telecurso 2000 matematica ensino medio volume 3

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A U L A
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A U L A
Triângulos especiais
Introduçªo Nesta aula, estudaremos o caso de dois triân-
gulos muito especiais - o equilÆtero e o retânguloo equilÆtero e o retânguloo equilÆtero e o retânguloo equilÆtero e o retânguloo equilÆtero e o retângulo - seus lados, seus ângulos e
suas razıes trigonomØtricas.
Antes, vamos relembrar alguns pontos importantes.
l A soma dos ângulos de um triângulo qualquer Ø sempre 180”
l O triângulo equilÆterotriângulo equilÆterotriângulo equilÆterotriângulo equilÆterotriângulo equilÆtero possui todos os lados e iguais. Por isso, cada um de
seus ângulos mede 60”.
l O triângulo isóscelestriângulo isóscelestriângulo isóscelestriângulo isóscelestriângulo isósceles possui dois lados iguais e dois ângulos iguais.
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A U L Al Um triângulo retângulotriângulo retângulotriângulo retângulotriângulo retângulotriângulo retângulo possui um ângulo reto e dois ângulos agudos e
complementares. Os lados de um triângulo retângulo chamam-se catetoscatetoscatetoscatetoscatetos e
hipotenusahipotenusahipotenusahipotenusahipotenusa. Os catetos sªo sempre perpendiculares e formam um ângulo
reto.
l Na aula anterior, nós estudamos as razıes trigonomØtricas dos triângulos
retângulos, que sªo:
sen a = 
catetooposto
hipotenusa
cos a = 
catetoadjacente
hipotenusa
tg a = 
catetooposto
catetoadjacente
Nesta aula, esses conceitos serªo aplicados em casos especiais de triângulos
que aparecem com freqüŒncia em nosso dia-a-dia.
A diagonal do quadrado
Uma figura geomØtrica muito simples e bastante utilizada Ø o quadrado.
Traçando um segmento de reta unindo dois vØrtices nªo-consecutivos do quadrado
- uma diagonal - dividimos o quadrado em dois triângulos retângulos isósceles.
Em qualquer um desses triângulos, dois lados sªo iguais aos lados do
quadrado, a hipotenusa Ø igual à diagonal do quadrado, e os dois ângulos agudos
sªo iguais a 45”. Sabendo que os dois catetos medem l podemos calcular o
comprimento ddddd da hipotenusa usando o Teorema de PitÆgoras:
d2 = l 2 + l 2
d2 = 2l 2
d = 2l 2 Þ d = l 2
Nossa aulaNossa aulaNossa aulaNossa aulaNossa aula
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A U L A Assim, para qualquer quadrado de lado lllll, calculamos facilmente o compri-
mento da diagonal multiplicando l por 2 .
EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1
Num quadrado de 4 cm de lado qual a medida da diagonal ddddd?
SoluçªoSoluçªoSoluçªoSoluçªoSoluçªo
d = l 2 = 4 2cm
Este raciocínio pode ser aplicado sempre que encontrarmos um triângulo
retângulo isósceles.
EXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2
No triângulo da ilustraçªo, quanto mede a hipotenusa?
Soluçªo:Soluçªo:Soluçªo:Soluçªo:Soluçªo:
x = 1 2 = 2
Razıes trigonomØtricas do ângulo de 45”
Veremos agora como determinar, a partir do triângulo, as razıes
trigonomØtricas de um ângulo de 45”.
Num triângulo retângulo, se um dos ângulos mede 45”, o outro ângulo
agudo tambØm mede 45”, pois sªo ângulos complementares. Podemos entªo
concluir que temos um triângulo retângulo isóscelestriângulo retângulo isóscelestriângulo retângulo isóscelestriângulo retângulo isóscelestriângulo retângulo isósceles.
Observe que para qualquer um dos ângulos de 45” que escolhermos, o
cateto oposto Ø igual ao cateto adjacente. Usando as fórmulas que revimos na
introduçªo, vamos obter os valores abaixo. Acompanhe:
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A U L A
sen 45º=
catetooposto
hipotenusa
=
l
l 2
=
1
2
=
2
2
cos45º=
catetoadjacente
hipotenusa
=
l
l 2
=
1
2
=
2
2
tg 45º=
catetooposto
cateto adjaccente
=
l
l
= 1
Na tabela trigonomØtrica os valores de sen, cos e tg de 45” sªo:
sen 45” = 0,70711
cos 45” = 0,70711
tg 45” = 1,00000
Considerando 2 = 1,41421, nas fórmulas, vocŒ confirmarÆ estes valores.
Observe que racionalizamos os denominadores das fraçıes 
1
2
, ou seja, multipli-
camos o denominador e o numerador da fraçªo por 2 e encontramos 2
2
.
Fazemos isso por ser muito mais simples dividir 1,41421 por 2 do que dividir 1
por 1,41421; mas nos dois casos o resultado seria 0,70711.
A altura de um triângulo equilÆtero
Em qualquer triângulo podemos sempre traçar trŒs alturas. Num triângulo
equilÆtero, jÆ que os trŒs lados sªo iguais, bem como os trŒs ângulos (cada um
mede 60”), as trŒs alturas terªo a mesma medida. No triângulo equilÆtero da
ilustraçªo do meio, traçamos uma delas (relativa à base):
O bserve que, num triângulo equilÆtero qualquer, a altura Ø tambØm
medianamedianamedianamedianamediana (divide o lado oposto em duas partes iguais) e bissetrizbissetrizbissetrizbissetrizbissetriz (divide o
ângulo do vØrtice em dois ângulos iguais), conforme se vŒ nas figuras.
Observe tambØm que a altura divide o triângulo equilÆtero em dois triân-
gulos retângulos com as mesmas medidas de ângulos e lados.
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A U L A Usando o Teorema de PitÆgoras podemos calcular a medida da altura h em
funçªo do lado l:
h2 +
l
2
Φ
ΗΓ
Ι
Κϑ
2
= l 2
h2 = l 2 -
l 2
4
h2 =
4l 2 - l 2
4
=
3l 2
4
h =
l 3
2
Assim, conhecendo a medida do lado de um triângulo equilÆtero, vocŒ pode
calcular sua altura pela fórmula que acabamos de encontrar. No entanto vocŒ
pode sempre refazer nosso raciocínio, aplicando o Teorema de PitÆgoras, tal
como acabamos de fazer; Ø sempre uma ótima soluçªo.
Observaçªo importanteObservaçªo importanteObservaçªo importanteObservaçªo importanteObservaçªo importante
Se o triângulo nªo for equilÆtero, mas sim retângulo, com ângulos agudos
medindo 30” e 60”, um dos catetos serÆ sempre a metade da hipotenusa, e o
outro Ø a altura de um triângulo equilÆtero, cujo lado serÆ igual à hipotenusa
(faça uma figura para verificar isso!).
EXEMPLO 3EXEMPLO 3EXEMPLO 3EXEMPLO 3EXEMPLO 3
Calcule a altura de um triângulo equilÆtero de lado 6 cm.
Soluçªo:Soluçªo:Soluçªo:Soluçªo:Soluçªo:
h =
l 3
2
=
6 3
2
= 3 3
EXEMPLO 4EXEMPLO 4EXEMPLO 4EXEMPLO 4EXEMPLO 4
Num triângulo retângulo, um dos ângulos agudos
mede 60” e a hipotenusa mede 10 cm. Calcule a
medida do cateto adjacente ao ângulo dado.
Soluçªo:Soluçªo:Soluçªo:Soluçªo:Soluçªo:
O triângulo descrito no problema pode ser represen-
tado como na figura. Pelas relaçıes que acabamos de
observar, o cateto adjacente ao ângulo de 60” Ø igual
à metade da hipotenusa, e a resposta serÆ x = 5 cm.
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A U L ARazıes trigonomØtricas dos ângulos de 30””””” e 60”””””
Podemos agora utilizar as razıes trigonomØtricas para expressar as relaçıes
entre ângulos e lados de um triângulo retângulo com ângulos agudos de 30” e 60”.
JÆ vimos que, num triângulo desse tipo (veja a figura), se a hipotenusa mede
l, os catetos medem l
2
 e l 3
2
.
Considerando primeiramente o ângulo de 30”, teremos:
sen 30º=
catetooposto
hipotenusa
=
l
2
l
=
l
2
•
1
l
=
1
2
cos30º=
catetoadjacente
hipotenusa
=
l
3
2
l
=
l 3
2
=
3
2
tg 30º=
catetooposto
cateto adjacente
=
l
2
l
3
2
=
1
2
·
2
l 3
=
1
3
=
3
3
Procedendo da mesma forma para o ângulo de 60” , encontramos:
sen60º=
catetooposto
hipotenusa
=
l
3
2
1
=
l 3
2
•
1
l
=
3
2
cos60º=
catetoadjacente
hipotenusa
=
l
2
l
=
l
2
•
1
l
=
1
2
tg60º=
catetooposto
cateto adjaccente
=
l
3
2
l
2
=
l 3
2
×
2
l
= 3
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A U L A No exercício 5, da Aula 40, vocŒ verificou que, se dois ângulos sªo comple-
mentares, o seno de um Ø igual ao co-seno do outro.
Nesta aula, confirmamos esse fato, mais uma vez, para os ângulos de 30” e 60”.
sen 30” = cos 60” = 
1
2
sen 60” = cos 30” = 
3
2
Usando a tabela trigonomØtrica, vocŒ encontra:
Considerando entªo 3 » 1,73205, vocŒ pode confirmar os valores.
Resumindo:Resumindo:Resumindo:Resumindo:Resumindo:
Um exemplo na indœstria
Um bloco de aço deve receberuma fenda como se vŒ no projeto (vista frontal).
Observe que as medidas podem ser suficientes para descrever a peça, mas nªo
sªo as medidas necessÆrias para quem farÆ o corte. Essa pessoa precisarÆ mesmo
Ø da largura do corte e sua profundidade. Só assim poderÆ marcar na peça os
pontos de corte.
´NGULO´NGULO´NGULO´NGULO´NGULO SENOSENOSENOSENOSENO COCOCOCOCO-----SENOSENOSENOSENOSENO TANGENTETANGENTETANGENTETANGENTETANGENTE
60”
3
2
1
2
3
´NGULO´NGULO´NGULO´NGULO´NGULO SENOSENOSENOSENOSENO COCOCOCOCO-----SENOSENOSENOSENOSENO TANGENTETANGENTETANGENTETANGENTETANGENTE
30”
60” 1,732050,86603 0,50000
0,50000 0,86603 0,57735
30”
1
2
3
2
3
3
45”
2
2
2
2
1
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A U L APrimeiro, vejamos o que se pode concluir sobre a largura x x x x x do corte. O
triângulo cortado Ø isósceles (dois lados medindo 20), contØm um ângulo de 60”
(fig. 1). Como os outros dois ângulos devem ser iguais (porque o triângulo Ø
isósceles) entªo cada um vai medir:
180º- 60º
2
= 60º
Assim, descobrimos que, na verdade,
trata-se de um triângulo equilÆtero, e a lar-
gura só pode ser 20:
largura = 20
Agora corte esse triângulo equilÆtero em dois triângulos retângulos para
descobrir a medida da profundidade yyyyy do corte. VocΠpode observar na figura
acima que essa medida Ø igual à altura do triângulo equilÆtero. Como jÆ sabemos
que essa altura Ø l 3
2
, basta substituir o valor de l, que Ø 20, e obter:
Profundidade =
20 3
2
= 10 3 @ 17,32
Outro exemplo prÆtico
Uma pessoa com problemas no joelho foi ao ortopedista. O mØdico recomen-
dou fisioterapia diÆria, que consistia em sentar-se numa cadeira alta e elevar a
perna atØ o ângulo de 60” com um peso no pØ.
Como a pessoa nªo podia ir diariamente ao fisioterapeuta decidiu fazer o
exercício em casa. Sua dœvida Ø: como marcar a elevaçªo de 60”?
Vamos desenhar um triângulo retângulo com ângulos agudos de 30” e 60”,
de modo que a hipotenusa do triângulos seja do tamanho da perna da pessoa.
