Matrizes: Definição e Operações

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Matrizes
 Denomina-se matriz de ordem m por n ( mxn ) uma tabela de elementos dispostos em m linhas e n colunas.
Notação: A = 
 ou A = 
 ou A = 
Se m = n, A diz-se matriz quadrada de ordem n
Em cada elemento ai,j , i indica a linha e j indica a coluna em que o elemento se localiza. 
Se m – 1, A diz-se matriz linha. A = 
Se n = 1, A diz-se matriz coluna. A = 
Convenção: Consideraremos apenas matrizes em que cada elemento é um número real.
Denominamos matriz nula, uma matriz O em que todos os elementos são iguais a zero.
Denominamos matriz oposta de uma matriz A = 
 a matriz –A = 
Sendo A = 
 matriz quadrada de ordem n:
denominamos diagonal principal de A os elementos a1 1 ... an n.
Denominamos diagonal secundária de A os elementos a1 n a2 n-1 ... an 1.
A diz-se matriz diagonal se cada aij = 0 se i ( j
Se A é matriz diagonal de ordem n e cada elemento aii = 1 , A é dita matriz unidade e nota-se a matriz como In.
A diz-se matriz triangular superior se cada aij = 0 quando i > j.
A diz-se matriz triangular inferior se cada aij = 0 quando i < j.
Duas matrizes A = 
 e B = 
 são ditas iguais se têm mesma ordem e cada aij = bij
Exemplos: 1) a = 
 de ordem 4x4 onde aij = 
 A = 
2) a = 
 de ordem 3x4 onde aij =
 A = 
3) I3 = 
 matriz unidade de ordem 3
Operações com matrizes
I – Adição: Dadas duas matrizes A = 
 e B = 
 de mesma ordem, a matriz soma de A com B é a matriz A + B = 
 onde cada cij = aij + bij 
Propriedades: 1) A + B = B + A
 2) A + ( B + C ) = ( A + B ) + C
 3) A + O = A
 4) A + ( - A ) = O
II – Produto de um escalar por uma matriz: Dada uma matriz A = 
 e ( ( R definimos
(. A = 
 onde cada cij = (. a ij.
Propriedades: 1) ( (.( ) . A = ( . ( ( . A )
 2) ( ( + ( ) . A = ( . a + (. A 
 3) (.( A + B ) = ( . A + ( . B
 4) 1 . A = A
Exemplos: 1) Sendo a = 
 , B = 
 e ( = 2, 
A + (.B = 
 + 2.
 = 
 + 
 = 
III – Produto de matrizes: Dadas duas matrizes A = 
 de ordem mxn e B = 
 de ordem nxp, definimos AxB = 
 de ordem mxp onde cada cij = ai1 . b1j + ai2 . b2j + ... + ain . bnj 
Exemplos de problemas resolvidos com o produto de matrizes.
1) Uma construção moderna leva 20 unidades de cimento, 9 de tijolos e 13 de vidros. 
 Uma construção colonial leva 5 unidades de cimento, 25 de tijolos e 8 de vidros. 
Quantas unidades de cada material será utilizado para se levantar 10 construções modernas e 20 coloniais?
Qual é o valor de cada construção, se o preço unitário do cimento é R$ 7, do tijolo é R$ 5 e do vidro é R$ 4, na loja A?
 Uma outra tomada de preços na loja B é de R$ 5, R$ 6 e R$ 3 respectivamente. Em que loja as construções saem com melhor preço?
a) 
 
Resp: 300 de cimento, 590 de tijolo e 290 de vidro.
b) 
Resp: Moderna: R$ 237 e Colonial: R$ 192.
c) 
Resp: Moderna loja B e Colonial loja A
2) Um laboratório fabrica um determinado remédio I composto de 20 unidades de vitamina A , 5 de vitamina C e 3 de vitamina E, e um outro composto com 30 unidades de vitamina A, 8 de C e 2 de E.
a) Se o laboratório fabricar 200 unidades do composto I e 100 do composto II, qual é a quantidade de cada vitamina que vai precisar?
b) Se o preço unitário da cada vitamina é respectivamente R$ 1 , R$3 , e R$2, qual é o custo de cada remédio?
c) Se, em uma outra tomada de preços, as vitaminas custam R$2 a unidade de cada uma, qual será o preço de cada remédio? Compare os preços.
 
