→h 
 
 1=área 
 3
A função ( )tE δ× representa um impulso com área E. 
 
Rampa unitária 
 
É também chamada de rampa de inclinação unitária. Ela é definida como sendo a 
função ( )tf que obedece as seguintes características: 
 
Para 0<t ! ( ) 0=tf 
 
Para 0≥t ! ( ) ttf = 
 
Matematicamente, designa-se este tipo de função como sendo ( )tu 1− 
A fig. 5-a mostra essa função. A fig. 5-b mostra o sinal ( )tua 1−× que vem a ser uma 
rampa com inclinação igual a a . 
 
 
0 1
( )tu 1−
t
1
0
0 1
( )tua 1−×
t
a
0
(a) (b)
 
 
 
 Fig. 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 4
 TRANSFORMADA DE LAPLACE 
 
Aplicação 
 
A transformada de Laplace é um algoritmo matemático que permite a resolução de 
equações diferenciais de uma maneira puramente algébrica. É muito útil para o cálculo 
de tensões e correntes transitórias em circuitos elétricos. 
 
Definição 
 
Define-se como transformada de Laplace, de uma função temporal ( )tf , a igualdade: 
 
 
( )[ ] ( ) dtetftf st−∞"= 0
 
 
Esta operação transforma uma função da variável tempo em outra função que depende 
apenas da variável s. Por isto, é comum dizer: 
 
 Função ( )tf! 
 
 Transformada de Laplace dessa função ( )sF! 
 
 onde ( ) ( ) dtetfsF st−∞"= 0 (1) 
 
--------------------------------------------------------------------------------------------- 
Exemplo 1 : Determinação da transformada de Laplace de um degrau unitário ( )tu . 
Ver fig. 6. 
 
 
t0
1
( )tu
0
 
 Fig. 6 
 
Neste caso 
 
( ) dtesF st"∞ −×= 0 1 stes
−
−=
1
0
∞
=
( ) ( )
ss
ee
s
11011 0 =−−=−−= ∞−
 
 
 5
 
( ) =sF ( )
s
tu
1
= (2)
 
 
----------------------------------------------------------------------------------------------- 
Teorema 1: A multiplicação de uma função temporal, por uma constante, equivale a 
multiplicação, de sua transformada de Laplace, pela mesma constante 
 
 Seja ( ) ( ) dtetfsF st−∞"= 0 
 
Neste caso, ( ) dtetfa st−∞" ×0 ( ) dtetfa st−
∞
"= 0 ( )sFa×= 
 
 
--------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
Exemplo 2 – Determinação da transformada de Laplace de um degrau de amplitude E. 
Ver fig. 7. 
 
 
t0
E
( )tf
 
 Fig. 7 
 
Neste caso, ( ) ( )tuEtf ×= 
 
De acordo com o teorema 1, tem-se: 
 
 
( ) =× tuE ×E ( )
s
E
s
Etu =×= 1
 
 
 
( )
s
E
tuE =× (3)
 
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
Exemplo 3 - Determinação da transformada de Laplace da função: ( ) tetf α−= 
 
 
( ) dteesF stt −
∞
−"=
0
α
 = 
( ) dte ts"
∞
+−
0
α
 
 
Portanto: 
 
 
 6
 
( )ts
e
s
+−
+
−
α
α
1
0
∞
αα +
=#$
%
&'
(
+
−−=
ss
110( ) =sF
 
 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
Exemplo - 3 - Determinação da transformada de Laplace da derivada de uma função: 
 
 
( )
#$
%
&'
(
dt
tdf
 
 
Sabemos que 
 
( )
dt
dUV
dt
dVUVU
dt
d
×+×=×
 
 
Multiplicando, os dois lados da igualdade, por dt fica: 
 
( ) dUVdVUVUd ×+×=× 
 
Integrando os dois lados da igualdade tem-se: 
 
" "+=× VduUdVVU 
 
ou 
 
" "−= VdUUVUdV (4) 
 
 
Sabemos que ( ) ( )sFdtetf st =−∞"0 (5) 
 
Vamos fazer ( ) Utf = e dtedV st−= 
Neste caso, ste
s
V −−= 1 
 
Vamos aplicar estas igualdades na equação (4) 
 
 
 
( )[ ]tfde
s
st"
∞
−+
0
1( ) ( ) stst etf
s
dtetf −−∞ ×−="
1
0
0
∞
ou
 
 
 7
 ( ) ( ) ( ) dte
dt
tdf
ss
fdtetf stst −∞
+
−
∞
"" #$
%
&'
(
+=
00
10
 ou 
 
 
 
( ) ( )
ss
f
sF 10 +=
+ ( )
dt
tdf
ou
 
 
 
( ) ( ) ( )+−= 0fssF
dt
tdf (6)
 
 
--------------------------------------------------------------------------------------------------