Sabemos que a altura x x x x x Ø a metade do comprimento da perna porque:
cos60º=
catetoadjacente
hipotenusa
=
x
perna
=
1
2
Como cos60º=
1
2
, temos 
x
perna
=
1
2
. Logo, xxxxx Ø metade da perna.
Veja como fica fÆcil marcar a altura que a perna deve ser elevada, basta medir
a perna (abaixo do joelho), dividir por dois e marcar essa altura na parede, por
exemplo.
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A U L A Uma aplicaçªo em grÆficos
Observe os grÆficos da figura. Nesse grÆfico estªo representadas as trŒs retas
que ilustram o desempenho de trŒs empresas num certo setor pesquisado.
Podemos comparar esses desempenhos apenas visualmente ou com maior
precisªo, dependendo dos objetivos da anÆlise.
É fÆcil concluir que o melhor desempenho foi o da empresa A, e o pior, o da
empresa C: basta uma comparaçªo visual dos grÆficos. No entanto, poderemos
fazer um estudo mais preciso das diferenças de crescimento, se descobrirmos os
ângulos que cada uma dessas retas faz com o eixo horizontal.
Usando os conhecimentos desta aula e observando que o grÆfico da empresa
B passa sempre pela diagonal dos quadradinhos, podemos dizer que temos um
ângulo de 45”.
Com o auxílio de uma rØgua tambØm podemos descobrir os ângulos forma-
dos pelas outras duas retas.
Confirme no grÆfico original as medidas obtidas nas figuras. Como vŒ, um
dos catetos Ø a metade da hipotenusa e podemos marcar, entªo, os ângulos. No
primeiro caso (da empresa A), o ângulo formado com o eixo horizontal Ø de 60”,
jÆ que cos 60” = 1
2
. No segundo caso (da empresa C), o ângulo formado com o ei-
xo horizontal Ø de 30”, pois sen 30” = 1
2
.
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A U L AExercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1
Nos projetos ilustrados, quanto medem o ângulo a e a altura hhhhh?
Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2
Num hexÆgono regular (lados e ângulos
iguais), o segmento aaaaa da figura chama-se
apótemaapótemaapótemaapótemaapótema e o segmento rrrrr Ø o raio da circun-
ferŒncia circunscrita. Sabendo-se que um
hexÆgono regular Ø formado por 6 triângu-
los equilÆteros, obtenha aaaaa e rrrrr em funçªo do
lado l do hexÆgono.
Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3
No exercício 6 da aula 40 verificamos que tg x =
sen x
cosx
. Obtenha tg 30”, tg 45”
e tg 60”, usando essa relaçªo.
Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4
Determine a medida do lado de um quadrado cuja diagonal Ø:
a)a)a)a)a) 4 2
b)b)b)b)b) 2 cm
Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5
Uma parede foi azulejada, como mostra a
figura. Calcule a altura aproximada da pare-
de, sabendo que cada azulejo Ø um quadrado
de 15 cm de lado e que, na vertical, cabem 13
azulejos inteiros, enfileirados.
Exercícios
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A U L A
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A U L A
A lei dos co-senos
Introduçªo Utilizando as razıes trigonomØtricas nos tri-
ângulos retângulos, podemos resolver vÆrios problemas envolvendo ângulos e
lados. Esse tipo de problema Ø conhecido como resoluçªo de triângulos. Conhe-
cendo dois elementos de um triângulo retângulo, quase sempre podemos
determinar os outros elementos, como veremos nos exemplos a seguir:
Conhecendo dois lados, e usando o Teorema de PitÆgoras, determinamos a
medida do terceiro lado:
b2 = 82 - 42
b = 64 -16 = 48
b = 4 3 @ 6,92
Usando as razıes trigonomØtricas e consultando a tabela trigonomØtrica,
determinamos os ângulos agudos.
∃C = 90º- ∃B Þ ∃C = 30º
Se conhecermos um lado e um ângulo, poderemos determinar os outros
dois lados:
cos ∃B =
4
8
=
1
2
Þ ∃B = 60º
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A U L A
Sabendo que os ângulos agudos sªo complementares, determinamos o outro
ângulo: ∃C = 90º- ∃B Þ ∃C = 40º
Conhecendo os dois ângulos agudos, podemos construir vÆrios triângulos
semelhantes (com os mesmos ângulos). Portanto, essa Ø a œnica situaçªo
indeterminada na resoluçªo de triângulos retângulos.
A hipotenusa unitÆria
Vimos nas aulas anteriores que as razıes trigonomØtricas de um ângulo
agudo nªo dependem do triângulo retângulo escolhido. Na figura abaixo temos:
sen 50º=
6
a
Þ a =
6
sen50º
=
6
0,766
@ 7,83
tg 50º=
6
c
Þ c =
6
tg50º
=
6
1,192
@ 5,03
sena =
b1
a1
=
b2
a2
=
b3
a3
=
catetooposto
hipotenusa
cosa =
c1
a1
=
c2
a2
=
c3
a3
=
catetoadjacente
hipotenusa
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A U L A Observamos que, para o cÆlculo do seno e do co-seno de um ângulo,
dividimos um dos catetos pela hipotenusa do triângulo retângulo correspon-
dente. JÆ que podemos obter esse valor com qualquer um dos triângulos
semelhantes, Ø muito prÆtico trabalharmos com um triângulo retângulo cuja
hipotenusa seja igual a 1.
Apenas nesse caso, em que a hipotenusa do triângulo retângulo Ø igual a 1,
podemos obter a medida dos catetos conhecendo seus ângulos agudos.
ObservaçªoObservaçªoObservaçªoObservaçªoObservaçªo
Para uma hipotenusa qualquer teríamos:
Veja, nos triângulos retângulos abaixo, a medida dos catetos:
a)a)a)a)a) b)b)b)b)b)
x = sen 45º= 22 x = sen 30º=
1
2
y = cos 45º= 22 y = cos 30º=
3
2 @ 0,866
sena =
b
1
= b
cosa =
c
1
= c
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A U L AA variaçªo do seno e do co-seno
Na figura a seguir, temos uma circunferŒncia cujo raio Ø igual a 1 dm (um
decímetro). Para vÆrios ângulos diferentes, podemos obter os valores do seno e
do co-seno (em decímetros) apenas medindo os catetos dos triângulos formados.
BP = sen AÔP OB = cos AÔP
CQ = sen AÔQ OC = cos AÔQ
DR = sen AÔR OD = cos AÔR
e assim por diante...
A partir dessa figura, podemos concluir que:
I)I)I)I)I) Quanto maior o ângulo, maior a medida do cateto oposto (ou seja, maior o
valor do seno).
II)II)II)II)II) Quanto maior o ângulo, menor a medida do cateto adjacente (ou seja, menor
o valor do co-seno).
Senos e co-senos de ângulos obtusos
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A U L A Para obtermos um ângulo a obtuso (maior que 90”), desenhamos umtriângulo retângulo (semelhante aos que desenhamos para os ângulos agudos do
item anterior) e, como estamos considerando a hipotenusa igual a um (1 dm),
definimos que:
sen a = HM e cos a = OH
Note que o seno do ângulo obtuso a Ø igual ao seno do ângulo agudo
180” - a e que o co-seno do ângulo a Ø do mesmo comprimento que o co-seno de
180” - a. Entretanto, como estÆ do “outro lado” em relaçªo ao centro do círculo,
terÆ sinal negativo.
Resumindo: sen a = sen (180” - a)
cos a = - cos (180” - a)
Veja alguns exemplos:
a)a)a)a)a) 30” + 150” = 180”
sen 150” = sen 30” = 12
cos 150” = - cos 30” = - 32
b)b)b)b)b) 80” + 100” = 180”
sen 100” = sen 80” = 0,98481
cos 100” = - cos 80” = - 0,17365
c)c)c)c)c) 45” + 135” = 180”
sen 135” = sen 45” = 22
cos 135” = - cos 45” = - 22
Veja agora a relaçªo entre lados e ângulos de um triângulo nªo-retângulo
(acutângulo ou obtusângulo).
O triângulo acutângulo
No triângulo acutângulo ABC (que tem trŒs ângulos agudos), traçamos uma
de suas alturas e obtemos dois triângulos retângulos:
o triângulo ABH e o triângulo ACH.
42
A U L A
//
Chamando de xxxxx a medida de BH, a base BC do triângulo ABC fica dividida
em dois segmentos de medidas xxxxx e a a a a a - x x x x x.
Usando o Teorema de PitÆgoras em cada um dos triângulos retângulos, temos:
1” triângulo: b2 = h2 + (a - x)2
2” triângulo: c2 = h2 + x2
Subtraindo essas duas equaçıes:
b2 - c2 = (a -x)2 - x2
b2 - c2 = a2 - 2ax + x2 - x2
b2 - c2 = a2 - 2ax
Sabendo que: cos ∃B = x6 Þ x = c · cos ∃B , efetuamos a substituiçªo:
b2 - c2 = a2 - 2ac cos ∃B
Logo, b2 = a2 + c2 - 2ac cos ∃B
Da mesma forma, podemos achar ccccc, conhecendo a medida dos dois
outros lados e seu ângulo oposto. Para isso, fazemos HC medindo xxxxx e BH
medindo a a a a a - x x x x x.
c2 = h2 + (a - x)2
- b2 = h2 + x2
 .
c2 - b2 = (a - x)2 - x2
c2 - b2 = a2 - 2ax
Como xxxxx agora Ø igual a bcos ∃C , temos: c2 = a2 + b2 - 2ab cos ∃C
Para obter uma expressªo para o cÆlculo de aaaaa, podemos traçar outra altura
hhhhh do triângulo ABC, relativa ao lado AC.
a2 = h2 + (b - x)2
- c2 = h2 + x2
 .
a2 - c2 = (b - x)2 - x2
a2 - c2 = b2 - 2bx e x = c · cos ´
a2 = b2 + c2 - 2bc cos ´
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A U L A Resumindo:Resumindo:Resumindo:Resumindo:Resumindo:
Num triângulo acutângulo, valem as relaçıes:
a2 = b2 + c2 - 2bc cos ´
b2 = a2 + c2 - 2ac cos ∃B
c2 = a2 + b2 - 2ab cos ∃C
Ao transformar um triângulo retângulo num triângulo acutângulo, o ângulo
reto diminui e, conseqüentemente, o lado oposto tambØm diminui.
Observe as figuras:
Triângulo retângulo Triângulo acutângulo
a2 = b2 + c2 a2 < b2 + c2
a2 = b2 + c2 - 2bc cos ´
O triângulo obtusângulo
Veja o que ocorre quando um triângulo retângulo se transforma num
triângulo obtusângulo:
a2 = b2 + c2 a2 > b2 + c2
Procedendo como no caso do triângulo acutângulo, descobrirmos de quanto
a soma bbbbb22222 + c + c + c + c + c22222 precisa ser acrescida para se igualar a aaaaa22222.
Para vocŒ
saber mais
42
A U L AA fim de facilitar a visualizaçªo, vamos girar o triângulo obtusângulo,
colocando o lado AC como base:
Traçando a altura relativa ao lado AC, formamos um novo segmento AH,
que mede xxxxx e dois triângulos retângulos: triângulo BHA e triângulo BHC.
Usando o Teorema de PitÆgoras nos triângulos BHA e BHC e subtraindo as
equaçıes obtidas, temos:
a2 = h2 + (b +x)2
- c2 = h2 + x2
 .
a2 - c2 = (b + x)2 - x2
a2 - c2 = b2 + 2bx fi a2 = b2 + c2 + 2bx
No triângulo retângulo triângulo BHA, temos cos (180” - ´) = xc
logo x = cos (180” - ´)
 cos (180” - ´) = - cos ´
 x = - c cos ´
Substituindo xxxxx na equaçªo:
a2 = b2 + c2 + 2b (- c · cos ´) ou
a2 = b2 + c2 - 2bc cos ´
Assim, concluímos que as expressıes obtidas para triângulos acutângulos
sªo vÆlidas para triângulos obtusângulos.
