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Matrizes Denomina-se matriz de ordem m por n ( mxn ) uma tabela de elementos dispostos em m linhas e n colunas. Notação: A = ou A = ou A = Se m = n, A diz-se matriz quadrada de ordem n Em cada elemento ai,j , i indica a linha e j indica a coluna em que o elemento se localiza. Se m – 1, A diz-se matriz linha. A = Se n = 1, A diz-se matriz coluna. A = Convenção: Consideraremos apenas matrizes em que cada elemento é um número real. Denominamos matriz nula, uma matriz O em que todos os elementos são iguais a zero. Denominamos matriz oposta de uma matriz A = a matriz –A = Sendo A = matriz quadrada de ordem n: denominamos diagonal principal de A os elementos a1 1 ... an n. Denominamos diagonal secundária de A os elementos a1 n a2 n-1 ... an 1. A diz-se matriz diagonal se cada aij = 0 se i ( j Se A é matriz diagonal de ordem n e cada elemento aii = 1 , A é dita matriz unidade e nota-se a matriz como In. A diz-se matriz triangular superior se cada aij = 0 quando i > j. A diz-se matriz triangular inferior se cada aij = 0 quando i < j. Duas matrizes A = e B = são ditas iguais se têm mesma ordem e cada aij = bij Exemplos: 1) a = de ordem 4x4 onde aij = A = 2) a = de ordem 3x4 onde aij = A = 3) I3 = matriz unidade de ordem 3 Operações com matrizes I – Adição: Dadas duas matrizes A = e B = de mesma ordem, a matriz soma de A com B é a matriz A + B = onde cada cij = aij + bij Propriedades: 1) A + B = B + A 2) A + ( B + C ) = ( A + B ) + C 3) A + O = A 4) A + ( - A ) = O II – Produto de um escalar por uma matriz: Dada uma matriz A = e ( ( R definimos (. A = onde cada cij = (. a ij. Propriedades: 1) ( (.( ) . A = ( . ( ( . A ) 2) ( ( + ( ) . A = ( . a + (. A 3) (.( A + B ) = ( . A + ( . B 4) 1 . A = A Exemplos: 1) Sendo a = , B = e ( = 2, A + (.B = + 2. = + = III – Produto de matrizes: Dadas duas matrizes A = de ordem mxn e B = de ordem nxp, definimos AxB = de ordem mxp onde cada cij = ai1 . b1j + ai2 . b2j + ... + ain . bnj Exemplos de problemas resolvidos com o produto de matrizes. 1) Uma construção moderna leva 20 unidades de cimento, 9 de tijolos e 13 de vidros. Uma construção colonial leva 5 unidades de cimento, 25 de tijolos e 8 de vidros. Quantas unidades de cada material será utilizado para se levantar 10 construções modernas e 20 coloniais? Qual é o valor de cada construção, se o preço unitário do cimento é R$ 7, do tijolo é R$ 5 e do vidro é R$ 4, na loja A? Uma outra tomada de preços na loja B é de R$ 5, R$ 6 e R$ 3 respectivamente. Em que loja as construções saem com melhor preço? a) Resp: 300 de cimento, 590 de tijolo e 290 de vidro. b) Resp: Moderna: R$ 237 e Colonial: R$ 192. c) Resp: Moderna loja B e Colonial loja A 2) Um laboratório fabrica um determinado remédio I composto de 20 unidades de vitamina A , 5 de vitamina C e 3 de vitamina E, e um outro composto com 30 unidades de vitamina A, 8 de C e 2 de E. a) Se o laboratório fabricar 200 unidades do composto I e 100 do composto II, qual é a quantidade de cada vitamina que vai precisar? b) Se o preço unitário da cada vitamina é respectivamente R$ 1 , R$3 , e R$2, qual é o custo de cada remédio? c) Se, em uma outra tomada de preços, as vitaminas custam R$2 a unidade de cada uma, qual será o preço de cada remédio? Compare os preços. → 7000 unidades de vitamina A, 1800 da C e 800 da E → R$41 o remédio I e R$58 o remédio II Primeiro preço: R$99 e segundo: R$136 3) Tabela com a produção de cereais nas diferentes regiões em cada ano Ano 2008 ( sacas ) feijão soja arroz milho Região norte 30 23 22 54 Região sul 45 28 34 36 Ano 209 ( sacas ) feijão soja arroz milho Região norte 28 43 32 51 Região sul 39 35 30 45 Representação por matrizes: 2008 2009 Nos dois últimos anos + = Se em 2010 a safra vai triplicar, teremos 3 . = 2) Uma locadora de carros tem