Modelos Probabilisticos Contínuos

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Distribuições Contínuas 
 
As distribuições contínuas são utilizadas para determinar a probabilidade de variáveis 
aleatórias contínuas que seguem um determinado padrão. 
 
Correcção de continuidade 
 
Em distribuições contínuas, a probabilidade de um dado valor real é nula. 
0)()( =∂== ∫ δδ
x
x
XfxXP 
Para se poder medir tal probabilidade dá-se uma margem k para esse valor. O valor k 
depende da situação e da escala dos valores de X. 
0)()( >∂=+<<− ∫+
−
δδ
kx
kx
XfkxXkxP 
 
Distribuição uniforme 
 
O valor da função de distribuição de probabilidade é constante. 
 
[ ]
[ ]


∉
∈−=
bax
bax
abxf X
,,0
,,1
)( 
2)(
12
1)(
2
)(
abXV
baXE
−=
+=
 
 
 
 
Distribuição exponencial negativa 
 
)(λENX → 
 
X : tempo entre ocorrências sucessivas de um processo de Poisson com parâmetro λ 
(número médio de ocorrências por unidade de tempo) 


<
≥=
−
0,0
0,
)(
x
xe
xf
x
X
λλ
 
2
1)(
1)(
λ
λ
=
=
XV
XE
 
 
xexF λ−−=1)( x > 0 
 
 
 
 
 
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Exercício: 
 
A função densidade de probabilidade do tempo de vida de um determinado componente 
é dada por: 
 
)0(,)( ∞<<= − tektf kt 
 
Um aparelho é constituído por três componentes deste tipo e a probabilidade de um 
deles avariar é independente da probabilidade dos outros avariarem. Calcule a 
probabilidade de: 
 
a) Nenhum deles avariar em t0 horas; 
b) Um deles avariar nas primeiras t0 horas, outro avariar nas segundas t0 horas e o 
terceiro avariar depois das segundas t0 horas. 
 
Resolução: 
 
Em primeiro lugar, vamos calcular a função de distribuição acumulada de t: 
kt
t
kx
t
exkexxftF −
∞−
−
∞−
−=∂=∂= ∫∫ 1)()( 
Note-se que: ktkt eetTP −− =−−=≥ )1(1)( 
 
a) Para que nenhum avarie até t0 horas, os três componentes têm de ter tempos de 
vida maiores do que t0. Como as probabilidades de cada componente são 
independentes entre si, a probabilidade de nenhum avariar até t0 horas é o 
seguinte produto: 
[ ] [ ] 00 3330030201 )()()()( ktkt eetTPtTPtTPtTP −− ==≥=≥×≥×≥ 
 
b) Em primeiro lugar vamos calcular a probabilidade de um componente avariar 
em cada um dos intervalos de tempo em questão: 
0
00
0
2
003
2
00020
001
)2(1)2(
)()2()2(
1)()(
kt
ktkt
kt
etFtTP
eetFtFtTtP
etFtTP
−
−−
−
=−=≥
−=−=≤≤
−==≤
 
Se nós simplesmente multiplicarmos estas três probabilidades, obtemos a 
probabilidade de uma avariar até t0, outra avariar entre t0 e 2 t0 e a terceira 
depois de 2 t0, mas numa ordem específica. Temos também de considerar que os 
componentes podem avariar por 3! = 6 ordens diferentes. Então a probabilidade 
que nós queremos calcular é: 
0000000 54322
0302001
6126))()(1(6
)2()2()(6
ktktktktktktkt eeeeeee
tTPtTtPtTP
−−−−−−− +−=−−=
=≥×≤≤×≤×
 
 
 
 
 
 
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Distribuição normal ou gaussiana 
 
É necessário saber a média (µ) e o desvio padrão (σ) para calcular as probabilidades 
desta distribuição. 
 
),( 2σµNX → 
 
0;,,
2
1)(
2
2
1
>ℜ∈= 

 −− σµσπ
σ
µ
xexf
x
X 2)(
)(
σ
µ
=
=
XV
XE
 
 
Distribuição normal reduzida 
 
Consiste em transformar a distribuição normal numa forma reduzida, para facilitar os 
cálculos. 
 
)1,0(),( 2 NZNX
XZ → →→
−= σ
µ
σµ 
 
ℜ∈= − zezf
z
Z ,2
1)( 2
2
π 1)(
0)(
=
=
ZV
ZE
 
 
 
Exercício: 
 
O peso médio de 500 estudantes do sexo masculino, de uma determinada universidade, 
é 75.5 Kg e o desvio padrão é de 7.5 Kg. Admitindo-se que os pesos estão distribuídos 
normalmente, determinar quantos estudantes pesam: 
 
a) entre 60 e 77.5 Kg; 
b) mais do que 92.5 Kg. 
 
Resolução: 
 
O peso de um estudante é na realidade um valor real, mas vamos admitir que o peso de 
cada estudante só foi registado considerando intervalos de 0.5Kg. Isto implica que um 
valor para o peso de 75 Kg corresponde na realidade a um intervalo de pesos entre 
74.75 e 75.25 Kg. 
 
Esta situação vai-nos obrigar a ter especial atenção às igualdades no cálculo de 
probabilidades; já que apesar de estarmos perante uma distribuição contínua (normal) a 
probabilidade de um aluno ter um peso de X não é nula, já que ao peso X corresponde 
na realidade um intervalo de pesos ( [X - 0.25, X + 0.25] ). 
 
KgKgcomNX 5.75.75),,( 2 =∧=→ σµσµ 
 
 
 
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a) 
)75.7775.59()25.05.7725.060()5.7760( ≤≤=+≤≤−→≤≤ XPXPXP 
Transformando a distribuição normal ),( 2σµNX → na distribuição normal reduzida 
)1,0(NZ → : 
6.0
2
1)(
)30.010.2(75.7775.59)75.7775.59(
30.0
10.2
2
30.0
10.2
2
=∂=∂=
=≤≤−=

 −≤−≤−=≤≤
∫∫
−
−
−
zezzf
ZPXPXP
z
Z π
σ
µ
σ
µ
σ
µ
 
 
Então, o número de estudantes cujos pesos estão entre 60 e 77.5 Kg será a 
probabilidade vezes o número de estudantes: 
3006.0500)5.7760(500 =×=≤≤× XP 
 
b) 
)75.92()25.05.92()5.92( PXPXP =+>→> 
)25.92()25.05.92()5.92(
:5.92:
PXPXP
KgfosseseAtençao
=−≥→≥
≥
 
Transformando a distribuição normal ),( 2σµNX → na distribuição normal reduzida 
)1,0(NZ → : 
0107.0
2
1)(
)30.2(75.92)75.92(
30.2
2
30.2
2
=∂=∂=
=>=

 −>−=>
∫∫ ∞+ −∞+ zezzf
ZPXPXP
z
Z π
σ
µ
σ
µ
 
 
Então, o número de estudantes que pesam mais do que 92.5 Kg será a probabilidade 
vezes o número de estudantes: 
50107.0500)5.92(500 =×=>× XP