42
A U L A EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1
Uma pessoa viajou de A para C passando por B. De A atØ B, percorreu
25 km e de B atØ C, 42 km. Os percursos AB e BC formam entre si um ângulo
de 150”. Se fosse possível ir em linha reta de A para C, qual seria a economia de
quilometragem?
Soluçªo:Soluçªo:Soluçªo:Soluçªo:Soluçªo:
x2 = 252 + 422 - 2 · 25 · 42 · cos 150”
x2 = 625 + 1764 - 2 · 1050 (- cos 30”)
x2 = 2389 + 2100 · 0,866
x2 = 2389 + 1818,6
x2 = 4207,6
x @ 65 km
Indo de A para C, passando por B, gasta-se 25 + 42 = 67 km; e de A para C
em linha reta, aproximadamente, 65 km. Desse modo, a economia de quilome-
tragem seria de 2 km.
EXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2
Se o ângulo entre as direçıes AB e BC fosse menor, o caminho direto seria
mais vantajoso?
Soluçªo:Soluçªo:Soluçªo:Soluçªo:Soluçªo:
Vejamos, como exemplo, duas situaçıes:
a)a)a)a)a) Se o ângulo for reto:
x2 = 252 + 422
x2 = 625 + 1764
x2 = 2389
x @ 49 km
67 km - 49 km = 18 km
Seriam economizados 18 km.
42
A U L Ab)b)b)b)b) Se o ângulo for agudo igual a 60”:
x2 = 252 + 422 - 2 · 25 · 42 · cos 60”
x2 = 625 + 1764 - 2 · 100 · 12
x2 = 1239
x @ 35 km
67 km - 35 km = 32 km
Seriam economizados 32 km.
Quanto menor o ângulo entre AB e BC, melhor seria ir direto de A para C,
pois essas cidades seriam mais próximas e a diferença entre os dois percursos
aumentaria.
Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1
Dados os seguintes elementos de um triângulo ABC: ´ = 30”, AB = 8 m,
CB = 5 m. Calcule AC.
Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2
Os lados de um triângulo medem 5 cm, 7 cm e 10 cm.
a)a)a)a)a) Classifique esse triângulo quanto aos ângulos.
b)b)b)b)b) Obtenha o valor aproximado do maior ângulo do triângulo.
Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3
Determine:
a)a)a)a)a) sen 120”
b)b)b)b)b) cos 120”
c)c)c)c)c) sen 95”
d)d)d)d)d) cos 95”
Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4
Nos triângulos retângulos abaixo, determine as medidas dos catetos.
a)a)a)a)a) b)b)b)b)b)
Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5
Complete com = , > ou <.
a)a)a)a)a) sen 30” .......... sen 45”
b)b)b)b)b) cos 30” .......... cos 45”
c)c)c)c)c) sen 70” .......... sen 110”
d)d)d)d)d) cos 70” .......... cos 110”
e)e)e)e)e) sen 70” .......... cos 20”
f)f)f)f)f) cos 30” .......... sen 60”
g)g)g)g)g) cos 120” .......... cos 150”
h)h)h)h)h) sen 130” .......... sen 100”
Exercícios
43
A U L A
43
A U L A
A lei dos senos
Introduçªo Na Aula 42 vimos que a Lei dos co-senos Ø
uma importante ferramenta matemÆtica para o cÆlculo de medidas de lados e
ângulos de triângulos quaisquer, isto Ø, de triângulos de "forma" arbitrÆria.
a2 = b2 + c2 - 2bc · cos ´
Note que se ´ = 90”, entªo cos ´ = 0 e a2 = b2 + c2, confirmando o Teorema de
PitÆgoras.
Para utilizar a lei dos co-senos no cÆlculo da medida de um dos lados de um
triângulo, precisamos conhecer as medidas dos outros dois lados e a medida do
ângulo oposto ao lado desconhecido. Nem sempre temos esses dados. O que
podemos fazer quando conhecermos, por exemplo, um lado e dois ângulos? A
soluçªo para problemas desse tipo Ø o assunto desta aula.
Calculando a Ærea de um triângulo qualquer
Sabemos que a Ærea de um triângulo pode ser obtida pela fórmula:
S =
base· altura
2
 ou, simplesmente, S =
b· h
2
em que bbbbb Ø a base e hhhhh a altura.
Nossa aula
43
A U L APercebemos, entªo, que Ø preciso saber a medida de um dos lados do
triângulo e da altura relativa a esse lado, como nos exemplos a seguir:
Nos trŒs casos temos, S = b · h2 sendo que no triângulo retângulo hÆ a
facilidade de termo h = ch = ch = ch = ch = c. Assim, a Ærea Ø calculada multiplicando os dois catetos
e dividindo o resultado por 2. Nos outros dois casos precisamos calcular hhhhh.
Para o triângulo acutângulo, conhecendo o ângulo´, temos:
sen ´ = 
h
c
ou c · sen ´ = h
No triângulo obtusângulo, conhecendo o ângulo ´ e considerando o triân-
gulo retângulo formado pela altura, pelo prolongamento do lado aaaaa e pelo lado ccccc,
temos:
sen (180” - ´) = 
h
c
ou c · sen (180” - ´) = h
JÆ vimos na Aula 42, que sen (180” - ´) = sen ´. Sabendo que o seno de um
ângulo qualquer Ø igual ao seno do seu suplemento, concluímos que, nos dois
casos, h = c · sen ´ e substituindo hhhhh na fórmula de cÆlculo da Ærea, encontramos:
S =
b · csen ∃A
2
43
A U L A EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1
Calcule a Ærea total da figura:
Soluçªo:Soluçªo:Soluçªo:Soluçªo:Soluçªo:
A Ærea do triângulo ABC Ø:
= 180 · sen 60” =
= 180 · 1
2
 = 90 mm2
A Ærea do triângulo DBC Ø:
S2 =
50 · 50 · sen45º
2
= 1250 · sen 45” @ 1250 · 0,7 = 875 mm2
Portanto, a Ærea total da figura S = S1 + S2 = 965 mm965 mm965 mm965 mm965 mm
2 ou 9,5 cm9,5 cm9,5 cm9,5 cm9,5 cm2.
Observaçªo:Observaçªo:Observaçªo:Observaçªo:Observaçªo:
Essa fórmula para o cÆlculo da Ærea Ø vÆlida para qualquer triângulo,
inclusive para o triângulo retângulo.
S =
b · c · sen 90º
2
 e, como sen 90” = 1,
temos:
 S =
b · c
2
S1 =
12 · 30 · sen120º
2
=
43
A U L AObtendo a lei dos senos
Para obter a fórmula S = 12 b · c sen ´ , utilizamos o
seno do ângulo ´ para encontrar hhhhh. Mas tambØm
poderíamos utilizar o seno do ângulo ∃C :
h = a sen ∃C e S = 12 b · a sen ∃C .
Como h = c sen ´ e h = a sen ∃C , temos:
c · sen ´ = a sen ∃C ou
c
sen ∃C
=
a
sen ∃A
Generalizando esta conclusªo tambØm para o ângulo ∃B e seu lado oposto bbbbb:
a
sen ∃A
=
b
sen ∃B
=
c
sen ∃C
A igualdade das razıes entre cada um dos lados de um triângulo e o seno do
respectivo ângulo oposto Ø chamada de lei dos senoslei dos senoslei dos senoslei dos senoslei dos senos.
O triângulo e a circunferŒncia
No dicionÆrio, encontramos as seguintes definiçıes:
Inscrito fi Traçado dentro.
Circunscrito fi Limitado totalmente por uma linha.
Em geometria, esses termos sªo usados com um pouco mais de precisªo.
Observe os exemplos:
a)a)a)a)a) O retângulo estÆ inscrito no losango ou o losango
estÆ circunscrito ao retângulo
(observe que todos os vØrtices do retângulo tocam os lados do losango).
b)b)b)b)b) A esfera estÆ inscrita no cubo ou o cubo estÆ
circunscrito à esfera
(todas as faces do cubo tocam a esfera).
43
A U L A c)c)c)c)c) O hexÆgono estÆ inscrito no círculo ou o círculo
estÆ circunscrito ao hexÆgono
(todos os vØrtices do hexÆgono tocam o círculo).
d)d)d)d)d) O círculo estÆ inscrito no triângulo retângulo ou o
triângulo retângulo estÆ circunscrito ao círculo
(todos os lados do triângulo tocam o círculo).
Mais uma vez, o triângulo se confirma como uma figura especial. É sempre
possível inscrever uma circunferŒncia em um triângulo; alØm disso, sempre
podemos circunscrever uma circunferŒncia a um triângulo.
Para a circunferŒncia circunscrita ao triângulo, e cujo raio Ø R, temos o
seguinte resultado:
2R =
a
sen ∃A
=
b
sen ∃B
=
c
sen ∃C
Observe ainda que, no caso do triângulo retângulo, sen ´ = sen 90” = 1 e
2R = a =
b
sen ∃B
=
c
sen ∃C
43
A U L AEXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2
Calcular os outros dois lados de um triângulo que mede 5 cm de um lado e
tem ângulo de 80” e outro de 40”, como mostra a figura:
Soluçªo:Soluçªo:Soluçªo:Soluçªo:Soluçªo:
5
sen 60º
=
b
sen 80º
5
0,866
=
b
0,985
b =
5 · 0,985
0,866
= 5,687
5
sen 60º
=
c
sen 40º
5
0,866
=
c
0,643
c =
5 · 0,643
0,866
= 3,712
EXEMPLO 3EXEMPLO 3EXEMPLO 3EXEMPLO 3EXEMPLO 3
Um triângulo de lados 6, 8 e 8 estÆ inscrito num círculo. Determine seus
ângulos e o raio do círculo.
Soluçªo:Soluçªo:Soluçªo:Soluçªo:Soluçªo:
O triângulo do problema Ø isósceles, como o representado na figura abaixo.
Inicialmente, vamos descobrir a medida do ângulo do vØrtice (´):
62 = 82 + 82 - 2 · 8 · 8 · cos ´
36 = 128 - 128 cos ´
- 92 = - 128 cos ´ fi cos ´ = 
92
128
 » 0,719
Consultando a tabela trigonomØtrica,
´ » 44”.
Os ângulos ∃B e ∃C da base sªo iguais e medem: ∃B = ∃C »
180º- 44º
2
» 68º
Para determinar o raio do círculo, podemos utilizar qualquer um dos lados
e o respectivo ângulo oposto. Temos, entªo:
2R =
6
sen 44º
2R =
6
0,695
@ 8,6 R @ 4,3 ou
2R =
8
sen 68º
2R =
8
0,927
@ 8,6 R @ 4,3
Assim, os ângulos sªo ´ = 44” e ∃B = ∃C = 68”. E o raio mede, aproximada-
mente, 4,3.
43
A U L A Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1
a)a)a)a)a) Calcule o raio do círculo circunscrito num triângulo equilÆtero de lado aaaaa.
b)b)b)b)b) Calcule a Ærea do triângulo equilÆtero de lado aaaaa.
Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2
Calcule a Ærea do hexÆgono regular de lado aaaaa, formado por seis triângulos
equilÆteros.
Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3
Para calcular a Ærea aproximada de um terreno irregular, os agrimensores
subdividem o terreno em triângulos formados a partir de um mesmo
vØrtice no interior do terreno. Usando o teodolito, eles marcam os ângulos
formados ao redor desse ponto e medem as distâncias do ponto atØ a
fronteira do terreno.
Observe a figura e calcule a Ærea aproximada do terreno, usando as medidas
tomadas por um agrimensor:
OA = 52 m
OB = 63 m
OC = 59 m
OD = 40 m
OE = 45 m
OF = 50 m
OG = 48 m
Exercícios
43
A U L AExercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4*
O terreno correspondente à figura ABCDE, abaixo, foi vendido a R$ 40,00 o
metro quadrado. Conseqüentemente foi vendido por:
a)a)a)a)a) R$ 7.800,00
b)b)b)b)b) R$ 5.000,00
c)c)c)c)c) R$ 100.000,00
d)d)d)d)d) R$ 7.960,00
e)e)e)e)e) R$ 1.150,00
* Exercício aplicado na PUC-SP.
Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5*
No triângulo ABC da figura, em que R Ø o raio da circunferŒncia, o ângulo
´ Ø oposto ao lado aaaaa, que mede 3R2 . Calcule o valor de sen ´.
* Fonte: MatemÆtica Aplicada - 2” grau, Ed. Moderna, Luiz Marcio Imenes, Fernando
Trotta e JosØ Jakubovic.
44
A U L A
44
A U L A
Distâncias inacessíveis
Introduçªo Na Aula 20 aprendemos a calcular distâncias
que nªo podiam ser medidas diretamente. Nessa aula, os conceitos utilizados
foram a semelhança de triângulos e o Teorema de PitÆgoras. Agora, mostraremos
mØtodos para o cÆlculo de distâncias inacessíveis, que vªo utilizar os conceitos
de trigonometria aprendidos entre as Aulas 29 e 43. A aplicaçªo desses mØtodos
necessita de um instrumento capaz de medir ângulos, usado por agrimensores,
topógrafos e engenheiros: o teodolitoteodolitoteodolitoteodolitoteodolito.
O teodolito mede ângulos horizontais e verticais com suas duas escalas
circulares graduadas em graus.
Com essas duas utilizaçıes do teodolito, que nos permitem calcular ângulos
horizontais e verticais, poderemos agora utilizar a lei dos co-senos, a lei dos
senos e a tabela trigonomØtrica para calcular distâncias inacessíveis. Os princi-
pais mØtodos estªo nos exemplos da nossa aula.
2
1
Plano Vertical
T
2
1
Plano Horizontal
T
Se o teodolito T e os objetos 1 e 2 estªoSe o teodolito T e os objetos 1 e 2 estªoSe o teodolito T e os objetos 1 e 2 estªoSe o teodolito T e os objetos 1 e 2 estªoSe o teodolito T e os objetos 1 e 2 estªo
em um mesmo plano horizontal,em um mesmo plano horizontal,em um mesmo plano horizontal,em um mesmo plano horizontal,em um mesmo plano horizontal,
podemos medir o ângulo 1podemos medir o ângulo 1podemos medir o ângulo 1podemos medir o ângulo 1podemos medir o ângulo 1^^^^^T2.T2.T2.T2.T2.
Visando o objeto 2, podemos medirVisando o objeto 2, podemos medirVisando o objeto 2, podemos medirVisando o objeto 2, podemos medirVisando o objeto 2,podemos medir
o ângulo que a reta T2 faz com a retao ângulo que a reta T2 faz com a retao ângulo que a reta T2 faz com a retao ângulo que a reta T2 faz com a retao ângulo que a reta T2 faz com a reta
horizontal T1.horizontal T1.horizontal T1.horizontal T1.horizontal T1.
Ilustraçªo de umIlustraçªo de umIlustraçªo de umIlustraçªo de umIlustraçªo de um
teodolito.teodolito.teodolito.teodolito.teodolito.
44
A U L APara que vocŒ possa entender bem os mØtodos que utilizaremos nos exem-
plos a seguir, Ø conveniente que recorde as Aulas 39 e 40, nas quais introduzimos
os conceitos de seno, co-seno e tangente, e, tambØm, as Aulas 42 e 43, nas quais
aparecem as fórmulas da lei dos co-senos e da lei dos senos. Para os cÆlculos,
utilizaremos os valores da tabela trigonomØtrica que se encontra na Aula 40. Ela
tambØm serÆ necessÆria para os exercícios.
EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1
Para determinar a altura de um prØdio, o topógrafo colocou seu teodolito na
praça em frente. Com uma trena, ele mediu a distância do teodolito ao prØdio e
encontrou 27 m. Mirando o alto do prØdio, ele verificou, na escala do teodolito,
que o ângulo formado por essa linha visual com a horizontal Ø de 58”. Se a luneta
do teodolito estÆ a 1,7 m do chªo, qual Ø a altura do prØdio?
Soluçªo:Soluçªo:Soluçªo:Soluçªo:Soluçªo:
Na figura abaixo, AB Ø a altura do teodolito e CD Ø a altura do prØdio.
Vamos calcular o cateto xxxxx do triângulo retângulo que aparece na figura.
Temos:
x
27
 = tg 58”
Da tabela trigonomØtrica obtemos que a tangente de 58” Ø aproxima-
damente 1,6.
Assim,
x
27
 = 1,6 x = 1,6 · 27 = 43,2
A altura total do prØdio serÆ igual a esse valor mais 1,7, que Ø a altura da
luneta do teodolito. Portanto, CD = 43,2 + 1,7 = 44,9 m.
A altura desse prØdio Ø, entªo, de 44 metros e 90 centímetros, ou seja,
aproximadamente 50 metros.
Nossa aula
58
lin
ha
 vi
su
al
27 m
prédio
58
lin
ha
 vi
su
al
27 m
x
1,7
B
A C
D
44
A U L A EXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2
Neste exemplo determinaremos a altura de um morro em relaçªo a uma
regiªo plana que existe em volta. Para isso, foi preciso fazer duas mediçıes com
o teodolito. Inicialmente, o teodolito foi colocado em um ponto A. Mirando o
ponto V, o mais alto do morro, verificamos que o ângulo dessa linha visual com
a horizontal era de 10”. Em seguida, o topógrafo aproximou-se do morro e fixou
o teodolito no ponto B. Nessa posiçªo, mirando o ponto V, o mais alto do morro,
ele verificou que o ângulo da linha visual com a horizontal passou a ser de 26”.
Sabendo que a distância AB (medida com a trena) era de 100 m, qual Ø a altura
do morro?
Soluçªo:Soluçªo:Soluçªo:Soluçªo:Soluçªo:
Com os dados obtidos pelo topógrafo, vamos calcular a altura do morro. Na
figura a seguir, mostramos esses dados sem considerar a altura do teodolito.
Determinando BC = y, temos as relaçıes:
VC
AC
= tg10º Þ
x
100 + y
= 0,17633 (1)
VC
BC
= tg26º Þ
x
y
= 0, 48773 (2)
Da relaçªo (1) tiramos x = y . 0,17633 + 17,633.
Da relaçªo (2) tiramos x = y . 0,48773.
Igualando, temos:
y · 0,48773 = y · 0,17633 + 17,633
y · 0,48773 - y · 0,17633 = 17,633
y (0,48773 - 0,17633) = 17,633
y · 0,3114 = 17,633 y =
17,633
0, 3114
= 56,62 (aproximando)
e x = y · 0,48773 = 27,61 m.
Somando a esse valor a altura do teodolito (1,7 m), concluímos que a altura
do morro em relaçªo à regiªo plana em volta Ø de 27,61 + 1,7 = 29,31 m.
Vamos ver, a seguir, um outro exemplo muito comum no campo ou nas
fazendas, onde diversas medidas nªo podem ser feitas diretamente.
10 26
?
V
A B C
10
x
V
A B100 y
26
C
44
A U L AEXEMPLO 3EXEMPLO 3EXEMPLO 3EXEMPLO 3EXEMPLO 3
Em uma regiªo hÆ um rio com curso irregular. Sua largura nªo Ø constante
e ele faz muitas curvas. Entre os ponto A e B, situados em margens opostas,
deseja-se construir uma ponte. Para isso, Ø necessÆrio determinar a distância AB.
O topógrafo, que estÆ na margem inferior do desenho que vemos abaixo, assinala
com uma estaca um ponto C qualquer. Com a trena, ele mede a distância AC e
encontra 56 m. Com o teodolito ele mede os ângulos B´C e A ∃C B encontrando
118” e 35”, respectivamente. Qual serÆ o valor da distância AB?
Soluçªo:Soluçªo:Soluçªo:Soluçªo:Soluçªo:
Vamos analisar o triângulo ABC. Se ´ = 118” e ∃C = 35”, entªo podemos
calcular o ângulo ∃B . Como sabemos, a soma dos trŒs ângulos Ø 180”.
118” + ∃B + 35” = 180” ® ∃B = 27”
Determinando AB = C e AC = b, a lei dos senos nos informa que:
c
sen ∃C
=
b
sen ∃B
ou seja,
c
sen 35º
=
56
sen 27º
Utilizando os valores da tabela trigonomØtrica, temos:
c
0, 57358
=
56
0, 45399
Assim,
c =
56 · 0,57358
0, 45399
= 70,75
Portanto, naquela parte do rio, a distância AB Ø de 70,75 m.
B
A
C
rio
56 m
B
A
C
b = 56 m
ac
118
27
35
44
A U L A EXEMPLO 4EXEMPLO 4EXEMPLO 4EXEMPLO 4EXEMPLO 4
Um dos cÆlculos que, no passado, mais fascinaram os matemÆticos era o da
medida do raio da Terra. O engenhoso processo que vamos descrever jÆ tinha
sido imaginado pelos gregos da Antigüidade, mas, na Øpoca, nªo dava bons
resultados porque os instrumentos de medida eram bastante precÆrios.
Imagine que, do alto de um morro situado próximo ao mar, uma pessoa
observa o oceano, vendo com nitidez a linha do horizonte.
Vamos, agora, imaginar um imenso triângulo que tem um vØrtice no centro
da Terra, outro vØrtice na pessoa que estÆ em cima do morro e o terceiro vØrtice
na linha do horizonte que essa pessoa vŒ. O desenho serÆ o seguinte:
Na figura acima, o ponto C Ø o centro da Terra e o ponto P Ø a pessoa que estÆ
situada a uma altura hhhhh em relaçªo ao nível do mar. Para essa pessoa, o ponto H
estÆ na linha do horizonte e, como a reta PH Ø tangente à Terra, o ângulo P ∃HC
Ø reto. A altura hhhhh do morro Ø conhecida e o ângulo a = C ∃P H pode ser medido.
Portanto, no triângulo CPH, o seno do ângulo a Ø igual a CHCP , ou seja,
sen a = 
R
h + R
em que R, o raio da Terra, Ø a nossa incógnita.
H
P
C
R
R
h α
Terra
44
A U L AEntªo, (h + R) sen a = R
h sen a + R sen a = R
h sen a = R - R sen a
h sen a = R (1 - sen a) ou R =
hsena
1- sena
Observe que conhecendo a altura hhhhh e o ângulo a podemos calcular o raio
da Terra usando essa fórmula, mas, na prÆtica, existem dificuldades. A altura
hhhhh serÆ sempre muito pequena em relaçªo ao raio da Terra. Para se obter R com
precisªo, Ø preciso medir o ângulo a tambØm com muita precisªo, pois um
pequeno erro na medida de a acarretarÆ um erro muito grande na medida de
R. Hoje, existem instrumentos eletrônicos que medem ângulos com precisªo de
1 milØsimo de grau, e as calculadoras científicas fornecem os senos dos ângulos
com a necessÆria exatidªo. Por exemplo, se a pessoa P estÆ a uma altura de 2 km
em relaçªo ao nível do mar, o ângulo a serÆ de 88,657 graus. Com uma
calculadora científica, encontramos o seno desse ângulo igual a 0,9996872 e o
raio da Terra aproximadamente igual a 6390 km.
Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1
Na figura abaixo, o ponto F Ø um farol que estÆ numa ilha próxima ao
continente. Na praia, foram assinalados dois pontos, A e B, tais que AB = 132m,
F´B = 90” e A^BF = 85”. Calcule a distância AF.
Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2
O topógrafo utilizou o mesmo mØtodo descrito no Exemplo 2 desta aula para
calcular a altura de uma torre que se encontra do outro lado de um rio.
Calcule sua altura, utilizando os dados que estªo na figura abaixo.
Mar
Praia
F (farol)
A B
23 35
1,7 m
87,2 m rio
Exercícios
44
A U L A Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3
Entre os pontos A e B, situados em uma fazenda, existe um morro. O
teodolito colocado no ponto C conseguemirar tanto A quanto B. Sabendo
que CA = 76 m, CB = 90 m e A ∃C B = 126”, calcule a distância AB.
Sugestªo:Sugestªo:Sugestªo:Sugestªo:Sugestªo: Volte à Aula 42 para recordar como se calcula o co-seno de um
ângulo maior que 90” e aplique a lei dos co-senos no triângulo ABC. Use a
calculadora.
Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4
Na figura abaixo, os pontos A e B estªo em lados opostos da entrada de uma
baía. Para calcular a distância AB, o topógrafo fixou um ponto C de onde
pudesse mirar os pontos A e B. Com a trena, mediu AC, encontrando 320 m,
e, com o teodolito, mediu os ângulos B´C e B ∃C A, encontrando 98” e 47”,
respectivamente. Quanto mede AB?
Sugestªo:Sugestªo:Sugestªo:Sugestªo:Sugestªo: use a lei dos senos no triângulo ABC da forma que foi utilizada no
Exemplo 3 desta aula.
BA
C
C
AB
45
A U L A
45
A U L A
IntroduçªoVamos, nesta aula, retomar o assunto que
começamos a estudar nas Aulas 9 e 30: a equaçªo da reta. Aprenderemos hoje
outra forma de obter a equaçªo da reta e veremos diversas aplicaçıes.
Em algumas situaçıes Ø necessÆrio calcular a distância de um ponto a uma
reta. TambØm nesta aula, veremos como isso pode ser feito.
Imaginemos, no plano cartesiano, uma reta que nªo seja paralela a nenhum
dos eixos. Como mostra o desenho a seguir, essa reta passa pelos pontos (x1, y1)
e (x2, y2). Esses pontos sªo dados, ou seja, x1, y1, x2 e y2 sªo nœmeros conhecidos.
Seja entªo (x, y) um ponto qualquer dessa reta.
Observe que os comprimentos dos segmentos horizontais e verticais sªo
fÆceis de obter:
AC = x2 - x1
AD = x - x1
CB = y2 - y1
DP = y - y1
A equaçªo da reta
Nossa aula
45
A U L A Veja, agora, que os triângulos ACB e ADP sªo semelhantes, portanto
AD
AC
=
DP
CB o que Ø a mesma coisa que
x - x1
x2 - x1
=
y - y1
y2 - y1
Essa relaçªo permite obter facilmente a equaçªo da reta que passa pelos dois
pontos dados (x1, y1) e (x2, y2). Essa equaçªo serÆ do primeiro grau nas incógnitas
x e y, e portanto, terÆ a forma
ax + by + c = 0
Observe com atençªo o exemplo a seguir:
EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1
Encontre a equaçªo da reta que passa pelos pontos (1 , 2) e (3, 5).
Soluçªo:Soluçªo:Soluçªo:Soluçªo:Soluçªo:
Nªo importa qual Ø o primeiro ponto. Vamos considerar (x1, y1) = (1, 2),
ou seja, x1 = 1 e y1 = 2 e (x2, y2) = (3, 5), isto Ø, x2 = 3 e y2 = 5. Aplicando a fórmula,
temos:
x - x1
x2 - x1
=
y - y1
y2 - y1
x - 1
2
=
y - 2
3
3 (x - 1) = 2 (y - 2) 3x - 3 = 2y - 4
3x - 2y + 1 = 0
Aí estÆ a equaçªo da nossa reta. Se vocŒ quiser saber se um ponto qualquer
pertence a essa reta, basta substituí-lo na equaçªo e ver se a igualdade se verifica.
Por exemplo, serÆ que o ponto (9, 14) pertence a essa reta? Vamos ver.
Substituindo xxxxx por 9 e yyyyy por 14, temos:
3 · 9 - 2 · 14 + 1 =
= 27 - 28 + 1 =
= 28 - 28 = 0
Deu certo. O ponto (9, 14) pertence à nossa reta.
Devemos lembrar que a equaçªo da reta nªo precisa ser escrita obrigatori-
amente na forma que apresentamos. Algumas vezes, deixamos a letra yyyyy isolada
do lado esquerdo, quando desejamos pensar nessa equaçªo como uma funçªo.
Veja:
3x - 2y + 1= 0
 - 2y = - 3x - 1
 2y = 3x + 1 y = 
3x
2
+
1
2
A equaçªo y = 3x2 +
1
2 representa a mesma reta, e agora foi escrita como
uma funçªo do 1” grau, estudada na Aula 30. Veja, a seguir, algumas aplicaçıes.
45
A U L AEXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2
Certo município Ø um grande produtor de soja. A produtividade vem
aumentando de acordo com o grÆfico abaixo.
Qual foi a produçªo em 1993?
Soluçªo:Soluçªo:Soluçªo:Soluçªo:Soluçªo:
Este Ø um exemplo muito comum. Alguma coisa evolui linearmente, ou seja,
tem um crescimento constante em intervalos de tempo iguais. Vamos ver a
soluçªo usando a equaçªo da reta e, nos exercícios, vamos sugerir uma outra.
Inicialmente, vamos definir de forma mais prÆtica o eixo horizontal. 1990
serÆ o ano 0 e 1995 o ano 5.
O grÆfico, entªo, fica assim:
A nossa reta passa pelos pontos (0, 8) e
(5, 12). Vamos obter sua equaçªo utilizando
a fórmula:
x - 0
5 - 0
=
y - 8
12 - 8
x
5
=
y - 8
4
4x = 5y - 40
4x - 5y + 40 = 0
Aí estÆ a equaçªo da reta. Como 1993 Ø o ano 3 da nova escala, vamos
substituir xxxxx por 3. O valor de yyyyy que encontrarmos serÆ a produçªo nesse ano.
4 · 3 - 5y + 40 = 0
 12 + 40 = 5y
 52 = 5y
 y = 
52
5
 = 10,4
Concluimos que a produçªo de soja em 1993 foi de 10,4 mil toneladas.
45
A U L A EXEMPLO 3EXEMPLO 3EXEMPLO 3EXEMPLO 3EXEMPLO 3
Nivaldo estÆ sempre inventando coisas. Um dia, ele resolveu inventar uma
nova escala de temperaturas. Verificou que, na regiªo onde mora, a temperatura
mínima registrada foi de 16”C e que a mÆxima foi de 41”C. Entªo, Nivaldo
resolveu que essas temperaturas seriam os valores 0 e 100 da sua nova escala.
Supondo uma variaçªo linear, qual Ø a equaçªo que relaciona as duas escalas? Na
escala de Nivaldo em que temperatura ferve a Ægua?
Soluçªo:Soluçªo:Soluçªo:Soluçªo:Soluçªo:
Vamos chamar de xxxxx uma temperatura em graus Celsius e de yyyyy a mesma
temperatura em graus Nivaldo.
Temos, entªo, o quadro abaixo:
Assim, devemos encontrar a equaçªo da reta que contØm os pontos (16, 0) e
(41, 100). Aplicando a fórmula, temos:
x -16
41-16
=
y - 0
100 - 0
x -16
25
=
y
100
x -16
1
=
y
4
4x - 64 = y
y = 4x - 64
Esta Ø a equaçªo que relaciona as temperaturas nas duas escalas. Respon-
dendo à segunda pergunta, sabemos que a Ægua ferve a 100”C. Fazendo x = 100
na equaçªo, descobriremos o valor correspondente na escala do Nivaldo:
y = 4 · 100 - 64
y = 400 - 64
y = 336
Portanto, para Nivaldo, a Ægua ferve a 336 ”N.
x ( ”C )x ( ”C )x ( ”C )x ( ”C )x ( ”C )
16
41
y ( ”N )y ( ”N )y ( ”N )y ( ”N )y ( ”N )
0
100
45
A U L AA distância de um ponto a uma reta
A distância de um ponto a uma reta Ø o comprimento da perpendicular
traçada do ponto atØ a reta. Veja isso no desenho abaixo.
Vamos descobrir agora como calcular essa distância, se nós conhecemos o
ponto P e a equaçªo da reta rrrrr. Antes, porØm, devemos recordar uma propriedade
dos triângulos retângulos:
“Em todo triângulo retângulo, o produto dos catetos Ø igual ao produto da
hipotenusa pela altura a ela relativa”.
bc = ah
Podemos compreender essa propriedade lembrando como se calcula a Ærea
de um triângulo. No caso do triângulo retângulo da figura acima, ela Ø igual a bc2
e tambØm igual a ah2 . Portanto, Ø claro que bc = ah.
EXEMPLO 4EXEMPLO 4EXEMPLO 4EXEMPLO 4EXEMPLO 4
Calcular a distância do ponto (5, 4) à reta x + 2y - 9 = 0.
Soluçªo:Soluçªo:Soluçªo:Soluçªo:Soluçªo:
Seja P = (5, 4) o ponto dado. Vamos começar fazendo um desenho da reta
x + 2y - 9 = 0. Para isso, precisamos conhecer dois de seus pontos. Como as
coordenadas de P sªo x = 5 e y = 4, vamos aproveitar esses valores para
determinar os pontos da reta que possuem essa abcissa e essa ordenada.
Substituindo esses valores, um de cada vez, na equaçªo da reta, temos:
x = 5 Þ 5 + 2y - 9 = 0 Þ 2y = 4 Þ y = 2
y = 4 Þ x + 2 · 4 - 9 = 0 Þ x = 9 - Þ 8 x = 1
Conseguimos, entªo, dois pontos da reta: A = (5, 2) e B = (1, 4).
45
A U L A O desenho fica assim:
No triângulo retângulo PAB da figura acima, conhecemos os comprimentos
dos catetos: AP = 2 e BP = 4. Para calcular a hipotenusa, aplicamos o Teorema de
PitÆgoras:
AB2 = 22 + 42 = 4 + 16 = 20
AB = 20 = 4· 5 = 2 5
Representando por ddddd a distância do ponto à reta temos, pela relaçªo que
mostramos anteriormente,
AP· BP = AB · d
 2 · 4 = 2 5 · d d =
4
5
=
4
5
·
5
5
=
4 5
5
@ 1,79
Finalmente, vamos apresentar uma fórmula que faz o mesmo cÆlculo que
acabamos de realizar.O ponto dado serÆ representado por P = (x0, y0) e a reta
por ax + by + c = 0.
d =
ax0 + by0 + c
a2 + b2
Observe o cÆlculo da distância do ponto P = (5, 4) à reta x + 2y - 9 = 0, agora
usando a fórmula:
d =
5 + 2· 4 - 9
12 + 22
=
5 + 8 - 9
5
=
4
5
=
4 5
5
O resultado, como era de se esperar, Ø o mesmo, e essa fórmula, que nªo Ø
indispensÆvel, mostra-se bastante prÆtica.
45
A U L AExercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1Exercício 1
Encontre a equaçªo da reta que contØm os pontos (-1; 2) e (2; 4).
Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2Exercício 2
Determine os pontos onde a reta 2x + 5y - 40 = 0 corta os eixos.
Sugestªo:Sugestªo:Sugestªo:Sugestªo:Sugestªo: determinado y = 0 vocŒ encontrarÆ o ponto em que essa reta corta
o eixo dos x. Determinando x = 0, ...
Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3Exercício 3
Calcule k para que os pontos (1; -2), (4; 3) e (8; k) estejam na mesma reta.
Sugestªo:Sugestªo:Sugestªo:Sugestªo:Sugestªo: encontre a equaçªo da reta que contØm os dois primeiros pontos.
Depois, substitua o terceiro ponto nessa equaçªo.
Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4Exercício 4
Os relógios dos tÆxis mediam “unidades taximØtricas” (UT) que eram depois
transformadas em reais com o uso de uma tabela. Em certa cidade, Nivaldo
reparou que em um percurso de 7 km o taxímetro marcou 7 UT e em um
percurso de 12 km marcou 10 UT.
Quantas UT o relógio marcaria em um percurso de 25 km?
Sugestªo:Sugestªo:Sugestªo:Sugestªo:Sugestªo: considere dois “pontos” do tipo (km, UT) e encontre a equaçªo
da reta.
Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5Exercício 5
Faça uma soluçªo do Exemplo 2 da nossa aula usando uma progressªo
aritmØtica.
Sugestªo:Sugestªo:Sugestªo:Sugestªo:Sugestªo: a1 = 8, a6 = 12.
Exercício 6Exercício 6Exercício 6Exercício 6Exercício 6
Uma caixa d’Ægua de 500 litros vaza por um furo que existe no fundo. Ao
meio-dia de uma segunda-feira ela foi completamente cheia, mas às 8 horas
da noite desse mesmo dia só tinha 440 litros.
a)a)a)a)a) Quantos litros terÆ a caixa ao meio-dia de terça-feira?
b)b)b)b)b) Supondo que o vazamento seja sempre constante, quando a caixa ficarÆ
vazia?
