FisExp1_Exp3Roteiro_Pendulo

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Universidade Federal de Pernambuco
Centro de Cieˆncias Exatas e da Natureza
Departamento de F´ısica
F´ısica Experimental 1
Experimento 3: Peˆndulo simples
Informac¸o˜es sobre a Equipe
Nome:
Nome:
Nome:
Bancada: Turma: Data:
F´ısica Experimental 1
Objetivos
Voceˆ investigara´ neste experimento o movimento de um objeto suspenso por um fio: um peˆndulo.
O peˆndulo e´ um dos objetos mais emblema´ticos da f´ısica. Foi atrave´s de seu estudo que Galileu
Galilei comec¸ou a desenvolver a intuic¸a˜o que o levaria a enunciar princ´ıpios gerais do movimento.
Preste atenc¸a˜o na diferenc¸a que existe entre o que voceˆ de fato mede e a interpretac¸a˜o dos
resultados de medida! Para entender o comportamento de um objeto real, devemos sempre buscar o
modelo teo´rico mais simples que descreva as observac¸o˜es: o objetivo e´ capturar com o mı´nimo
de suposic¸o˜es a esseˆncia do comportamento do objeto estudado.
E sa˜o suas medidas que determinam se o objeto a` sua frente e´ bem descrito pelo modelo simpli-
ficador adotado, e na˜o o contra´rio! Observac¸o˜es tais como “mas o peˆndulo na˜o pode fazer isso!” sa˜o
completamente nonsense, e o peˆndulo lhe respondera´ apenas: “Can’t I? Just watch me!”. Por isso e´
bom manteˆ-lo no regime em que voceˆ tem pelo menos alguma chance de entendeˆ-lo!
Voceˆ aprendera´ neste experimento me´todos importantes de ana´lise estat´ıstica. O dado
experimental mais relevante nesse experimento sera´ o per´ıodo de oscilac¸a˜o do peˆndulo, e a precisa˜o
com que voceˆ podera´ medi-lo guiara´ suas concluso˜es. Voceˆ determinara´ o melhor procedimento
experimental a ser seguido.
Material utilizado: Cronoˆmetro, peˆndulo (pec¸a de alumı´nio), linha, trena, suporte com regula-
gem de altura e posic¸a˜o (‘cabuetas’).
Lembretes
• Sempre leia todo o material (teoria e roteiro) antes da aula experimental.
• Justifique suas respostas sempre que necessa´rio.
• Organize sua bancada ao final do experimento.
• O material utilizado esta´ sob sua responsabilidade durante a aula.
• E o mais importante: antes de perguntar qualquer coisa ao professor, esforce-se em descobrir
a resposta sozinho(a) ou discutindo com colegas!
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Experimento 3: Peˆndulo simples
Utilizac¸a˜o do aparato de medida
O aparato experimental dispon´ıvel no curso de f´ısica experimental e´ ilustrado na Fig. 1. Ele
consiste de uma haste vertical na qual duas hastes horizontais se apoiam.
Figura 1: Aparato experimental.
A haste horizontal superior da´ sustentac¸a˜o ao peˆndulo, evitando que ele caia caso escape. E´ nela
que voceˆ deve prender seu fio. Esse arranjo permite a voceˆ ajustar com calma o comprimento do fio
do peˆndulo usando a haste inferior.
A haste inferior fixa o ponto de apoio da oscilac¸a˜o do peˆndulo. Variando a altura em que essa
haste se prende a` haste vertical, voceˆ ajusta o comprimento do peˆndulo.
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F´ısica Experimental 1
1 Considerac¸o˜es iniciais
Uma massa suspensa pelo fio forma em princ´ıpio um peˆndulo f´ısico, isto e´, um peˆndulo com massa
distribu´ıda ao longo de toda a sua extensa˜o.
Sob algumas circunstaˆncias, voceˆ sabe que na˜o e´ necessa´rio determinar a distribuic¸a˜o de massa
do peˆndulo f´ısico em seus mı´nimos detalhes, pois ele deve ser bem descrito pelo modelo do peˆndulo
simples. Cite condic¸o˜es necessa´rias para que isso ocorra.
