Propridedes da Variança e Covariança

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Paraˆmetros de func¸o˜es de um par aleato´rio
Dado o par aleatório (X,Y ), e g : IR2 → IR, define-se
E[g(X,Y )] =
∑
i
∑
j
g(xi, yj) pij , no caso discreto
E[g(X,Y )] =
∫ ∫
R2
g(x, y) f(x, y) dxdy , no caso contínuo.
(Exige-se a convergência absoluta da série dupla e do integral).
Propriedades do valor me´dio (continuac¸a˜o)
4. Aditividade E[X ± Y ] = E[X]± E[Y ]
5. Desigualdade de Schwarz Se E[X2] e E[Y 2] existem então
E2[XY ] ≤ E[X2]E[Y 2].
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Paraˆmetros de func¸o˜es de um par aleato´rio
Corola´rio da propriedade anterior: E2[X] ≤ E[X2]
Nota: se E[X2] existe =⇒ existe E[X].
6. Se X e Y são variáveis aleatórias independentes
E[XY ] = E[X]E[Y ]
Nota: O recíproco não é verdadeiro: Verifique que se X e Y são
v. a.’s com a seguinte distribuição de probabilidades
X Y -1 0 1
0 0 1/3 0
1 1/3 0 1/3
tem-se E[XY ] = E[X ]E[Y ] mas X e Y não são independentes
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Paraˆmetros de func¸o˜es de um par aleato´rio
Uma propriedade da função geradora de momentos quando X e Y
sa˜o varia´veis aleato´rias independentes
MX+Y (t) =MX(t)×MY (t)
Relembre que:
a variância é um parâmetro que exprime a variabilidade de uma
variável aleatória. Para um par aleatório tem-se:
Definic¸a˜o: Dado o par aleatório (X,Y ) chama-se covariaˆncia deX
e Y a Cov[X,Y ] = σXY = E[(X − µX)(Y − µY )]
Exercı´cio: Verifique que Cov[X,Y ] = E[XY ]− E[X]E[Y ]
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Propriedades da variaˆncia e da covariaˆncia
3. Sejam X e Y variáveis aleatórias.
V ar[X ± Y ] = V ar[X] + V ar[Y ]± 2Cov[X,Y ]
4. Se X e Y são variáveis aleatórias independentes
V ar (X ± Y ) = V ar[X] + V ar[Y ]
Propriedades da covariaˆncia
1. Se X e Y são v. a.’s independentes =⇒ Cov[X,Y ] = 0.
Nota: O recíproco não é verdadeiro.
2. Cov[aX + b, cY + d] = ac Cov[X,Y ].
3. |Cov[X,Y ]| ≤ σX σY .
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O coeficiente de correlac¸a˜o
Definic¸a˜o: Chama-se coeficiente de correlac¸a˜o de X e Y e
representa-se por ρ ou ρX,Y a
ρ = ρX,Y =
Cov[X,Y ]
σX σY
(σX > 0 e σY > 0).
Propriedades do coeficiente de correlac¸a˜o
1. −1 ≤ ρX,Y ≤ 1
2. Se X e Y são v. a. independentes =⇒ ρX,Y = 0.
3. ρaX+b,cY+d = ρX,Y se ac > 0
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Exercı´cio
Sejam X1, · · · ,Xn, v.a.’s independentes e todas com a mesma
distribuição que X, portanto,
E[X] = E[Xi] = µ e V ar[X] = V ar[Xi] = σ2 (∀i = 1, · · · , n)
Soma das n variáveis é Sn = X1 +X2 + ...+Xn =
n∑
i=1
Xi
Me´dia das n variáveis é Xn =
X1 +X2 + ...+Xn
n
=
∑n
i=1Xi
n
a) Calcular o valor médio e a variância de Sn e de Xn.
b) Mostre que seMX(t) é função geradora de momentos de
X,
a func¸a˜o geradora de momentos de Sn é MnX(t)
e de Xn é MnX(t/n). Manuela Neves - ISA - 05/06 – p. 67/76
Principais distribuic¸o˜es discretas
A distribuic¸a˜o uniforme discreta
Definic¸a˜o Uma v.a. X tem distribuição uniforme discreta se toma
os valores x1, ..., xk com probabilidades 1/k, ..., 1/k, i.e.
P (X = xi) = 1/k, i = 1, ..., k.
Paraˆmetros e func¸a˜o geradora de momentos
E[X ] = 1
k
∑
k
i=1 xi; V ar[X ] =
1
k
∑
n
i
(xi − µ)
2; MX(t) =
1
k
∑
k
i=1 e
txi .
Caso particular
Se X =