Sugestªo:Sugestªo:Sugestªo:Sugestªo:Sugestªo: a partir de dois “pontos” do tipo (tempo, litros) encontre a
equaçªo da reta. Considere x = 0 ao meio-dia de segunda-feira.
Exercício 7Exercício 7Exercício 7Exercício 7Exercício 7
Encontre a distância do ponto (3; 2) à reta 3x + 4y - 29 = 0
Exercício 8Exercício 8Exercício 8Exercício 8Exercício 8
Determine a distância da origem à reta que contØm os pontos (1; 8) e (4; 2).
Exercícios
47
A U L A
47
A U L A
Introduçªo Nas duas œltimas aulas vocŒ estudou a equa-
çªo da reta. Nesta aula, veremos que uma circunferŒncia desenhada no plano
cartesiano tambØm pode ser representada por uma equaçªo.
Repare que, quando um ponto P se movimenta sobre uma circunferŒncia de
centro C, sua abcissa e sua ordenada variam.
Entretanto, quando P se desloca sobre a circunferŒncia, hÆ uma coisa que
permanece invariÆvel: a distância de P ao centro Ø sempre igual ao raio.
Iniciamos esta aula recordando a aplicaçªo do Teorema de PitÆgoras para o
cÆlculo da distância entre dois pontos.
A distância entre dois pontos
Considere os pontos: A = (x1, y1) e B = (x2, y2) como mostra a figura a seguir.
Para calcular a distância AB, formamos o triângulo retângulo ABC com um cateto
horizontal e outro vertical.
A equaçªo da
circunferŒncia
Nossa aula
47
A U L AVemos que AC = x2 - x1 e que CB = y2 - y1. Pelo Teorema de PitÆgoras temos:
AB2 = AC2 + CB2
AB2 = (x2 - x1)
2 + (y2 - y2)
2
Fórmula da distância entre dois pontos:
AB = (x2 - x1)
2 + (y2 - y1)
2
Se tivermos A = (1, 3) e B (7, - 1), por exemplo, a distância entre esses dois
pontos serÆ:
AB = (7 - 1)2 + (-1 - 3)2 = 62 + (-4)2 = 36 + 16 = 52
Portanto, AB @ 7,21
A equaçªo da circunferŒncia
Uma circunferŒncia Ø determinada quando conhecemos a posiçªo do seu
centro e o valor do seu raio. Imaginando no plano cartesiano uma circunferŒncia
de centro no ponto C = (a, b) e com raio R, vamos representar por P = (x, y) um ponto
qualquer que pertence a essa circunferŒncia. Que propriedade tem o ponto P?
Se P pertence à circunferŒncia, sua distância atØ o centro Ø igual ao raio.Se P pertence à circunferŒncia, sua distância atØ o centro Ø igual ao raio.Se P pertence à circunferŒncia, sua distância atØ o centro Ø igual ao raio.Se P pertence à circunferŒncia, sua distância atØ o centro Ø igual ao raio.Se P pertence à circunferŒncia, sua distância atØ o centro Ø igual ao raio.
Como a distância do ponto C = (a, b) ao ponto P = (x, y) Ø igual a R, usando
a fórmula da distância entre dois pontos temos:
(x - a)2 + (y - b)2 = R 
Elevando ao quadrado os dois membros, a expressªo obtida Ø a equaçªo da
circunferŒncia de centro (a, b) e raio R.
Equaçªo da circunferŒncia:
(x - a)2 + (a - b)2 = R2
47
A U L A A seguir, observe os exemplos em que construimos as equaçıes de diversas
circunferŒncias a partir da posiçªo do centro e do valor do raio:
CENTRO RAIO EQUA˙ˆO
(2, 3) 4 (x - 2)2 + (y - 3)2 = 16
(5, - 2) 6 (x - 5)2 + (y + 2)2 = 36
(4, 0) 3 (x - 4)
2 + y2 = 3
(0, - 3) 2 x2+ (y + 3)2 = 4
(0, 0) 1 x2+ y2 = 1
Vamos aprender a verificar quando um ponto pertence a uma circunferŒncia.
Por exemplo: serÆ que o ponto (6, - 2) pertence à circunferŒncia (x - 2)2 + (y - 1)2 = 25?
Para responder a essa pergunta, basta substituir as coordenadas do ponto
dado na equaçªo da circunferŒncia e verificar a igualdade.
No nosso caso, para x = 6 e y = - 2, obtemos:
(6 - 2)2 + (- 2 - 1)2 = 25
= 42 + (- 3)2 = 25
= 16 + 9 = 25
Como a igualdade se verifica, podemos dizer que o ponto (6, - 2) pertence à
circunferŒncia (x - 2)2 + (y - 1)2 = 25.
Observe o exemplo a seguir:
EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1
Determine yyyyy para que o ponto (5, y) pertença à circunferŒncia
(xxxxx - 2)2 + (y - 1)2 = 25.
Soluçªo:Soluçªo:Soluçªo:Soluçªo:Soluçªo:
Substituindo o ponto dado na equaçªo, calculamos o valor de yyyyy:
(5 - 2)2 + (y - 1)2 = 25
 32 + (y - 1)2 = 25
(y - 1)2 = 25 - 9
(y - 1)2 = 16
 y - 1 = – 4
y = 1 + 4 = 5
y = 1 – 4 Þ ou
y = 1 - 4 = - 3
47
A U L AEncontrando dois pontos para yyyyy, temos que os pontos A = (5, 5) e B = (5, - 3)
pertencem à circunferŒncia dada. Observe que o centro da circunferŒncia Ø o
ponto (2, 1) e que o raio Ø 5.
Mediatrizes
A mediatrizmediatrizmediatrizmediatrizmediatriz de um segmento Ø a reta perpendicular que contØm o ponto
mØdio desse segmento. Na figura a seguir, a reta rrrrr Ø a mediatriz do segmento AB.
Todos os pontos de uma mediatriz possuem dis-
tâncias iguais aos extremos do segmento. Na próxima
figura, veremos que o ponto P pertence à mediatriz do
segmento AB. Portanto, sua distância atØ o ponto A Ø
sempre igualsempre igualsempre igualsempre igualsempre igual à sua distância atØ o ponto B. Repare que
isso ocorre porque os triângulos PMA e PMB sªo iguais.
PA = PB
47
A U L A Imagine agora que os pontos A e B pertencem a uma circunferŒncia de centro
P. O que podemos concluir? Como PA e PB sªo raios, entªo PA = PB. Isso significa
que o ponto P estÆ na mediatriz do segmento AB.
Guarde a seguinte propriedade:
Se dois pontos A e B pertencem a uma circunferŒnciaSe dois pontos A e B pertencem a uma circunferŒnciaSe dois pontos A e B pertencem a uma circunferŒnciaSe dois pontos A e B pertencem a uma circunferŒnciaSe dois pontos A e B pertencem a uma circunferŒncia
a mediatriz de AB passa pelo centroa mediatriz de AB passa pelo centroa mediatriz de AB passa pelo centroa mediatriz de AB passa pelo centroa mediatriz de AB passa pelo centro.....
Ao aplicarmos duas vezes essa propriedade, podemos construir uma circun-
ferŒnciaque passa por trŒs pontos dados. Neste caso, o centro P pertence à
mediatriz de AB e tambØm à mediatriz de BC.
O ponto P tambØm pertence à mediatriz de AC; mas Ø suficiente fazer a
interseçªo de duas mediatrizes para determinÆ-lo.
Um problema de engenharia
Um galpªo tem a forma da figura abaixo quando visto de frente: 12 m de
largura, 5 m de altura nas laterais e 7 m de altura mÆxima, sendo a linha da
cobertura uma circunferŒncia perfeita.
Para a construçªo da cobertura, o mestre de obras precisa saber a cada metro
da viga AB a que altura estÆ a cobertura. Assim, precisamos calcular com exatidªo
as alturas y1, y2, y3 etc. que aparecem na seguinte figura:
47
A U L A
Vamos resolver o problema.
Inicialmente, vamos determinar a posiçªo do centro da circunferŒncia, o qual
chamaremos de P. De acordo com a próxima figura, sabemos que P pertence à
mediatriz de AB, que PA Ø o raio e que PM Ø igual ao raio menos dois metros.
Como M Ø o ponto mØdio de AB temos AM = 6. Pelo Teorema de PitÆgoras:
R2 = (R - 2)2 + 62
R2 = R2 - 4R + 4 + 36
4R = 40
R = 10
Sabemos que o raio da circunferŒncia da cobertura Ø de 10 m; assim, temos
que MP = 8 m. Tomamos um sistema de coordenadas de forma que o ponto A
seja a origem e o eixo x coincida com AB. Dessa forma, temos B = (12, 0) e
P = (6, - 8).
Assim, obtemos a equaçªo da circunferŒncia de centro (6, - 8) e raio 10:
(x - 6)2 + (y + 8)2 = 100
47
A U L A Nessa equaçªo substituiremos a abcissa x pelos valores 1, 2, 3, 4 etc.,
calculando para cada um deles as ordenadas correspondentes. Vamos mostrar o
cÆlculo das duas primeiras ordenadas, deixando as outras como exercício.
Para x = 1 temos:
(1 - 6)2 + (4 + 8)2 = 100
 25 + (y + 8)2 = 100
(y + 8)2 = 75
 y + 8 = 75 (só o valor positivo interessa)
 y = 75 - 8 @ 0,660 = y1
Para y = 2, temos:
(2 - 6)2 + (y + 8)2 = 100
 16 + (y + 8)2 = 100
(y + 8)2 = 84
 y + 8 = 84
 y = 84 - 8 @ 1,165 = y2
Desse modo, Ø possível construir uma circunferŒncia em um lugar em que o
compasso nªo pode ser aplicado. Usando a equaçªo da circunferŒncia, podemos
determinar a posiçªo exata de cada um dos seus pontos.
Exercício 1.Exercício 1.Exercício 1.Exercício 1.Exercício 1.
Determine a equaçªo de cada uma das circunferŒncias dados o centro C e o
raio R.
a)a)a)a)a) C = (5, - 1) , R = 3
b)b)b)b)b) C = (- 3, 2) , R = 7
c)c)c)c)c) C = (0, 1) , R = 2
Exercícios
47
A U L AExercício 2.Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2.
Determine o centro e o raio de cada uma das circunferŒncias cujas equaçıes
sªo dadas:
a)a)a)a)a) (x - 2)2 + (y - 1)2 = 6
b)b)b)b)b) (x - 3)2 + y2 = 10
c)c)c)c)c) (x + 4)2 + (y - 3)2 = 1
Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3.
Determine a equaçªo da circunferŒncia com centro no ponto (3, 1) e passando
pelo ponto (6, 3).
Sugestªo::::: O raio Ø a distância entre o centro e qualquer um de seus pontos.
Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4.Exercício 4.
Verifique se o ponto (2, 7) pertence, Ø interior ou exterior à circunferŒncia
x2 + (y - 2)2 = 34.
Sugestªo: Um ponto Ø interior a uma circunferŒncia se a sua distância atØ o
centro for menor que o raio. Um ponto serÆ exterior se a sua distância atØ o
centro for maior que o raio.
Exercício 5.Exercício 5.Exercício 5.Exercício 5.Exercício 5.
Determine a equaçªo da circunferŒncia com centro no ponto (3, 2) e tangente
à reta 2x + y + 7 = 0
Sugestªo: De acordo com a figura, o raio da circun-
ferŒncia Ø a distância do ponto (3, 2) atØ a reta
dada. Veja a Aula 45 para lembrar como se calcula
a distância de um ponto atØ uma reta.
Exercício 6.Exercício 6.Exercício 6.Exercício 6.Exercício 6.
Determine a equaçªo de uma circunferŒncia sabendo que A = (1, 4) e
B = (7, 8) sªo extremidades de um diâmetro.