•
•
•
Discuta com seus colegas algumas complicac¸o˜es que voceˆ poderia encontrar no peˆndulo a` sua
frente com relac¸a˜o ao modelo do peˆndulo simples. Cite-as abaixo.
•
•
•
O movimento do peˆndulo simples e´ bem descrito pela mecaˆnica de Newton. Desenhe no esquema
abaixo os vetores das forc¸as atuando sobre a massa m.
B
B
B
B
B
B
B
B
BB
ℓ
~ m
���������
A geometria do problema nos sugere decompor as forc¸as atuando sobre o peˆndulo nas direc¸o˜es
do fio e ortogonal a ele. Desenhe na figura o vetor forc¸a resultante.
Sendo θ(t) o aˆngulo entre o fio e a vertical, escreva a equac¸a˜o para a acelerac¸a˜o angular θ¨(t) =
d2θ(t)/dt2 do peˆndulo decorrente da 2a lei de Newton.
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Experimento 3: Peˆndulo simples
Voceˆ sabe que essa equac¸a˜o admite soluc¸o˜es oscilato´rias, o movimento harmoˆnico simples, em
certo limite. Em que aproximac¸a˜o isso vale?
Resposta:
Nesse caso, mostre por substituic¸a˜o direta na equac¸a˜o obtida acima que θ(t) = θ0 cos[ω(t− t0)) e´
soluc¸a˜o. Deduza com isso a frequeˆncia de oscilac¸a˜o ω como func¸a˜o de ℓ e g, a acelerac¸a˜o da gravidade.
Nessa aproximac¸a˜o, o per´ıodo de oscilac¸a˜o T = 2π/ω depende de sua amplitude θ0?
Resposta:
2 Atividades
O movimento do peˆndulo simples possui algumas caracter´ısticas gerais bem conhecidas, como
voceˆ revisou acima. Vamos investigar experimentalmente um peˆndulo real e determinar seu compor-
tamento com relac¸a˜o ao modelo simplificado.
Monte o peˆndulo com comprimento ℓ em torno de 80 cm (isso e´ apenas uma sugesta˜o!). Coloque-
o para oscilar seguindo as aproximac¸o˜es que voceˆ julgar necessa´rias. Perturbe o peˆndulo e observe
como o movimento parece perio´dico.
Para testar seu comportamento de forma um pouco mais detalhada, buscamos medir seu per´ıodo
de oscilac¸a˜o T . E embora parec¸a uma medida simples, devemos pensar cuidadosamente sobre a
melhor forma de realiza´-la para que seja confia´vel.
2.1 Medida do per´ıodo de oscilac¸a˜o de um peˆndulo
Para realizar medidas confia´veis, e´ preciso considerar todos os detalhes do procedimento, desde
o ato de soltar o peˆndulo ate´ a forma como determinar os pontos de in´ıcio e fim da oscilac¸a˜o. Leve
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F´ısica Experimental 1
em conta sempre a lei zero da engenharia (lei de Murphy): tudo que pode dar errado dara´ errado.
Analise o seguinte procedimento de medida:
Procedimento 1 Experimentador desloca o peˆndulo ligeiramente de seu equil´ıbrio com uma das
ma˜os. Na outra ma˜o, segura o cronoˆmetro. Experimentador solta o peˆndulo com uma das ma˜os e
dispara o cronoˆmetro com a outra. Apo´s uma oscilac¸a˜o, o peˆndulo e´ segurado pela mesma ma˜o que
o soltou e o cronoˆmetro e´ parado com a outra.
Esse procedimento possui va´rios problemas. Aponte e descreva sucintamente uma fonte presente
de erro sistema´tico:
Resposta:
Descreva sucintamente uma fonte de erro aleato´rio nesse procedimento:
Resposta:
Vamos agora criar um novo procedimento de forma a minimizar os erros do primeiro. Considere
o procedimento revisado:
Procedimento 2 Experimentadora perturba o peˆndulo, colocando-o para oscilar; observa algumas
oscilac¸o˜es para ‘pegar o ritmo’ do peˆndulo e determina visualmente pontos de inflexa˜o da trajeto´ria.
Escolhendo algum ponto da trajeto´ria como refereˆncia, experimentadora dispara o cronoˆmetro. O
cronoˆmetro e´ parado quando o peˆndulo retorna ao ponto inicial com mesma velocidade.