 → 7000 unidades de vitamina A, 1800 da C e 800 da E
 → R$41 o remédio I e R$58 o remédio II
Primeiro preço: R$99 e segundo: R$136
3) Tabela com a produção de cereais nas diferentes regiões em cada ano
 Ano 2008 ( sacas ) 
	
	feijão
	soja
	arroz
	milho
	Região norte
	30
	23
	22
	54
	Região sul
	45
	28
	34
	36
Ano 209 ( sacas ) 
	
	feijão
	soja
	arroz
	milho
	Região norte
	28
	43
	32
	51
	Região sul
	39
	35
	30
	45
Representação por matrizes:
 2008 2009 Nos dois últimos anos
 + 
 = 
Se em 2010 a safra vai triplicar, teremos 3 . 
 = 
 
2) Uma locadora de carros tem duas lojas, A e B. O cliente que alocar um carro pode devolvê-lo em qualquer uma das lojas. A locadora fez uma estatística que indica que 80% dos carros locados na loja A são aí devolvidos, e que 60% dos alugados na loja B são lá entregues.
Sendo a e b o número de carros que hoje estão nas lojas A e B , respectivamente, deseja-se saber o número de carros x1 e y1 de carros que estarão nessas respectivas lojas amanhã.
É fácil ver que:
       x1 = carros vindos da própria A + carros vindos da B = 0.80 a + 0.40 b
       y1 = carros vindos da A + carros vindos da própria B = 0.20 a + 0.60 b 
Os cálculos para determinar x1 e y1 são muito parecidos, o que sugere dar-lhes um tratamento simultâneo, matricial. Para isso, é fácil ver que basta dispô-los em quadros ou tabelas, como abaixo, de modo a termos uma tabela ou matriz de percentagens "multiplicando" a tabela ou matriz das quantidades atuais de carros nas lojas:
 = 
 
Ora, se quisermos saber qual é o número de carros em cada loja em um segundo dia, 
 = 
�� EMBED Equation.3 
Considerando que hoje a locadora tenha 15 carros na loja A e 18 carros na loja B, quantos carros haverá amanhã em cada loja?
 = 
 19 na loja A e 14 na B
E em dois dias?
 = 
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 = 
�� EMBED Equation.3 = 
 ( 
 → 
 21 na loja A e 12 na B
Em um terceiro dia , 
 = 
�� EMBED Equation.3 = 
.
 =
 = 
 → 22 na loja A e 11 na B
Em tese, daqui a n dias, tem-se 
 = 
Propriedades: 1) ( A.B ).C = A.( B.C ) 
 2) ( A + B ).C = A.C + B.C
 3) C.( A + B ) = C.A + C.B
 4) ( (.A).B = (. ( A.B ) = A.((.B )
 5) A .I = I.A = A
Observamos que: 1- em geral, A.B ( B.A
 2- Se A.B = O , não necessariamente A = O ou B = O 
Exemplo: 1) 
 e 
2) 
3) A = 
 → A2 = 
. 
 = 
= 
Denominamos transposta de uma matriz A = 
 de ordem mxn a matriz At = 
 de ordem nxm onde bij = aji
Propriedades: 1) (A + B )t = At + Bt
 2) ((.A )t = (.At
 3) (At)t = A
 4) (A.B)t = Bt.At 
Exemplos: 1) A = 
 , B = 
At = 
 Bt = 
 At . Bt = 
 Bt .At = 
 
 A.B = 
 (A.B)t = 
Sendo A = 
 matriz quadrada de ordem n,
dizemos que A é matriz simétrica se At = A
dizemos que A é matriz antissimétrica se A = - At
dizemos que A é matriz periódica se existe k ≥ 2, tal que Ak = A
dizemos que A é matriz idempotente se A2 = A
dizemos que A é matriz nilpotente se existe p inteiro positivo tal que Ap = 0
Observamos que: 1- na matriz simétrica cada aij = aji
 2 - na matriz antissimétrica cada aij = - aji , e com isso cada aii = 0.
Exemplos: 1) A = 
 é simétrica 2) A = 
é antissimétrica
3) A = 
 é idempotente 4) A = 
 é nilpotente
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