Sugestªo: Observe que dados dois pontos (x1, y1) e (x2, y2), o ponto mØdio do
segmento determinado por eles Ø o ponto 
x1 + x2
2
 , 
y1 + y2
2
Φ
ΗΓ
Ι
Κϑ
Exercício 7.Exercício 7.Exercício 7.Exercício 7.Exercício 7.
Na circunferŒncia (x - 3)2 + (y - 5)2 = 36 determine o ponto de ordenada
mÆxima.
Sugestªo: Faça um desenho dessa circunferŒncia e observe que ponto possui
o maior valor de y.
Exercício 8.Exercício 8.Exercício 8.Exercício 8.Exercício 8.
Termine de resolver o “problema de engenharia” da nossa aula, calculando,
as ordenadas y3, y4, y5, ... , atØ y12.
Exercício 9.Exercício 9.Exercício 9.Exercício 9.Exercício 9.
Na circunferŒncia (x - 2)2 + (y - 5)2 = 10 determine os pontos de ordenada 6.
48
A U L A
48
A U L A
Introduçªo
O princípio
multiplicativo
Nossa aula
A palavra MatemÆtica, para um adulto ou
uma criança, estÆ diretamente relacionada com atividades e tØcnicas para conta-
gem do nœmero de elementos de algum conjunto. As primeiras atividades
matemÆticas que vivenciamos envolvem sempre a açªo de contar objetos de um
conjunto, enumerando seus elementos.
As operaçıes de adiçªo e multiplicaçªo sªo exemplos de “tØcnicas” matemÆ-
ticas utilizadas tambØm para a determinaçªo de uma quantidade. A primeira
(adiçªo) reœne ou junta duas ou mais quantidades conhecidas; e a segunda
(multiplicaçªo) Ø normalmente aprendida como uma forma eficaz de substituir
adiçıes de parcelas iguais.
A multiplicaçªo tambØm Ø a base de um raciocínio muito importante em
MatemÆtica, chamado princípio multiplicativo. O princípio multiplicativo
constitui a ferramenta bÆsica para resolver problemas de contagem sem que seja
necessÆrio enumerar seus elementos (como veremos nos exemplos).
Os problemas de contagem fazem parte da chamada anÆlise combinatória.
A partir desta aula, aprofundaremos o estudo dessa parte da MatemÆtica.
EXEMPLO 1
Maria vai sair com suas amigas e, para escolher a roupa que usarÆ, separou
2 saias e 3 blusas. Vejamos de quantas maneiras ela pode se arrumar.
Soluçªo:
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A U L AO princípio multiplicativo, ilustrado nesse exemplo, tambØm pode ser
enunciado da seguinte forma:
Se uma decisªo d1 pode ser tomada de n maneiras e, em seguida, outra
decisªo d2 puder ser tomada de m maneiras, o nœmero total de maneiras de
tornarmos as decisıes d1 e d2 serÆ n • m.
No exemplo anterior havia duas decisıes a serem tomadas:
d1: escolher uma dentre as 3 blusas
d2: escolher uma dentre as 2 saias
Assim, Maria dispıe de 3 • 2 = 6 maneiras de tomar as decisıes d1 e d2, ou seja,
6 possibilidades diferentes de se vestir.
EXEMPLO 2
Um restaurante prepara 4 pratos quentes (frango, peixe, carne assada,
salsichªo), 2 saladas (verde e russa) e 3 sobremesas (sorvete, romeu e julieta, frutas).
De quantas maneiras diferentes um freguŒs pode se servir consumindo um prato
quente, uma salada e uma sobremesa?
Soluçªo:
Esse e outros problemas da anÆlise combinatória podem ser representados
pela conhecida Ærvore de possibilidades ou grafo. Veja como representamos
por uma “Ærvore” o problema do cardÆpio do restaurante.
Observe que nesse problema temos trŒs níveis de decisªo:
d1: escolher um dentre os 4 tipo de pratos quentes.
d2: escolher uma dentre as 2 variedades de salada.
d3: escolher uma das 3 sobremesas oferecidas.
Usando o princípio multiplicativo, concluímos que temos 4 • 2 • 3 = 24
maneiras de tomarmos as trŒs decisıes, ou seja, 24 opçıes de cardÆpio.
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A U L A A representaçªo grÆfica em Ærvore de possibilidades Ø muito ilustrativa.
Nela podemos ver claramente os trŒs níveis de decisªo d1, d2 e d3, consultando
os vÆrios tipos de cardÆpios possíveis. Observe que, percorrendo as opçıes
dadas pelos segmentos à esquerda da Ærvore, o cardÆpio ficaria frango/salada
verde/sorvete enquanto que, escolhendo os segmentos à direita, teríamos
salsichªo/salada russa/ frutas. No entanto, nosso objetivo Ø saber as combina-
çıes possíveis e calcular o nœmero total de possibilidadessem precisar
enumerÆ-las, pois muitas vezes isso serÆ impossível devido ao grande nœme-
ro de opçıes e/ou de decisıes envolvidos num problema.
As tØcnicas da anÆlise combinatória, como o princípio multiplicativo, nos
fornecem soluçıes gerais para atacar certos tipos de problema. No entanto, esses
problemas exigem engenhosidade, criatividade e uma plena compreensªo da
situaçªo descrita. Portanto, Ø preciso estudar bem o problema, as condiçıes dadas
e as possibilidades envolvidas, ou seja, ter perfeita consciŒncia dos dados e da
resoluçªo que se busca.
EXEMPLO 3
Se o restaurante do exemplo anterior oferecesse dois preços diferentes, sendo
mais baratas as opçıes que incluíssem frango ou salsichªo com salada verde, de
quantas maneiras vocΠpoderia se alimentar pagando menos?
Soluçªo:
Note que agora temos uma condiçªo sobre as decisıes d1 e d2:
d1: escolher um dentre 2 pratos quentes (frango ou salsichªo).
d2: escolher salada verde (apenas uma opçªo).
d3: escolher uma das 3 sobremesas oferecidas.
Entªo, hÆ 2 • 1 • 3 = 6 maneiras de montar cardÆpios econômicos. (Verifique
os cardÆpios mais econômicos na Ærvore de possibilidades do exemplo anterior).
EXEMPLO 4
Quantos nœmeros naturais de 3 algarismos distintos existem?
Soluçªo:
Um nœmero de 3 algarismos c d u Ø formado por 3 ordens: Como o
algarismo da ordem das centenas nªo pode ser zero, temos entªo trŒs decisıes:
d1: escolher o algarismo da centena diferente de zero (9 opçıes).
d2: escolher o algarismo da dezena diferente do que jÆ foi escolhido para
ocupar a centena (9 opçıes).
d3: escolher o algarismo da unidade diferente dos que jÆ foram utilizados
(8 opçıes).
Portanto, o total de nœmeros formados serÆ 9 • 9 • 8 = 648 nœmeros.
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A U L AEXEMPLO 5
De acordo com o exemplo anterior, se desejÆssemos contar dentre os 648
nœmeros de 3 algarismos distintos apenas os que sªo pares (terminados em 0, 2,
4, 6 e 8), como deveríamos proceder?
Soluçªo*:
 c d u
O algarismo da unidade poderÆ ser escolhido de 5 modos (0, 2, 4, 6 e 8). Se o
zero foi usado como œltimo algarismo, o primeiro pode ser escolhido de 9 modos
(nªo podemos usar o algarismo jÆ empregado na œltima casa). Se o zero nªo foi
usado como œltimo algarismo, o primeiro só pode ser escolhido de 8 modos (nªo
podemos usar o zero, nem o algarismo jÆ empregado na œltima casa).
Para vencer este impasse, temos trŒs alternativas:
a) “Abrir” o problema em casos (que Ø alternativa mais natural). Contar
separadamente os nœmeros que tŒm zero como œltimo algarismo (unidade = 0)
e aqueles cujo œltimo algarismo Ø diferente de zero (unidade ¹ 0).
Terminando em zero temos 1 modo de escolher o œltimo algarismo, 9 modos
de escolher o primeiro e 8 modos de escolher o do meio (algarismo da dezena),
num total de 1 • 9 • 8 = 72 nœmeros.
Terminando em um algarismo diferente de zero temos 4 modos de escolher
o œltimo algarismo (2, 4, 6, ou 8), 8 modos de escolher o primeiro algarismo (nªo
podemos usar o zero, nem o algarismo jÆ usado na œltima casa) e 8 modos de
escolher o algarismo do meio (nªo podemos usar os dois algarismos jÆ emprega-
dos nas casas extremas). Logo, temos 4 • 8 • 8 = 256 nœmeros terminados em um
algarismo diferente de zero. A resposta Ø, portanto, 72 + 256 = 328 nœmeros.
b) Ignorar uma das restriçıes (que Ø uma alternativa mais sofisticada).
Ignorando o fato de zero nªo poder ocupar a centena, teríamos 5 modos de
escolher o œltimo algarismo, 9 modos de escolher o primeiro e 8 modos de
escolher o do meio, num total 5 • 8 • 9 = 360 nœmeros. Esses 360 nœmeros incluem
nœmeros começados por zero, que devem ser descontados. Começando em zero
temos 1 modo de escolher o primeiro algarismo (0), 4 modos de escolher o œltimo
(2, 4, 6 ou 8) e 8 modos de escolher o do meio (nªo podemos usar os dois
algarismos jÆ empregados nas casas extremas), num total de 1 • 4 • 8 = 32 nœmeros.
A resposta Ø, portanto, 360 ----- 32 = 328 nœmeros.
c) É claro que tambØm poderíamos ter resolvido o problema determinando
todos os nœmeros de 3 algarismos distintos (9 • 9 • 8 = 648 nœmeros), como Ø o caso
do Exemplo 4, e abatendo os nœmeros ímpares de 3 algarismos distintos (5 na
œltima casa, 8 na primeira e 8 na segunda), num total de 5 • 8 • 8 = 320 nœmeros.
Assim, a resposta seria 648 ----- 320 = 328 nœmeros.
Fonte: * Soluçªo proposta pelo prof. Augusto CØsar de Oliveira Morgado no livro
"AnÆlise Combinatória e Probabilidade" - IMPA/VITAE/1991.
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A U L A EXEMPLO 6
As placas de automóveis eram todas formadas por 2 letras (inclusive K, Y e
W) seguidas por 4 algarismos. Hoje em dia, as placas dos carros estªo sendo todas
trocadas e passaram a ter 3 letras seguidas e 4 algarismos. Quantas placas de cada
tipo podemos formar?
Soluçªo:
No primeiro caso L L N N N N
Como cada letra (L) pode ser escolhida de 26 maneiras e cada algarismo (N)
de 10 modos distintos, a resposta Ø:
 26 • 26 • 10 • 10 • 10 • 10 = 6 760 000
No segundo caso L L L N N N N
 26 • 26 • 26 • 10 • 10 • 10 • 10 = 26 • 6 760 000 =
= 175 760 000
A nova forma de identificaçªo de automóveis possibilita uma variedade 26
vezes maior. A diferença Ø de 169.000.000, ou seja, 169 milhıes de placas
diferentes a mais do que anteriormente.
Exercício 1.
Numa sala hÆ 4 homens e 3 mulheres. De quantos modos Ø possível selecio-
nar um casal homem-mulher?
Exercício 2.
a) Quantos nœmeros naturais de 2 algarismos distintos existem?
b) Quantos destes nœmeros sªo divisíveis por 5?
Exercício 3.
Quantas palavras contendo 3 letras diferentes podem ser formadas com um
alfabeto de 26 letras?
Exercício 4.
Quantos sªo os gabaritos possíveis para um teste de 10 questıes de mœltipla
escolha, com 5 alternativas por questªo?
Exercício 5.
Com todos os nœmeros de 01 a 50, quantas escolhas de 6 nœmeros distintos
podemos fazer?
Exercícios
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A U L AExercício 6.
De quantas maneiras vocΠpode ir da cidade X para a cidade Y?
Exercício 7.
O código morse usa “palavras” contendo de 1 a 4 “letras”, representadas por
ponto e traço. Quantas “palavras” existem no código morse?
Exercício 8.