O erro sistema´tico apontado no primeiro procedimento desaparece no segundo? Explique.
Resposta:
Explique sucintamente por que o tempo de reac¸a˜o da experimentadora na˜o deve causar erro
sistema´tico nesse procedimento.
Resposta:
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Experimento 3: Peˆndulo simples
Ainda assim, havera´ uma fonte de erro da qual na˜o e´ poss´ıvel se livrar. A ‘pegada do ritmo’ sempre
produz erro aleato´rio, mesmo para Chico Science. Para diminuir a influeˆncia do erro aleato´rio, e´
necessa´rio adquirir estat´ıstica.
Vamos repetir va´rias vezes medidas de 1 per´ıodo T do peˆndulo . Denotamos o intervalo
de tempomedido como t, para na˜o confundi-lo conceitualmente com T (uma propriedade do peˆndulo).
Assim, almejamos determinar o valor mais confia´vel e incerteza de T a partir de medidas de t.
Pense em seu procedimento experimental e descreva-o no espac¸o abaixo. Que ponto da trajeto´ria
do peˆndulo voceˆ utilizara´ como refereˆncia para o in´ıcio da oscilac¸a˜o, o ponto de velocidadema´xima
ou de deslocamento ma´ximo? Justifique sua escolha.
Resposta:
Realize 16 medidas de 1 per´ıodo do peˆndulo (cada membro da equipe!). Denotamos
as medidas de cada membro da equipe pelo ı´ndice n = 1, 2, 3.
Membro 1: t1 Membro 2: t2 Membro 3: t3
Calcule para cada membro da equipe algumas propriedades estat´ısticas importantes de seu con-
junto de medidas: a me´dia 〈tn〉, o desvio padra˜o σtn e o desvio padra˜o da me´dia σ〈tn〉.
Membro 1
〈t1〉 σt1 σ〈t1〉
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F´ısica Experimental 1
Membro 2
〈t2〉 σt2 σ〈t2〉
Membro 3
〈t3〉 σt3 σ〈t3〉
Com base nas propriedades estat´ısticas acima, enuncie os valores experimentais Tn para o per´ıodo
do peˆndulo conforme encontrado por cada membro da equipe.
T1 =
T2 =
T3 =
Escreva no quadro abaixo a expressa˜o para a incerteza σTn como func¸a˜o do erro estat´ıstico apro-
priado (σtn ou σ〈tn〉?) e da incerteza instrumental σi.
Embase sua escolha de σtn ou σ〈tn〉 para a composic¸a˜o da incerteza.
Resposta:
Os valores experimentais de Tn sa˜o compat´ıveis entre si? Embase sua resposta.
Resposta:
2.2 Medida de 10 per´ıodos de oscilac¸a˜o do peˆndulo
Voceˆ deve ter percebido uma certa dificuldade pra´tica em medir o per´ıodo do peˆndulo, dificuldade
essa que seria ainda maior para medir per´ıodos mais curtos de oscilac¸a˜o. A causa disso e´ o tempo
de reac¸a˜o humano, tR, que, por ser apenas algumas vezes menor que T , introduz erro aleato´rio na
medida. Estime o tempo de reac¸a˜o humano.
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Experimento 3: Peˆndulo simples
tR =
Descreva brevemente seu me´todo de estimativa.
Resposta:
Para diminuir o erro aleato´rio causado pelo tempo de reac¸a˜o, devemos tentar aumentar a raza˜o
entre o tempo de medida t e seu tempo de reac¸a˜o tR. Uma forma de se fazer isso e´ diminuir tR, o
que requereria treinamento como Bruce Lee e esta´ fora do escopo desta disciplina. A outra forma e´
aumentar t, pela medida de mu´ltiplas oscilac¸o˜es consecutivas.
Mec¸a o tempo tomado pelo peˆndulo em 10 oscilac¸o˜es (i.e. mec¸a t = 10T ). Cada
membro da equipe deve contribuir com 16 medidas para coletar estat´ıstica.
Membro 1: t1 Membro 2: t2 Membro 3: t3
Determine abaixo as propriedades estat´ısticas de cada conjunto de medidas.
