2ª Lista de exercícios - DERIVADAS

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1. Um projétil é lançado verticalmente para cima, sob ação exclusiva da gravidade, 
sendo que sua altura, em metros, é uma função do tempo, medido em segundos, e é 
dada por h(t) = -5t² + 225t. Qual sua velocidade num instante genérico t? 
 
2. Imaginemos que um vaso de flores caiu da janela de um prédio, isto é, temos um 
corpo em queda livre, cujo movimento iniciou-se de uma altura h. Da Física, sabemos 
que a equação horária do movimento de um corpo em queda livre, com velocidade 
inicial nula, é dada por, considerando a aceleração da gravidade g = 9,8 m/s
2
. 
 
 
 
Intuitivamente, percebemos que a velocidade, em cada instante, aumenta. Como 
podemos calcular a velocidade instantânea, por exemplo, 1 s após o início da queda? E 
após 2 s? 
 
3. Uma partícula se move sobre uma trajetória segundo a equação abaixo, onde S é 
dado em metros e t em segundos. Determine a velocidade e aceleração nos valores 
indicados: 
 
a) 
  1102 2  tttS
. Determine a velocidade no instante t = 3 s. 
b) 
  tttS 32 
. Determine a velocidade no instante t = 2 s. 
c) 
  1223  ttttS
. Determine a velocidade no instante t = 1 s e aceleração em t = 
2 s. 
 
4. Determine a aceleração de uma partícula no instante t0 = 5, sabendo que sua 
velocidade obedece à função v(t) = 2t
2
 + 3t + 1. (velocidade: m/s; tempo: s) 
 
5. Determine a aceleração, no instante t = 1 s, de um móvel que tem velocidade 
variável segundo a expressão v(t) = 
t
(t em segundos e v em metros/segundo). 
 
 Universidade Federal de Sergipe 
Centro de Ciências Exatas e Tecnologia 
Departamento de Matemática 
Disciplina: Cálculo I 
Professor: Ivory Marcos Gomes dos Santos 
 
6. Duas variáveis x e y são funções de uma variável t e estão relacionadas pela 
equação: 
y
2
 − 3xy + x2 = 25 
 
Se a taxa de variação de x em relação a t é igual a 1 quando x = 0. Então, determine qual 
a taxa de variação de y em relação a t neste mesmo instante. 
 
7. Uma cidade X é atingida por uma moléstia epidêmica. Os setores de saúde 
calculam que o número de pessoas atingidas pela moléstia depois de um tempo t 
(medido em dias a partir do primeiro dia de epidemia) é, aproximadamente, dado por: 
3
64)(
3
t
ttf 
 
 
a) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo t0 = 4? 
b) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo t0 = 8? 
c) Quantas pessoas serão atingidas pela epidemia no 5º dia? 
 
8. Um quadrado se expande de modo que seu lado varia na razão de 6 cm/s. 
Determine a taxa de variação da área do quadrado no instante em o lado meça 10 cm. 
 
9. O raio de uma bola cresce à razão 3 cm/s. Determine a taxa de variação do 
volume da bola no instante em que o raio é 8 cm. 
 
10. Suponha que uma bola de neve esteja se derretendo, com raio decrescendo a 
razão constante, passando de 30 cm para 20 cm em 45 minutos. Qual a variação do 
volume quando o raio está com 25 cm? 
 
11. A areia que vaza de um deposito forma uma pilha cônica cuja altura é sempre 
igual ao raio da base. Se a altura da pilha aumenta a razão de 15 cm/min determine a 
taxa a qual a areia está se escoando quando a altura da pilha é 25 cm. 
 
12. Uma pessoa que solta um papagaio segura a corda a 1,5 m do solo. A corda é 
liberada à razão de 0,6 m/s na medida em que o papagaio se move horizontalmente a 
uma altura de 33,5 m. Supondo que a corda fique sempre tensa, determine a taxa à qual 
o papagaio está se movendo no instante em que foram liberados 38 m de corda. 
 
 
13. A Lei de Boyle estabelece que quando uma amostra de gás está a uma 
temperatura constante, a pressão P e o volume V satisfazem a equação PV = C, em que 
C é uma constante. Suponha que em certo instante o volume é 600 m
3
, a pressão é 150 
kPa e a pressão cresce a uma taxa de 20 kPa/min. A que taxa está decrescendo o volume 
nesse instante? 
 
14. O volume de um cubo está aumentando na taxa de 2 cm3 por segundo. Com que 
taxa estará variando a área de uma de suas faces quando sua aresta tiver 20 cm?