O segredo de um cofre Ø formado por uma seqüŒncia de 4 nœmeros de 2
dígitos (de 00 a 99). Uma pessoa decide tentar abrir o cofre sem saber a
formaçªo do segredo (por exemplo: 15 - 26 - 00 - 52). Se essa pessoa levar 1
segundo para experimentar cada combinaçªo possível, trabalhando
ininterruptamente e anotando cada tentativa jÆ feita para nªo repeti-la, qual
serÆ o tempo mÆximo que poderÆ levar para abrir o cofre?
Exercício 9.
No Exemplo 6 vimos que existem 175.760.000 placas diferentes de trŒs letras
e quatros algarismos. JosØ Carlos Medeiros gostaria de que a placa de seu
automóvel tivesse as iniciais do seu nome. Quantas placas existem com as
letras JCM?
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A U L A
49
A U L A
Introduçªo Nesta aula vocŒ estudarÆ um tipo muito co-
mum de problemas de contagem, que estÆ relacionado com as vÆrias formas de
organizar ou arrumar os elementos de um conjunto.
Organizar tais elementos Ø uma atividade cotidiana que inclui vÆrias
possibilidades, sendo que cada pessoa adota uma estratØgia. No entanto,
muitas vezes precisamos saber de quantas maneiras podemos arrumar um
conjunto de elementos ou simplesmente saciar a curiosidade sobre o nœmero
total de possibilidades.
Consultando um dicionÆrio encontramos:
PERMUTARPERMUTARPERMUTARPERMUTARPERMUTAR fi dar mutuamente, trocar.
PERMUTA˙ˆOPERMUTA˙ˆOPERMUTA˙ˆOPERMUTA˙ˆOPERMUTA˙ˆO fi 1)1)1)1)1) ato ou efeito de permutar, troca, substituiçªo;
2)2)2)2)2) transposiçªo dos elementos de um todo para se
obter uma nova combinaçªo;
3)3)3)3)3) seqüŒncia ordenada dos elementos de um conjunto.
EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1EXEMPLO 1
No protocolo de uma repartiçªo hÆ um arquivo de mesa como o da figura
abaixo. Cada funcionÆrio do setor gosta de arrumarestas caixas em uma ordem
diferente (por exemplo: entrada-pendŒncias-saída, pendŒncias-saída-entrada
etc.). De quantas maneiras Ø possível ordenar estas caixas?
As permutaçıes
SAÍDA
PENDÊNCIAS
ENTRADA
Nossa aula
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A U L ASoluçªo:Soluçªo:Soluçªo:Soluçªo:Soluçªo:
Como temos 3 caixas - saída (S), pendŒncias (P) e entrada (E) - vamos
escolher uma delas para ficar embaixo. Escolhida a caixa inferior, sobram 2
escolhas para a caixa que ficarÆ no meio e a que sobrar ficarÆ sobre as outras.
Entªo, usando o princípio multiplicativo temos
 3 · 2 · 1 = 6 opçıes6 opçıes6 opçıes6 opçıes6 opçıes
S S E E P P
Assim, as soluçıes sªo: P E S P E S
E P P S S E
EXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2EXEMPLO 2
De quantas maneiras podemos arrumar 5 pessoas em fila indiana?
Soluçªo:
Para facilitar, vamos imaginar que as pessoas sªo P1, P2, P3, P4, P5, P6
e que precisamos arrumÆ-las nesta fila:
Deste modo, podemos ter soluçıes como:
P1 P3 P5 P2 P4
P5 P2 P1 P3 P4 etc.
Ao escolher uma pessoa para ocupar a primeira posiçªo na fila temos cinco
pessoas à disposiçªo, ou seja, 5 opçıes; para o 2” lugar , como uma pessoa jÆ foi
escolhida, temos 4 opçıes; para o 3” lugar sobram trŒs pessoas a serem escolhidas;
para o 4” lugar duas pessoas, e para o œltimo lugar na fila sobra apenas a pessoa
ainda nªo escolhida.
Pelo princípio multiplicativo temos:
 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120 opçıes120 opçıes120 opçıes120 opçıes120 opçıes
Permutaçªo
Dado um conjunto formado por nnnnn elementos, chama-se permutaçªo desses
nnnnn elementos qualquer seqüŒncia de nnnnn elementos na qual apareçam todos os
elementos do conjunto.
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A U L A Os Exemplos 1 e 2 sªo demonstraçıes de permutaçıes feitas com 3 caixas e
5 pessoas. No Exemplo 2, como na maioria dos casos, nªo descrevemos ou
enumeramos todas as permutaçıes que podemos encontrar, pois apenas calcu-
lamos o nœmero de permutaçıes que poderíamos fazer.
CÆlculo do nœmero de permutaçıes
O nœmero de modos de ordenar nnnnn objetos distintos Ø:
n · (n - 1) · (n - 2) ... 1
EXEMPLO 3EXEMPLO 3EXEMPLO 3EXEMPLO 3EXEMPLO 3
Quantos nœmeros diferentes de 4 algarismos podemos formar usando ape-
nas os algarismos 1, 3, 5 e 7?
Soluçªo:Soluçªo:Soluçªo:Soluçªo:Soluçªo:
Como sªo 4 algarismos diferentes, que serªo permutados em 4 posiçıes, a
soluçªo Ø:
 4 · 3 · 2 · 1 = 24 nœmeros diferentes24 nœmeros diferentes24 nœmeros diferentes24 nœmeros diferentes24 nœmeros diferentes
Um novo símbolo
Uma multiplicaçªo do tipo n · (n - 1) · (n - 2) ... 1 Ø chamada fatorialfatorialfatorialfatorialfatorial do
nœmero nnnnn e representada por nnnnn! (lemos nnnnn fatorial).
n! = n · (n - 1) · (n - 2) ... 1
Veja os exemplos:
a)a)a)a)a) 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120120120120120
b)b)b)b)b) 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 2424242424
c)c)c)c)c) 5! · 4! = (5 · 4 · 3 · 2 · 1) (4 · 3 · 2 · 1) = 120 · 24 = 28802880288028802880
d)d)d)d)d) 8! = 8 · 7!8 · 7!8 · 7!8 · 7!8 · 7!
e)e)e)e)e)
5!
3!
 = 
5 · 4 · 3 · 2 · 1
3 · 2 · 1
 = 5 · 4 = 20
f)f)f)f)f)
12!
13!
 = 
12!
13! · 12!
 = 
1
13
g)g)g)g)g)
n + 1α φ!
n!
 = 
n + 1α φ!
n!
 = n + 1
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A U L AEXEMPLO 4EXEMPLO 4EXEMPLO 4EXEMPLO 4EXEMPLO 4
Quantos sªo os anagramas da palavra MARTELO?
VocŒ sabe o que Ø um anagramaanagramaanagramaanagramaanagrama?
Anagrama Ø uma palavra formada pela transposiçªo (troca) de letras de
outra palavra. Existem tambØm anagramas de frases, nos quais se trocam
as palavras, formando-se outra frase.
Soluçªo:Soluçªo:Soluçªo:Soluçªo:Soluçªo:
Cada anagrama da palavra MARTELO Ø uma ordenaçªo das letras M, A, R,
T, E, L, O. Assim, o nœmero de anagramas Ø o nœmero de permutaçıes possíveis
com essas letras, ou seja:
 7! = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5040
EXEMPLO 5EXEMPLO 5EXEMPLO 5EXEMPLO 5EXEMPLO 5
Quantos anagramas que comecem e terminem por consoantes podemos
formar a partir da palavra MARTELO?
Soluçªo:Soluçªo:Soluçªo:Soluçªo:Soluçªo:
A consoante inicial pode ser escolhida de 4 maneiras e a consoante final de
3 maneiras. As 5 letras restantes serªo permutadas entre as duas consoantes jÆ
escolhidas. Portanto, a resposta Ø 4 · 3 · 5! = 1440 anagramas1440 anagramas1440 anagramas1440 anagramas1440 anagramas
EXEMPLO 6EXEMPLO 6EXEMPLO 6EXEMPLO 6EXEMPLO 6
Um grupo de 5 pessoas decide viajar de carro, mas apenas 2 sabem dirigir. De
quantas maneiras Ø possível dispor as 5 pessoas durante a viagem?
Soluçªo:Soluçªo:Soluçªo:Soluçªo:Soluçªo:
O banco do motorista pode ser ocupado por uma das 2 pessoas que sabem
guiar o carro e as outras 4 podem ser permutadas pelos 4 lugares restantes, logo:
 2 · 4! = 2 · 24 = 48 maneiras48 maneiras48 maneiras48 maneiras48 maneiras
Nos Exemplos 6 e 7 vemos que em alguns problemas (que envolvem
permutaçıes dos elementos de um conjunto) podem existir restriçıes que devem
ser levadas em conta na resoluçªo.
Portanto, fique sempre muito atento ao enunciado da questªo, procurando
compreendŒ-lo completamente antes de buscar a soluçªo.
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A U L A EXEMPLO 7EXEMPLO 7EXEMPLO 7EXEMPLO 7EXEMPLO 7
Num encontro entre presidentes de países da AmØrica do Sul, apenas 7
confirmaram presença.
Os organizadores dos eventos que ocorrerªo durante a visita gostariam de
permutar os presidentes possibilitando vÆrios contatos diferentes.
a)a)a)a)a) De quantas maneiras podemos permutar os presidentes em 7 cadeiras
lado a lado?
b)b)b)b)b) Se 2 dos presidentes devem se sentar lado a lado, quantas sªo as
possibilidades de organizÆ-los?
c)c)c)c)c) Se tivØssemos 2 presidentes que nªo devem ficar juntos, quantas
seriam as possibilidades de organizÆ-los?
Soluçªo:Soluçªo:Soluçªo:Soluçªo:Soluçªo:
a)a)a)a)a) O total de permutaçıes possíveis dos 7 presidentes por 7 cadeiras Ø
7! = 5040.
b)b)b)b)b) Observe que, agora, queremos contar apenas o nœmero de permutaçıes
nas quais os presidentes A e B aparecem juntos, como, por exemplo:
 A B C D E F G
 B A C G D F E
 G A B D C E F etc.
Entªo, Ø preciso contar quantos sªo os casos em que A e B estariam juntos.
Eles estariam juntos na 1“ e na 2“ cadeiras, na 2“ e na 3“, 3“ e 4“, 4“ e 5“, 5“
e 6“ ou 6“ e 7“. Podemos verificar que sªo 6 posiçıes e que para cada uma delas
poderíamos ter A e B ou B e A (2 possibilidades: 6 · 2 = 12). AlØm disso,
devemos contar vÆrias vezes no total de permutaçıes cada uma dessas 12
possibilidades, como, por exemplo, EFGCDAB, FEGCDAB, DEFGAB etc.
Para sabermos quantas vezes A e B aparecem nas posiçıes 6 e 7, respectiva-
mente, precisamos contar todas as permutaçıes possíveis dos outros 5
presidentes nas 5 posiçıes restantes.
Considerando todos estes casos, o nœmero total de posiçıes em que A e B
aparecem junto Ø
 2 · 6 · 5! = 12 · 120 = 1440 posiçıes1440 posiçıes1440 posiçıes1440 posiçıes1440 posiçıes
c)c)c)c)c) Neste caso, do total de permutaçıes possíveis com os 7 presidentes (5040)
devemos retirar aquelas em que A e B aparecem juntos (1440). Portanto, a
resposta seria:
5040 - 1440 = 3600 possibilidades3600 possibilidades3600 possibilidades3600 possibilidades3600 possibilidades
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A U L AExercíciosExercício 1.Exercício 1.Exercício 1.Exercício 1.Exercício 1.
Quantos anagramas podem ser formados com as letras da palavra AMOR?
Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2.Exercício 2.
a)a)a)a)a) Quantos nœmeros distintos de 6 algarismos podem ser formados com os
algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6?
b)b)b)b)b) Quantos desses nœmeros sªo pares?
c)c)c)c)c) Quantos tŒm os algarismos 1 e 2 juntos?
d)d)d)d)d) Quantos sªo mœltiplos de 5?
e)e)e)e)e) Quantos sªo os mœltiplos de 5 com no mínimo 4 centenas de milhar?
Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3.Exercício 3.