Membro 1
〈t1〉 σt1 σ〈t1〉
Membro 2
〈t2〉 σt2 σ〈t2〉
Membro 3
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F´ısica Experimental 1
〈t3〉 σt3 σ〈t3〉
Com base nas propriedades estat´ısticas acima, enuncie os valores Tn para o per´ıodo do peˆndulo
conforme encontrado por cada membro da equipe (note que tn = 10Tn).
T1 =
T2 =
T3 =
Escreva no quadro abaixo a expressa˜o para a incerteza σTn como func¸a˜o do erro estat´ıstico apro-
priado (note, novamente, que tn = 10Tn) e da incerteza instrumental σi.
As medidas Tn tomadas pelos membros da equipe sa˜o compat´ıveis entre si? Justifique.
Resposta:
2.3 Ana´lise estat´ıstica dos dados
Analisemos como os dois procedimentos de medida testados (t = T ou t = 10T ) se comparam.
Considere suas medidas em dois conjuntos separados: de um lado, todas as medidas de 1 per´ıodo
(denotadas por t(1)) e, do outro, todas as medidas de 10 per´ıodos (denotadas por t(10)).
• Gra´fico 1: Numa folha de papel milimetrado, represente o histograma das medidas
de 1 per´ıodo, t(1). Na˜o se esquec¸a de colocar t´ıtulo e denominar os eixos!
• Gra´fico 2: Numa folha de papel milimetrado, represente o histograma das medidas
de 10 per´ıodos, t(10).
Escreva nas tabelas abaixo os intervalos e frequeˆncias dos histogramas, utilizando tantas linhas
e colunas quanto necessa´rias. Na˜o se esquec¸a de denominar as colunas, incluindo-se a´ı unidades e
incertezas, caso necessa´rio. Coloque t´ıtulos nas tabelas.
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Experimento 3: Peˆndulo simples
No gra´fico 1, marque com uma linha vertical tracejada a posic¸a˜o do valor me´dio do
conjunto, 〈t(1)〉. Aponte da mesma forma os valores de t(1) que se encontram a 1 desvio padra˜o
(denotado por σt(1)) de distaˆncia da me´dia, i.e. 〈t(1)〉 − σt(1) e 〈t(1)〉 + σt(1) . Marque, ale´m disso, os
pontos de toleraˆncia para o erro na me´dia, denotado por σ〈t(1)〉, nos valores 〈t(1)〉−σ〈t(1)〉 e 〈t(1)〉+σ〈t(1)〉.
No gra´fico 2, repita o mesmo procedimento.
Analise os histogramas.
Determine no gra´fico 1 o nu´mero de dados N
(1)
σ abarcados no intervalo de 1σt(1) em torno da
me´dia, i.e. entre os pontos 〈t(1)〉 − σt(1) e 〈t(1)〉 + σt(1) . Estime como incerteza em N (1)σ a flutuac¸a˜o
estat´ıstica t´ıpica esperada.
N
(1)
σ =
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F´ısica Experimental 1
Determine a quantidade de dados N
(1)
2σ no intervalo de 2σt(1) no entorno da me´dia. Fac¸a o mesmo
para N
(1)
3σ , o nu´mero de dados no intervalo 3σt(1) ao redor da me´dia.
N
(1)
2σ =
N
(1)
3σ =
Determine as quantidades equivalentes no gra´fico 2.
N
(10)
σ =
N
(10)
2σ =
N
(10)
3σ =
Determine a partir de cada histograma seus valoresmais prova´veis t
(1)
mp e t
(10)
mp (moda), e escreva-
os abaixo, sempre denotando a margem de toleraˆncia estimada a partir do histograma.
t
(1)
mp =
t
(10)
mp =
Os valores mais prova´veis sa˜o compat´ıveis com os respectivos valores me´dios? Justifique.
Resposta:
Com base em seus estudos, voceˆ diria que seus histogramas se aproximam de distribuic¸o˜es
gaussianas? Justifique com base nas caracter´ısticas acima.
Resposta:
Comparemos agora os dois me´todos de medida quantitativamente.
Compare os desvios padra˜o σt(1) e σt(10). Elas sa˜o compat´ıveis? Responda considerando a
prova´vel fonte causadora dessa flutuac¸a˜o estat´ıstica.