duas lojas, A e B. O cliente que alocar um carro pode devolvê-lo em qualquer uma das lojas. A locadora fez uma estatística que indica que 80% dos carros locados na loja A são aí devolvidos, e que 60% dos alugados na loja B são lá entregues. Sendo a e b o número de carros que hoje estão nas lojas A e B , respectivamente, deseja-se saber o número de carros x1 e y1 de carros que estarão nessas respectivas lojas amanhã. É fácil ver que: x1 = carros vindos da própria A + carros vindos da B = 0.80 a + 0.40 b y1 = carros vindos da A + carros vindos da própria B = 0.20 a + 0.60 b Os cálculos para determinar x1 e y1 são muito parecidos, o que sugere dar-lhes um tratamento simultâneo, matricial. Para isso, é fácil ver que basta dispô-los em quadros ou tabelas, como abaixo, de modo a termos uma tabela ou matriz de percentagens "multiplicando" a tabela ou matriz das quantidades atuais de carros nas lojas: = Ora, se quisermos saber qual é o número de carros em cada loja em um segundo dia, = �� EMBED Equation.3 Considerando que hoje a locadora tenha 15 carros na loja A e 18 carros na loja B, quantos carros haverá amanhã em cada loja? = 19 na loja A e 14 na B E em dois dias? = �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 = �� EMBED Equation.3 = ( → 21 na loja A e 12 na B Em um terceiro dia , = �� EMBED Equation.3 = . = = → 22 na loja A e 11 na B Em tese, daqui a n dias, tem-se = Propriedades: 1) ( A.B ).C = A.( B.C ) 2) ( A + B ).C = A.C + B.C 3) C.( A + B ) = C.A + C.B 4) ( (.A).B = (. ( A.B ) = A.((.B ) 5) A .I = I.A = A Observamos que: 1- em geral, A.B ( B.A 2- Se A.B = O , não necessariamente A = O ou B = O Exemplo: 1) e 2) 3) A = → A2 = . = = Denominamos transposta de uma matriz A = de ordem mxn a matriz At = de ordem nxm onde bij = aji Propriedades: 1) (A + B )t = At + Bt 2) ((.A )t = (.At 3) (At)t = A 4) (A.B)t = Bt.At Exemplos: 1) A = , B = At = Bt = At . Bt = Bt .At = A.B = (A.B)t = Sendo A = matriz quadrada de ordem n, dizemos que A é matriz simétrica se At = A dizemos que A é matriz antissimétrica se A = - At dizemos que A é matriz periódica se existe k ≥ 2, tal que Ak = A dizemos que A é matriz idempotente se A2 = A dizemos que A é matriz nilpotente se existe p inteiro positivo tal que Ap = 0 Observamos que: 1- na matriz simétrica cada aij = aji 2 - na matriz antissimétrica cada aij = - aji , e com isso cada aii = 0. Exemplos: 1) A = é simétrica 2) A = é antissimétrica 3) A = é idempotente 4) A = é nilpotente _1294573195.unknown _1294755307.unknown _1387871874.unknown _1387872675.unknown _1387873397.unknown _1387873487.unknown _1387873759.unknown _1391591863.unknown _1403964323.unknown _1387873813.unknown _1387873616.unknown_1387873443.unknown _1387873324.unknown _1387873355.unknown _1387873294.unknown _1387872487.unknown _1387872507.unknown _1387871947.unknown _1387872481.unknown _1387871516.unknown _1387871752.unknown _1387871837.unknown _1387871689.unknown _1326110854.unknown _1326110973.unknown _1326111131.unknown _1310301755.unknown _1326109357.unknown _1326109377.unknown _1294755471.unknown _1294573563.unknown _1294755070.unknown _1294755245.unknown _1294573775.unknown _1294573844.unknown _1294573747.unknown _1294573453.unknown _1294573471.unknown _1294573311.unknown _1294573425.unknown _1249811947.unknown _1294572484.unknown _1294572725.unknown _1294572821.unknown _1294572844.unknown _1294572655.unknown _1294572584.unknown _1294572636.unknown _1249812450.unknown _1294572154.unknown _1249812187.unknown _1249805868.unknown _1249808436.unknown _1249809260.unknown _1249809403.unknown _1249809467.unknown _1249808510.unknown _1249808287.unknown _1249805150.unknown _1249805699.unknown _1249804925.unknown _1249804986.unknown _1249804719.unknown _1249804753.unknown _1249804463.unknown
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