Dirigido 3 Cálculo 1 16S1 Unicamp

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Estudo Dirigido 3 - MA111 A e B - 1S16
Func¸o˜es Logaritmo e Exponencial
Talvez voceˆ ja´ conhec¸a as func¸o˜es que vamos introduzir aqui. Ale´m disso,
a introduc¸a˜o que vamos apresentar esta´ muito longe de ser o u´nico caminho.
E´ apenas uma escolha. Uma escolha interessante e que merece ser conhecida,
consistente com o esp´ırito de “matematizac¸a˜o” do conhecimento. Outras
escolhas tambe´m merecem ser conhecidas e vamos comentar a respeito.
a) Usando o Teorema Fundamental do Ca´lculo, obtenha uma fo´rmula para∫ b
a
xα dx.
Para quais valores de α essa fo´rmula e´ va´lida?
b) Seja a > 0. Explique por que
Fa(x) =
∫ x
a
1
t
dt
e´ uma func¸a˜o bem definida para x > 0. Discuta o que acontece se
escolhermos a < 0.
c) Qual a relac¸a˜o entre Fa e Fb?
d) Calcule F ′a. Calcule F
′′
a . Com a informac¸a˜o ja´ dispon´ıvel, esboce o
gra´fico de Fa.
Daqui por diante, seguindo a notac¸a˜o do Spivak, vamos denotar por log a
func¸a˜o F1. Vale notar que em va´rios outros textos sera´ usada a notac¸a˜o ln. A
seguir, vamos justificar essa notac¸a˜o, mostrando que Fa possui a propriedade
mais importante dos logaritmos: transformar produtos em somas. Ou seja:
log(xy) = log x+ log y.
e) Considere f(x) = log(xy), para um valor constante y > 0. Mostre que
f ′(x) = log′(x) e justifique que f e log devem diferir por uma constante.
Calcule f(1) e log(1) para determinar essa constante.
f) Prove que, para todo n ∈ N, log(xn) = n log x. Mostre ainda que na˜o
pode haver K tal que log x < K para todo x (ou seja, que log na˜o e´
limitada superiormente).
1
g) Prove que log
1
x
= − log x. Mostre que a imagem da func¸a˜o log sa˜o
todos os nu´meros reais.
h) Mostre que log e´ uma func¸a˜o invers´ıvel. Denotaremos exp a func¸a˜o
log−1. Qual o domı´nio e qual a imagem de exp?
i) Calcule exp′. Calcule exp′′. Esboce o gra´fico de exp.
j) Use a propriedade demonstrada no item e) para mostrar a propriedade
ana´loga para exp(x+ y).
Outra notac¸a˜o importante: o nu´mero e := exp(1).
k) Vamos calcular um limite muito interessante:
lim
n→∞
(
1 +
1
n
)n
.
Primeiro pense por que esse limite e´ sutil. Em seguida siga os seguintes
passos:
1. Se conhecermos lim
n→∞
log
(
1 +
1
n
)n
, conheceremos o limite dese-
jado;
2. Se conhecermos lim
x→∞
x log
(
1 +
1
x
)
, conheceremos o limite ante-
rior (n e´ pensado como nu´mero natural, x como varia´vel real);
3. Se conhecermos lim
y→0
log (1 + y)
y
, conheceremos o limite anterior;
4. O u´ltimo limite em questa˜o pode ser calculado se reconhecermos
nele a definic¸a˜o da derivada de uma certa func¸a˜o em um ponto
espec´ıfico. Fac¸a isso e calcule o tal “limite muito interessante”.
Em alguns textos, esse limite e´ considerado como a definic¸a˜o do
nu´mero e.
Agora algo que essa construc¸a˜o nos da´ “de brinde”. Em princ´ıpio, so´ defini-
mos duas novas func¸o˜es: exp e log. Mais ainda (ou menos ainda), um par de
func¸o˜es inversas. Pore´m, isso nos permite muito mais:
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l) Seja b ∈ (0,∞), uma constante. Discuta como se pode usar a identidade
x = exp log x, para todo x > 0, para definir ba para todo a real. Discuta
ainda que se a ∈ Q, enta˜o a “nova” definic¸a˜o coincide com a antiga.
m) Considere a func¸a˜o fb(x) = b
x. Calcule sua derivada e fac¸a um esboc¸o
de seu gra´fico, discutindo as diferenc¸as dos casos b > 1, b = 1 e 0 <
b < 1. Compare com exp.
Teste e amplie seus conhecimentos fazendo, pelo menos, os exerc´ıcios 1
a 4, 6 a 9, 14, 15 e 19 a 22 do cap´ıtulo 18 do Spivak (voceˆ na˜o vai precisar
entregar esses exerc´ıcios, mas na˜o deixe de fazeˆ-los).
Outra coisa que voceˆ na˜o precisa entregar, mas pode pensar a respeito.
Novamente, seja b ∈ (1,∞), uma constante. Ja´ t´ınhamos uma definic¸a˜o de
fb(x) = b
x para todo x ∈ Q e sabemos que Q e´ um conjunto denso em R.
Defina enta˜o as seguintes func¸o˜es:
fb(x) = sup{bq, q ∈ Q ∩ (−∞, x]}, fb(x) = inf{bq, q ∈ Q ∩ [x,∞)}.
1. Mostre que para todo q ∈ Q, fb(q) = fb(q) = fb;
2. Mostre que fb e fb sa˜o func¸o˜es na˜o-decrescentes;
3. Mostre que fb = fb e que qualquer uma delas pode servir de definic¸a˜o
para fb;
4. Por fim, defina bx nesse mesmo esp´ırito para b ∈ (0, 1). Obs: ha´ pelo
menos duas maneiras de fazer esse item.
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