Resposta:
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Experimento 3: Peˆndulo simples
Compare as incertezas das me´dias, σ〈t(1)〉 e σ〈t(10)〉. Sa˜o compat´ıveis? Por que motivo?
Resposta:
Enuncie o valor experimental de T (1), isto e´, do per´ıodo do peˆndulo conforme determinado com
base nas propriedades estat´ısticas de todos os dados t(1) de 1 per´ıodo.
T (1) =
Enuncie o valor experimental de T (10), isto e´, do per´ıodo do peˆndulo conforme determinado com
base nas propriedades estat´ısticas de todos os dados t(10) de 10 per´ıodos (note que t(10) = 10T (10)).
T (10) =
Compare criticamente os valores de T obtidos pelos dois me´todos.
Sa˜o compat´ıveis? Embase sua resposta em seus dados.
Resposta:
Qual me´todo de medida e´ mais preciso, segundo seus dados? Embase sua resposta.
Resposta:
Aponte a fonte de incerteza mais importante em cada caso (estat´ıstica ou instrumental),
sempre embasando sua resposta nos dados experimentais.
Resposta:
E´ poss´ıvel tambe´m considerar o que pode ser dito sobre T conhecendo-se apenas 1 medida (em
vez do conjunto inteiro), caso em que devemos nos perguntar qual e´ a incerteza de cada medida.
Enuncie o valor experimental de T (1) caso ele fosse determinado por apenas uma medida
possuindo as propriedades estat´ısticas do conjunto t(1).
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F´ısica Experimental 1
T (1) =
Enuncie o valor experimental de T (10) caso ele fosse determinado por apenas uma medida
possuindo as propriedades estat´ısticas do conjunto t(10) (note que t(10) = 10T (10)).
T (10) =
Compare criticamente os valores de T obtidos pelos dois me´todos.
Sa˜o compat´ıveis? Justifique sua resposta.
Resposta:
Qual me´todo de medida e´ mais preciso, segundo seus dados? Embase sua resposta.
Resposta:
Aponte a fonte de incerteza mais importante em cada caso, justificando sua resposta.
Resposta:
Forte sugesta˜o: voceˆ deve ter completado todas as atividas propostas
ate´ aqui antes de iniciar a segunda aula deste experimento
Dica: Tente na˜o sonhar com peˆndulos e variaˆncias esta noite
2.4 Medida da magnitude da acelerac¸a˜o gravitacional no laborato´rio
No in´ıcio deste experimento, voceˆ apontou o cena´rio esperado em que o peˆndulo f´ısico se comporta
como um peˆndulo simples. Tendo o cuidado de se manter dentro desses limites, e´ poss´ıvel medir a
acelerac¸a˜o da gravidade.14
Experimento 3: Peˆndulo simples
Para um peˆndulo simples, a relac¸a˜o entre seu per´ıodo T , o comprimento ℓ do fio e a magnitude
da acelerac¸a˜o local da gravidade g, e´ dada pela expressa˜o
T =
2π√
g
√
ℓ. (1)
E´ poss´ıvel, enta˜o, determinar g pelo movimento do peˆndulo, bastando para isso medir T e ℓ.
Mec¸a o per´ıodo T do peˆndulo para 5 valores diferentes de ℓ. Coloque seus resultados na
pro´xima tabela. Na tabela, o intervalo de tempo t se refere ao dado bruto medido, enquanto T e´ o
per´ıodo do peˆndulo (determinado a partir de t).
OBS: a forma de medida do per´ıodo fica a seu crite´rio. Use o espac¸o abaixo para descrever de
forma sucinta seu procedimento experimental, definindo o que e´ t em seu caso e como e´ medido.
Enuncie o valor adotado para a incerteza em t (use suas medidas anteriores).
Resposta:
Descreva no espac¸o abaixo seu procedimento para medida de ℓ, explicando como voceˆ
definiu esse comprimento em sua medida.
Resposta:
ℓ t T
2.5 Gra´fico linear para ana´lise de dados
Vamos analisar esses dados por uma representac¸a˜o gra´fica. Se voceˆ tiver em ma˜os uma relac¸a˜o
linear entre duas grandezas mensura´veis, e´ poss´ıvel determinar por um ajuste de reta outras grandezas
que entrem na relac¸a˜o.