1 2 · · · n
1/n 1/n · · · 1/n
E[X ] = n+12 ; V ar[X ] =
n
2
−1
12 e MX(t) = E[e
tX ] = e
t(1−ent)
n(1−et) , t 6= 0
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Principais distribuic¸o˜es discretas (cont.)
A distribuic¸a˜o binomial
Experiência =


realização de um acontecimento sucesso
não realização do acontecimento insucesso
Cada uma das repetições sucessivas da experiência – prova.
Provas de Bernoulli são provas repetidas que verificam:
cada prova tem apenas um de dois resultados possíveis: sucesso
ou insucesso.
em cada prova a probabilidade de sucesso, p, permanece
constante, sendo q = 1− p, a probabilidade de insucesso.
as provas são independentes.
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A distribuic¸a˜o binomial
Exemplos:
o teste de uma dada droga num rato e o registo da reacção
positiva ou negativa;
a inspecção dos items numa linha de fabrico para observar
se cada um é defeituoso ou não;
o lançamento de uma moeda.
Definic¸a˜o: Chama-se varia´vel aleato´ria de Bernoulli à variável
associada ao resultado de cada prova de Bernoulli, i.e.,
toma o valor 1, com probabilidade p, se ha´ sucesso;
toma o valor 0, com probabilidade 1− p = q, se ha´ insucesso.
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A distribuic¸a˜o binomial
Exemplo Numa experiência colocam-se 5 bolbos de túlipa a
germinar, de um pacote onde foi garantida uma probabilidade de
germinação de 0.40. Para cada planta (prova) temos dois
resultados possíveis: G (germina) −→ sucesso, com p = 0.4 e
NG (não germina) −→ insucesso, com q = 0.6
Qual a probabilidade de, desses 5 bolbos, 3 germinarem?
Admitamos os bolbos colocados em fila, pode ocorrer
GGGNGNG; GGNGGNG; GGNGNGG; · · · NGGNGGG; GGNGGNG
Total de modos —
(
5
3
)
= 10.
São provas independentes e de probabilidade constante p
P{GGGNGNG} = ... = P{GGNGGNG} = p
3 q2 = (0.4)3 (0.6)2 .
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A distribuic¸a˜o binomial
A probabilidade de germinarem 3 bolbos é então
P [{GGGNGNG} ∪ ... ∪ {GGNGGNG}] =
(
5
3
)
(0.4)3 (0.6)2
Genericamente→ considere-se a realização de n provas de
Bernoulli, em que o sucesso ocorre com probabilidade p.
Definic¸a˜o: A v.a. X que conta o número de sucessos em n
provas de Bernoulli, chama-se varia´vel aleato´ria binomial, diz-se
ter distribuic¸a˜o binomial e representa-se por X ∩B(n, p).
Caracterizac¸a˜o da v.a. X ∩B(n, p):
– toma os valores x = 0, 1, 2, ..., n com probabilidades
P [X = x] =
(
n
x
)
px (1− p)n−x
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A distribuic¸a˜o binomial (cont.)
Atendendo ao desenvolvimento do binómio (p+ q)n
(p+ q)n = qn +
(
n
1
)
p qn−1 +
(
n
2
)
p2 qn−2 + · · ·+ pn,
com q = 1− p, é fácil verificar que
∑n
x=0
(
n
x
)
px (1− p)n−x = [p+ (1− p)]n = 1,
Exercı´cio: Para n = 5 e vários valores de p, desenhe a função
massa de probabilidade.
Sugestão: Consulte as folhas de Introduc¸a˜o ao software R e use os
comandos:
> x<- 0:5
> plot(x,dbinom(x,size=5,prob=0.2),type="h")
> plot(x,dbinom(x,size=5,prob=0.4),type="h")
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A distribuic¸a˜o binomial
Paraˆmetros da v.a X ∩B(n, p)
E[X] = np; V ar[X] = npq; MX(t) =
(
p et + q
)n
Exercı´cio: No exemplo dado, qual a probabilidade de pelo menos
dois bolbos germinarem?
Para valores de n ≤ 20(25), existem tabelas para o cálculo das
probabilidades. As tabelas que temos à disposição apresentam
os valores da função de distribuição cumulativa.
Relac¸a˜o entre a distribuic¸a˜o do nu´mero de sucessos e de insucessos
X ∩B(n, p)⇒ (n−X) ∩B(n, 1− p).
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A distribuic¸a˜o multinomial
Experiência −→ em cada prova −→ mais de dois resultados
possíveis, verificando todas as outras condições referidas na
distribuição binomial, −→ experieˆncia multinomial.
Se cada prova tem k resultados possíveis:
E1, E2, ...Ek com probabilidades
p1, p2, ...pk pi ≥ 0 e
∑k
i=1 pi = 1.
Probabilidade de em n provas independentes se observar
x1 vezes o acontecimento E1
x2 vezes o acontecimento E2
...
xk vezes o acontecimento Ek, com x1 + x2 + ...+ xk = n
? Manuela Neves - ISA - 05/06 – p. 75/76
A distribuic¸a˜o multinomial
Sejam X1,X2, ...,Xk as variáveis aleatórias que designam o
número de vezes que sai cada um dos acontecimentos nas n
provas.
P [X1 = x1,X2 = x2, ...,Xk = xk] =
n!
x1! x2!...xk!
px11 p
x2
2 ...p
xk
k .
Exercı´cio: Suponha uma caixa com 15 bolas, das quais 8sa˜o
vermelhas(V), 2 sa˜o brancas (B) e 5 sa˜o amarelas (A).
Qual a probabilidade de, ao retirar 6 com reposic¸a˜o, saı´rem 3 vermelhas,
1 branca e 2 amarelas?
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