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F´ısica Experimental 1
Note, no entanto, que a Eq. (1) na˜o e´ uma relac¸a˜o linear entre T e ℓ. De fato, esperamos segundo
o modelo teo´rico que T varie com
√
ℓ. Mas isso e´ fa´cil de contornar. Por uma troca de varia´veis,
chamamos x =
√
ℓ e y = T para reescrever a Eq. (1) como uma relac¸a˜o do tipo
y = Ax+ B, em que A =
1√
g
e B = 0. (2)
Com isso, podemos proceder com o ajuste linear. O coeficiente linear A da reta (sua inclinac¸a˜o, ou
derivada), deve fornecer o valor de g, enquanto seu coeficiente linear B e´ esperado nulo.
Utilize seus dados de ℓ e T para obter os pares de valores x e y.
x y
Escreva no quadro abaixo a expressa˜o utilizada no ca´lculo das incertezas σx como func¸a˜o de σℓ.
• Gra´fico 3: Numa folha de papel milimetrado, fac¸a um gra´fico de x = √ℓ versus
y = T . Denote sempre as grandezas correspondentes nos eixos dos gra´ficos (e unidades)!
Utilize barras de erro em ambos os eixos!
Estude seu gra´fico. A relac¸a˜o encontrada experimentalmente e´ de fato linear? Caso voceˆ veja
desvios do comportamento linear, comente o que pode teˆ-los causado.
Resposta:
Encontre visualmente uma boa reta de ajuste ao dados. Utilize uma re´gua para guiar
seus olhos na escolha de boas retas poss´ıveis. Voceˆ percebera´ que existe uma regia˜o ampla de
possibilidades. De fato, o ajuste visual consiste num me´todo grosseiro, e por isso veremos te´cnicas
melhores ao longo do curso. Para trac¸ar a reta, considere todos os pontos experimentais.
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Experimento 3: Peˆndulo simples
Para determinar o coeficiente angular do ajuste visual e sua incerteza aproximada,
trace duas retas extremas no gra´fico: uma com inclinac¸a˜o ma´xima e outra com inclinac¸a˜o
mı´nima. Lembre-se de que as duas retas devem se ajustar bem a todos os dados.
Determine o coeficiente angular de cada reta trac¸ada. Para facilitar a leitura do gra´fico, encontre
dois pontos em que a reta cruze ao mesmo tempo ambas as marcac¸o˜es (horizontal e vertical) do
papel milimetrado e marque esses pontos no gra´fico. Escolha pontos distantes para maximizar
a precisa˜o de sua estimativa.
Para a reta com coeficiente angular mı´nimo Amin, leia no papel a distaˆncia ∆x e ∆y entre esses
dois pontos. Calcule enta˜o a inclinac¸a˜o da reta Amin = ∆y/∆x.
∆x ∆y Amin
Fac¸a o mesmo para a reta com coeficiente angular ma´ximo Amax.
∆x ∆y Amax
Para determinar graficamente o coeficiente linear da reta visual e seu erro, utilize uma re´gua para
estimar os valores ma´ximo Bmax e mı´nimo Bmin do ponto onde as retas poss´ıveis cruzariam o eixo
x = 0 (cuidado: verifique se esse ponto aparece em seu gra´fico!).
Bmin Bmax
Utilize seus resultados para enunciar os coeficientes A e B da reta visual e suas incertezas.
A =
B =
Trace no gra´fico a reta ajustada visualmente (utilize caneta que a ressalte das demais).
Utilizando a Eq. (2), determine o valor de g obtido a partir da reta ajustada.
g =
Considere o valor aceito para a magnitude da acelerac¸a˜o da gravidade como g0 = 9,781 m/s
2.
Seu resultado experimental e´ compat´ıvel com esse valor? Justifique.
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F´ısica Experimental 1
Resposta:
O coeficiente linear B obtido experimentalmente e´ nulo? Ou seja, voceˆ defenderia B = 0 ou
B 6= 0 com base em seus dados? Justifique. Caso B 6= 0, conjecture sobre o poss´ıvel motivo.
Resposta:
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